考生注意：
1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)第一章，第二章.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 集合的真子集的個(gè)數(shù)是（ ）
A 3B. 4C. 7D. 8
3. 已知，則下列不等式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知集合，，若．則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. “關(guān)于的不等式的解集為R”的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A. B.
C. D.
7. 某健身沙龍開設(shè)了游泳、跑步、騎車三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，會(huì)員中有44人參加游泳運(yùn)動(dòng)，42人參加跑步運(yùn)動(dòng)，38人參加騎車運(yùn)動(dòng)，其中同時(shí)參加游泳、跑步、騎車三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的有10人，沒有參加任何運(yùn)動(dòng)的有20人，若健身沙龍共有會(huì)員100名，則只參與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的有（ ）
A. 24人B. 26人C. 36人D. 38人
8. 若關(guān)于不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則正數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列命題中為真命題的是（ ）
A ，
B. ，
C. 若，則“”是“”的充要條件
D. 若，則“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充要條件
10. 給定非空集合，如果對(duì)于任意的，（與可以相等，也可以不相等），都有，，，則稱集合是一個(gè)閉集合．則（ ）
A. 集合是閉集合
B. 已知集合是閉集合，若，則
C. 存在只含有101個(gè)元素的閉集合
D. 若集合是閉集合，且，則
11. 已知關(guān)于的不等式的解集為，則（ ）
A.
B.
C. 的最大值為1
D. 當(dāng)時(shí)，設(shè)關(guān)于的方程的解分別為，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 命題“，”的否定是______．
13. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
14. 已知，，滿足，若存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，則的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16 已知，．
（1）若有且只有一個(gè)為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
17. 一墻一文化，一村一風(fēng)景．在美麗鄉(xiāng)村創(chuàng)建中，墻繪依托其公共性、視覺沖擊等特點(diǎn)擔(dān)負(fù)美化鄉(xiāng)村、宣傳鄉(xiāng)村的使命．如圖所示，某鄉(xiāng)村擬建一繪畫墻，在墻面上畫三幅大小相同的矩形圖畫，每一幅畫的面積為9600平方厘米，要求圖畫上四周空白的寬度為2厘米，每幅圖畫之間的空隙的寬度為2厘米．設(shè)繪畫墻的長(zhǎng)和寬分別為厘米，厘米．
（1）求關(guān)于的關(guān)系式；
（2）為了節(jié)約成本，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)繪畫墻的尺寸，使得繪畫墻墻面的面積最?。?br>18. 已知二次函數(shù).
（1）若二次函數(shù)的圖象與軸相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且的面積為3，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）求關(guān)于的不等式的解集.
19. 已知集合.
（1）判斷3，20，25是否是集合中的元素，并說明理由；
（2）若，，證明：；
（3）證明：存在無窮多個(gè)完全平方數(shù)屬于集合（若一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)平方的形式.則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)）.
2024-2025學(xué)年黑龍江省雞西市高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題
考生注意：
1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)第一章，第二章.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系逐一判斷即可.
【詳解】，A錯(cuò)誤；，元素與集合不能用符號(hào)，B錯(cuò)誤；
根據(jù)子集的定義，有，C正確；集合不是集合中的元素，不能用符號(hào)，D錯(cuò)誤．
故選：C.
2. 集合的真子集的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【正確答案】A
【分析】化簡(jiǎn)集合得出集合中元素個(gè)數(shù)即可求解.
【詳解】由題知，所以集合的真子集的個(gè)數(shù)是．
故選：A.
3. 已知，則下列不等式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】運(yùn)用特殊值判斷A,B,C,運(yùn)用不等式性質(zhì)推斷D.
【詳解】取，，，則，故A錯(cuò)誤；
取，，，則，故B錯(cuò)誤；
取，，則，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，所以，故D正確．
故選：D
4. 已知集合，，若．則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】化簡(jiǎn)集合，由集合包含關(guān)系列出不等式求解即可.
【詳解】由題可知或，，由，可得，所以．
故選：B.
5. 已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】B
【分析】運(yùn)用基本不等式，結(jié)合乘1法計(jì)算即可.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)．
故選：B.
6. “關(guān)于的不等式的解集為R”的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意求出“關(guān)于的不等式的解集為R”的充要條件為，對(duì)比選項(xiàng)即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，由題意，得解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，
則“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個(gè)必要不充分條件是．
故選：C.
7. 某健身沙龍開設(shè)了游泳、跑步、騎車三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，會(huì)員中有44人參加游泳運(yùn)動(dòng)，42人參加跑步運(yùn)動(dòng)，38人參加騎車運(yùn)動(dòng)，其中同時(shí)參加游泳、跑步、騎車三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的有10人，沒有參加任何運(yùn)動(dòng)的有20人，若健身沙龍共有會(huì)員100名，則只參與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的有（ ）
A. 24人B. 26人C. 36人D. 38人
【正確答案】A
【分析】畫出韋恩圖，根據(jù)容斥原理列方程即可求解.
【詳解】設(shè)只參加游泳和跑步的有人，只參加騎車和游泳的有人，只參加跑步和騎車的有人，
由題意畫出Venn圖，如圖所示，

則只參加游泳的有：人，只參加跑步的有：人，只參加騎車的有：人，
所以參加運(yùn)動(dòng)的有：人，
由題意得，解得，
所以只參與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的有24人．
故選：A.
8. 若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則正數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)一元二次不等式的求解，結(jié)合兩根大小關(guān)系，對(duì)分類討論即可求解.
【詳解】不等式可化為，
①時(shí)，不等式的解集為，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，不等式的解為，且，
若不等式的解集中恰好有3個(gè)整數(shù)，則，解得；
③當(dāng)時(shí)，不等式的解為，且，
若不等式的解集中恰好有3個(gè)整數(shù)，則，解得．
綜上可知，正數(shù)的取值范圍為或．
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列命題中為真命題的是（ ）
A. ，
B. ，
C. 若，則“”是“”的充要條件
D. 若，則“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充要條件
【正確答案】ABD
【分析】對(duì)于A，作差即可判斷；對(duì)于B，取即可判斷；對(duì)于C，取即可判斷；對(duì)于D，直接判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，，故A正確；
取，則，所以，，故B正確；
當(dāng)時(shí)，顯然成立，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)槭怯欣頂?shù)，所以“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充要條件，故D正確．
故選：ABD.
10. 給定非空集合，如果對(duì)于任意，（與可以相等，也可以不相等），都有，，，則稱集合是一個(gè)閉集合．則（ ）
A. 集合是閉集合
B. 已知集合是閉集合，若，則
C. 存在只含有101個(gè)元素的閉集合
D. 若集合是閉集合，且，則
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)閉集合的定義逐項(xiàng)分析判斷即可.
【詳解】由兩個(gè)偶數(shù)的和、差、積都是偶數(shù)，得集合是閉集合，故A正確；
集合為閉集合，則必有，若，則有，，故B正確；
設(shè)集合中有101個(gè)元素，則除了0外還有非零元素，由B選項(xiàng)可知，顯然集合必定有無數(shù)個(gè)元素，故C錯(cuò)誤；
由C選項(xiàng)可知，若，則必有，可得，故D正確．
故選：ABD
11. 已知關(guān)于的不等式的解集為，則（ ）
A.
B.
C. 的最大值為1
D. 當(dāng)時(shí)，設(shè)關(guān)于的方程的解分別為，則
【正確答案】BC
【分析】運(yùn)用三個(gè)二次之間的關(guān)系得到系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理和基本不等式，逐個(gè)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，由題意知即
則，顯然當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
即，故B正確；
對(duì)于C，，
又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
所以，故C正確；
對(duì)于D，方程可化為，
整理得，解得，，
則，
當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 命題“，”的否定是______．
【正確答案】，
【分析】利用全稱命題的否定形式變換即可得.
【詳解】命題“，”的否定是“，”．
故答案：，.
13. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【正確答案】或
【分析】若，則轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)和反比例函數(shù)有交點(diǎn)，聯(lián)立方程有解，用計(jì)算即可.
【詳解】由題知，集合為一次函數(shù)上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，
集合為反比例函數(shù)上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，
若，則方程有非零解，整理得，
則，解得或．
故或．
14. 已知，，滿足，若存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，則的最小值為______．
【正確答案】6
【分析】首先得，進(jìn)一步，從而可得，解得即可得解.
【詳解】因?yàn)?，，所以，即，得?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
由，得，
整理得，即，
所以．因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得恒成立，
所以，即的最小值為．
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）或
（2）
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，分別求出，結(jié)合交集的概念即可得解；
（2）由題意得，分是否是空集進(jìn)行分類討論，分別列出不等式即可求解.
【小問1詳解】
由，得或，
由，得，
所以或．
【小問2詳解】
由，得．
①當(dāng)，即時(shí)，，滿足，符合題意．
②當(dāng)，即時(shí)，若滿足，則有，解得．
綜上所述，實(shí)數(shù)取值范圍為．
16. 已知，．
（1）若有且只有一個(gè)為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）或
（2）
【分析】（1）分別確定為真時(shí)的范圍，然后由真假，或假真得出結(jié)論；
（2）根據(jù)充分不必要條件定義列不等式組求解．
【小問1詳解】
由，得；
當(dāng)時(shí)，由，得．
若有且只有一個(gè)為真命題，則真假，或假真，
當(dāng)真假時(shí)，解得；
當(dāng)假真時(shí)，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或．
【小問2詳解】
由，得．
因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，則且等號(hào)不同時(shí)成立，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
17. 一墻一文化，一村一風(fēng)景．在美麗鄉(xiāng)村創(chuàng)建中，墻繪依托其公共性、視覺沖擊等特點(diǎn)擔(dān)負(fù)美化鄉(xiāng)村、宣傳鄉(xiāng)村的使命．如圖所示，某鄉(xiāng)村擬建一繪畫墻，在墻面上畫三幅大小相同的矩形圖畫，每一幅畫的面積為9600平方厘米，要求圖畫上四周空白的寬度為2厘米，每幅圖畫之間的空隙的寬度為2厘米．設(shè)繪畫墻的長(zhǎng)和寬分別為厘米，厘米．
（1）求關(guān)于的關(guān)系式；
（2）為了節(jié)約成本，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)繪畫墻的尺寸，使得繪畫墻墻面的面積最小？
【正確答案】（1）
（2）長(zhǎng)為248厘米，寬為124厘米
【分析】（1）由題意得，化簡(jiǎn)即可得解；
（2）首先得，然后結(jié)合基本不等式及其取得條件即可求解.
【小問1詳解】
由題意，知每一幅矩形圖畫的長(zhǎng)為厘米，寬為厘米，
則，整理得．
【小問2詳解】
由（1）知繪畫墻墻面的面積，
則，
由基本不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
故，此時(shí)，
故當(dāng)繪畫墻墻面的長(zhǎng)為248厘米，寬為124厘米時(shí)，繪畫墻面的面積最小．
18. 已知二次函數(shù).
（1）若二次函數(shù)的圖象與軸相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且的面積為3，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）求關(guān)于的不等式的解集.
【正確答案】（1）或
（2）
（3）答案見解析
【分析】（1）令得兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，令得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
代入三角形面積公式列式計(jì)算即可.
（2）由題意化為恒成立，利用判別式法列不等式組求解即可.
（3）根據(jù)和、、分類討論解不等式即可.
【小問1詳解】
令，則有，得兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故的面積為，解得或.
【小問2詳解】
不等式可化為，
若不等式恒成立，則必有解得，
故若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【小問3詳解】
不等式可化為，
①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或，
②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，
③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，
④當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．
19. 已知集合.
（1）判斷3，20，25是否是集合中的元素，并說明理由；
（2）若，，證明：；
（3）證明：存在無窮多個(gè)完全平方數(shù)屬于集合（若一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式.則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)）.
【正確答案】（1）3不是集合中的元素，20，25是集合中的元素，理由見解析
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)，，，即可求解；
（2）根據(jù)集合中元素特征，即可代入計(jì)算化簡(jiǎn)求解；
（3）根據(jù)完全平方公式可得，假設(shè)，可得，與為有理數(shù)矛盾即可求解.
【小問1詳解】
由，知5是集合中最小的元素，故3不是集合中的元素；
由，，知20，25是集合中的元素.
【小問2詳解】
由，，
設(shè)，，，，，，，，
則
，
①若，有，，可得；
②若，有
，
又由，有，有，
可得，，可得，
由上知，若，，則.
【小問3詳解】
設(shè)，且，
由.
又，，
，
假設(shè)，有，又由，有，可得，
又由，，得為有理數(shù)，
又由為無理數(shù)，與矛盾，故有，
由上可知，
又因?yàn)闉橥耆椒綌?shù)，且有無數(shù)多個(gè)，所以存在無窮多個(gè)完全平方數(shù)屬于集合.
方法點(diǎn)睛；對(duì)于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和計(jì)算特性，抽象特性是將集合可近似的當(dāng)作數(shù)列或者函數(shù)分析；計(jì)算特性，將復(fù)雜的關(guān)系通過找規(guī)律即可利用已學(xué)相關(guān)知識(shí)求解.

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2024-2025學(xué)年黑龍江省雞西市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題

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