注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1. 下面給出四類對象中，能構成集合的是（ ）
A. 某班視力較好的同學B. 某小區(qū)長壽的人
C. 的近似值D. 方程的實數(shù)根
2. 已知，，若集合，則值為（ ）
A. B. C. 1D. 2
3. 已知命題“，”的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
4. 已知， ， ，則下列結論正確的是（ ）
A. ?B. ?C. ?D. ?
5. 集合，，則（ ）
A. B. C. D.
6. 若，且，則在下列四個選項中，最大的是（ ）
A B. C. D.
7. 明——羅貫中《三國演義》第49回“欲破曹公，宜用火攻;萬事倶備，只欠東風”，比喻一切都準備好了，只差最后一個重要的條件.你認為“東風”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
8. 下列“若, 則”形式的命題中，是的必要條件的有（ ）個
① 若是偶數(shù), 則是偶數(shù)
②若，則方程有實根
③若四邊形的對角線互相垂直, 則這個四邊形是菱形
④若，則
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，，則
C. 若，則
D. 若，則
10. 命題“，”為真命題的一個必要不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
11. 若，均為正數(shù)，且，則下列結論正確的是（ ）
A. 的最大值為B. 的最小值為9
C. 的最小值為D. 的最小值為4
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則的取值范圍為___________.
13. 設，則的最小值為______.
14. 若一個集合是另一個集合子集，則稱兩個集合構成“全食”；若兩個集合有公共元素，但互不為對方的子集，則稱兩個集合構成“偏食”.對于集合，，若這兩個集合構成“全食”或“偏食”，則實數(shù)a的值為__________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. （1）比較與的大小；
（2）證明不等式：
16. 設，其中，如果，求實數(shù)的取值范圍.
17. 已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分而不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
18. 已知ab≠0，求證：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．
19. 在只剩一面墻的破屋基礎上要求修建新屋（修四面墻），舊墻長12米，新屋的面積預定為112平方米，且保留一部分舊墻作為一面墻來修建新屋.已知這項工程的費用要求是：①新料砌墻的費用為元/米；②修理舊墻的費用相當于砌新墻的25%；③拆舊墻的一部分，利用舊料來砌同樣長度的新墻，這費用相當于用新料砌墻的50%.在這種情況下舊墻保留約多少米最為合算？（，結果精確到0.1）
2024-2025學年黑龍江省綏化市綏棱縣高一上學期9月月考數(shù)學
檢測試題
注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1. 下面給出的四類對象中，能構成集合的是（ ）
A. 某班視力較好的同學B. 某小區(qū)長壽的人
C. 的近似值D. 方程的實數(shù)根
【正確答案】D
【分析】根據(jù)集合的特征，即可判斷各選項是否能組成集合.
【詳解】對于A，描述的對象“視力較好”不確定，不能構成集合，A不是；
對于B，描述的對象“長壽”不確定，不能構成集合，B不是；
對于C，沒有給出精確度，描述的對象“π 的近似值”不確定，不能構成集合，C不是；
對于D，方程的實數(shù)根是和1，明確可知，能構成集合，D是.
故選：D
2. 已知，，若集合，則的值為（ ）
A. B. C. 1D. 2
【正確答案】B
【分析】利用集合相等，求出，再求出，檢驗代入求值即可.
詳解】根據(jù)題意，故，則，
故，則，即，
當時，與集合互異性相矛盾，故舍去，
當，時，，符合題意，
所以，
故選：B.
3. 已知命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正確答案】C
【分析】利用存在量詞命題的否定直接寫出結論即得.
【詳解】命題是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，
所以命題“，”的否定是，.
故選：C
4. 已知， ， ，則下列結論正確的是（ ）
A. ?B. ?C. ?D. ?
【正確答案】B
【分析】將集合特征相關表達式變形，可得集合間關系，即可得答案.
【詳解】， ，故；
當時，，當時，，則?.
故選：B．
5. 集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意得到解方程組，最后將解答寫成點集即可.
【詳解】 集合 ，，
，解方程組得，故
故選：C.
6. 若，且，則在下列四個選項中，最大的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】（1）先判斷，可得，所以，排除A、D，再用作差法比較B、C的大小，可得答案.
（2）也可以令，取特殊值進行驗證排除.
【詳解】方法一：∵且，∴，可排除A；又，排除D；
∵，
即，排除B.
故選：C.
方法二：因為且，可取，.
則：，，因為.
故選：C.
7. 明——羅貫中《三國演義》第49回“欲破曹公，宜用火攻;萬事倶備，只欠東風”，比喻一切都準備好了，只差最后一個重要的條件.你認為“東風”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義，結合題意即可下結論.
【詳解】“東風”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的必要條件，但不是充分條件.
故選：B.
8. 下列“若, 則”形式的命題中，是的必要條件的有（ ）個
① 若是偶數(shù), 則是偶數(shù)
②若，則方程有實根
③若四邊形的對角線互相垂直, 則這個四邊形是菱形
④若，則
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正確答案】D
【分析】根據(jù)必要條件的概念找出符合要求的選項即可.
【詳解】對于①，是偶數(shù)，不能保證，均是偶數(shù)，也有可能都是奇數(shù)，故①不符合題意；
對于②，若方程，則需滿足，即，可推出，故②符合題意；
對于③，若四邊形是菱形，則四邊形對角線互相垂直，故③符合題意；
對于④，若，則，故④符合題意.
故選：D.
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，，則
C. 若，則
D. 若，則
【正確答案】BD
【分析】舉例說明判斷AC；利用不等式性質(zhì)推理判斷BD.
【詳解】對于AC，取，滿足，而，，AC錯誤；
對于B，由，得，而，則，B正確；
對于D，由，得，則，D正確.
故選：BD
10. 命題“，”為真命題的一個必要不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】AD
【分析】先根據(jù)題意化簡：命題“，”為真命題；為，然后利用充分性和必要性的判斷方式來判斷即可.
【詳解】若命題“，”為真命題，
則當時，恒成立，
即，
故該題可以轉(zhuǎn)變?yōu)椤啊钡囊粋€必要不充分條件，
由必要不充分條件的判斷可知，
“”的一個必要不充分條件是“”
所以AD符合題意.
故選：AD
11. 若，均為正數(shù)，且，則下列結論正確的是（ ）
A. 的最大值為B. 的最小值為9
C. 的最小值為D. 的最小值為4
【正確答案】BC
【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用與逐項判斷即可.
【詳解】因為，均為正數(shù)，且，所以，所以，
當且僅當，即，時，等號成立，所以A錯誤；
，
當且僅當，即時，等號成立，所以B正確；
，
當且僅當，即，時，等號成立，所以C正確；
，
當且僅當，即，時，等號成立，
而，均為正數(shù)，故等號不成立，所以D錯誤.
故選：BC.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則的取值范圍為___________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)計算可得.
【詳解】解：因為，即，所以，，
所以，即
故
13. 設，則的最小值為______.
【正確答案】
【分析】利用換元法，令將所給的代數(shù)式進行變形，然后利用均值不等式即可求得最小值.
【詳解】由，可得.
可令，即，則，
當且僅當，時，等號成立.
故答案為．
本題主要考查基本不等式求最值的方法，換元法及其應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
14. 若一個集合是另一個集合的子集，則稱兩個集合構成“全食”；若兩個集合有公共元素，但互不為對方的子集，則稱兩個集合構成“偏食”.對于集合，，若這兩個集合構成“全食”或“偏食”，則實數(shù)a的值為__________.
【正確答案】0或1或4
【分析】分和兩種情況討論，再結合“全食”和“偏食”的定義即可得解.
【詳解】若，則，滿足為的子集，此時A與B構成“全食”；
若，則，
由與構成“全食”或“偏食”，得或，解得或，
綜上，實數(shù)的值為0或1或4.
故0或1或4.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. （1）比較與的大??；
（2）證明不等式：
【正確答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用作差法，判斷差正負比較大小即得.
（2）利用基本不等式證明不等式即可.
【詳解】（1），所以.
（2），當且僅當時取等號，所以.
16. 設，其中，如果，求實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】或
【分析】由，然后利用集合元素個數(shù)分別討論，求出的取值范圍即可.
【詳解】由，而，
對于集合有：
當，即時，，符合；
當，即時，，符合；
當，即時，中有兩個元素，而；
∴得；
綜上，或.
17. 已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分而不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）將代入集合求解，利用集合間的關系可求；
（2）利用充分不必要條件的定義，分類討論集合可求實數(shù)的取值范圍．
【小問1詳解】
已知集合，．
當時，，或
又，
；
【小問2詳解】
因為“”是“”充分不必要條件，所以是的真子集，
又，，
所以，
所以；
當時，是的真子集；
當時，也滿足是的真子集，
綜上所述：．
18. 已知ab≠0，求證：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．
【正確答案】證明見解析
【分析】先證明充分性，再證明必要性.
【詳解】①充分性：∵a＋b＝1，
∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，
即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.
∵ab≠0，
∴a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2≠0.
∴a＋b－1＝0，
∴a＋b＝1.
綜上可知，當ab≠0時，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．
19. 在只剩一面墻的破屋基礎上要求修建新屋（修四面墻），舊墻長12米，新屋的面積預定為112平方米，且保留一部分舊墻作為一面墻來修建新屋.已知這項工程的費用要求是：①新料砌墻的費用為元/米；②修理舊墻的費用相當于砌新墻的25%；③拆舊墻的一部分，利用舊料來砌同樣長度的新墻，這費用相當于用新料砌墻的50%.在這種情況下舊墻保留約多少米最為合算？（，結果精確到0.1）
【正確答案】保留約11.3米最為合算
【分析】先設預留的舊墻的長度為，然后利用面積為112平方米計算出剩下的墻長度，利用舊墻材料砌的墻的長度，剩下的新墻長度，然后計算所需費用，最后用基本不等式求解取最值的條件.
【詳解】設保留的舊墻的長度為，
則另外三面墻長度之和為，
另外三面墻中利用舊墻材料修建的長度為，
所以新墻的長度為，
所以總費用為
，
當且僅當，即時等號成立，
故保留約11.3米最為合算.

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