A．B．C．D．
2．如圖，師傅安裝空調(diào)在墻上時，一般都會增加一邊固定，這種應(yīng)用方法的幾何原理是（ ）
A．兩點確定一條直線B．垂線段最短
C．兩點之間線段最短D．三角形具有穩(wěn)定性
3．如圖，已知△ABC的六個元素，則下面標(biāo)有序號①，②，③的三個三角形中，與△ABC全等的圖形序號是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和③D．只有②
4．若代數(shù)式x?1x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（ ）
A．x≠1B．x≠0C．x＞0D．x＞1
5．如果一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．計算（﹣2xy2）3=→第①步(?2)3x3(y2)3=→第②步?8x3y6，其中第①步運算的依據(jù)是（ ）
A．冪的乘方法則B．乘法分配律
C．積的乘方法則D．同底數(shù)冪的乘法法則
7．下列整式乘法中，能用平方差公式簡便計算的是（ ）
A．（2a+b）（a﹣2b）B．（a+2 b）（2 b﹣a）
C．（﹣a+b）（b﹣a）D．（﹣a﹣b）（a+b）
8．已知分式x+n2x?m(m，n為常數(shù)）滿足表格中的信息，則ab的積是（ ）
A．﹣m﹣3nB．6C．4D．2
9．在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABC按以下規(guī)律進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變換：第1次關(guān)于x軸對稱，第2次關(guān)于y軸對稱，第3次關(guān)于x軸對稱，??，依次類推．若點A(3，2)，則將△ABC經(jīng)過第2025次軸對稱變換后所得的點A的對應(yīng)點坐標(biāo)是（ ）
A．(3，2)B．(3，?2)C．(?3，2)D．(?3，?2)
10．如圖，邊長為2a（a＞0）的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，AE與BF交于點G，記四邊形CFGE的面積為S，則S的值是（用含a的代數(shù)式表示）（ ）
A．a(chǎn)2B．15a2C．45a2D．25a2
二、填空題（每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請直接填寫在答題卡指定的位置。
11．分解因式：ax+ay＝ ．
12．化簡：1x?1?1x+1= ．
13．華為麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工藝制程，將數(shù)0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示為 ．
14．我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)展都曾居世界前列．其中“楊輝三角”（圖1）就是一例，其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和．如圖2中虛線標(biāo)記的一列數(shù)：1，3，6，10，15，?，我們把第一個數(shù)記為a1，第二個數(shù)記為a2，第三個數(shù)記為a3，?，第n個數(shù)記為an，則a8﹣2a6﹣10的值是 ．
15．關(guān)于x的二次三項式x2+mx+n（m，n是常實數(shù)），現(xiàn)有以下結(jié)論：
（1）若m+n＝﹣1，則二次三項式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1）；
（2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2，則m＝6；
（3）若x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q），則2m+n＝﹣4；
（4）若m2﹣4n＜0則無論x取何實數(shù)，x2+mx+n總是正數(shù)．
其中正確結(jié)論的序號有 ．
16．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點D，E分別是BC，AC上的動點，且AE＝CD，當(dāng)AD+BE最小時，∠AEB的大小是 度．
三、解答題（共72分）下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形。
17．（8分）（1）計算：（2x）3（﹣5xy2）；
（2）計算：(y?12)2．
18．（8分）（1）因式分解：3ax2+6axy+3ay2；
（2）先化簡，再求值：x2?1x2?2x+1÷x+1x?1?1?x1+x，其中x=12．
19．（8分）已知關(guān)于x的分式方程2x+bx?3=?1．
（1）若這個分式方程的解是x＝2，求b的值；
（2）若分式方程的解是非負(fù)數(shù)，直接寫出b的取值范圍．
20．（8分）如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠BAC的角平分線交BC于點D，E為AB邊上一點，AE＝AC．
（1）求證：DE＝DC；
（2）直接寫出△BDE的周長是 ．
21．（8分）如圖是由小正方形組成的6×4網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．△ABC的頂點A，B，C均為格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．
（1）如圖1，先畫△ABC的中線AD，再畫點E，連BE，使BE⊥AC，垂足為F；
（2）如圖2，先畫△GHM，使△GHM與△ABC全等，且點A的對應(yīng)點M在BC邊上．點P為AC上一動點，再畫點Q，使AQ＝AP．
22．（10分）某商場首次購進(jìn)件數(shù)相同的甲、乙兩種商品，甲種商品共用了2000元，乙種商品共用了2400元．已知乙種商品每件進(jìn)價比甲種商品每件進(jìn)價多8元．
（1）求該商場購進(jìn)的甲、乙兩種商品進(jìn)價每件各是多少元？
（2）該商場將購進(jìn)的甲、乙兩種商品銷售完畢后，準(zhǔn)備再次購入一定數(shù)量的甲、乙兩種商品，由于市場行情波動，再次購入時，甲種商品單價上調(diào)了3m（m＞0）元/件，同時乙種商品單價下調(diào)了2m（m＞0）元/件，
①若再次購入與首次購進(jìn)數(shù)量相同的甲、乙兩種商品，且兩種商品共花費4500元，求m的值；
②若再次購入甲、乙兩種商品共100件（甲，乙件數(shù)不能為0），最后發(fā)現(xiàn)兩種商品的總費用與實際購買甲種商品的件數(shù)無關(guān)，都是定值，請直接寫出總費用的值 ．
23．（10分）問題呈現(xiàn)：借助幾何直觀探究數(shù)量關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的常見方法，圖1，圖2是用邊長為a，b的兩個正方形和邊長為a，b的兩個長方形拼成的一個大正方形，圖3是用邊長為a，b的四個長方形拼成的一個大正方形．利用圖形可以推導(dǎo)出a，b的關(guān)系式為：
圖1： ；
圖2： ；
圖3： ．
解決問題：
（1）直接寫出結(jié)果：
①若mn＝4，m2+n2＝5，則（m+n）2＝ ；
②若x+y＝6，x2+y2＝28，則xy＝ ；
（2）若3a+2b＝8，ab＝2，則求a，b．
拓展延伸：
如圖4，以Rt△ABC的直角邊AB，BC為邊作正方形ABFG和正方形BCDE．若△ABC的面積為6，CF＝1，求正方形ABFG的邊長．
24．（12分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，原點為O，一條直線交x軸負(fù)半軸和y軸正半軸于點A，B，點C在線段AB上，點D在線段OB上，線段CD的垂直平分線交OA于點E，∠BAO＝∠CDE＝α（0°＜α＜90°）．
（1）若α＝30°，則解決以下問題：
①當(dāng)點D與原點O重合，如圖2，求證：AC＝BC；
②如圖3，若DC∥OA，連BE，求證：AE＝BE；
（2）如圖4，過點D作x軸的平行線，交AB于點F，求證：BF＝2AC．
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10個小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標(biāo)號涂黑。
1．【解答】解：由題知，
漢字“最”，“漢”，“陽”無法沿著某條直線翻折，使其完全重合，
故ACD選項不符合題意．
漢字“美”沿著中心豎直方向的直線翻折，直線兩邊的部分可以完全重合，
故B選項符合題意．
故選：B．
2．【解答】解：安裝空調(diào)在墻上時，一般都會增加一邊固定，這種應(yīng)用方法的幾何原理是三角形具有穩(wěn)定性．
故選：D．
3．【解答】解：根據(jù)SAS可證第②個三角形和△ABC全等，根據(jù)AAS可證第③個三角形和△ABC全等，
故選：B．
4．【解答】解：由分式有意義的條件可知：x≠0，
故選：B．
5．【解答】解：多邊形的外角和是360°，根據(jù)題意得：
180°?（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故選：A．
6．【解答】解：（﹣2xy2）3＝（﹣2）3x3（y2）3，
其運算依據(jù)是積的乘方法則，
故選：C．
7．【解答】解：A．（2a+b）（a﹣2b），只能利用多項式乘多項式的計算方法進(jìn)行計算，不能利用平方差公式，因此選項A不符合題意；
B．（a+2b）（2b﹣a）＝（2b+a）（2b﹣a）＝4b2﹣a2，能利用平方差公式，故選項B符合題意；
C．（﹣a+b）（b﹣a）＝（b﹣a）（b﹣a）＝b2﹣2ab+a2，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此選項C不符合題意；
D．（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）（a+b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此選項D不符合題意；
故選：B．
8．【解答】解：觀察表格可知：當(dāng)x＝﹣4時，分式x+n2x?m無意義，
∴2×（﹣4）﹣m＝0，
﹣8﹣m＝0，
解得：m＝﹣8，
當(dāng)x＝4時，x+n2x?m=0，
∴4+n＝0，
∴n＝﹣4，
∴分式為x?42x+8，
∴當(dāng)x＝a時，a?42a+8=13，
2a+8＝3a﹣12，
3a﹣2a＝8+12，
a＝20，
檢驗：當(dāng)a＝20時，2a+8≠0，
∴a＝20是原分式方程的解，
當(dāng)x＝6時，b=6?42×6+8=220=110，
∴ab=20×110=2，
故選：D．
9．【解答】解：由題知，
因為點A的坐標(biāo)為（3，2），
所以第1次軸對稱變換后所得點A的對應(yīng)點坐標(biāo)是（3，?2）；
第2次軸對稱變換后所得點A的對應(yīng)點坐標(biāo)是（?3，?2）；
第3次軸對稱變換后所得點A的對應(yīng)點坐標(biāo)是（?3，2）；
第4次軸對稱變換后所得點A的對應(yīng)點坐標(biāo)是（3，2）；
第5次軸對稱變換后所得點A的對應(yīng)點坐標(biāo)是（3，?2）；
…，
由此可見，從第1次軸對稱變換開始，每經(jīng)過四次軸對稱變換，點A的對應(yīng)點坐標(biāo)循環(huán)出現(xiàn)，
又因為2025÷4＝506余1，
所以第2025次軸對稱變換后所得點A的對應(yīng)點坐標(biāo)是（3，?2）；
故選：B．
10．【解答】解：連接EF，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，邊長為2a，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∠ABC＝∠C＝90°，
∵點E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，
∴BE＝CE＝CF＝a，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=AB2+BE2=5a，
在△ABE和△BCF中，
AB=BC∠ABC=∠C=90°BE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF=5a，∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG＝∠ABC＝90°，
∴∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
即AE⊥BF，
∵S△ABE=12AE?BG=12BE?AB，
∴BG=BE?ABAE=a×2a5a=25a5，
∴GF＝BF﹣BG=5a?25a5=35a5，
在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG=BE2?BG2=a2?(25a5)2=5a5，
∴S△CEF=12CE?CF=a22，S△GEF=12EG?GF=12×5a5×35a5=3a210，
∴S＝S△CEF+S△GEF=a22+3a210=4a25．
故選：C．
二、填空題（每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請直接填寫在答題卡指定的位置。
11．【解答】解：ax+ay＝a（x+y）．
故答案為：a（x+y）．
12．【解答】解：1x?1?1x+1
=x+1(x+1)(x?1)?x?1(x+1)(x?1)
=x+1?x+1(x+1)(x?1)
=2(x+1)(x?1)
=2x2?1．
故答案為：2x2?1．
13．【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．
故答案為：7×10﹣9．
14．【解答】解：由題知，
a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，a4＝10＝1+2+3+4，…，
所以an=1+2+3+?+n=n(n+1)2；
當(dāng)n＝6時，
a6=6×72=21．
當(dāng)n＝8時，
a8=8×92=36，
所以a8﹣2a6﹣10＝36﹣2×21﹣10＝﹣16．
故答案為：﹣16．
15．【解答】解：（1）∵m+n＝﹣1，
∴n＝﹣m﹣1，
∴x2+mx+n
＝x2+mx﹣m﹣1
＝x2﹣1+mx﹣m
＝（x+1）（x﹣1）+m（x﹣1）
＝（x﹣1）（x+1+m），
∴二次三項式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1），
∴結(jié)論（1）正確；
（2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2，
∴x2+mx+n＝x2+6x+9＝（x+3）2，
或x2+mx+n＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
∴m＝6或m＝﹣6，
∴結(jié)論（2）不正確；
（3）∵x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q）＝x2+（q﹣2）x﹣2q，
∴m＝q﹣2，n＝﹣2q，
∴2m+n＝2（q﹣2）﹣2q＝2q﹣4﹣2q＝﹣4，
即2m+n＝﹣4，
∴結(jié)論（3）正確；
∵x2+mx+n
＝x2+mx+m24+n?m24
＝（x+m2）2+n?m24，
∵（x+m2）2≥0，
∴當(dāng)n?m24＞0，
即m2﹣4n＜0時，
無論x取何實數(shù)，x2+mx+n總是正數(shù)，
∴結(jié)論（4）正確，
故答案為：（1）（3）（4）．
16．【解答】解：過點C作CF⊥BC，且CF＝AB，連接DF，AF，設(shè)AF交BC于點H，如圖所示：
∴∠FCD＝∠BAC＝90°，
在△CFD和△ABE中，
CF=AB∠FCD=∠BAC=90°AE=CD，
∴△CFD≌△ABE（SAS），
∴DF＝BE，∠CDF＝∠AEB，
∴AD+BE＝AD+DF，
根據(jù)“兩點之間線段最短”得：AD+DF≤AF，
∴當(dāng)點A，D，F(xiàn)在同一條直線上時，AD+DF為最小，即AD+BE為最小，
當(dāng)點A，D，F(xiàn)在同一條直線上時，∠CDF＝∠CHF＝∠AEB，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC，
∵CF⊥BC，
∴∠ACF＝135°，
∴CF＝AB＝AC，
∴∠CAF＝∠CFA=12（180°﹣∠ACF）＝22.5°，
∴∠CHF＝∠ACB+∠CAF＝45°+22.5°＝67.5°，
∴當(dāng)AD+BE為最小時，∠AEB＝∠CHF67.5°．
故答案為：67.5．
三、解答題（共72分）下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形。
17．【解答】解：（1）原式＝8x3?（﹣5xy2）＝﹣40x4y2；
（2）原式＝y(tǒng)2﹣y+14．
18．【解答】解：（1）3ax2+6axy+3ay2
＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2；
（2）x2?1x2?2x+1÷x+1x?1?1?x1+x1
=(x+1)(x?1)(x?1)2?x?1x+1??(x?1)x+1
=1?xx+1，
當(dāng)x=12時，
原式=1?1212+1=13．
19．【解答】解：（1）將x＝2代入原方程得，
2×2+b2?3=?1，
解得：b＝﹣3．
（2）解方程得，x=3?b3，
∵分式方程的解是非負(fù)數(shù)，
∴3?b3≥0，且3?b3≠3，
解得：b≤3且b≠﹣6．
20．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
在△EAD和△CAD中，
AE=AC∠EAD=∠CADAD=AD，
∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴DE＝DC；
（2）解：∵AB＝6，AC＝4，BC＝5，
∴BE＝AB﹣AC＝2，BD+DC＝BC＝5，
∵DE＝DC，
∴BD+DC＝BD+DE＝5，
∴△BDE的周長為：BE+BD+DE＝2﹣5＝7．
故答案為：7．
21．【解答】解：（1）取BC中點D，連接AD，取C上方格點E，連接BE交AC于F，如圖1：
則線段AD，點E即為所求；
理由：由作圖知AD是△ABC的中線，△BCE≌△ATC（SAS），
∴∠EBC＝∠CAT，
∵∠CAT+∠ACT＝90°，
∴∠EBC+∠ACT＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BE⊥AC；
（2）如圖2，取格點M，G，H得△GHM；AC與GM交于P，取格點N，連接AN，AN的中點是點Q，此時AQ＝AP；
則△GHM，點Q即為所求；
理由：由畫圖可知：AC＝AN，點P是AC的中點，Q是AN的中點，
∴AP=12AC，AQ=12AN，
∴AQ＝AP．
22．【解答】解：（1）設(shè)甲種商品每件的進(jìn)價是x元，乙種商品每件的進(jìn)價是（x+8）元，
根據(jù)題意得：2000x=2400x+8，
解得：x＝40，
經(jīng)檢驗，x＝40是所列方程的解，且符合題意，
∴x+8＝40+8＝48（元）．
答：甲種商品每件的進(jìn)價是40元，乙種商品每件的進(jìn)價是48元；
（2）①根據(jù)題意得：（40+3m）×200040+（48﹣2m）×240048=4500，
解得：m＝2．
答：m的值為2；
②設(shè)購入n件甲種商品，總費用為w元，
根據(jù)題意得：w＝（40+3m）n+（48﹣2m）（100﹣n）＝（5m﹣8）n+4800﹣200m，
∵w的值與n無關(guān)，
∴5m﹣8＝0，
解得：m=85，
∴w＝（5m﹣8）n+4800﹣200m＝（5×85?8）n+4800﹣200×85=4480．
故答案為：4480．
23．【解答】解：問題呈現(xiàn)：
圖1中大正方形的邊長為a+b，因此面積為（a+b）2，兩個陰影正方形的面積分別為a2，b2，兩個空白長方形的面積為2ab，
所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
圖2中大正方形的面積為a2，兩個陰影正方形的面積分別為（a﹣b）2，b2，兩個空白長方形的面積為2b（a﹣b）
所以有a2＝（a﹣b）2+b2+2b（a﹣b），
即（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故答案為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
圖3中大正方形的邊長為a+b，因此面積為（a+b）2，中間正方形的邊長為a﹣b，因此面積為（a﹣b）2，4個空白長方形的面積為4ab，
所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（1）①∵mn＝4，m2+n2＝5，
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝5+8＝13，
故答案為：13；
②∵x+y＝6，x2+y2＝28，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2，
即36＝28+2xy，
∴xy＝4，
故答案為：4；
（2）∵3a+2b＝8，即b=8?3a2，又ab＝2，
∴a（8﹣3a）＝4，
解得a＝2或a=23，
當(dāng)a＝2時，b＝1，
當(dāng)a=23時，b＝3，
即a＝2，b＝1或a=23，b＝3；
拓展延伸：
設(shè)正方形ABFG的邊長為a，正方形BCDE的邊長為b，由題意得S△ABC=12ab＝6，即ab＝12，a﹣b＝CF＝1，
解得a＝4或a＝﹣3（舍去），
即正方形ABFG的邊長為4．
24．【解答】證明：（1）①當(dāng)點D與原點O重合時，∠BAO＝∠COE＝α＝30°，
∴AC＝OC，
∵∠AOB＝90°，
∴∠CBO＝90°﹣30°＝60°，∠BOC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBO＝∠BOC＝60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴BC＝OC，
∴AC＝BC；
②如圖，設(shè)線段CD的垂直平分線EF交AB于點F，連接DF，
則CE＝DE，CF＝DF，EF⊥OA，
∴∠DCE＝∠CDE，∠BCD＝∠FDC，
∵DC∥OA，
∴∠DCE＝∠AEC，∠CDE＝∠DEO，∠BCD＝∠BAO，
∵∠BAO＝∠CDE＝α＝30°，
∴∠BAO＝∠AEC＝∠DEO＝∠FDC＝∠FCD＝∠DCE＝∠CDE＝30°，
∴AC＝CE，
又∵CD＝CD，
∴△CDE≌△CDF（ASA），
∴CE＝CF＝DE＝DE，
∵∠ECF＝60°，
∴△CEF是等邊三角形，
∴CE＝CF＝EF，
∴∠ABO＝∠BDF＝60°，
∴△BDF是等邊三角形，
∴BF＝DF＝BD＝CF，
在△BED和△BEF中，
BD=BFED=EFBE=BE，
∴△BED≌△BEF（SSS），
∴∠EBD＝∠EBF=12∠ABO＝30°，
∴∠EBF＝∠BAO，
∴AE＝BE；
（2）如圖，在BF上取點G，使∠EGA＝∠CAE＝α，連接EG、DG，則EG＝EA，
過點D作∠HDF＝∠BFD＝α交AB于點H，則HD＝HF，∠DHG＝2α，
∵∠BFD＝∠BAO＝α，
∴DF∥OA，
∴∠BDF＝∠BOA＝90°，
∴∠FBD＝90°﹣α，∠BDH＝90°﹣∠HDF＝90°﹣α，
∴∠FBD＝∠BDH，
∴HD＝HB＝HF，
∴BF＝2HB＝2HD，
∵線段CD的垂直平分線交OA于點E，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC＝α，
∴∠CED＝180°﹣2α，
∵∠AEG＝180°﹣2α，
∴∠AEG＝∠CED，即∠AEC+∠CEG＝∠CEG+∠GED，
∴∠AEC＝∠GED，
在△AEC和△GED中，
AE=GE∠AEC=∠GEDEC=ED，
∴△AEC≌△GED（SAS），
∴∠EGD＝∠EAC＝α，DG＝AC，
∴∠DGH＝∠EGD+∠AGE＝2α，
∴∠DGH＝∠DHG，
∴DG＝DH＝AC，
∴BF＝2AC．
x的取值
﹣4
4
a
6
分式的值
無意義
0
13
b
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
B
A
C
B
D
B
C

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