考試時(shí)間：120分鐘
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.答在試卷上的答案無效.
一、單項(xiàng)選擇題（本題共8題，每題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)并集和補(bǔ)集的定義求解即可.
【詳解】由已知，或，
所以.
故選：C．
2. 已知，，，則、、的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值比較出大小.
【詳解】，，，
故.
故選：C
3. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)平移規(guī)律即得.
【詳解】依題意, .
故選:D.
4. 如圖，圓的半徑為1，劣弧的長為，則陰影部分的面積為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由扇形面積減去三角形面積即可求解.
【詳解】因?yàn)榱踊〉拈L為，所以.
則，
所以陰影部分的面積為.
故選:B
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由可以得到，但是反向推導(dǎo)不成立，故可以得到答案.
【詳解】由可以得到，但是由，得或.
故選：A.
6. 若，則為（ ）
A 第一、二象限角B. 第二、三象限角C. 第一、三象限角D. 第一、四象限角
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，所以同號?br>在第一象限時(shí)，
在第四象限時(shí)，
所以是第一、四象限角，而二、三象限兩函數(shù)值異號.
故選：D.
7. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】確定函數(shù)的奇偶性，時(shí)函數(shù)值的正負(fù)以及函數(shù)圖像的變化趨勢可得答案.
【詳解】由題意可得：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
所以為奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，故可排除BC，
當(dāng)時(shí)，，，，
因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)比冪函數(shù)增長的速度要快，
所以當(dāng)，函數(shù)值趨近于零，所以排除.
故選：D.
8. 人們把最能引起美感的比例稱為黃金分割.黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為稱為黃金分割比.人們稱底與腰之比為黃金分割比的三角形為最美三角形，它是一個(gè)頂角為的等腰三角形，由此我們可得（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)黃金分割定義可得，再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】如圖，為最美三角形，，，
易知，取的中點(diǎn)為，如下圖所示：
則在中，易知，
所以.
故選：A
二、多項(xiàng)選擇題（本題共3題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分）
9. 已知函數(shù)為冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A. B. 為偶函數(shù)
C. 為單調(diào)遞增函數(shù)D. 的值域?yàn)?br>【答案】ABD
【解析】
【分析】由冪函數(shù)定義可得，然后可得奇偶性，單調(diào)性，值域.
【詳解】對于A，因?yàn)閮绾瘮?shù)，則，
故A正確；
對于B，由A，為偶函數(shù)，故B正確；
對于C，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則不為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對于D，注意到，則的值域?yàn)椋蔇正確.
故選：ABD
10. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意?shí)數(shù)，有且，當(dāng)時(shí)，．則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. B.
C. 為奇函數(shù)D. 為上的減函數(shù)
【答案】ACD
【解析】
【分析】代入特殊數(shù)值，即可判斷AB，令，以及奇函數(shù)的定義，即可判斷C，根據(jù)減函數(shù)的定義，即可判斷D.
【詳解】A.令，得，即，故A正確；
B.令，所以，故B錯(cuò)誤；
C.令，則，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；
D.設(shè)，，即，
即，
因，所以，則，所以，
即，所以為上的減函數(shù)，故D正確.
故選：ACD
11. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象，則下列判斷正確的是（ ）
A. 函數(shù)在上單調(diào)遞增B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C. 函數(shù)在上單調(diào)遞減D. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的變換關(guān)系確定函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一求解.
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,
可得，
對A，由，解得，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，A正確；
對B，，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；
對C，由，解得，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,而，所以C錯(cuò)誤；
對D，因?yàn)?，所以點(diǎn)在函數(shù)圖象上，D正確；
故選:ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. ______.
【答案】0
【解析】
【分析】運(yùn)用指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】.
故答案為：0.
13 若，則______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用冪指數(shù)運(yùn)算，及平方運(yùn)算和開方運(yùn)算，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以，即?br>兩邊平方得：，即，
而，所以，
則，
故答案為：.
14. 函數(shù)（A，，是常數(shù)，A＞0，）的部分圖象如圖所示，則的值為________.

【答案】##
【解析】
【分析】由最低點(diǎn)確定，由周期的四分之一確定即可.
【詳解】顯然，設(shè)函數(shù)的周期為，則，所以，
又，則.
故答案為：.
四、解答題（本題共5題，共77分，解答題應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 新華小學(xué)為豐富校園文化，展示少年風(fēng)采，舉辦了創(chuàng)意shw展演活動.該活動得到了眾多人士的關(guān)注與肯定，隨著活動的推進(jìn)，有越來越多的學(xué)生參與其中，已知前3周參與活動的學(xué)生人數(shù)如下表所示：
（1）現(xiàn)有三個(gè)模型：①，②且，③且.請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)哪Ｐ凸浪阒芎髤⑴c活動的學(xué)生人數(shù)（人），并求出你選擇模型的解析式；
（2）已知該?，F(xiàn)有學(xué)生878名.請你計(jì)算幾周后，全校將有超過一半的學(xué)生參與其中.（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）③，
（2）10周后，全校將有超過一半的學(xué)生參與其中
【解析】
【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知函數(shù)遞增且增長速度越來越快，故選擇模型③；代入表格中三個(gè)點(diǎn)即可構(gòu)造方程組求得未知數(shù)，進(jìn)而得到所求模型；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得不等式，結(jié)合題中數(shù)據(jù)分析求解即可.
【小問1詳解】
從表格數(shù)據(jù)可以得知，函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，故不可能是①，
且函數(shù)增長的速度越來越快，所以選擇③且
代入表格中的三個(gè)點(diǎn)可得：，解得：，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可知：，
令，
整理得，不等式兩邊取常用對數(shù)得，即.
因?yàn)?，所以?br>且，則，
所以10周后，全校將有超過一半的學(xué)生參與其中.
16. 已知．
（1）若角的終邊過點(diǎn)求；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)式，再由終邊上的點(diǎn)有，即可得答案；
（2）由題設(shè)有，應(yīng)用平方關(guān)系及齊次式化弦為切求值.
【小問1詳解】
，
若角終邊過點(diǎn)，則，所以；
【小問2詳解】
若，則，
所以．
17. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩角和余弦公式，輔助角公式化簡可得，根據(jù)最小正周期公式，代入即可得答案.
（2）由（1）可得，根據(jù)x的范圍，可得的范圍，令，即可求得答案.
【小問1詳解】
，
∴函數(shù)的最小正周期．
【小問2詳解】
由（1）知：．
當(dāng)．
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
令，得，
∴函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為（注：同樣給分）．
18. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.
（1）求函數(shù)解析式；
（2）畫出函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象討論方程的解的個(gè)數(shù)
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)，則，由此可求的解析式，結(jié)合奇偶性可求時(shí)的解析式，則解析式可知；
（2）根據(jù)的解析式作出圖象；再根據(jù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)分析方程的解的個(gè)數(shù).
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，所以，
又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
所以的解析式為.
【小問2詳解】
的圖象如下圖所示：
因?yàn)椤胺匠痰慕獾膫€(gè)數(shù)”“的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)”，
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出的圖象如下圖所示：
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，的圖象無交點(diǎn)，所以方程無解；
當(dāng)或時(shí)，的圖象有個(gè)交點(diǎn)，所以方程有個(gè)解；
當(dāng)時(shí)，的圖象有個(gè)交點(diǎn)，所以方程有個(gè)解；
當(dāng)時(shí)，的圖象有個(gè)交點(diǎn)，所以方程有個(gè)解；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)或時(shí)，方程有個(gè)解；
當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)解.
19. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).
（1）求、的值；
（2）判斷的單調(diào)性；
（3）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）減函數(shù)，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由，可求出實(shí)數(shù)、的值，然后驗(yàn)證函數(shù)為奇函數(shù)即可；
（2）判斷出函數(shù)為上的減函數(shù)，然后任取、，且，作差，變形后判斷的符號，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可得出結(jié)論；
（3）由奇函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性可得出，求出在上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，解得，
所以，，
因?yàn)?，?br>由奇函數(shù)的定義可得，可得，解得，
故，則，下面驗(yàn)證函數(shù)為奇函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>則，即函數(shù)為奇函數(shù)，
因此，滿足題意.
【小問2詳解】
函數(shù)為上的減函數(shù)，理由如下：
任取、，且，則，
所以，
，即，
故函數(shù)在上為減函數(shù).
【小問3詳解】
存在，使，
則，所以，，則，
由題意可得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
活動舉辦第周
1
2
3
參與活動學(xué)生人數(shù)（人）
43
55
71

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