考向：二項(xiàng)式定理主要考查二項(xiàng)式定理的概念，二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律和指數(shù)的變化規(guī)律以及多項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)及特殊項(xiàng)或系數(shù)
考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)，特殊項(xiàng)及特殊項(xiàng)系數(shù)
導(dǎo)師建議：想要掌握好二項(xiàng)式定理，務(wù)必先掌握好分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算和化簡！
二、知識點(diǎn)匯總
1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
(1)（，且）.
(2)（，且）.
2．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(1) . (2) .
(3).
3.二項(xiàng)式定理 ;
(1)這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理．
(2)展開式：等號右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有n＋1項(xiàng)．
(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)Ceq \\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．
4.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式
.
【常用結(jié)論】
求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng))．
三、題型專項(xiàng)訓(xùn)練
①求二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng)
一、單選題
1．在的展開式中，第四項(xiàng)為（ ）
A．160B．C．D．
【答案】D
【分析】直接根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求第四項(xiàng)即可.
【詳解】在的展開式中，
第四項(xiàng)為.故選：D.
2．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．24C．D．48
【答案】B
【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為求出，將的值代入通項(xiàng)求出展開式的常數(shù)項(xiàng)．
【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為故選：B
3．展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A．-160B．-140C．160D．140
【答案】A
【分析】先寫出展開式的通項(xiàng)，然后根據(jù)的指數(shù)部分為確定常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，代入通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng).
【詳解】展開式通項(xiàng)為，
令，所以，
所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：A.
②根據(jù)二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng)求值
4．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．160B．192C．184D．186
【答案】B
【分析】本題可根據(jù)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)求出結(jié)果.
【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，，項(xiàng)的系數(shù)為192.故選：B.
5．若的展開式中第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則n的值為（ ）
A．14B．16C．18D．20
【答案】C
【分析】寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令時(shí)的指數(shù)位置等于即可求解.
【詳解】展開式的通項(xiàng)為，
令可得為常數(shù)項(xiàng)，可得，可得，故選：C.
6．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為－160，則a＝（ ）
A．－1B．1C．±1D．2
【答案】B
【分析】寫出該二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于-160求得實(shí)數(shù)a的值.
【詳解】的展開式通項(xiàng)為，
∴令，解得，
∴的展開式的常數(shù)項(xiàng)為，
∴∴故選：B.
③二項(xiàng)式系數(shù)
7．若的展開式中的第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可構(gòu)造方程求得，由此可得展開式通項(xiàng)，令即可求得的系數(shù).
【詳解】展開式中的第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，，解得：，
展開式通項(xiàng)公式為：，
令，解得：，的系數(shù)為.故選：B.
8．在二項(xiàng)式的展開式中，含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（ ）
A．5B．C．10D．
【答案】A
【分析】由二項(xiàng)式定理可得展開式通項(xiàng)為，即可求含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).
【詳解】解：由題設(shè)，，
∴當(dāng)時(shí)，.∴含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).故選：A.
9．在二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（ ）
A．28B．56C．70D．112
【答案】A
【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令的冪指數(shù)等于1，求得的值，即可求得展開式中含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).
【詳解】∵二項(xiàng)式的展開式中，通項(xiàng)公式為，
令，求得，可得含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故選：A.
④求指定項(xiàng)系數(shù)
10．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A．－112B．112C．－28D．28
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，得到二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得，其通項(xiàng)公式為，
令，可得，所以含項(xiàng)的系數(shù)是故選:B
11．的展開式中，的系數(shù)是（ ）
A．10B．40C．60D．80
【答案】D
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，
令，解得，所以的系數(shù)是.故選：D
12．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．-160B．60C．240D．-192
【答案】B
【分析】由題意可得要得的展開式中常數(shù)，只需求出的展式中項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)定理求出出的展式中項(xiàng)即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)榈恼故綖?，
要得的展開式中常數(shù)，只需求出的展式中項(xiàng)即可.
所以令，解得，
所以的展式中項(xiàng)的系數(shù)為，
所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為60.故選：B.
⑤二項(xiàng)展開式各項(xiàng)的系數(shù)和
13．展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為（ ）
A．B．1C．256D．
【答案】B
【分析】利用賦值，令代入二項(xiàng)式中，即可求得答案.
【詳解】由題意可知的展開式的通項(xiàng)為，
由此可知令，即可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，故選：B
14．已知的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為81，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】賦值法求解展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，列出方程，求出.
【詳解】由題意，令得：，解得：．故選：B
15．若二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．10B．15C．25D．30
【答案】B
【分析】根據(jù)賦值法可得系數(shù)和，進(jìn)而求解，由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求解常數(shù)項(xiàng).
【詳解】令，則所有的項(xiàng)的系數(shù)和為，由于，所以，
展開式的通項(xiàng)為，故當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為,故選：B
⑥三項(xiàng)展開式的系數(shù)
16．展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．C．1D．481
【答案】C
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理直接求解即可.
【詳解】解：根據(jù)二項(xiàng)式定理，表示個(gè)相乘，
所以，展開式中常數(shù)項(xiàng)的情況有以下三種情況：
①個(gè)中全部選項(xiàng)展開；
②個(gè)中有1個(gè)選擇項(xiàng)，2個(gè)選擇項(xiàng)，3個(gè)選擇項(xiàng)展開；
③個(gè)中有2個(gè)選擇項(xiàng)，4個(gè)選擇項(xiàng)展開.
所以，其常數(shù)項(xiàng)為：.故選：C.
17．展開式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．1B．15C．60D．76
【答案】D
【分析】將三項(xiàng)式分成兩組，用二項(xiàng)式定理展開，再把其中含二項(xiàng)式的項(xiàng)展開，從而求解.
【詳解】由
，
其中含有常數(shù)項(xiàng)的有，，，
所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：.
18．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．120B．160C．180D．210
【答案】A
【分析】將看作5個(gè)因式相乘，根據(jù)的指數(shù)可認(rèn)為5個(gè)因式中有兩個(gè)選項(xiàng)，其余兩個(gè)選y,最后一個(gè)因式選1，進(jìn)行相乘，可得答案.
【詳解】由題意的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為 ,故選：A
19．展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．320C．D．240
【答案】A
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以通項(xiàng)公式為：，
令，所以，
設(shè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：，
令，所以，因此項(xiàng)的系數(shù)為：，故選：A.
⑦兩個(gè)二項(xiàng)式乘積展開式的系數(shù)
20．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．4B．6C．9D．12
【答案】C
【分析】將代數(shù)式變形為，然后根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式即得.
【詳解】，
又的通項(xiàng)公式為，
所以的展開式中的系數(shù)為.故選：.
21．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．－20B．30C．－10D．10
【答案】D
【分析】先將展開寫為,寫出的通項(xiàng),求出及的系數(shù),代入中即可.
【詳解】解:因?yàn)?br>的展開式的通項(xiàng)公式為,
令,得;令,得,
所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為:
.故選:D
22．在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．30
【答案】C
【分析】使用分配律后再由二項(xiàng)式定理的展開式的通項(xiàng)公式賦值計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，其中展開式的通項(xiàng)為，所以原式的展開式中含的項(xiàng)為.所以的系數(shù)為.故選：C.
⑧賦值法
23．若，則的值是（ ）
A．B．127C．128D．129
【答案】D
【分析】利用賦值法計(jì)算可得.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>令，可得，
令，可得，所以；故選：D
24．，則（ ）
A．1B．3C．0D．
【答案】C
【分析】根據(jù)展開式，利用賦值法取即得.
【詳解】因?yàn)椋?br>令，可得.故選：C.
25．若，則的值為（ ）
A．0B．32C．64D．128
【答案】A
【分析】先利用賦值法求得和的值，進(jìn)而求得的值.
【詳解】，時(shí)，
，時(shí)，
，故選：A.
二、多選題
26．在的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．常數(shù)項(xiàng)為160
B．第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大
C．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為
D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為
【答案】ACD
【分析】先求的通項(xiàng)公式可得選項(xiàng)A的正誤，利用的值可得選項(xiàng)B、C的正誤，所有項(xiàng)的系數(shù)和可以利用賦值法求解
【詳解】展開式的通項(xiàng)為，由，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，A正確；
二項(xiàng)式展開式中共有項(xiàng)，所以第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，B錯(cuò)誤；
由及二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)知，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，C正確；
令，得，所有項(xiàng)的系數(shù)和為，D正確；故選：ACD.
27．在的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．不存在常數(shù)項(xiàng)B．所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32
C．第3項(xiàng)和第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1
【答案】ABC
【分析】根據(jù)給定的二項(xiàng)式，寫出展開式判斷A；利用二項(xiàng)式性質(zhì)判斷BC；利用賦值法計(jì)算判斷D作答.
【詳解】
，因此在的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，A正確；
的展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為，B正確；
的展開式的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，并且最大，C正確；
當(dāng)時(shí)，的展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為，D錯(cuò)誤.故選：ABC
28．已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為
C．展開式中第項(xiàng)的系數(shù)為
D．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為
【答案】ABD
【分析】由展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為求出，即可判斷A，令即可得到展開式各項(xiàng)系數(shù)和，從而判斷B，利用展開式的通項(xiàng)判斷C、D.
【詳解】對于A，因?yàn)榈恼归_式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以，則，故A正確；
對于B，令，則，所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，故B正確；
對于C，因?yàn)榈恼归_式通項(xiàng)為，
令可得第4項(xiàng)的系數(shù)為，故C不正確；
對于D，在選項(xiàng)C中的通項(xiàng)公式中，
令，得，則，所以含項(xiàng)的系數(shù)為，故D正確.故選：ABD.
29．已知的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（ ）
A．
B．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為56
C．奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128
D．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為56
【答案】AC
【分析】利用二項(xiàng)式定理求得的展開通項(xiàng)公式，從而得到關(guān)于的方程，解出的值判斷AB，利用所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為判斷C，根據(jù)二項(xiàng)式定理判斷D.
【詳解】因?yàn)榈恼归_式通項(xiàng)為，
所以的展開式的第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，
所以，解得，A正確；的系數(shù)為，B錯(cuò)誤；
奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，C正確；
根據(jù)二項(xiàng)式定理，表示8個(gè)相乘，
所以中有1個(gè)選擇，1個(gè)選擇，6個(gè)選擇，
所以的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，D錯(cuò)誤；故選：AC
30．若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為32，則下列說法正確的是（ ）
A．B．展開式中的系數(shù)為15
C．展開式中的系數(shù)為5D．展開式中常數(shù)項(xiàng)為2
【答案】ACD
【分析】由題可得，可得，然后根據(jù)的展開式的通項(xiàng)公式結(jié)合條件即得.
【詳解】由題可得，
所以，故A正確；所以，
又的展開式的通項(xiàng)公式為，
所以的展開式中的系數(shù)為，故B錯(cuò)誤，C正確；
所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為，故D正確.故選：ACD.
31．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．展開式中常數(shù)項(xiàng)為160
C．展開式系數(shù)的絕對值的和1458D．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為240
【答案】ACD
【分析】對于A,先利用賦值法算出；對于B和D，求出展開式的通項(xiàng)公式，再由多項(xiàng)式乘法法則即可判斷；對于C，展開式系數(shù)的絕對值的和可看做是二項(xiàng)式展開式系數(shù)的和，然后用賦值法即可判斷
【詳解】解：對于A,令，所以的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，解得，故A正確；
對于B和D,展開式通項(xiàng)公式為,
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(舍去)，
所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(舍去)，
所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，
故B錯(cuò)誤，D正確；
對于C，二項(xiàng)式展開式系數(shù)的絕對值的和可看做是二項(xiàng)式展開式系數(shù)的和，
所以令，展開式系數(shù)的和為，故C正確；故選：ACD
32．若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用賦值法令求出判斷A，令，得到兩式，兩式相加、相減即可判斷BC，令判斷D．
【詳解】令時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
時(shí)，；
時(shí)，；
所以，，B正確；
，C錯(cuò)誤；
令，可得，
故，故D正確.故選：BD．
33．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】對AB，根據(jù)二項(xiàng)式公式求解對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)求解即可；對CD，利用賦值法分別求與和判斷即可.
【詳解】對A，為展開式中最高次項(xiàng)系數(shù)，只能由展開式的最高次項(xiàng)相乘，故為，即，故A正確；
對B，，故，故B錯(cuò)誤；
對C，令，則，即，令，則，即.
故，故C正確；
對D，令，則，結(jié)合C，，故...①
又...②，①+②可得，故，，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC
三、填空題
34．在二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_____________．
【答案】240
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，展開式中要出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)即需要消掉，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)拇畏綖?次方時(shí)即可為常數(shù)項(xiàng).
【詳解】常數(shù)項(xiàng)為：.故答案為：240.
35．在的展開式中，的系數(shù)是__________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令，求得r的值，即可求得答案.
【詳解】由題意可得的通項(xiàng)為，
令，則的系數(shù)是，故答案為：
36．若在的展開式中，第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則______________．
【答案】12
【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，再根據(jù)題意可得到，即可求得答案
【詳解】設(shè)展開式中第項(xiàng)為，則，
又展開式中第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，
∴時(shí)，，∴故答案為：12
37．若(a3＋4b2)n的展開式中有一項(xiàng)是ma12b8，則m，n的值分別是________．
【答案】17920，8
【分析】由題得解方程組即得解.
【詳解】解：令Tr＋1＝＝ma12b8(r＝0，1，2，…，n)，
則有解得所以m＝17920，n＝8．故答案為：17920，8.
38．若的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式中含的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】根據(jù)第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可求出的值，再利用展開式的通項(xiàng)公式可求出含的項(xiàng)，計(jì)算該項(xiàng)系數(shù)即可.
【詳解】由的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，
則，即，
則展開式的通項(xiàng)公式為，
令，則，.故答案為：.
39．已知的展開式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為__________．
【答案】
【分析】先利用展開式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同求得的值，然后寫出展開式中的通項(xiàng)賦值后求解即可.
【詳解】解：由已知可得，所以，
則二項(xiàng)式 的展開式的通項(xiàng)公式為
，
令，解得，
所以展開式中的系數(shù)為 ．故答案為：.
40．的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.
【答案】56
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解即可.
【詳解】，
令，解得，所以.
故的展開式中的系數(shù)為56.故答案為：56
41．展開式中的系數(shù)為_________（用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得到，得到答案.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，
取得到.故答案為：
42．的展開式中除常數(shù)項(xiàng)外的各項(xiàng)系數(shù)和為______．
【答案】－5231
【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，然后求出其常數(shù)項(xiàng)，再令求出展開式中各項(xiàng)系數(shù)和，從而可求出展開式中除常數(shù)項(xiàng)外的各項(xiàng)系數(shù)和.
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為．
令，得，則展開式的常數(shù)項(xiàng)是．
令，得展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，
所以展開式中除常數(shù)項(xiàng)外的各項(xiàng)系數(shù)和為．故答案為：－5231
43．在的展開式中，不含的各項(xiàng)系數(shù)之和為______.
【答案】
【分析】令可得各項(xiàng)系數(shù)之和為1，再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求含項(xiàng)的系數(shù)，即可得結(jié)果.
【詳解】令可得各項(xiàng)系數(shù)之和為，
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，
令，則，故含項(xiàng)的系數(shù)為，則不含的各項(xiàng)系數(shù)之和為.
故答案為：.
44．展開式中的系數(shù)為______.
【答案】
【分析】寫出展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.
【詳解】因?yàn)榈恼归_式通項(xiàng)為，
的展開式通項(xiàng)為，
所以，的展開式通項(xiàng)為，
令，可得，所以，或，
因此，故的系數(shù).故答案為：.
45．在的展開式中，的系數(shù)為__________.
【答案】
【分析】根據(jù)乘法分配律以及組合數(shù)的計(jì)算求得正確答案.
【詳解】解：依題意，的展開式中，
含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.故答案為：.
46．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為____________.
【答案】
【分析】先求展開式中項(xiàng)，然后乘以可得.
【詳解】展開式的通項(xiàng)為，
令或，得（舍去），，
所以展開式中含的項(xiàng)為.故答案為：
47．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為____________
【答案】
【分析】寫出展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)后即可得解.
【詳解】的展開式通項(xiàng)為，其中，
因?yàn)椋?br>在中，由，可得，
在中，得，
所以，展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.
48．若，則______.
【答案】
【分析】取特殊值得，，進(jìn)而可得答案.
【詳解】令，則；
令，則；故.故答案為：.
49．若，其中，，，，，為常數(shù)，那么______.
【答案】109
【分析】利用賦值法求和，利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式求，由此可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>令，得，整理得：，
令，得，，因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，
所以的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，
又的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，所以，，
將、代入即可求得.故答案為：109.
四、高考真題及模擬題精選
一、單選題
1．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）．
A．B．5C．D．10
【答案】C
【分析】首先寫出展開式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定的系數(shù)即可.
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：，
令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.
2．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）在的二項(xiàng)展開式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題可通過二項(xiàng)式系數(shù)的定義得出結(jié)果.
【詳解】第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故選：A.
3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）的展開式中x3y3的系數(shù)為（ ）
A．5B．10
C．15D．20
【答案】C
【分析】求得展開式的通項(xiàng)公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解.
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為（且）
所以的各項(xiàng)與展開式的通項(xiàng)的乘積可表示為：
和
在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，
在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為
所以的系數(shù)為。故選：C
4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若，則（ ）
A．40B．41C．D．
【答案】B
【分析】利用賦值法可求的值.
【詳解】令，則，令，則，
故，故選：B.
二、填空題
5．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是_________．
【答案】10
【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，整理后令的指數(shù)為2，即可求出．
【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，令，解得．所以的系數(shù)為．故答案為：．
6．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是__________．
【答案】160
【分析】求出二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為6即可求出.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，
令，解得，所以的系數(shù)是.故答案為：160.
7．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是__________（用數(shù)字作答）．
【答案】
【分析】寫出二項(xiàng)式展開通項(xiàng)，即可求得常數(shù)項(xiàng).
【詳解】其二項(xiàng)式展開通項(xiàng)：
當(dāng)，解得
的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：.故答案為：.
8．（2020·貴州遵義·校聯(lián)考模擬預(yù)測）多項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)為__________.（用數(shù)字作答）
【答案】6
【解析】首先化簡多項(xiàng)式，再根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng).
【詳解】，通項(xiàng)公式，
當(dāng)時(shí)，，.故答案為：6
9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）的展開式中的系數(shù)為________________（用數(shù)字作答）．
【答案】-28
【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以的展開式中含的項(xiàng)為，
的展開式中的系數(shù)為-28。故答案為：-28
10．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知多項(xiàng)式，則__________，___________．
【答案】
【分析】第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．
【詳解】含的項(xiàng)為：，故；
令，即，令，即，∴，
故答案為：；．
五、題型精練，鞏固基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2022·高二單元測試）的展開式的第3項(xiàng)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式求第3項(xiàng)即可.
【詳解】由題設(shè)，展開式通項(xiàng)為，∴第3項(xiàng)為.故選：A.
2．（2022春·廣東江門·高二新會陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中）的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．60B．240C．60D．240
【答案】C
【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，然后令的次數(shù)為，求出的值，從而可求出含項(xiàng)的系數(shù)
【詳解】二項(xiàng)式的展開式，
當(dāng)r=4，此時(shí)，可得展開式中項(xiàng)的系數(shù)為60，故選：C.
3．（2022春·天津河西·高二天津市第四十二中學(xué)?？计谥校┮阎恼归_式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為512，則這個(gè)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．－34B．－672C．84D．672
【答案】B
【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)公式求得，再根據(jù)通項(xiàng)公式令指數(shù)為0解出參數(shù)然后代回公式求得常數(shù)項(xiàng).
【詳解】由已知，，則，所以.
令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：B．
4．（2007·重慶·高考真題）若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．10B．20C．30D．120
【答案】B
【分析】首先利用求出，然后再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可得，解得，
則展開式的通項(xiàng)為，令，得，
所以常數(shù)項(xiàng)為：.故選：B.
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．42B．56C．62D．66
【答案】B
【分析】本題主要考查二項(xiàng)式定理，先將看成整體和進(jìn)行展開，然后再將分析哪些項(xiàng)含有，進(jìn)而得到的系數(shù).
【詳解】，故的系數(shù)為.故選B.
一題多解
可以看成4個(gè)相乘，展開式中可以在1個(gè)里選擇，在1個(gè)里選擇，在剩下的因式中選擇2，此時(shí)的系數(shù)為，也可以在3個(gè)中各選1個(gè)，剩下的因式中選擇2，此時(shí)的系數(shù)為，綜上所述，展開式中的系數(shù)為.故選B.
6．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則等于（ ）
A．80B．C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)?，所以二?xiàng)展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為
，故選：D.
7．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用賦值法表達(dá)出，列出方程，求出或，從而判斷出是什么條件.
【詳解】由題意，令，得，令，得，所以，由，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.
8．（2019·全國·統(tǒng)考高考真題）（1+2x2 ）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為
A．12B．16C．20D．24
【答案】A
【分析】本題利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù)．
【詳解】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．
9．（2021春·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谥校┰诘恼归_式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，則含的項(xiàng)系數(shù)為（ ）
A．45B．-45C．120D．-120
【答案】A
【分析】先由只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求出n=10；再由展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，用賦值法求出a= -1,用通項(xiàng)公式求出的項(xiàng)的系數(shù).
【詳解】∵在的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
∴在的展開式有11項(xiàng)，即n=10；
而展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，
令x=1，代入，即，所以a= -1.
∴是展開式的通項(xiàng)公式為：，
要求含的項(xiàng)，只需10-2r=6，解得r=2，所以系數(shù)為.故選：A
10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）的展開式中，的系數(shù)為（ ）．
A．12B．20C．15D．6
【答案】B
【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)為.
要求的展開式中含的項(xiàng)，只需令，故的系數(shù)為.故選：B．
11．（2022秋·北京·高三北京八十中?？计谀┤?，則（ ）
A．5B．C．3D．
【答案】B
【分析】由二項(xiàng)式定理展開左邊的多項(xiàng)式后可得．
【詳解】，則．故選：B.
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則（ ）
A．20B．C．15D．
【答案】B
【分析】先將寫成，然后根據(jù)展開式的通項(xiàng)求解出項(xiàng)的系數(shù)即為.
【詳解】因?yàn)?，所以展開式的通項(xiàng)為，
令，則，所以，故選：B.
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）的展開式中的系數(shù)是（ ）
A．60B．80C．84D．120
【答案】D
【解析】的展開式中的系數(shù)是，借助組合公式：，逐一計(jì)算即可.
【詳解】的展開式中的系數(shù)是
因?yàn)榍?，所以?br>所以，
以此類推，.故選：D.
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于使用組合公式：，以達(dá)到簡化運(yùn)算的作用.
14．（2022秋·北京·高三北京八中?？茧A段練習(xí)）設(shè)若，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件先求解出的值，然后根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和求解出的值，從而確定出二項(xiàng)式系數(shù)的最大值及其對應(yīng)的項(xiàng).
【詳解】由題可知，，
當(dāng)時(shí)，，
的展開式中，通項(xiàng)為：，
則常數(shù)項(xiàng)對應(yīng)的系數(shù)為：，即，得，
所以，解得：，
則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為：，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為：故選：C．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于的值的求解以及二項(xiàng)式系數(shù)最大值的確定；注意：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.
二、多選題
15．（2022春·廣東潮州·高二?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式(2x－1)7的展開式的各項(xiàng)中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（ ）
A．第2項(xiàng)B．第3項(xiàng)
C．第4項(xiàng)D．第5項(xiàng)
【答案】CD
【分析】若為偶數(shù)，則展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；若為奇數(shù)，則展開式中間兩項(xiàng)與的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，且最大.
【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式(2x－1)7展開式一共8項(xiàng)，其中中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
易知當(dāng)r＝3或r＝4時(shí)，最大，即二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第4項(xiàng)和第5項(xiàng).故選：CD
16．（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎恼归_式中共有7項(xiàng)，則（ ）
A．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64
B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1
C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)
D．有理項(xiàng)共4項(xiàng)
【答案】ACD
【分析】由題意可得，對于A，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，對于B，令可求出所有項(xiàng)的系數(shù)和，對于C，由二項(xiàng)式展開式的系數(shù)特征求解即可，對于D，求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，可求出所有的有理項(xiàng)
【詳解】因?yàn)榈恼归_式中共有7項(xiàng)，
所以，
對于A，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以A正確，
對于B，令，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為，所以B錯(cuò)誤，
對于C，由于二項(xiàng)式的展開項(xiàng)共有7項(xiàng)，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，所以C正確，
對于D，的展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，展開式的項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)有4項(xiàng)，所以D正確，故選：ACD
17．（2021春·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中校考期末）已知，則下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】原式可化為，則其展開式的通項(xiàng)公式為，然后利用賦值法求解即可
【詳解】解：由，得
，則
其展開式的通項(xiàng)公式為，
對于A，令，則，所以A錯(cuò)誤，
對于B，令，則，所以B正確；
對于C，在中令，則，所以C錯(cuò)誤；
對于D，，所以D正確，故選：BD
18．（2022春·福建廈門·高二福建省廈門集美中學(xué)?？计谥校┤?，，則（ ）
A．B．
C． D．
【答案】AC
【分析】令、可得答案.
【詳解】因?yàn)?br>所以令可得： 令可得故選：AC
19．（2021·全國·高二專題練習(xí)）下列四個(gè)命題中，真命題為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.
【詳解】對于A，，A錯(cuò)誤；
對于B，由組合數(shù)的性質(zhì)知：，B正確；
對于C，，C正確；
對于D，，D錯(cuò)誤.故選：BC．
20．（2023秋·遼寧葫蘆島·高二葫蘆島第一高級中學(xué)?？计谀╆P(guān)于及其展開式，下列說法正確的是（ ）
A．該二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和是B．該二項(xiàng)展開式中第七項(xiàng)為
C．該二項(xiàng)展開式中不含有理項(xiàng)D．當(dāng)時(shí)，除以100的余數(shù)是1
【答案】BD
【解析】求出二項(xiàng)式系數(shù)和判斷A；求出二項(xiàng)展開式中第七項(xiàng)判斷B；根據(jù)最后一項(xiàng)是有理項(xiàng)判斷C；利用二項(xiàng)展開式的應(yīng)用和整除問題的應(yīng)用判斷D．
【詳解】對于A，該二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和是，故錯(cuò)誤；
對于B，由于，即該二項(xiàng)展開式中第七項(xiàng)為，故正確．
對于C，該二項(xiàng)展開式中，最后一項(xiàng)為，是有理項(xiàng)，故錯(cuò)誤．
對于D，當(dāng)時(shí)，，除了最后一項(xiàng)（最后一項(xiàng)等于1），前面的所有項(xiàng)都能被100整除，即當(dāng)時(shí)，除以100的余數(shù)是1，故正確．
故選：BD.
三、填空題
21．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中期中）的展開式中系數(shù)最小項(xiàng)為第______項(xiàng)．
【答案】6
【分析】由二項(xiàng)展開式可得出系數(shù)最小的項(xiàng)系數(shù)一定為負(fù)，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可判斷出系數(shù)最小的項(xiàng)
【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，其中系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)只有符號差異，
又第5項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，則第6項(xiàng)系數(shù)最小.故答案為：.
22．（2023秋·山東德州·高二德州市第一中學(xué)?？计谀┑恼归_式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是___________.
【答案】
【分析】利用二項(xiàng)式定理的展開式二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】解：因?yàn)榈恼归_式有項(xiàng)，
所以第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
所以的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.
所以，的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是.故答案為：
23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則含項(xiàng)的系數(shù)為______（用數(shù)字表示）．
【答案】
【分析】首先根據(jù)二項(xiàng)式定理及題中條件第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即可求出的值；再次利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可求出項(xiàng)的系數(shù).
【詳解】，
因?yàn)檎归_式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以時(shí)，，解得.
令，得，所以.所以項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.
24．（2023·全國·高二專題練習(xí)）的展開式中有理項(xiàng)共有______項(xiàng)．
【答案】2
【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求得.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)為
，
要求有理項(xiàng)，只需使，所以或．
所以的展開式中有理項(xiàng)共有2項(xiàng)．故答案為：2
25．（2022秋·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）．
【答案】-4480
【分析】，把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)式定理求解.
【詳解】解：，
其展開式的通項(xiàng)為，令，則，
的通項(xiàng)為，令的系數(shù)為.
所以的展開式中的系數(shù)是.故答案為：-4480
26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的展開式的常數(shù)項(xiàng)為_______．
【答案】
【分析】把按照二項(xiàng)式定理展開，可得的展開式的常數(shù)項(xiàng)．
【詳解】由于，
故展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：．
27．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，若，則自然數(shù)n＝______.
【答案】5
【分析】利用賦值的方法分別讓，，得到兩個(gè)等式，再結(jié)合題目中的條件即可求出.
【詳解】令，得，
令，得，所以，.故答案為：5.
28．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若，則______.
【答案】－243
【分析】由題意，令和，兩式相加減求得和，代入即可求解.
【詳解】由，
令，可得，
令，可得，
兩式相加，可得，可得，
兩式相減，可得，可得，
所以故答案為：.

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