一、單選題
1．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，點是拋物線上的一個動點，且滿足，則點的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．或D．或
2．如圖，在中，，動點M、N分別從A、C兩點同時出發(fā)，點M從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長的速度移動，點N從點C開始沿CB向點B以每秒2個單位長的速度移動．設(shè)運動的時間為t，點M、C之間的距離為y，的面積為S，則y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（ ）
A．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系B．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系
C．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系
3．如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+m+1的圖象交x軸于點A（a，0）和B（b，0），交y軸于點C，圖象的頂點為D．下列四個命題：
①當(dāng)x＞0時，y＞0；
②若a＝﹣1，則b＝4；
③點C關(guān)于圖象對稱軸的對稱點為E，點M為x軸上的一個動點，當(dāng)m＝2時，△MCE周長的最小值為2；
④圖象上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2，
其中真命題的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
4．已知點是二次函數(shù)（a≠0）的圖象上一個定點，而（m，n）是二次函數(shù)圖象上動點，若對任意的實數(shù)m，都有，則（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、C兩點，與x軸交于點，若P是x軸上一動點，點D的坐標(biāo)為，連接PD，則的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
6．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點A，O，過線段AO上一動點E作直線EF⊥軸交拋物線于點F，則線段EF的最大值為( )
A．B．C．D．
7．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C.點P是直線AC上方的拋物線上一動點，若點P使△ACP的面積最大，則點P的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，1）D．（，3）
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，點Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
10．已知二次函數(shù)與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．下列說法正確的是（ ）
①線段的長度為；②拋物線的對稱軸為直線；③P是此拋物線的對稱軸上的一個動點，當(dāng)P點坐標(biāo)為時，的值最大；④若M是x軸上的一個動點，N是此拋物線上的一個動點，如果以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，滿足條件的M點有4個．
A．①②B．①②③C．①②④D．③④
二、填空題
11．一動點在二次函數(shù)的圖像上自由滑動，若以點為圓心，1為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切，則點的坐標(biāo)為______．
12．“一切為了U”是常山在趕考共同富裕道路上，最新確定的城市品牌．已知線段，對于坐標(biāo)平面內(nèi)的一個動點P，如果滿足，則稱點P為線段的“U點”，如圖，二次函數(shù)與x軸交于點A和點B．（1）線段的長度為__________；（2）若線段的“U”點落在y軸的正半軸上，則該“U點”的坐標(biāo)為_________．
13．如圖，二次函數(shù)與x軸交于AB兩點（點A在點B左邊），與y軸交于C點，若點D坐標(biāo)為（0，2），以D點為圓心，R為半徑作圓，P為⊙D上一動點，當(dāng)△APC面積最小為5時，則R＝______．
14．如圖，設(shè)定點A（1，﹣），點P是二次函數(shù)圖象上的動點，將點P繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到一個新的點P′.已知點B（2，0）、C（3，0）.
(1)若點P為（-5，），求旋轉(zhuǎn)后得到的點P′的坐標(biāo)為 ________ ．
(2)求△BCP′的面積最小值為_________ ．
三、解答題
15．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) 與直線 交于 、 兩點，其中點 的坐標(biāo)為 ，拋物線的頂點 在 軸上．
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)點 為線段 上的一個動點（點 不與 、兩點重合），過點
作 軸交拋物線于點 ，設(shè)線段 的長為 ，點 的橫坐標(biāo)為 ，當(dāng) 取何值時， 有最大值？最大值是多少？
(3)點 為直線 與對稱軸 的交點，在線段 上是否存在一點 ，使得四邊形 是平行四邊形？若存在，請求出此時點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點，其中A點坐標(biāo)為，B點坐標(biāo)為，連接、．動點P從點A出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接，設(shè)運動時間為t秒．
(1)求二次函數(shù)的解析式．
(2)在P、Q運動的過程中，當(dāng)t為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？
(3)在線段上方的拋物線上是否存在點M，使是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C兩點，且與x軸的負(fù)半軸交于點A，動點D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上．
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)連接DC，DB，設(shè)的面積為S，求S的最大值．
18．二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，頂點為．
(1)求這個二次函數(shù)的表達式：
(2)如圖①，是該二次函數(shù)圖象的對稱軸上一個動點，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€恰好經(jīng)過點時，求點的坐標(biāo)；
(3)如圖②，是該二次函數(shù)圖象上的一個動點，連接，取中點，連接，，，當(dāng)?shù)拿娣e為時，求點的坐標(biāo)．
19．二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，頂點為E．
(1)求這個二次函數(shù)的表達式，并寫出點的坐標(biāo)；
(2)如圖，點是圖象對稱軸右側(cè)拋物線上的一個動點，連接，取中點，連接，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．
20．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（1，0）、B（，0），與y軸的正半軸交于點C．
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)點D是線段OB上一動點，過點D作y軸的平行線，與BC交于點E，與拋物線交于點F，連接CF，探究是否存在點D使得△CEF為直角三角形？若存在，求點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
(3)若點P在二次函數(shù)圖象上，是否存在以P為圓心，為半徑的圓與直線BC相切，若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
21．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標(biāo)為(3，0)，頂點C的坐標(biāo)為(1，4)．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當(dāng)點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；
(3)在拋物線上是否存在點Q，且點Q在第一象限，使△BDQ中BD邊上的高為？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
22．如圖1，已知二次函數(shù)的圖象的頂點為，且經(jīng)過點．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)過點A的直線與二次函數(shù)圖象的另一交點為B，與y軸交于點C，若的面積是的兩倍，求直線AB的解析式；
(3)如圖2，已知，是x軸上一動點（E，O不重合），過E的兩條直線，與二次函數(shù)均只有一個交點，且直線，與y軸分別交于點M、N．對于任意的點E，在y軸上（點M、N上方）是否存在一點，使恒成立．若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
23．如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，且點B與點C的坐標(biāo)分別為，，點M是拋物線的頂點．
(1)求二次函數(shù)的關(guān)系式；
(2)點P為線段MB上一個動點，過點P作軸于點D．若，的面積為S，試判斷S有最大值或最小值？并說明理由；
(3)在MB上是否存在點P，使為直角三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
24．如圖，若二次函數(shù)的圖象與軸交于點、，與軸交于點，連接．
(1)求該二次函數(shù)的解析式；
(2)若點Q是拋物線上一動點，在平面內(nèi)是否存在點K，使以點B、C、Q、K為頂點，BC為邊的四邊形是矩形？若存在請求出點K的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
25．如圖，已知拋物線經(jīng)過點，，三點，點是直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后與軸的交點，點是線段上的一個動點，設(shè)點的坐標(biāo)為，過點作軸的垂線交拋物線于點，交直線于點．
(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式；
(2)在點運動過程中，若存在以為直徑的圓恰好與軸相切，求的值；
(3)連接，將繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)后，得到，點、、的對應(yīng)點分別是點、、，是否存在點使得旋轉(zhuǎn)后得到的的兩個頂點恰好落在拋物線上，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，與軸交于，點在原點的左側(cè)，點的坐標(biāo)為．點是拋物線上一個動點，且在直線的上方．
(1)求這個二次函數(shù)及直線的表達式．
(2)過點做軸交直線于點，求的最大值．
(3)點為拋物線對稱軸上的點，問在拋物線上是否存在點，使為等腰直角三角形，且為直角，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
27．次函數(shù)的圖象交x軸于點A（－1，0），B（4，0），兩點，交y軸于點C，動點M從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿AB方向運動，過點M作MN⊥x軸交直線BC于點N，交拋物線于點D，連接AC，設(shè)運動的時間為t秒．
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)連接BD，當(dāng)時，求△DNB的面積；
(3)在直線MN上存在一點P，當(dāng)△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時，求此時點P的坐標(biāo)．
28．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)三點，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是線段AB上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為(m，0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．
(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式；
(2)在點P運動過程中，是否存在點Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)連接AC，將△AOC繞平面內(nèi)某點H順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，點A、O、C的對應(yīng)點分別是點、、、若的兩個頂點恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點為“和諧點”，請直接寫出“和諧點”的個數(shù)和點的橫坐標(biāo)．
29．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖像和x軸交于點A（﹣3，0）、B（1，0），與y軸交于點C、D（0，﹣1）．
(1)求二次函數(shù)解析式；
(2)在線段AC上方的拋物線上有一動點P，直線PC與直線BD交于點Q，當(dāng)△PAQ面積最大時，求點P的坐標(biāo)及△PAQ面積的最大值；
(3)在（2）條件下，將拋物線y＝ax2+bx+3沿射線AC平移2個單位長度，得到新二次函數(shù)y′＝ax2+bx+c，點R在新拋物線對稱軸上，在直線y＝﹣x上有一點S，使得以點P，D，R，S為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點R的坐標(biāo)，并寫出求解點R的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．
專題28 二次函數(shù)圖象中由動點引起的分類討論問題
【題型演練】
一、單選題
1．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，點是拋物線上的一個動點，且滿足，則點的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線的解析式，即可確定點A的坐標(biāo)，由于OA是定長，根據(jù)△AOP的面積即可確定P點縱坐標(biāo)的絕對值，將其代入拋物線的解析式中，即可求得P點的坐標(biāo)．
【詳解】解：拋物線的解析式中，令y＝0，得：?x2?2x＝0，解得x＝0，x＝?2；
∴A（?2，0），OA＝2；
∵S△AOP＝OA?|yP|＝3，∴|yP|＝3；
當(dāng)P點縱坐標(biāo)為3時，?x2?2x＝3，x2＋2x＋3＝0，△＝4?12＜0，方程無解，此種情況不成立；
當(dāng)P點縱坐標(biāo)為?3時，?x2?2x＝?3，x2＋2x?3＝0，
解得x＝1，x＝?3；
∴P（1，?3）或（?3，?3）；
故選：C．
【點睛】能夠根據(jù)三角形面積來確定P點的坐標(biāo)，是解答此題的關(guān)鍵．
2．如圖，在中，，動點M、N分別從A、C兩點同時出發(fā)，點M從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長的速度移動，點N從點C開始沿CB向點B以每秒2個單位長的速度移動．設(shè)運動的時間為t，點M、C之間的距離為y，的面積為S，則y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（ ）
A．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系B．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系
C．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系
【答案】D
【分析】求出y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的類型進行判斷即可．
【詳解】解：由題意得，AM＝t，CN＝2t，
∴MC＝AC?AM＝5?t，
即y＝5?t，
∴S＝MC?CN＝5t?t2，
因此y是t的一次函數(shù)，S是t的二次函數(shù)，
故選：D．
【點睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)，理解一次函數(shù)、二次函數(shù)的意義是正確解答的前提，求出y與t，S與t的函數(shù)關(guān)系式是正確判斷的關(guān)鍵．
3．如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+m+1的圖象交x軸于點A（a，0）和B（b，0），交y軸于點C，圖象的頂點為D．下列四個命題：
①當(dāng)x＞0時，y＞0；
②若a＝﹣1，則b＝4；
③點C關(guān)于圖象對稱軸的對稱點為E，點M為x軸上的一個動點，當(dāng)m＝2時，△MCE周長的最小值為2；
④圖象上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2，
其中真命題的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】A
【分析】①錯誤，由圖象可知當(dāng)a＜x＜b時，y＞0；②錯誤，當(dāng)時，；③錯誤，△MCE的周長的最小值為22；④正確，函數(shù)圖象在x＞1時，y隨x增大而減小，則y2＜y1．
【詳解】解：①當(dāng)a＜x＜b時，二次函數(shù)圖象在軸上方，則y＞0，故①錯誤；
②1，
∴當(dāng)a＝﹣1時，b＝3，故②錯誤；
③這是將軍飲馬問題，作E關(guān)于x軸的對稱點，連接、，如圖所示：
當(dāng)m＝2時，C（0，3），E（2，3），
與E關(guān)于x軸對稱，
∴（2，﹣3），
∴△MCE的周長的最小值就是三點共線時取到為＝2，
∴△MCE的周長的最小值為22，故③錯誤；
④設(shè)x1關(guān)于對稱軸的對稱點 ，
∴＝2﹣x1，
∵x1+x2＞2，
∴x2＞﹣x1+2，
∴x2＞，
∵x1＜1＜x2，
∴x1＜1＜＜x2，
∵函數(shù)圖象在x＞1時，y隨x增大而減小，
∴y2＜y1，則④正確；
故選：A．
【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、最小值問題、增減性問題等知識，解題的關(guān)鍵是靈活掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，第四個結(jié)論的判斷關(guān)鍵是利用對稱點性質(zhì)解決問題，所以中考壓軸題．
4．已知點是二次函數(shù)（a≠0）的圖象上一個定點，而（m，n）是二次函數(shù)圖象上動點，若對任意的實數(shù)m，都有，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】對任的實數(shù)m，有，即當(dāng)時，對任的實數(shù)m，；當(dāng)時，對任的實數(shù)m，；綜上可知為二次函數(shù)的頂點，再根據(jù)頂點的橫坐標(biāo)與對稱軸的值相等，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵對任的實數(shù)m，有，
∴當(dāng)時，對任的實數(shù)m，；
當(dāng)時，對任的實數(shù)m，；
∴綜上：為二次函數(shù)的頂點，
故，
故．
故選：D．
【點睛】此主考二次數(shù)的性質(zhì)和圖像，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)，并據(jù)此判斷出為二次函數(shù)的頂點．
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、C兩點，與x軸交于點，若P是x軸上一動點，點D的坐標(biāo)為，連接PD，則的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【分析】過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H，根據(jù)，求出的最小值即可解決問題．
【詳解】解：連接BC，過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．
∵二次函數(shù)的圖像與x軸交于點，
∴b＝2，
∴二次函數(shù)的解析式為，令y＝0，-x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，y=3，
∴B（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，-1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
設(shè)，則,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值為，
∴的最小值為4．
故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點A，O，過線段AO上一動點E作直線EF⊥軸交拋物線于點F，則線段EF的最大值為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先聯(lián)立二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式得出點A的坐標(biāo)，再設(shè)點的坐標(biāo)為，由二次函數(shù)的解析式可得點F的坐標(biāo)為，從而可得EF的值和m的取值范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】由二次函數(shù)的圖象可知，
聯(lián)立，解得或
則點A的坐標(biāo)為
設(shè)點的坐標(biāo)為，則，點F的坐標(biāo)為
此二次函數(shù)的增減性為：當(dāng)時，EF隨m的增大而增大；當(dāng)，EF隨m的增大而減小
則當(dāng)時，EF取得最大值，最大值為
故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（增減性）等知識點，依據(jù)題意求出EF的表達式和m的取值范圍是解題關(guān)鍵．
7．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C.點P是直線AC上方的拋物線上一動點，若點P使△ACP的面積最大，則點P的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，1）D．（，3）
【答案】A
【分析】利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)和直線AC的解析式，過點P作PGy軸交AC于點G，設(shè)P（t，），則G（t，t＋2），求出PG＝，可得，進而可得當(dāng)t＝時，有最大值，問題得解．
【詳解】解：將點A（?3，0），B（1，0）代入中，得，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為，
令x＝0，則，
∴C（0，2），
設(shè)直線AC的解析式為y＝mx＋n，
代入A（?3，0），C（0，2）得，
解得，
∴直線AC的解析式為y＝x＋2，
過點P作PGy軸交AC于點G，
設(shè)P（t，），則G（t，t＋2），
∴PG＝，
∴，
∴當(dāng)t＝時，有最大值，此時P（，），
故選：A．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，求出函數(shù)解析式，表示出PG的長是解答本題的關(guān)鍵．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
【答案】A
【分析】過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．根據(jù)，求出的最小值即可解決問題．
【詳解】解：過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．
∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（0，-3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
設(shè)，則,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值為，
∴的最小值為4．
故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，點Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】連接，過點P作PD⊥BC于D，過點Q作QH⊥BC于H．根據(jù)，可得的最小值為的長，即可解決問題．
【詳解】如圖，連接，過點P作PD⊥BC于D，過點Q作QH⊥BC于H．
由，令，則，
解得，
，
令，解得，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)為與軸交點時最小，最小值為的長，
Q（0，2）,，
，
設(shè)，則,
∵，
∴，
∴，
∴，
則的最小值是．
故選D．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
10．已知二次函數(shù)與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．下列說法正確的是（ ）
①線段的長度為；②拋物線的對稱軸為直線；③P是此拋物線的對稱軸上的一個動點，當(dāng)P點坐標(biāo)為時，的值最大；④若M是x軸上的一個動點，N是此拋物線上的一個動點，如果以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，滿足條件的M點有4個．
A．①②B．①②③C．①②④D．③④
【答案】C
【分析】①求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點A，C的坐標(biāo)，利用兩點間距離求出AC；②根據(jù)拋物線對稱軸的求法即可求出對稱軸；③延長AC，與直線交于點P，求出AC的表達式，可得點P坐標(biāo)；④結(jié)合圖像畫出符合條件的平行四邊形，從而判斷點P的個數(shù)．
【詳解】解：在中，
令x=0，則y=2，
令y=0，則，
解得x=或2，
∴A（，0），C（0，2），
∴AC=，①正確；
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，②正確；
延長AC，與對稱軸交于點P，此時的值最大，
∵A（，0），C（0，2），設(shè)直線AC的表達式為：y=mx+n，
則，解得：，
∴直線AC的表達式為y=4x+2，
令，則y=5，
∴當(dāng)點P的坐標(biāo)為（，5）時，的值最大，③錯誤；
如圖，若以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，
當(dāng)AC為邊時，有ACM1N1，ACM2N2，ACM3N3，共3個平行四邊形，
當(dāng)AC為對角線時，有AMCN1，共1個平行四邊形，
∴符合條件的點M有4個，④正確，
故選C．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，最短路徑問題，知識點較多，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是從圖像出發(fā)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．
二、填空題
11．一動點在二次函數(shù)的圖像上自由滑動，若以點為圓心，1為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切，則點的坐標(biāo)為______．
【答案】或或
【分析】根據(jù)題意可分兩種情況討論：①當(dāng)與x軸相切時，則點P的縱坐標(biāo)為1，則得一元二次方程，解方程即可；②當(dāng)與y軸相切時，點P的橫坐標(biāo)為1或-1，則可得點P的坐標(biāo)，綜上即可求解．
【詳解】解：如圖所示：
則可分兩種情況：
①當(dāng)與x軸相切時，則點P的縱坐標(biāo)為1，令，
解得，，
此時點P的坐標(biāo)為：或，
②當(dāng)與y軸相切時，點P的橫坐標(biāo)為1或-1，則此時點P的坐標(biāo)為：或，
綜上所述：點P的坐標(biāo)為：或或，
故答案為：或或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)和圓的切線的應(yīng)用，掌握切線的性質(zhì)，巧妙運用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
12．“一切為了U”是常山在趕考共同富裕道路上，最新確定的城市品牌．已知線段，對于坐標(biāo)平面內(nèi)的一個動點P，如果滿足，則稱點P為線段的“U點”，如圖，二次函數(shù)與x軸交于點A和點B．（1）線段的長度為__________；（2）若線段的“U”點落在y軸的正半軸上，則該“U點”的坐標(biāo)為_________．
【答案】 ； 或
【分析】令，得到，求得兩點坐標(biāo)，即可求得的長度，以為邊，向上作等邊三角形，再以為圓心，以為半徑畫弧，交軸于點，求得點坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)求解即可．
【詳解】解：令，得到
解得，，即，
∴，
以為邊，向上作等邊三角形，再以為圓心，以為半徑畫弧，交軸于點，如下圖：
設(shè)原點為，由圓周角定理可知，，
由題意可得：
作OD⊥AB，則，，
，，
設(shè)，則，
化簡可得，
解得，
即，，
故答案為：；或，
【點睛】此題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)的軸的交點問題，圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活利用相關(guān)性質(zhì)進行求解．
13．如圖，二次函數(shù)與x軸交于AB兩點（點A在點B左邊），與y軸交于C點，若點D坐標(biāo)為（0，2），以D點為圓心，R為半徑作圓，P為⊙D上一動點，當(dāng)△APC面積最小為5時，則R＝______．
【答案】
【分析】如圖，作所在直線，垂足為點H．AC為定值，因此當(dāng)PH取最小值時，△APC面積取最小值，連接PD，可知當(dāng)P，H，D共線時，△APC面積最小，根據(jù)△APC面積最小為5求出PH，利用求出DH，則．
【詳解】解：如圖，作所在直線，垂足為點H．AC為定值，因此當(dāng)PH取最小值時，△APC面積取最小值，連接PD，可知當(dāng)P，H，D共線時，△APC面積最?。?br>∵二次函數(shù)與x軸交于AB兩點（點A在點B左邊），
∴令，得，
解得或，
∴，．
令，得，
∴，
∴，，
∴．
∵△APC面積最小為5，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
即，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，勾股定理，三角形的面積，圓的基本知識，解直角三角形等，解題的關(guān)鍵確定△APC面積最小時點P的位置．
14．如圖，設(shè)定點A（1，﹣），點P是二次函數(shù)圖象上的動點，將點P繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到一個新的點P′.已知點B（2，0）、C（3，0）.
(1)若點P為（-5，），求旋轉(zhuǎn)后得到的點P′的坐標(biāo)為 ________ ．
(2)求△BCP′的面積最小值為_________ ．
【答案】
【分析】（1）由函數(shù)關(guān)系式求出點P坐標(biāo)，過點P作PD//x軸，過點B作BD⊥PD于點D，求出，故可知在BD的延長線上，且,故可得結(jié)論；
（2）連接AB，AC，將B，C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得B′，C′，作AH⊥x軸于點H，證明△C′AO≌△CAB（SAS），利用待定系數(shù)法求出OC′的函數(shù)表達式為：y=x，設(shè)過P且與B′C′平行的直線l解析式為y=x+b，由于S△BCP′=S△B′C′P，當(dāng)直線l與拋物線相切時取最小值，再利用一元二次方程根的判別式求解即可．
【詳解】解：（1）∵
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（-5，）
∴點P為拋物線的頂點，
過點P作PD//x軸，過點B作BD⊥PD于點D，如圖，
∵P（-5，），A（1，﹣），
∴
∴，
又
∴
∴
∵是等邊三角形，
∴在BD的延長線上，且,
∴
∴
故答案為：
（2）如圖，連接AB，AC，將B，C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得B′，C′，作AH⊥x軸于點H
∵A（1，-），B（2，0），C（3，0），
∴OH=BH=1，BC=1，
∴OA=AB=OB=2，
∴△OAB為等邊三角形，此時B′與O重合，即B′（0，0），
連接C′O，
∵∠CAC′=∠BAB′=60°，
∴∠CAB=∠C′AB′，
在△C′AO和△CAB中，
，
∴△C′AO≌△CAB（SAS），
∴C′O=CB=1，∠C′OA=∠CBA=120°，
∴作C′G⊥y軸于G，
在Rt△C′GO中，∠C′OG=90°-∠C′B′C=30°，
∴C′G=OC′=，
∴OG=，
∴C′（，），此時OC′的函數(shù)表達式為：y=x，
設(shè)過P且與B′C′平行的直線l解析式為y=x+b，
∵S△BCP′=S△B′C′P，
∴當(dāng)直線l與拋物線相切時取最小值，
則 ，
即
∴
當(dāng)Δ=0時，即
解得b=，
∴，
設(shè)l與y軸交于點T，連接C′T，
∵S△B′C′T=S△BCP′，
∴S△BCP′=×B′T×C′G=×．
故答案為：
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)等知識，熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)等相關(guān)知識，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．
三、解答題
15．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) 與直線 交于 、 兩點，其中點 的坐標(biāo)為 ，拋物線的頂點 在 軸上．
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)點 為線段 上的一個動點（點 不與 、兩點重合），過點
作 軸交拋物線于點 ，設(shè)線段 的長為 ，點 的橫坐標(biāo)為 ，當(dāng) 取何值時， 有最大值？最大值是多少？
(3)點 為直線 與對稱軸 的交點，在線段 上是否存在一點 ，使得四邊形 是平行四邊形？若存在，請求出此時點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)當(dāng) 為 時，的最大值為
(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)交點在二次函數(shù)上，將交點坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達式中即可求解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)有交點，先確定動點 橫坐標(biāo) 的移動的范圍，即 ，在根據(jù)點 在一次函數(shù)圖像上，點 在二次函數(shù)圖像上，由此用含 的式子表示 的長度，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求出答案；
（3）由直線 的表達式與對稱軸 的交點即可求出點 的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的表達式可以求出點 的坐標(biāo)，從而求出 的長度，且 軸，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，只需證明 ，由此確定等量關(guān)系，即可求出答案．
（1）
解：將點 代入函數(shù)解析式 ，
∴ ，解得 ，
∴二次函數(shù)的表達式為 ；
故答案是：．
（2）
解：根據(jù)題意，點 移動的范圍是在點 、之間，
令 ，解得 或 ，
∴ ，且 的橫坐標(biāo)為 （ ），點 在一次函數(shù)上，點 在二次函數(shù) 上，
∴ ， ，
∴ ，
∴當(dāng) 為 時，的最大值為 ，
故答案是：當(dāng) 為 時，的最大值為．
（3）
解：存在，理由如下：
∵拋物線的頂點為 ，點 為直線 與對稱軸 的交點，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
若四邊形 是平行四邊形，則只需 ，
由（2）知， ，
∴ ，解得 （舍）或 ，
∴ ，
故存在一點 ，使得四邊形是平行四邊形，此時．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像性質(zhì)與動點結(jié)合的知識，理解和掌握二次函數(shù)圖像性質(zhì)，點坐標(biāo)的特點是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點，其中A點坐標(biāo)為，B點坐標(biāo)為，連接、．動點P從點A出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接，設(shè)運動時間為t秒．
(1)求二次函數(shù)的解析式．
(2)在P、Q運動的過程中，當(dāng)t為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？
(3)在線段上方的拋物線上是否存在點M，使是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)當(dāng)t＝時，四邊形BCPQ的面積最小，最小值為
(3)存在，M(，)
【分析】（1）將點A（4，0），點B（-1，0）代入，得，進行計算即可得；
（2）由（1）得：拋物線表達式為，當(dāng)時，，即C（0，4），即可得△OAC是等腰直角三角形，即∠BAC＝45°，由點P的運動可知：AP＝t，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，則，即是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得進行計算得，即，即H（4-t，0），d又Q（-1+t，0），即可得＝，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)x=時，的面積有最小值，根據(jù)當(dāng)其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，即，AB＝5，所以，即可得；
（3）假設(shè)點M是線段AC上方的拋物線上的點，過點P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，連接MQ，MP，根據(jù)角之間的關(guān)系的，根據(jù)等量代換得，利用AAS可證明，即，，即可得，根據(jù)得點M的坐標(biāo)為（4-2t，5-t），根據(jù)點M在拋物線上得，進行計算即可得．
（1）
解：將點A（4，0），點B（-1，0）代入，得
解得，，
∴二次函數(shù)的解析式為：．
（2）
解：由（1）得：拋物線表達式為，當(dāng)時，，
即C（0，4），
∴，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由點P的運動可知：AP＝t，
如圖所示，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，

∴，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴
∴，
即H（4-t，0），
又Q（-1+t，0），
∴
＝
＝
當(dāng)x=時，的面積有最小值，
∵當(dāng)其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，
，AB＝5，
∴，
∴當(dāng)時，四邊形BCPQ的面積最小，最小值為；
（3）
存在．理由如下：
解：假設(shè)點M是線段AC上方的拋物線上的點，
如圖，過點P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，連接MQ，MP，
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴，，
∴，
∵，
∴點M的坐標(biāo)為（4-2t，5-t），
∵點M在拋物線上，
∴，
，
解得：t＝或（舍），
∴M點的坐標(biāo)為（，）．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)．
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C兩點，且與x軸的負(fù)半軸交于點A，動點D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上．
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)連接DC，DB，設(shè)的面積為S，求S的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根據(jù)直線求出點B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)B、C的坐標(biāo)即可求出二次函數(shù)的表達式；
（2）添加輔助線，將分解為和，設(shè)點，計算出線段MD的長度，從而得到的面積表達式，最后通過配方法求出最值即可．
（1）
解：在直線上，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴，，
∵二次函數(shù)經(jīng)過點B、C，
∴ ，
解方程得，，
∴二次函數(shù)的表達式為；
（2）
如下圖所示，過點D作軸，交直線BC與點M，過點C作，垂足為P，設(shè)點,
∵點M在直線上，
∴當(dāng)M的坐標(biāo)為，
∵點D在拋物線上，
∴當(dāng)M的坐標(biāo)為，
∵點D在BC下方，
∴MD的長度為，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴S是以t為自變量的二次函數(shù)，且開口向下，頂點為
∴當(dāng)時，最大，且，
故S的最大值為4．
【點睛】本題考查二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，并將三角形面積的最大值問題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)最大值的問題．
18．二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，頂點為．
(1)求這個二次函數(shù)的表達式：
(2)如圖①，是該二次函數(shù)圖象的對稱軸上一個動點，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€恰好經(jīng)過點時，求點的坐標(biāo)；
(3)如圖②，是該二次函數(shù)圖象上的一個動點，連接，取中點，連接，，，當(dāng)?shù)拿娣e為時，求點的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）由于二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，把，兩點坐標(biāo)代入，計算出和b的值即可求出拋物線解析式；
（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出，設(shè)，由勾股定理可得解方程可得出答案；
（3）設(shè)交拋物線的對稱軸于點，設(shè)直線的解析式為，由，求出的坐標(biāo)，再由面積公式可求出的值．則可得出答案．
（1）
解：將，代入，得，
解得，
二次函數(shù)的解析式為；
（2）
如圖，圖，連接，，由點在線段的垂直平分線上，得．

設(shè)，
，
∴OC＝3，
由兩點間的距離可得：．
解得．
滿足條件的點的坐標(biāo)為或；
（3）
如圖，設(shè)交拋物線的對稱軸于點，

設(shè)點，
∵的中點為點，
∴由中點坐標(biāo)公式得到點，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得，
∴直線的解析式為：，
當(dāng)時，，
，．
，
，
解得或，
當(dāng)時，＝8，
∴，
當(dāng)時，＝24，
∴．
綜合以上可得，滿足條件的點的坐標(biāo)為或．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．
19．二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，頂點為E．
(1)求這個二次函數(shù)的表達式，并寫出點的坐標(biāo)；
(2)如圖，點是圖象對稱軸右側(cè)拋物線上的一個動點，連接，取中點，連接，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．
【答案】(1)，（4，-1）
(2)（10，8）
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）如圖所示，過點E作EH⊥y軸于H，先求出點C的坐標(biāo)，再求出點H的坐標(biāo)，即可得到CH=HE=4，，∠HCE=∠HEC=45°，求出直線CE的解析式為；過點Q作交y軸于G，過點C作CF⊥GQ于F，證明CF=GF，再由△CEQ的面積為12，求出，則，得到直線QG的解析式為，設(shè)點Q的坐標(biāo)為（t，-t+9），則點P的坐標(biāo)為（2t，-2t+18），即可建立方程，據(jù)此求解即可．
（1）
解：把代入二次函數(shù)解析式中得：
解得，
∴拋物線解析式為，
∴點E的坐標(biāo)為（4，-1）；
（2）
解：如圖所示，過點E作EH⊥y軸于H，
令，則，
∴點C的坐標(biāo)為（0，3），
∵點E的坐標(biāo)為（4，-1），
∴點H的坐標(biāo)為（0，-1），
∴CH=HE=4，
∴，∠HCE=∠HEC=45°，
設(shè)直線CE的解析式為，
∴，
∴，
∴直線CE的解析式為；
過點Q作交y軸于G，過點C作CF⊥GQ于F，
∴，
∴，
∴CF=GF，
∵△CEQ的面積為12，
∴，
∴，
∴，
∴點G的坐標(biāo)為（0，9），
∴直線QG的解析式為，
設(shè)點Q的坐標(biāo)為（t，-t+9），則點P的坐標(biāo)為（2t，-2t+18），
又∵點P在二次函數(shù)圖象上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴點P的坐標(biāo)為（10，8）；
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線的間間距相等等等，熟知相關(guān)知識正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（1，0）、B（，0），與y軸的正半軸交于點C．
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)點D是線段OB上一動點，過點D作y軸的平行線，與BC交于點E，與拋物線交于點F，連接CF，探究是否存在點D使得△CEF為直角三角形？若存在，求點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
(3)若點P在二次函數(shù)圖象上，是否存在以P為圓心，為半徑的圓與直線BC相切，若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，點D坐標(biāo)為（-2，0）或（-1，0）
(3)存在，點P坐標(biāo)為(-1，4)或(-2，3)或()或()
【分析】（1）將A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求解即可；
（2）求得C點坐標(biāo)，從而得到BC解析式，由此可知∠CEF=45°，因此可分∠CFE=90°、∠ECF=90°兩種情況討論；
（3）過點P作PG⊥BC，過點P作PH∥BC，過點P作x軸的垂線，交BC于點N，交x軸于點M，求出PH的解析式，聯(lián)立直線PH和二次函數(shù)解析式，求解即可．
（1）
解：將點代入，得：
，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為．
（2）
解：∵二次函數(shù)解析式為
∴點C的坐標(biāo)為（0，3），
∴直線BC的解析式為．
① 當(dāng)∠CFE=90°時，CF∥OB
∴點C，F(xiàn)關(guān)于拋物線對稱軸直線對稱，
∴點F（-2，3），
此時點D坐標(biāo)為（-2，0）
②當(dāng)∠ECF=90°時，作FG⊥y軸于G，
由OB=OC，∠BOC=90°，可知∠BCO=45°
∵CF⊥CB，
∴∠FCG=45°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
設(shè)CG=a，則點F坐標(biāo)為(-a,a+3)，
代入得：
解得，（舍去）
點F（-1，4），
此時點D坐標(biāo)為（-1，0）．
綜上所述：存在這樣的點D，點D坐標(biāo)為（-2，0）或（-1，0）
（3）
解：① 當(dāng)點P在BC上方時，過點P作PG⊥BC于點G，作PM⊥x軸，交BC于點N ，過點P 作直線PH∥BC．
則是等腰直角三角形，
∵PG=，
∴PN=2，
∵PM⊥x軸，
∴直線PH由直線BC向上平移兩個單位長度得到，
∴直線PH的解析式為．
聯(lián)立直線PH和拋物線的解析式，得：
，
解得：或．
∴點P坐標(biāo)為(-1，4)或(-2，3) ．
② 當(dāng)點P在BC下方時，同理可得直線PH由直線BC向下平移兩個單位長度得到，
∴直線PH的解析式為．
，
解得： 或 ．
∴點P坐標(biāo)為()或()．
綜上所述：點P坐標(biāo)為(-1，4)或(-2，3)或()或()．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)進行求解，難度適中．
21．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標(biāo)為(3，0)，頂點C的坐標(biāo)為(1，4)．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當(dāng)點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；
(3)在拋物線上是否存在點Q，且點Q在第一象限，使△BDQ中BD邊上的高為？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2＋2x＋3
(2)
(3)存在，(1，4)或(2，3)
【分析】(1)由二次函數(shù)頂點C(1，4)，拋物線經(jīng)過B(3，0)，用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)在y＝﹣x2＋2x＋3中，可得D(0，3)，用待定系數(shù)法得直線BD解析式為y＝﹣x＋3，設(shè)P(m，﹣m＋3)，則M(m，﹣m2＋2m＋3)，PM＝﹣(m﹣)2＋，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即得：當(dāng)m＝時，PM取最大值，最大值為；
(3)過Q作QGy軸交BD于點G，交x軸于點E，作QH⊥BD于H，設(shè)Q(x，﹣x2＋2x＋3)，則G(x，﹣x＋3)，可得QG＝|﹣x2＋2x＋3﹣(﹣x＋3)|＝|﹣x2＋3x|，又OB＝OD，△BDQ中BD邊上的高為時，可知QG＝2，即得﹣x2＋3x＝2，可解得點Q為(1，4)或(2，3)．
（1）
解：由二次函數(shù)頂點C(1，4)，設(shè)y＝a(x﹣1)2＋4，
將B(3，0)代入得：4a＋4＝0，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣(x﹣1)2＋4＝﹣x2＋2x＋3，
答：二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2＋2x＋3；
（2）
解：在y＝﹣x2＋2x＋3中，令x＝0得y＝3，
∴D(0，3)，
設(shè)直線BD解析式為y＝kx＋3，將B(3，0)代入得：
3k＋3＝0，
解得k＝﹣1，
∴直線BD解析式為y＝﹣x＋3，
設(shè)P(m，﹣m＋3)，則M(m，﹣m2＋2m＋3)，
∴PM＝﹣m2＋2m＋3＋m﹣3＝﹣m2＋3m＝﹣(m﹣)2＋，
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)m＝時，PM取最大值，最大值為；
（3）
解：存在點Q，使△BDQ中BD邊上的高為，理由如下：
過Q作QGy軸交BD于點G，交x軸于點E，作QH⊥BD于H，如圖：
設(shè)Q(x，﹣x2＋2x＋3)，則G(x，﹣x＋3)，
∴QG＝|﹣x2＋2x＋3﹣(﹣x＋3)|＝|﹣x2＋3x|，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝45°，
∴∠BGE＝45°＝∠QGH，
∴△QGH是等腰直角三角形，
當(dāng)△BDQ中BD邊上的高為時，即QH＝HG＝，
∴QG＝2，
∵點Q在第一象限，QG＝|﹣x2＋3x|，
∴﹣x2＋3x＝2，
解得x＝1或x＝2，
∴Q(1，4)或(2，3)，
綜上可知存在滿足條件的點Q，坐標(biāo)為(1，4)或(2，3)．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及方程思想等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
22．如圖1，已知二次函數(shù)的圖象的頂點為，且經(jīng)過點．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)過點A的直線與二次函數(shù)圖象的另一交點為B，與y軸交于點C，若的面積是的兩倍，求直線AB的解析式；
(3)如圖2，已知，是x軸上一動點（E，O不重合），過E的兩條直線，與二次函數(shù)均只有一個交點，且直線，與y軸分別交于點M、N．對于任意的點E，在y軸上（點M、N上方）是否存在一點，使恒成立．若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】（1）設(shè)出頂點式，利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）根據(jù)的面積是的兩倍，得到的橫坐標(biāo)的絕對值是的兩倍，根據(jù)在拋物線上，求出的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求直線解析式即可；
（3）根據(jù)過的直線與拋物線只有一個交點，設(shè)直線的解析式為：，利用E點坐標(biāo)得出：，聯(lián)立兩個函數(shù)，根據(jù)，列出一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到兩條直線之間的關(guān)系式，設(shè)出和利用，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，求解即可．
（1）
解：設(shè)拋物線的解析式為：，
∵拋物線的頂點為，
∴，
將點代入得：，
解得：，
∴；
（2）
解：設(shè)
由題意得：，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)時：，
當(dāng)時：，
設(shè)直線的解析式為：，
當(dāng)時：
，解得：，
∴；
當(dāng)時：
，解得：，
∴；
綜上：或；
（3）
解：存在，
設(shè)過點的直線的解析式為：，
則：，
，
∴，
∵直線與拋物線只有一個交點：
∴，整理得：，
，
設(shè)的兩個根為：，
∴，
設(shè)直線為：，則：，
設(shè)直線為：，則：，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵
，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴存在，當(dāng)時，恒成立．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解，是解題的關(guān)鍵．本題的綜合性較強，難度較大，屬于中考壓軸題．
23．如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，且點B與點C的坐標(biāo)分別為，，點M是拋物線的頂點．
(1)求二次函數(shù)的關(guān)系式；
(2)點P為線段MB上一個動點，過點P作軸于點D．若，的面積為S，試判斷S有最大值或最小值？并說明理由；
(3)在MB上是否存在點P，使為直角三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在最大值，最大值為
(3)或
【分析】（1）將、代入，列方程組求出、的值即可；
（2）先求所在直線的解析式，用含的代數(shù)式表示點的坐標(biāo)及的面積，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，用函數(shù)的性質(zhì)判斷并求出的最值；
（3）存在符合條件的點，分三種情況根據(jù)點的位置或勾股定理列方程求出的值及點的坐標(biāo)．
（1）
解：把、代入，
得，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為．
（2）
解：有最大值．理由如下：
如圖1，設(shè)直線的解析式為，
，
∴該拋物線的頂點坐標(biāo)為，
把、代入，得，
解得，
∴，
，
∴；
由，
得；
∵當(dāng)點與點重合時，不存在以、、為頂點的三角形，
∴，
∴不存在最小值；
，
∴當(dāng)時，，
∴的最大值為．
（3）
解：存在，理由如下：
若，如圖2，則軸，
∴，且在直線上，
∴，
解得，
∴；
若，如圖3，則，
∴，
整理，得，
解得，（不符合題意，舍去）；
∴，；
若，則，
∴，
整理，得，
解得，
此時不存在以，，為頂點的三角形，
∴舍去．
綜上所述，點的坐標(biāo)為或．
【點睛】此題重點考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、勾股定理、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次根式的化簡等知識，解第（3）題時應(yīng)分類討論并進行必要的檢驗，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)．
24．如圖，若二次函數(shù)的圖象與軸交于點、，與軸交于點，連接．
(1)求該二次函數(shù)的解析式；
(2)若點Q是拋物線上一動點，在平面內(nèi)是否存在點K，使以點B、C、Q、K為頂點，BC為邊的四邊形是矩形？若存在請求出點K的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，點的坐標(biāo)為或
【分析】（1）將、代入，聯(lián)立方程組，求出、的值，即可得出該二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)，當(dāng)時，過點作軸交點，過作軸交點，證明，得到，則，所以；當(dāng)時，設(shè)與軸的交點為，與軸的交點為，過點作軸交點，過作軸交點，證明，則有，求得，則，可求，綜合即可得出K點的坐標(biāo)．
（1）
解：把、代入，
可得：，
解得：，
∴該二次函數(shù)的表達式為．
（2）
解：存在，理由如下：
設(shè)，
當(dāng)時，如圖1，
∵矩形是以為邊，
∴，，，
過點作軸交點，過作軸交點，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
當(dāng)時，如圖2，
∵矩形是以為邊，
∴，，，
設(shè)與軸的交點為，與軸的交點為，
過點作軸交點，過作軸交點，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
綜上所述，K點的坐標(biāo)為或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，靈活應(yīng)用矩形和等腰直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
25．如圖，已知拋物線經(jīng)過點，，三點，點是直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后與軸的交點，點是線段上的一個動點，設(shè)點的坐標(biāo)為，過點作軸的垂線交拋物線于點，交直線于點．
(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式；
(2)在點運動過程中，若存在以為直徑的圓恰好與軸相切，求的值；
(3)連接，將繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)后，得到，點、、的對應(yīng)點分別是點、、，是否存在點使得旋轉(zhuǎn)后得到的的兩個頂點恰好落在拋物線上，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)或
【分析】（1）設(shè)（），待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；
（2）設(shè)，（）得出，則，根據(jù)以為直徑的圓與軸相切，得出，解方程即可求解；
（3）設(shè)，由對稱可得：，，，分情況討論，①若、在拋物線上，②若、在拋物線上③由、橫坐標(biāo)相同，所以不可能都在拋物線上，即可求解．
（1）
設(shè)（），
將代入得：，
解得：，
，
即；
（2）
在中，，
，
由旋轉(zhuǎn)可得：，
為等腰直角三角形，
，
，
：，
設(shè)，（），
，，
以為直徑的圓與軸相切，
，即，
解得：，（舍），（舍），（舍），
；
（3）
設(shè)，∵，，，關(guān)于中心對稱，
∴，，，
①若、在拋物線上，則、關(guān)于對稱軸對稱，
對稱軸：，
，解得：，
，即，
解得：，
，
②若、在拋物線上，
，
解得：，
，
③、橫坐標(biāo)相同，所以不可能都在拋物線上，
綜上，或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與圓綜合，切線的性質(zhì)，綜合運用二次函數(shù)與切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，與軸交于，點在原點的左側(cè)，點的坐標(biāo)為．點是拋物線上一個動點，且在直線的上方．
(1)求這個二次函數(shù)及直線的表達式．
(2)過點做軸交直線于點，求的最大值．
(3)點為拋物線對稱軸上的點，問在拋物線上是否存在點，使為等腰直角三角形，且為直角，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)二次函數(shù)的表達式為，直線的表達式為；
(2)
(3)存在，點的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法可直接求出二次函數(shù)和直線BC的解析式；
（2）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，），則點D的坐標(biāo)為（x，），PD＝，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；
（3）分情況討論：①當(dāng)點M在x軸上方，點N在對稱軸左側(cè)時，如圖1，設(shè)對稱軸與x軸交于點F，過點N作NE⊥MF于點E，證明△MEN≌△OFM（AAS），可得OF＝EM＝1，設(shè)點M坐標(biāo)為（1，a），可得NE＝MF＝a，則N（1-a，1+a），把點N坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a的值，可得此時點的坐標(biāo)；②當(dāng)點M在x軸上方，點N在對稱軸右側(cè)時，③當(dāng)點M在x軸下方，點N在對稱軸左側(cè)時，④當(dāng)點M在x軸下方，點N在對稱軸右側(cè)時，同理可求點的坐標(biāo)．
（1）
解：把點B，點C的坐標(biāo)代入解析式中，
得：，
解得：，
∴二次函數(shù)得表達式為；
設(shè)BC的函數(shù)表達式為y=kx+b，
把點B，點C的坐標(biāo)代入可得：，
解得：，
∴直線BC的函數(shù)表達式為：；
（2）
如圖，∵軸，
∴點P和點D的橫坐標(biāo)相同，
設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，），則點D的坐標(biāo)為（x，），
PD＝，
當(dāng)x=時，PD有最大值；
（3）
分情況討論：
①當(dāng)點M在x軸上方，點N在對稱軸左側(cè)時，如圖1，設(shè)對稱軸與x軸交于點F，過點N作NE⊥MF于點E，
∵為等腰直角三角形，且為直角，
∴NM＝MO，∠NMO＝90°，
∴∠NME＋∠OMF＝90°，
∵∠NME＋∠MNE＝90°，
∴∠MNE＝∠OMF，
又∵∠MEN＝∠OFM＝90°，
∴△MEN≌△OFM（AAS），
∴OF＝EM，MF＝NE，
∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，
∴OF＝EM＝1，
設(shè)點M坐標(biāo)為（1，a），則NE＝MF＝a，
∴N（1-a，1+a），
∵點N在拋物線上，
∴，
整理得：，
解得：，
∴N（，），
②當(dāng)點M在x軸上方，點N在對稱軸右側(cè)時，如圖2，
同理可得：點N坐標(biāo)為（，）；
③當(dāng)點M在x軸下方，點N在對稱軸左側(cè)時，如圖3，
同理可得：點N坐標(biāo)為（，）；
④當(dāng)點M在x軸下方，點N在對稱軸右側(cè)時，如圖4，
同理可得：點N坐標(biāo)為（，）；
綜上，點的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）．
【點睛】本題是二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，其中第（3）問有一定難度，能夠正確分類討論是解題的關(guān)鍵．
27．次函數(shù)的圖象交x軸于點A（－1，0），B（4，0），兩點，交y軸于點C，動點M從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿AB方向運動，過點M作MN⊥x軸交直線BC于點N，交拋物線于點D，連接AC，設(shè)運動的時間為t秒．
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)連接BD，當(dāng)時，求△DNB的面積；
(3)在直線MN上存在一點P，當(dāng)△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時，求此時點P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)P（1，－1）或（3，3）
【分析】（1）將A、B兩點的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中，求出系數(shù)a與b即可；
（2）先求出BC的解析式，再將x=2代入和，得出D、N的坐標(biāo)即可求出DN的值，再根據(jù)三角形的面積公式計算出答案即可；
（3）由BM的值得出M的坐標(biāo)，因此設(shè)P（2t-1，m），由勾股定理可得，，根據(jù)題意PB=PC，所以，得出P的坐標(biāo)為，再利用勾股定理列出方程，解得t=1或t=2，代入求值即得出答案．
（1）
解：將A(-1, 0)，B(4, 0)代入中，
得： ，
解得： ．
∴二次函數(shù)的表達式為．
（2）
解：連接BD，如圖所示，
∵，
∴AM=3．
又∵，
∴．
設(shè)直線BC的表達式為，
將點C（0，2），B（4，0）代入得：，
解得：，
∴直線BC的解析式為：．
將x=2代入和，
得D(2，3)，N（2，1），
∴．
∴．
（3）
解：∵，
∴．
設(shè)P（2t-1，m），
則，．
∵PB=PC，
∴，
∴，
∴．
∵PC⊥PB，
∴，
將代入整理得：，
解得：t=1或t=2．
將t=1或t=2分別代入中，
∴P（1，－1）或（3，3）．
【點睛】本題是二次函數(shù)與幾何的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式，根據(jù)點的坐標(biāo)求平面內(nèi)三角形的面積，以及根據(jù)等腰直角三角形求點的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點的坐標(biāo)求出函數(shù)解析式，同時根據(jù)解析式將點表示出來，列出方程進行計算．
28．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)三點，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是線段AB上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為(m，0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．
(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式；
(2)在點P運動過程中，是否存在點Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)連接AC，將△AOC繞平面內(nèi)某點H順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，點A、O、C的對應(yīng)點分別是點、、、若的兩個頂點恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點為“和諧點”，請直接寫出“和諧點”的個數(shù)和點的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)存在，Q(3，2)或Q(-1，0)
(3)兩個“和諧點”，的橫坐標(biāo)是1或
【分析】（1）把點A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)三點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解；
（2）分兩種情況分別討論，當(dāng)∠QBM＝90°或∠MQB＝90°，即可求得Q點的坐標(biāo)．
（3）兩個和諧點，AO＝1，OC＝2，設(shè)(x，y)，則(x+2，y-1)，(x，y-1)，①當(dāng)、在拋物線上時，的橫坐標(biāo)是1；當(dāng)、在拋物線上時，的橫坐標(biāo)是2；
（1）
設(shè)拋物線解析式為，
將點A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)代入解析式，得：，
解得：，
∴；
（2）
∵點C與點D關(guān)于x軸對稱，
∴D(0，-2)．
設(shè)直線BD的解析式為．
∵將(4，0)代入得：4k-2＝0，
解得：k＝．
∴直線BD的解析式為y＝x-2．
當(dāng)P點與A點重合時，△BQM是直角三角形，此時Q(-1，0)；
當(dāng)BQ⊥BD時，△BQM是直角三角形，
則直線BQ的直線解析式為y＝-2x+8，
∴-2x+8＝-+x+2，
解得：x＝3或x＝4(舍)
∴x＝3．
∴Q(3，2)或Q(-1，0)；
（3）
AO＝1，OC＝2，
設(shè)A1(x，y)，則C1(x+2，y-1)，O1(x，y-1)，
分類討論：①當(dāng)A1、C1在拋物線上時，如圖，
∴，
∴，
∴A1的橫坐標(biāo)是1；
②當(dāng)O1、C1在拋物線上時，
，
∴，
∴A1的橫坐標(biāo)是；
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，分類討論思想的運用是解本題的關(guān)鍵．
29．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖像和x軸交于點A（﹣3，0）、B（1，0），與y軸交于點C、D（0，﹣1）．
(1)求二次函數(shù)解析式；
(2)在線段AC上方的拋物線上有一動點P，直線PC與直線BD交于點Q，當(dāng)△PAQ面積最大時，求點P的坐標(biāo)及△PAQ面積的最大值；
(3)在（2）條件下，將拋物線y＝ax2+bx+3沿射線AC平移2個單位長度，得到新二次函數(shù)y′＝ax2+bx+c，點R在新拋物線對稱軸上，在直線y＝﹣x上有一點S，使得以點P，D，R，S為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點R的坐標(biāo)，并寫出求解點R的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3
(2)△PAQ的最大值為，此時P（﹣，）
(3)點R的坐標(biāo)為：（1，﹣）或（1，）或（1，）；過程見解析
【分析】（1）將A，B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，建立方程組，求解即可；
（2）分別求出直線AC，BD的解析式，可證AC∥BD，所以△ACQ的面積＝△ACD的面積，進而求△PAQ的面積最大可轉(zhuǎn)化為求△PAC的面積最大；過點P作PE∥y軸交AC于點E，表達△PAC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）由平移的性質(zhì)可知，拋物線y＝ax2+bx+3沿射線AC平移2個單位長度，即向右平移2個單位，向上平移2個單位，由此可得出新拋物線的解析式，可得出點R的橫坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可分類討論：當(dāng)PD是平行四邊形的邊時，當(dāng)PD是平行四邊形的對角線時，分別求解即可．
（1）
解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖像和x軸交于點A（﹣3，0）、B（1，0），
∴，
∴ ．
∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）
解：∵拋物線與y軸交于點C，
∴C（0，3），
∴直線AC的解析式為：y＝x+3；
∵B（1，0），D（0，﹣1），
∴直線BD的解析式為：y＝x﹣1；
∴AC∥BD，CD＝4，
∴S△ACQ＝S△ACD＝×4×3＝6．
∴S△APQ＝S△APC+S△ACQ＝S△APC+S△ACD＝S△APC+6．
過點P作PE∥y軸交AC于點E，如圖，
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，
則P（t，﹣t2﹣2t+3），E（t，t+3），
∴PE＝﹣t2﹣3t．
∴S△APQ＝S△APC+6
＝×3×（﹣t2﹣3t）+6
＝．
∵，
∴當(dāng)t＝時，△PAQ的最大值為 ，此時P；
（3）
解：由平移的性質(zhì)可知，拋物線y＝ax2+bx+3沿射線AC平移2 個單位長度，即向右平移2個單位，向上平移2個單位，
∵y′＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴當(dāng)拋物線向右平移2個單位，向上平移2個單位后，平移后的拋物線為：y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5．
∵R在新拋物線對稱軸上，
∴R的橫坐標(biāo)為x＝1．
若以點P，D，R，S為頂點的四邊形是平行四邊形，根據(jù)題意，需要分以下兩種情況：
①當(dāng)PD為平行四邊形的邊時，xP﹣xD＝xR﹣xS或xP﹣xD＝xS﹣xR，
∴﹣0＝1﹣xS或﹣0＝xS﹣1，
解得xS＝或xS＝．
∴S 或．
∵yP﹣yD＝y(tǒng)R﹣yS或yP﹣yD＝y(tǒng)S﹣yR，
∴﹣（﹣1）＝y(tǒng)R﹣（）或﹣（﹣1）＝﹣yR，
∴yR＝或yR＝．
∴R（1，）或（1，）．
②當(dāng)PD為平行四邊形的對角線時，xP+xD＝xR+xS，
∴+0＝1+xS，
解得xS＝，
∴S（，），
∵yP+yD＝y(tǒng)R+yS，
∴+（﹣1）＝y(tǒng)R+，
∴yR＝．
∴R（1，）．
綜上，若以點P，D，R，S為頂點的四邊形是平行四邊形，點R的坐標(biāo)為：（1，）或（1，）或（1，）．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，與拋物線有關(guān)的動三角形的面積最值，平行四邊形的存在性等問題，做題時注意分類討論．

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題27四邊形中由動點引起的分類討論問題(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題27四邊形中由動點引起的分類討論問題(原卷版+解析)，共52頁。

中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題26相似三角形中由動點引起的分類討論問題(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題26相似三角形中由動點引起的分類討論問題(原卷版+解析)，共51頁。

中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題25直角三角形中由動點引起的分類討論問題(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題25直角三角形中由動點引起的分類討論問題(原卷版+解析)，共64頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題24等腰三角形中由動點引起的分類討論問題(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題24等腰三角形中由動點引起的分類討論問題(原卷版+解析)
最新中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練 專題28 二次函數(shù)圖象中由動點引起的分類討論問題 （全國通用）

最新中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練 專題28 二次函數(shù)圖象中由動點引起的分類討論問題 （全國通用）
最新中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練 專題27 四邊形中由動點引起的分類討論問題 （全國通用）

最新中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練 專題27 四邊形中由動點引起的分類討論問題 （全國通用）
最新中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練 專題23 數(shù)軸上由動點引起的分類討論問題 （全國通用）

最新中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練 專題23 數(shù)軸上由動點引起的分類討論問題 （全國通用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部