中考數(shù)學難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題05全等三角形與矩形翻折模型(原卷版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

【模型變換】
【題型演練】
一、單選題
1．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6，將△ABC沿AC折疊，使點B落在點E處，CE交AD于點F，則DF的長等于（）
A．B．C．D．
2．如圖，將矩形紙片折疊（），使落在上，為折痕，然后將矩形紙片展開鋪在一個平面上，點不動，將邊折起，使點落在上的點處，連接，若，，則的長為（）
A．B．C．D．4
3．如圖，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，點D在邊BC上，且CD＝3DB，點E是邊OA上一點，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點A的對稱點A'恰好落在邊OC上，則OE的長為（）
A．B．C．D．
4．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點F，則的值為（）
A．B．C．D．
5．如圖，ABCD是一張矩形紙片，AB＝20，BC＝4，將紙片沿MN折疊，點，分別是B，C的對應點，MB′與DC交于K，若△MNK的面積為10，則DN的最大值是（）
A．7.5B．12.5C．15D．17
二、填空題
6．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是BC上的點，且CM＝3，將矩形紙片ABCD沿過點M的直線折疊，使點D落在AB上的點P處，點C落在點C′處，折痕為MN，則線段AN的長是___．
7．如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，沿AE所在的直線折疊△ADE，落在矩形內(nèi)部得到△AFE，延長AF交BC邊于點G，若＝，則的值為_________．
8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，將此矩形折疊，使點C與點A重合，點D落在點D'處，折痕為EF，則DD'的長為 _____．
9．如圖，矩形中，，，為中點．為上一點，將沿折疊后，點恰好落到上的點處，則______，______．
三、解答題
10．如圖，矩形ABCD中，，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE.
(1)求證：△ADE≌△CED；
(2)求證：△DEF是等腰三角形.
11．如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點B的對應點為E，AE與CD交于點F．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
12．將矩形ABCD對折，使AD與BC重合，得到折痕EF，展開后再一次折疊，使點A落在EF上的點處，并使得折痕經(jīng)過點B，得到折痕BG，連接，如圖1，問題解決：
(1)試判斷圖1中是什么特殊的三角形？并說明理由；
(2)如圖2，在圖1的基礎上，與BG相交于點N，點P是BN的中點，連接AP并延長交于點Q，求的值．
13．如圖，在矩形ABCD中，M，N是對角線AC上的兩點，將矩形折疊分別使點B與點M重合，點D與點N重合，折痕分別為AE，CF．連接EF，交AC于點O．
(1)求證：．
(2)求證：四邊形ECFA是平行四邊形．
14．實踐與探究
如圖①，在矩形ABCD中，，．將矩形ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在矩形ABCD的內(nèi)部，點D的對應點為點，折痕為AE，再將矩形ABCD沿過點A的直線折疊，使點B落在邊上，折痕為AF，點B的對應點為點．延長交AE于點G，過點G作直線交AD于點M，交BC于點N．
(1)求證：．
(2)求證：四邊形ABNM是正方形．
(3)若，求線段BF的長．
(4)如圖②，將矩形沿所在直線繼續(xù)折疊，點C的對應點為點．我們發(fā)現(xiàn)，點E的位置不同，點的位置也不同．當點恰好與點重合時，線段DE的長為__________．
15．在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的動點，且DE＝BF，連接EF．將矩形ABCD沿EF折疊，點A落在點G處，點B落在點H處．
(1)如圖①，當線段EG與線段BC交于點P時，求證：PE＝PF；
(2)如圖②，當線段EG的延長線與線段BC的延長線交于點P時．GH交線段CD交于點M，
①求證：△PCM≌△PGM；
②E，F(xiàn)在運動過程中，點M是否在線段EF的垂直平分線上？如果在，請證明；如果不在，請說明理由．
16．如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形AC沿折疊，點B落在點E處，AE與DC的交點為O，連接DE．
(1)求證：．
(2)求證：．
17．如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，將沿BE折疊后得到，且G點在矩形ABCD的內(nèi)部，延長BG交DC于點F，連接EF．
(1)求證：；
(2)若，求的值．
18．折疊矩形ABCD，使點D落在BC邊上的點F處，折痕為AE．
(1)求證△ABF∽△FCE；
(2)若CF＝4，EC＝3，求矩形ABCD的面積．
19．如圖，在矩形ABCD中，AD＜2AB，點E是AD的中點，連接BE，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交DC于點F，連接EF．
(1)求證：△EGF≌△EDF；
(2)若點F是CD的中點，BC＝8，求CD的長．
20．如圖，在正方形中，，E為中點，連接，將沿折疊，點B的對應點為G，連接并延長交于點F，連接，．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)求的長．
21．如圖，長方形ABCD中，AB＞AD，把長方形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE．
(1)圖中有個等腰三角形；（請直接填空，不需要證明）
(2)求證：△ADE≌△CED；
(3)請證明點F在線段AC的垂直平分線上．
22．如圖，在中，，點D為邊BC上一點，以AB，BD為鄰邊作，連接AD、EC．
(1)求證：；
(2)若，求證：四邊形ADCE是矩形．
23．如圖1，為了探究某種類型矩形ABCD的性質(zhì)，數(shù)學項目學習小組在BC邊上取一點E，連接DE．經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當DE平分∠ADC時，將△ABE沿AE折疊至△AFE，點F恰好落在DE上．據(jù)此解決下列問題：
(1)求證：△AFD≌△DCE；
(2)如圖2，延長CF交AE于點G，交AB于點H．
①求證：AH·AF＝AG·CF ；
②求GH∶DF的值．
24．在矩形ABCD中，，P是邊AB上一點，把沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F．
(1)如圖1，若點E是AD的中點，求證：；
(2)如圖2，當，且時，求的值；
(3)如圖3，當時，求BP的值．
特點
在矩形ABCD中，將△ABC沿著對角線AC翻折得到△AB’C，B’C交AD于點E。
結(jié)論
（1）△AEB’≌△CED；（2）AE=CE。
特點
在矩形ABCD中，E、F分別為邊BC、AD上的任意點，連接EF，將四邊形CDFE沿著EF翻折得到C’D’FE，。
結(jié)論
（1）△CED≌△C’ED’；
（2）四邊形EDFD’為菱形；
（3）C、E、D’三點共線，且C’D∥FD’。
專題05 全等三角形與矩形翻折模型
【模型展示】
【模型變換】
【題型演練】
一、單選題
1．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6，將△ABC沿AC折疊，使點B落在點E處，CE交AD于點F，則DF的長等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易證△AEF≌△CDF，即可得到結(jié)論EF=DF；易得FC=FA，設FA=x，則FC=x，F(xiàn)D=6-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到關(guān)于x的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x．
【詳解】解：∵矩形ABCD沿對角線AC對折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE = AB，∠E =∠B ＝∠Ｄ =90°，
又∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB = CD，
∴AE = DC，
而∠AFE =∠DFC，
∵在△AEF與△CDF中，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF = DF；
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD = BC = 6，CD = AB = 4，
∵△AEF≌△CDF，
∴FC = FA，
設FA = x，則FC = x，F(xiàn)D = 6﹣x，
在Rt△CDF中，CF2 = CD2 + DF2，
即x2=42+（6﹣x）2，解得x =，
則FD = 6﹣x =．
故選：B．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應邊相等．也考查了矩形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理．
2．如圖，將矩形紙片折疊（），使落在上，為折痕，然后將矩形紙片展開鋪在一個平面上，點不動，將邊折起，使點落在上的點處，連接，若，，則的長為（）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】證明Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），推出BF＝DB′，再證明DB′＝EC＝BF＝1，由直角三角形的性質(zhì)求出AB′，則可得結(jié)論．
【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，EB＝EB′，∠B＝∠AB′E＝∠EB′D＝90°，
在Rt△EBF和Rt△EB′D中，
，
∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），
∴BF＝DB′，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠CDB′＝∠EB′D＝90°，
∴四邊形ECDB′是矩形，
∴DB′＝EC＝1，
∴BF＝EC＝1，
由翻折的性質(zhì)可知，BF＝FG＝1，∠FAG＝45°，∠AGF＝∠B＝∠AGF＝90°，
∴AG＝FG＝1，
∴AF＝．
∴AB＝AB′＝1＋，
∴AD＝AB′＋DB′＝2＋，
故選B．
【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明四邊形ECDB′是矩形．
3．如圖，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，點D在邊BC上，且CD＝3DB，點E是邊OA上一點，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點A的對稱點A'恰好落在邊OC上，則OE的長為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接、AD，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，即可求得CD、BD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到=AD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可到=BD=1，再根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】連接、AD，如圖，
∵四邊形OABC是矩形，
∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，
∵CD=3BD，
∴CD=3，BD=1，
∴CD=AB，
根據(jù)翻折的性質(zhì)有：=AD，，
∴在Rt△和Rt△DBA中，CD=AB，=AD，
∴Rt△≌Rt△DBA（HL），
∴=BD=1，
∴=2，
∵在Rt△中，，
∴，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
4．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點F，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明，得出，，設，則，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3，，
根據(jù)折疊可知，，，，
∴在△AFD和△EFB中，
∴（AAS），
∴，，
設，則，
在中，，
即，
解得：，則，
∴，故C正確．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，ABCD是一張矩形紙片，AB＝20，BC＝4，將紙片沿MN折疊，點，分別是B，C的對應點，MB′與DC交于K，若△MNK的面積為10，則DN的最大值是（）
A．7.5B．12.5C．15D．17
【答案】D
【分析】作NE⊥于E，NF⊥BM于F，由折疊得∠1＝∠2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得NE＝NF，可得四邊形BCNF是矩形，則NF＝BC＝4，根據(jù)△MNK的面積為10得NK＝MK＝5，根據(jù)勾股定理得KE＝3，則MF＝ME＝MK﹣KE＝5﹣3＝2，設DN＝x，則CN＝20﹣x，BM＝BF+MF＝20﹣x+2＝22﹣x，由折疊可得BM≥KM，即22﹣x≥5．可得x≤17，即可得DN≤17，則DN的最大值是17．
【詳解】解：如圖所示，過點N作NE⊥于E，NF⊥BM于F，
由折疊得∠1＝∠2，
∴NE＝NF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BFN＝90°，，
∴四邊形BCNF是矩形，∠DNM=∠2，
∴NE＝NF＝BC＝4，∠1=∠DNM，
∴NK=MK，
∵△MNK的面積為10，
∴KM?NE＝KN?NF＝10，
∴NK＝MK＝5，
∴KE＝＝3，
在△MEN和△MFN中，
，
∴△MEN≌△MFN（AAS），
∴MF＝ME＝MK﹣KE＝5﹣3＝2，
設DN＝x，則CN＝BF＝20﹣x，
∴BM＝BF+MF＝20﹣x+2＝22﹣x，
由折疊得BM≥KM，即22﹣x≥5．
∴x≤17，即DN≤17，
∴DN的最大值是17．
故選：D．
【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是BC上的點，且CM＝3，將矩形紙片ABCD沿過點M的直線折疊，使點D落在AB上的點P處，點C落在點C′處，折痕為MN，則線段AN的長是___．
【答案】4
【分析】連接PM，推出BM＝BC﹣CM＝9﹣3＝6，由折疊性質(zhì)得，CD＝PC′＝6，∠C＝∠PC′M＝∠PBM＝90°，C′M＝CM＝3，由Rt△PBM≌Rt△MC′P（HL），得出PB＝C′M＝3，所以PA＝AB﹣PB＝6﹣3＝3．設AN＝x，則ND＝9﹣x＝PN，在Rt△APN中，AN2+AP2＝PN2，即x2+32＝（9﹣x）2，求出x的值即可得出答案．
【詳解】解：連接PM，如圖：
∵AB＝6，BC＝9，CM＝3，
∴BM＝BC﹣CM＝9﹣3＝6，
由折疊性質(zhì)得，CD＝PC′＝6，∠C＝∠PC′M＝∠PBM＝90°，C′M＝CM＝3，
在Rt△PBM和Rt△MC′P中，
，
∴Rt△PBM≌Rt△MC′P（HL），
∴PB＝C′M＝3，
∴PA＝AB﹣PB＝6﹣3＝3．
設AN＝x，則ND＝9﹣x＝PN，
在Rt△APN中，AN2+AP2＝PN2，
即x2+32＝（9﹣x）2，
解得x＝4，
∴AN的長是4．
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查了翻折變化、矩形的性質(zhì)及勾股定理，熟練應用翻折變化的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)進行計算是解決本題的關(guān)鍵．
7．如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，沿AE所在的直線折疊△ADE，落在矩形內(nèi)部得到△AFE，延長AF交BC邊于點G，若＝，則的值為_________．
【答案】
【分析】連接GE，證明，得，設，表示出，，，，的長度，再由勾股定理得的長度，即可得出比值．
【詳解】如圖，連接GE，
∵在矩形ABCD中，
∴，，，
∴由折疊的性質(zhì)可知：，，，
∵點E是邊CD的中點，
∴，
∴，
又∵（公共邊），
∴，
∴，
∵，
∴設，
則，，，
∴，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，折疊前后的圖形對應邊、對應角分別相等是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，將此矩形折疊，使點C與點A重合，點D落在點D'處，折痕為EF，則DD'的長為 _____．
【答案】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得AD′=CD=6；連接AC，根據(jù)勾股定理求得AC=10，證得（AAS），根據(jù)全等的性質(zhì)得：D′F=BE，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段BE的方程，解方程求得BE的長，即可求得，然后通過證，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得DD′．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB= CD=6，
∵AD′=CD，
∴AD′=6；
連接AC，
∵AB=6，BC=AD=8，∠ABC=90°，
∴由勾股定理得：，
∵∠BAF=∠D′AE=90°，
∴∠BAE=∠D′AF，
在△BAE和△D′AF中
，
∴（ASA），
∴D′F=BE，∠AEB=∠AFD′，
∴∠AEC=∠D′FD，
由題意知：AE=EC；
設BE=x，則AE=EC=8-x，
在Rt△ABE中，∠B=90°，由勾股定理得：
（8-x）2=62+x2，
解得：，
∴BE=，AE=8-=，
∴，則：，
∵∠AD′F=∠D′AE=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為．
【點睛】本題主要考查了矩形的翻折變換的性質(zhì)及其應用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理等幾何知識點來解題．
9．如圖，矩形中，，，為中點．為上一點，將沿折疊后，點恰好落到上的點處，則______，______．
【答案】 6
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求EG；連接EC，證，由勾股定理即可求EF；
【詳解】解：連接CE，
∵為中點
∴
在和中
∵
∴
∴
設，則
即
解得：
故答案為：6；．
【點睛】本題主要考查矩形得性質(zhì)，三角形的全等，勾股定理，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
10．如圖，矩形ABCD中，，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE.
(1)求證：△ADE≌△CED；
(2)求證：△DEF是等腰三角形.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知AD＝BC、AB＝CD，再由折疊的性質(zhì)，可得BC＝CE，AB＝AE，進而可推導AD＝CE，AE＝CD，然后由“SSS”證明△ADE≌△CED即可；
（2）由（1）可知△ADE≌△CED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，即可證明△DEF是等腰三角形．
（1）
證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
由折疊的性質(zhì)，可得BC＝CE，AB＝AE，
∴AD＝CE，AE＝CD，
在△ADE和△CED中，
，
∴△ADE≌△CED（SSS）；
（2）
由（1）得△ADE≌△CED，
∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，
∴EF＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
11．如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點B的對應點為E，AE與CD交于點F．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由矩形與折疊的性質(zhì)可得，，從而可得結(jié)論；
（2）先證明，再求解，結(jié)合對折的性質(zhì)可得答案．
（1）
證明：將矩形ABCD沿對角線AC折疊，
則，．
在△DAF和△ECF中，

∴．
（2）
解：∵，
∴．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴．
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練的運用軸對稱的性質(zhì)證明邊與角的相等是解本題的關(guān)鍵．
12．將矩形ABCD對折，使AD與BC重合，得到折痕EF，展開后再一次折疊，使點A落在EF上的點處，并使得折痕經(jīng)過點B，得到折痕BG，連接，如圖1，問題解決：
(1)試判斷圖1中是什么特殊的三角形？并說明理由；
(2)如圖2，在圖1的基礎上，與BG相交于點N，點P是BN的中點，連接AP并延長交于點Q，求的值．
【答案】(1)是等邊三角形，理由見解析
(2)
【分析】（1）等邊三角形，解法一利用垂直平分線性質(zhì)得出AA′=BA′，利用折疊得出即可，解法二：根據(jù)折疊得出，，然后利用銳角三角函數(shù)定義得出，求出即可；
（2）解法一：過點N作交AP于H，先證（AAS），再證，得出即可解法二：由折疊可知，由點P是BN的中點，得出，利用平行線等分性質(zhì)得出，，證出即可．
(1)
解：是等邊三角形．
解法一：理由是：由折疊可知EF垂直平分AB；
∴AA′=BA′，
∵△ABG折疊得△A′BG，
∴，
∴；
∴是等邊三角形；
解法二：理由是：由折疊可知，，，
∴ ，
∴，
∴是等邊三角形；
(2)
解法一：
過點N作交AP于H，
∴，，
又∵點P是BN的中點，
∴，
在△PHN和△PQB中，
，
∴（AAS），
∴，
又∵，
∴，，
∴，
由折疊可知，
∴ ，
∴，
∴；
解法二：由折疊可知，
又∵點P是BN的中點，
∴，
過點N作交于M，
∴，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查一題多解，等邊三角形的判定，折疊性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，平行線等分線段定理，三角形相似判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值求角，掌握一題多解，等邊三角形的判定，折疊性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，平行線等分線段定理，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
13．如圖，在矩形ABCD中，M，N是對角線AC上的兩點，將矩形折疊分別使點B與點M重合，點D與點N重合，折痕分別為AE，CF．連接EF，交AC于點O．
(1)求證：．
(2)求證：四邊形ECFA是平行四邊形．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊證明即可；
（2）由（1）中全等可得AE＝CF，再證明即可．
(1)
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，，，
∴．
∵將矩形折疊分別使點B與點M重合，點D與點N重合，折痕分別為AE，CF，
∴，，
∴，
∴．
(2)
∵，
∴AE＝CF．
∵，，，
∴，
∴，
∴四邊形ECFA是平行四邊形
【點睛】本題考查矩形與折疊、平行四邊形的判定，熟記矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．實踐與探究
如圖①，在矩形ABCD中，，．將矩形ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在矩形ABCD的內(nèi)部，點D的對應點為點，折痕為AE，再將矩形ABCD沿過點A的直線折疊，使點B落在邊上，折痕為AF，點B的對應點為點．延長交AE于點G，過點G作直線交AD于點M，交BC于點N．
(1)求證：．
(2)求證：四邊形ABNM是正方形．
(3)若，求線段BF的長．
(4)如圖②，將矩形沿所在直線繼續(xù)折疊，點C的對應點為點．我們發(fā)現(xiàn)，點E的位置不同，點的位置也不同．當點恰好與點重合時，線段DE的長為__________．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)7.2；
(4)
【分析】（1）利用折疊性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)和正方形的判定證明即可；
（3）利用正方形的性質(zhì)得出MN=AB=BN=AM=12，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明△AMG∽△ADE求得MG=3，設BF==x，可求得GN=9，F(xiàn)G=3+x，F(xiàn)N=12-x，在△GNF中利用勾股定理求得x即可求解；
（4）設DE =y，則CE=12-y，根據(jù)折疊性質(zhì)得E=y，E=12-y，再由勾股定理求得y值即可求解．
（1）
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=12，AD=BC=16，∠B=∠D=∠BAD=∠C=90°，
由折疊性質(zhì)得：∠MAG=∠AG，∠AF=∠AG=∠B=90°，AB=A，
∵MN⊥AD，
∴∠AMN=90°，則∠AMG=∠AG=90°
在△AMG和△AG中，
∴（AAS）；
（2）
證明：∵∠B=∠BAD=∠AMN=90°，
∴四邊形ABNM是矩形，
∵，
∴AM=A，則AM=AB，
∴四邊形ABNM是正方形；
（3）
解：∵四邊形是ABNM正方形，
∴MN=AM=BN=AB=12，
∵∠AMN=∠D=90°，∠DAE=∠DAE，
∴△AMG∽△ADE，
∴，
∵AM=12，DE=4，AD=16，
∴，
∴MG=3，
∵，
∴MG=G=3，
設BF==x，則GN=12-3=9，F(xiàn)G=x+3，F(xiàn)N=12-x，
在△GNF中，∠GNF=90°，
∴由勾股定理得：GN2+FN2=FG2，
∴92+（12-x）2=（x+3）2，
解得：x=7.2，
∴BF=7.2；
（4）
解：由折疊性質(zhì)得：A=AD=16，AB=A=12，E=CE，DE=E，∠D==90°，
∴=16-12=4，
設DE =y，則CE=12-y，
在中，=90°，=y，=12-y，
∴由勾股定理得：2+2=2，
則42+y2=（12-y）2，解得：y= ，
∴DE= ．
故答案為：．
【點睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．
15．在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的動點，且DE＝BF，連接EF．將矩形ABCD沿EF折疊，點A落在點G處，點B落在點H處．
(1)如圖①，當線段EG與線段BC交于點P時，求證：PE＝PF；
(2)如圖②，當線段EG的延長線與線段BC的延長線交于點P時．GH交線段CD交于點M，
①求證：△PCM≌△PGM；
②E，F(xiàn)在運動過程中，點M是否在線段EF的垂直平分線上？如果在，請證明；如果不在，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②當點E，F(xiàn)在運動過程中，點M一直在線段EF的垂直平分線上．證明見解析
【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可知：∠AEF＝∠GEF，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠AEF＝∠EFP，即可得到∠GEF＝∠EFP，根據(jù)等角對等邊即可得證；
（2）①根據(jù)HL證明Rt△PCM≌Rt△PGM，即可得證；
②當點E，F(xiàn)在運動過程中，點M一直在線段EF的垂直平分線上．
如圖：連接BD交EF于點O，連接OP，證明△DOE≌△BOF（ASA），由①可得PE＝PF，OP是線段EF的垂直平分線，OP也是∠EPF的角平分線（三線合一）．
由①△PCM≌△PGM，得∠CPM＝∠GPM，即：MP是∠CPG的角平分線，可得當點E、F在移動過程中，點M一直在線段EF的垂直平分線上．
（1）
由折疊的性質(zhì)可知：∠AEF＝∠GEF，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFP，
∴∠GEF＝∠EFP，
∴PE＝PF；
（2）
①由折疊的性質(zhì)可知：AE＝EG，
∵矩形ABCD中，AD＝BC，DE＝BF，
∴AD－DE＝BC－BF，即：
AE＝FC，
∴EG＝FC，
又∵∠PEF＝∠AEF＝∠PFE，
∴PE＝PF，
∴PE－EG＝PF－CF，即：PG＝PC；
又∵DC⊥BC，HG⊥EG，
∴∠MCP＝∠MGP＝90°；
又∵PM＝PM，
∴Rt△PCM≌Rt△PGM（HL）；
即：△PCM≌△PGM；
②當點E，F(xiàn)在運動過程中，點M一直在線段EF的垂直平分線上．
如圖：連接BD交EF于點O，連接OP，
∵AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
又∵DE＝BF，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴OE＝OF；
由①可得PE＝PF，∴OP是線段EF的垂直平分線，
∴OP也是∠EPF的角平分線（三線合一）．
由①△PCM≌△PGM得：∠CPM＝∠GPM，即：MP是∠CPG的角平分線，
∵∠EPF與∠CPG是同一個角，
∴MP與OP重合，
即：當點E、F在移動過程中，點M一直在線段EF的垂直平分線上．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形AC沿折疊，點B落在點E處，AE與DC的交點為O，連接DE．
(1)求證：．
(2)求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得BC=CE=AD，AB=AE=CD，根據(jù)SSS可證△ADE≌△CED (SSS)；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠EDC=∠DEA，由于△ACE與△ACB關(guān)于AC所在直線對稱，可得∠OAC=∠CAB，根據(jù)等量代換可得∠OAC=∠DEA，再根據(jù)平行線的判定即可求解．
（1）
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵AC是折痕，
∴BC=CE=AD，AB=AE=CD，
在△ADE與△CED中，
∴△ADE≌△CED (SSS)，
（2）
證明：∵△ADE≌△CED，
∴∠EDC=∠DEA，
又∵△ACE與△ACB關(guān)于AC所在直線對稱，
∴∠OAC=∠CAB，
∵∠OCA=∠CAB，
∴∠OAC=∠OCA，
在△DOE和△AOC中，∠DOE=∠AOC，
∵2∠OAC=180°－∠AOC，2∠DEA=180°－∠DOE，
∴2∠OAC=2∠DEA，
∴∠OAC=∠DEA，
∴．
【點睛】本題考查了翻折變換(折疊問題)，矩形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，將沿BE折疊后得到，且G點在矩形ABCD的內(nèi)部，延長BG交DC于點F，連接EF．
(1)求證：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得AE=EG=DE，由“HL”可證Rt△DEF≌Rt△GEF；
（2）設DC=3x，DF=2x，由線段的和差關(guān)系可求AB=3x，BF=5x，由勾股定理可求解．
(1)
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，，，
∵E是AD的中點，
∴，
∵將沿BE折疊后得到，
∴，，，
∴，，
∴在和中，，
∴；
(2)
∵，
∴，
∵，
∴設，，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
18．折疊矩形ABCD，使點D落在BC邊上的點F處，折痕為AE．
(1)求證△ABF∽△FCE；
(2)若CF＝4，EC＝3，求矩形ABCD的面積．
【答案】(1)見解析
(2)矩形ABCD的面積為80
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)即可證明△ABF∽△FCE．
（2）由（1）得△ABF∽△FCE，所以，進而可以解決問題．
(1)
證明：由矩形ABCD可得，∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∴∠BAF+∠AFB＝90°．
由折疊得∠AFE＝∠D＝90°．
∴∠AFB+∠EFC＝90°．
∴∠BAF＝∠EFC．
∴△ABF∽△FCE；
(2)
解：∵CF＝4，EC＝3，∠C＝90°
∴EF＝DE＝5，
∴AB＝CD＝8．
由（1）得△ABF∽△FCE，
∴
∴BF＝6．
∴BC＝10．
∴S＝AB?CB＝10×8＝80．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABF∽△FCE．
19．如圖，在矩形ABCD中，AD＜2AB，點E是AD的中點，連接BE，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交DC于點F，連接EF．
(1)求證：△EGF≌△EDF；
(2)若點F是CD的中點，BC＝8，求CD的長．
【答案】(1)見解析
(2)4
【分析】（1）由翻折和矩形的性質(zhì)可知∠EGF＝∠D＝90°，EG＝ED，可通過HL證明Rt△EGF≌Rt△EDF；
（2）根據(jù)點F是CD的中點知：CF＝CD，BF＝，在Rt△BCF中，利用勾股定理即可列出方程．
(1)
證明：∵將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，
∴∠BGE＝∠A，AE＝GE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠EGF＝∠D＝90°，
∵點E是AD的中點，
∴EA＝ED，
∴EG＝ED，
在Rt△EGF與Rt△EDF中，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）．
(2)
由（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF＝DF，
∵點F是CD的中點，
∴GF＝DF＝CF＝，
在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB＝CD，又由折疊可知AB＝GB，
∴GB＝CD，
∴BF＝GB+GF＝，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
∴，
∵CD＞0，
∴CD＝．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，明確翻折前后對應邊相等是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，在正方形中，，E為中點，連接，將沿折疊，點B的對應點為G，連接并延長交于點F，連接，．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)求的長．
【答案】(1)平行，理由見解析
(2)2
【分析】（1）由折疊知，可得，根據(jù)E為的中點，可得，進而可得，根據(jù)，即可得證；
（2）證明，得，設，則，．勾股定理列出方程，解方程求解即可．
（1）
解：．
理由如下：
由折疊知，
∴，．
又E為的中點，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）
∵四邊形是正方形，
∴．
又，，,
∴．
∴．
設，
則，．
∴．
即．
解得．
即．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，HL證明三角形全等，全等三角形的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．
21．如圖，長方形ABCD中，AB＞AD，把長方形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE．
(1)圖中有個等腰三角形；（請直接填空，不需要證明）
(2)求證：△ADE≌△CED；
(3)請證明點F在線段AC的垂直平分線上．
【答案】(1)2
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）由題意知CE=BC=AD，∠EAC=∠BAC=∠DCA，有△ACF為等腰三角形；在和中，，知，有∠DEA=∠EDC，有△DEF為等腰三角形；
（2）在和中，，可得；
（3）由于，，，有，，故，進而可得出結(jié)果．
(1)
解：有△ACF和△DEF共2個等腰三角形
證明如下：由折疊的性質(zhì)可知CE=BC=AD，∠EAC=∠BAC
∵
∴∠EAC=∠DCA
∴△ACF為等腰三角形；
在和中
∵
∴
∴∠DEA=∠EDC
∴△DEF為等腰三角形；
故答案為：2．
(2)
證明：∵四邊形ABCD是長方形
∴，
由折疊的性質(zhì)可得：，
∴，
在和中，
∴．
(3)
證明：由（1）得
∴，即
∴
又∵
∴
∴
∴點F在線段AC的垂直平分線上．
【點睛】本題考查了幾何圖形折疊的性質(zhì)，矩形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等，垂直平分線等知識．解題的關(guān)鍵在于靈活運用知識．
22．如圖，在中，，點D為邊BC上一點，以AB，BD為鄰邊作，連接AD、EC．
(1)求證：；
(2)若，求證：四邊形ADCE是矩形．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△ADC≌△ECD；
（2）利用等腰三角形的“三合一”性質(zhì)推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四邊形的判定定理（對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形）證得四邊形ADCE是平行四邊形，所以有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
（1）
證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴ABDE，AB=DE；
∴∠B=∠EDC；
又∵AB=AC，
∴AC=DE，∠B=∠ACB，
∴∠EDC=∠ACD；
∵在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（2）
∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴BDAE，BD=AE，
∴AECD；
又∵BD=CD，
∴AE=CD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形；
在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四邊形ADCE是矩形．
【點睛】本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一個角是直角的‘平行四邊形’是矩形”，而不是“有一個角是直角的‘四邊形’是矩形”．
23．如圖1，為了探究某種類型矩形ABCD的性質(zhì)，數(shù)學項目學習小組在BC邊上取一點E，連接DE．經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當DE平分∠ADC時，將△ABE沿AE折疊至△AFE，點F恰好落在DE上．據(jù)此解決下列問題：
(1)求證：△AFD≌△DCE；
(2)如圖2，延長CF交AE于點G，交AB于點H．
①求證：AH·AF＝AG·CF ；
②求GH∶DF的值．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②3－4
【分析】（1）根據(jù)ED平分∠ADC，有∠ADE=∠EDC=45°，即∠DEC=45°，根據(jù)翻折的性質(zhì)，有，即AB=AF，∠AFD=∠B=90°，則有AF=AB=DC，∠FAD=∠ADE=45°，即可得；
（2）①根據(jù)△AFD≌△DCE，得出AD＝DE，AF＝DF＝DC＝CE，證明，∠EFC＝∠AHG，即可證明△AHG∽△CFE，即可證明結(jié)論；
②過點F作FM⊥BC于點M，設EC=CD=AF=DF=AB=a，根據(jù)條件求出，，利用△AHG∽△CFE，求出，即可求出答案．
（1）
證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴，，，
∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC=45°，
∴∠DEC=90°-∠EDC=45°，
根據(jù)翻折的性質(zhì)，有，
∴AB=AF，∠AFD=∠B=90°，
∴AF=AB=DC，∠FAD=∠ADE=45°，
∴．
（2）
證明：①∵△AFD≌△DCE，
∴AD＝DE，AF＝DF＝DC＝CE，
∴∠DCF＝∠DFC＝67.5°，
∴∠ECF＝22.5°，
∵AD=DE，
，
∴∠HAG=22.5°，
∴，
∵∠EFC＝180°－67.5°＝112.5°，∠AHG＝90°＋22.5°＝112.5°，
∴∠EFC＝∠AHG，
∴△AHG∽△CFE，
，
，
∵EC=CD=AF=DF=AB，
∴AH·AF＝AG·CF；
②過點F作FM⊥BC于點M，如圖所示：
設EC=CD=AF=DF=AB=a，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在Rt△BCH中，
，
∵△AHG∽△CFE，
，
∴，
，
．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，證明△AHG∽△CFE，是解答本題的關(guān)鍵．
24．在矩形ABCD中，，P是邊AB上一點，把沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F．
(1)如圖1，若點E是AD的中點，求證：；
(2)如圖2，當，且時，求的值；
(3)如圖3，當時，求BP的值．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)7
【分析】（1）先判斷出∠A=∠D=90°，AB=DC，再判斷出AE=DE，進而根據(jù)“SAS”即可得出結(jié)論；
（2）利用折疊的性質(zhì)，得出∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，進而由平行線的性質(zhì)得出∠GPF＝∠PFB，等量代換可得：∠BPF＝∠BFP，繼而得出BP＝BF，證明△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE＝9，DE＝16，再判斷出△ECF∽△GCP，進而求出PB，即可得出結(jié)論；
（3）連接FG，易證四邊形BPGF是菱形，繼而判斷出△GEF∽△EAB，得出，即可得出結(jié)論．
（1）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中點，
∴AE＝DE，
在△AEB和△DEC中，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
（2）
在矩形ABCD，∠ABC＝90°，，
∵△BPC沿PC折疊得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
設AE＝x，
∴，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
，
同理可得：CE＝20，
由折疊得，BP＝PG，
∴BP＝BF＝PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
設BP＝BF＝PG＝y(tǒng)，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
（3）
如圖，連接FG，
∵∠GEF＝∠PGC＝90°，
∴BF∥PG
由（2）知，BF＝PG＝BF，
∴四邊形BPGF是菱形，
∴BP∥GF，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴，
∵BE?EF＝84，AB＝12，
∴GF＝7，
∴BP＝GF＝7．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，折疊的性質(zhì)，利用方程思想解決問題是本題的關(guān)鍵．
特點
在矩形ABCD中，將△ABC沿著對角線AC翻折得到△AB’C，B’C交AD于點E。
結(jié)論
（1）△AEB’≌△CED；（2）AE=CE。
特點
在矩形ABCD中，E、F分別為邊BC、AD上的任意點，連接EF，將四邊形CDFE沿著EF翻折得到C’D’FE，。
結(jié)論
（1）△CED≌△C’ED’；
（2）四邊形EDFD’為菱形；
（3）C、E、D’三點共線，且C’D∥FD’。

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