中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)通用)專題02全等三角形中的半角模型(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【模型證明】
【模型拓展】
【題型演練】
一、單選題
1．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分別為BC、CD上一點(diǎn)，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．則BE的長(zhǎng)為（）
A．1B．2C．3D．4
2．如圖，點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中保持∠MAN＝45°，連接EN、FM相交于點(diǎn)O，以下結(jié)論：①M(fèi)N＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF?DE；④OM＝OF（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空題
3．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長(zhǎng)為_____．
4．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，若，則的長(zhǎng)為______．
5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長(zhǎng)為 _____．
三、解答題
6．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn),且∠EDF=45°.將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.
（1）求證：EF=FM
（2）當(dāng)AE=1時(shí)，求EF的長(zhǎng)．
7．已知，如圖所示，正方形中，，分別在邊，上，且，，分別交于，，連，求證：
① ②.
8．如圖，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后，得到，連接EM，AE，且使得．
（1）求證：；（2）求證：.
9．已知：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，
∠E'AF＝度，……
根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
類比探究：
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；
拓展應(yīng)用：
(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．
10．如圖1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于點(diǎn)O．
(1)求邊AB的長(zhǎng)；
(2)求∠BAC的度數(shù)；
(3)如圖2，將一個(gè)足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由．
11．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，∠ECG=45°，求證EG=BE+GD．
（2）請(qǐng)用（1）的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)完成此題：如圖2，在四邊形ABCD中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點(diǎn)，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的長(zhǎng)？
12．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接DE，將DE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到EG，過點(diǎn)G作GF⊥CB，垂足為F，GH⊥AB，垂足為H，連接DG，交AB于I．
(1)求證：
(2)求證：四邊形BFGH是正方形；
(3)求證：ED平分∠CEI
13．學(xué)完旋轉(zhuǎn)這一章，老師給同學(xué)們出了這樣一道題：
“如圖1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求證：EF＝BE＋DF．”
小明同學(xué)的思路：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．
把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，然后證明，從而可得．
，從而使問題得證．
(1)【探究】請(qǐng)你參考小明的解題思路解決下面問題：
如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接寫出EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．
(2)【應(yīng)用】如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求證：EF＝BE＋DF．
(3)【知識(shí)遷移】如圖4，四邊形ABPC是的內(nèi)接四邊形，BC是直徑，AB＝AC，請(qǐng)直接寫出PB＋PC與AP的關(guān)系．
特點(diǎn)
過正方形ABCD頂角頂點(diǎn)（設(shè)頂角為A），引兩條射線且它們的夾角為∠A2；這兩條射線與過底角頂點(diǎn)的相關(guān)直線交于兩點(diǎn)E、F，則BE,EF,FC之間必存在固定關(guān)系。這種關(guān)系僅與兩條相關(guān)直線及頂角A相關(guān).
解決方法
以點(diǎn)A為中心，把△ADF（順時(shí)針或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)角A度，至△ABF'；
結(jié)論
1、△AMN全等于△AMN'，MN=MN';
2、△AEF全等于△AEF'，EF=EF'→BE+EF=EF;
3、；
4、△CEF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的一半；
5、點(diǎn)A到EF的距離等于正方形的邊長(zhǎng)（AB）。
應(yīng)用環(huán)境
1：頂角為特殊角的等腰三角形，如頂角為30°、45°、60°、75°或它們的補(bǔ)角、90°；
2：正方形、菱形等也能產(chǎn)生等腰三角形；
3：過底角頂點(diǎn)的兩條相關(guān)直線：底邊、底角兩條平分線、腰上的兩高、底角的鄰補(bǔ)角的兩條角平分線，底角的鄰余角另外兩邊等；正方形或棱形的另外兩邊；
4：此等腰三角形的相關(guān)弦.
證明
90°中夾45°(正方形中的半角模型)
條件：在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=45°，BD為對(duì)角線，交AE于M點(diǎn)，交AF于N點(diǎn)。
結(jié)論①：圖1、2中，EF=BE+FD
證明：如圖3中，將AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，F(xiàn)點(diǎn)落在F’處，連接BF’，
∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，
且AE=AE，AF=AF’，
∴△FAE≌△F’AE(SAS)，
∴EF=EF’，
又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，
∴F’、B、E三點(diǎn)共線，
∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
結(jié)論②：圖2中MN2=BM2+DN2；
證明：如圖4中，將AN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，N點(diǎn)落在N’處，連接AN’、BN’、MN’，
∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，
且AM=AM，AN=AN’，
∴△MAN’≌△MAN(SAS)，
∴MN=MN’，
又∠ADN=45°=∠ABN’，∠ABD=45°，
∴∠MBN’=∠ABD+∠ABN’=45°+45°=90°，
∴在Rt△MBN’中，MN’2=BM2+BN’2，
即MN2=BM2+BN’2。
結(jié)論③：圖1、2中EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE。
證明過程見證明①中時(shí)△FAE≌△F’AE即可。
結(jié)論④：圖1、2中。
證明：如圖5中，過A點(diǎn)作AH⊥EF于H點(diǎn)，由結(jié)論③可知：∠AEH=∠AEB，
且∠AHE=∠ABE=90°，AE=AE，∴△AEB≌△AEH(AAS)，
∴AH=AB=AD，進(jìn)而可以證明△AHF≌△ADF(AAS)，
∴.
專題02 全等三角形中的半角模型
【模型展示】
【模型證明】
【模型拓展】
【題型演練】
一、單選題
1．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分別為BC、CD上一點(diǎn)，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．則BE的長(zhǎng)為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】延長(zhǎng)CB到H，使BH=DF=1，連接AH，則可證得△ABH≌△ADF，從而AH=AF，∠BAH=∠DAF，易證△AHE≌△AFE，可得HE=EF=3，則可求得BE的長(zhǎng)．
【詳解】延長(zhǎng)CB到H，使BH=DF=1，連接AH，如圖
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O
∴∠ABC+∠ADC=180゜
∵∠ABH+∠ABC=180゜
∴∠ABH=∠ADF
在△ABH和△ADF中
∴△ABH≌△ADF
∴AH=AF，∠BAH=∠DAF
∵∠BAD+∠BCD=180゜，∠BCD=120゜
∴∠BAD=180゜-∠BCD=60゜
∵∠EAF=30゜
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=30゜
∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=30゜
在△AHE和△AFE中
∴△AHE≌△AFE
∴HE=EF=3
∴BE=HE-BH=3-1=2
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造輔助線得到全等三角形的問題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．
2．如圖，點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中保持∠MAN＝45°，連接EN、FM相交于點(diǎn)O，以下結(jié)論：①M(fèi)N＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF?DE；④OM＝OF（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】A
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，由“SAS”可證△AMN≌△AM′N，可得MN=NM′，可得MN=BM+DN，故①正確；由“SAS”可證△AEF≌△AED'，可得EF=D'E，由勾股定理可得BE2+DF2=EF2；故②正確；通過證明△DAE∽△BFA，可得，可證BC2=DE?BF，故③正確；通過證明點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)M，點(diǎn)F四點(diǎn)共圓，∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，可證MO=EO，由∠BAM≠∠DAN，可得OE≠OF，故④錯(cuò)誤，即可求解．
【詳解】解：將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADM′，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABD'，
∴AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，
∴∠ADM'+∠ADC=180°，
∴點(diǎn)M'在直線CD上，
∵∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°=∠DAN+∠DAM'=∠M'AN，
∴∠M′AN=∠MAN=45°，
又∵AN=AN，AM=AM'，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴MN=NM′，
∴M′N=M′D+DN=BM+DN，
∴MN=BM+DN；故①正確；
∵將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABD'，
∴AF=AD'，DF=D'B，∠ADF=∠ABD'=45°，∠DAF=∠BAD'，
∴∠D'BE=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°=∠BAD'+∠BAE=∠D'AE，
∴∠D'AE=∠EAF=45°，
又∵AE=AE，AF=AD'，
∴△AEF≌△AED'（SAS），
∴EF=D'E，
∵D'E2=BE2+D'B2，
∴BE2+DF2=EF2；故②正確；
∵∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+45°，∠AEF=∠BAE+∠ABE=45°+∠BAE，
∴∠BAF=∠AEF，
又∵∠ABF=∠ADE=45°，
∴△DAE∽△BFA，
∴，
又∵AB=AD=BC，
∴BC2=DE?BF，故③正確；
∵∠FBM=∠FAM=45°，
∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)M，點(diǎn)F四點(diǎn)共圓，
∴∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，
同理可求∠AEN=90°，∠DAN=∠DEN，
∴∠EOM=45°=∠EMO，
∴EO=EM，
∴MO=EO，
∵∠BAM≠∠DAN，
∴∠BFM≠∠DEN，
∴EO≠FO，
∴OM≠FO，故④錯(cuò)誤，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
3．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長(zhǎng)為_____．
【答案】2+2
【分析】將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，由旋轉(zhuǎn)得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根據(jù)SAS推出△AEM≌△ANM，根據(jù)全等得出MN＝ME，求出MN＝CN＋BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周長(zhǎng)＝BD＋DC，代入求出答案即可．
【詳解】將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：

由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，
∵∠BAC＝∠D＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABD+∠ABE＝180°，
∴E，B，M三點(diǎn)共線，
∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN，
在△AEM和△ANM中，
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴MN＝ME，
∴MN＝CN+BM，
∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，
∴CD＝BC＝2，BD＝＝2，
∴△DMN的周長(zhǎng)為DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2，
故答案為：2+2．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．
4．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，若，則的長(zhǎng)為______．
【答案】5
【分析】由題意易得，則有，然后可證，則有，設(shè)，則有，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長(zhǎng)為6，
∴，
∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴，
∴點(diǎn)G、B、E三點(diǎn)共線，
∵，
∴，
∵AE=AE，
∴，
∴，
設(shè)，則有，
∴在Rt△ECF中，由勾股定理可得，
即，
解得：，
∴；
故答案為5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長(zhǎng)為 _____．
【答案】2
【分析】延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG=CF，連接DG，EF，利用SAS證明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再證明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，設(shè)AE=x，則BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解決問題．
【詳解】解：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG＝CF，連接DG，EF，
∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，
∴△ADG≌△CDF（SAS），
∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF，
∵∠EDF＝45°，
∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°，
∵DE＝DE，
∴△GDE≌△FDE（SAS），
∴GE＝EF，
∵F是BC的中點(diǎn)，
∴AG=CF=BF=3，
設(shè)AE＝x，則BE＝6﹣x，EF＝x+3，
由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得x＝2，
∴AE＝2，
∴DE＝，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握半角模型的處理策略是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
6．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn),且∠EDF=45°.將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.
（1）求證：EF=FM
（2）當(dāng)AE=1時(shí)，求EF的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析；（2）.
【分析】（1）由折疊可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出EF=MF；
（2）由第一問的全等得到AE=CM=1，正方形的邊長(zhǎng)為3，用AB-AE求出EB的長(zhǎng)，再由BC+CM求出BM的長(zhǎng)，設(shè)EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長(zhǎng)．
【詳解】(1)∵△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，
∴DE=DM ，∠EDM=90°，
∴∠EDF + ∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM =∠EDM=45°，
∵ DF= DF，
∴△DEF≌△DMF，
∴ EF=MF
（2）設(shè)EF=x，
∵AE=CM=1 ，
∴ BF=BM-MF=BM-EF=4-x，
∵ EB=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，
即，
解得，.
7．已知，如圖所示，正方形中，，分別在邊，上，且，，分別交于，，連，求證：
① ②.
【答案】見解析
【分析】①把△ABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=GD，AE=AG，再根據(jù)∠EAF=45°求出∠FAG=45°，然后利用邊角邊定理證明△AEF與△AGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=GF，即EF=GD+FD，即可證明EF=BE+DF；
②把△ADH繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABN，連接GN，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠NAE=∠EAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GH=GN，求得∠NBG=∠ABN+∠ABG=45°+45°=90°，根據(jù)勾股定理得到BG2+HD2=GH2；
【詳解】①如圖，把△ABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM，
∴BE=MD，AE=AM，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAM=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠FAM，
在△AEF和△AMF中，
，
∴△AEF≌△AMF（SAS），
∴EF=MF，
即EF=MD+DF，
∴BE+DF=EF；
②如圖，把△ADH繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABN，連接GN，
∴BN=DH，AN=AH，∠BAN=∠DAH，∠ABN=∠ADH，
∵∠EAF=45°，
∴∠NAE=∠BAN+∠BAE=∠DAH+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠NAE=∠EAF，
在△ANG和△AGH中，
，
∴△AGN≌△AGH（SAS），
∴GH=GN，
在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADH=45°，
∴∠NBG=∠ABN+∠ABG=45°+45°=90°，
∴BG2+BN2=NG2，
即BG2+HD2=GH2.
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
8．如圖，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后，得到，連接EM，AE，且使得．
（1）求證：；（2）求證：.
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△AME≌△AFE（SAS），即可得出答案；
（2）利用（1）中所證，再結(jié)合勾股定理即可得出答案．
【詳解】證明：（1）∵將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到，
，，，
，
，
，
，
在△AME和中
，
，
；
（2）由（1）得：，
在中，，
又∵，
．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確得出△AME≌△AFE是解題關(guān)鍵．
9．已知：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，
∠E'AF＝度，……
根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
類比探究：
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；
拓展應(yīng)用：
(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．
【答案】(1)45
(2)DF＝BE+EF，證明見解析
(3)2
【分析】（1）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則、、在一條直線上，，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，得，因此，同（2）得△，則，，得、、圍成的三角形面積，即可求解．
（1）
解：如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，
則F、D、在一條直線上，≌△ABE，
∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，
∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，
則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠，
∴△AEF≌△（SAS），
∴，
∵，
∴EF＝BE+DF．
故答案為：45；
（2）
解：DF＝BE+EF 理由如下：
將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△，
∴△≌△ABE，
∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，
∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，
則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，
∴∠＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△中，
，
∴△AEF≌△（SAS），
∴，
∵，
∴DF＝BE+EF；
（3）
解：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，
則△≌△ABD，
∴CD'＝BD，
∴，
同（2）得：△ADE≌△（SAS），
∴，，
∴BD、DE、EC圍成的三角形面積為、、EC圍成的三角形面積．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及四邊形和三角形面積等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)正確作出輔助線得出全等三角形，屬于中考?？碱}型．
10．如圖1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于點(diǎn)O．
(1)求邊AB的長(zhǎng)；
(2)求∠BAC的度數(shù)；
(3)如圖2，將一個(gè)足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由．
【答案】（1）2；（2）；（3）見詳解
【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出OA=1，OB=，根據(jù)勾股定理可得出答案；
（2）得出△ABC是等邊三角形即可；
（3）由△ABC和△ACD是等邊三角形，利用ASA可證得△ABE≌△ACF；可得AE=AF，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形推出即可．
【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB為直角三角形，且．
∴；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
由（1）得：AB=AC=BC=2，
∴△ABC為等邊三角形，
∠BAC=60°；
（3）△AEF是等邊三角形，
∵由（1）知，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是2，AC=2，
∴△ABC和△ACD是等邊三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)以及圖形的旋轉(zhuǎn)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)．
11．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，∠ECG=45°，求證EG=BE+GD．
（2）請(qǐng)用（1）的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)完成此題：如圖2，在四邊形ABCD中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點(diǎn)，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的長(zhǎng)？
【答案】（1）證明見解析；（2）EG=10．
【分析】（1）延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE，連接CF，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可直接證明△EBC≌△FDC，從而得出∠BCE=∠DCF，根據(jù)∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可證出EG=BE+GD；
（2）過C作CD⊥AG，交AG延長(zhǎng)線于D，則四邊形ABCD是正方形，設(shè)EG=x，則AE=8，根據(jù)（1）可得：AG=16-x，在直角△AGE中利用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖3所示，延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE，連接CF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，
∵∠CDF=180°-∠ADC，
∴∠CDF=90°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵BE=DF，
∴△EBC≌△FDC，
∴∠BCE=∠DCF，EC=FC，
∵∠ECG=45°，
∴∠BCE+∠GCD=90°-∠ECG=90°-45°=45°，
∴∠GCD+∠DCF=∠FCG=45°，
∴∠ECG=∠FCG．
∵GC=GC，EC=FC，
∴△ECG≌△FCG，
∴EG=GF．
∵GF=GD+DF= BE+GD，
∴EG= BE+GD．
（2）解：如圖4，過C作CD⊥AG，交AG延長(zhǎng)線于D，
在直角梯形ABCG中，
∵AGBC，∠A=∠B=90°，
又∠CDA=90°，AB=BC，
∴四邊形ABCD為正方形．
∴AD=AB=BC=12．
已知∠ECG=45°，根據(jù)（1）可知，EG=BE+DG，
設(shè)EG=x，則AG=AD-DG= AD-(EG-BE)=12-(x-4)=16-x，
∴AE=12-BE=12-4=8．
在Rt△AEG中
∵EG2=AG2+AE2，
即x2=（16-x）2+82，
解得：x=10．
∴EG=10．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，注意每個(gè)題目之間的關(guān)系，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接DE，將DE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到EG，過點(diǎn)G作GF⊥CB，垂足為F，GH⊥AB，垂足為H，連接DG，交AB于I．
(1)求證：
(2)求證：四邊形BFGH是正方形；
(3)求證：ED平分∠CEI
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）先證明∠FEG=∠EDC，即可利用AAS證明全等；
（2）首先證明四邊形FBHG是矩形，再證明FB=FG即可解決問題；
（3）延長(zhǎng)BC到J，使得CJ=AI．證明△IDE≌△JDE（SAS）即可解決問題．
（1）
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠DCE=∠ABC=∠ABF=90°，
∵GF⊥CF，GH⊥AB，
∴∠F=∠GHB=∠FBH=90°，
∴四邊形FBHG是矩形，
∵ED=EG，∠DEG=90°，
∵∠DEC+∠FEG=90°，∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠FEG=∠EDC，
在△DCE和△EFG中
∴△DCE≌△EFG（AAS），
（2）
∵△DCE≌△EFG
∴FG=EC，EF=CD，
∵CB=CD，
∴EF=BC，
∴BF=EC，
∴BF=GF，
∵四邊形FBHG是矩形
∴四邊形FBHG是正方形．
（3）
延長(zhǎng)BC到J，使得CJ=AI．
∵DA=DC，∠A=∠DCJ=90°，AI=CJ，
∴△DAI≌△DCJ（SAS），
∴DI=DJ，∠ADI=∠CDJ，
∴∠IDJ=∠ADC=90°，
∵∠IDE=45°，
∴∠EDI=∠EDJ=45°，
∵DE=DE，
∴△IDE≌△JDE（SAS），
∴∠DEI=∠DEJ，
∴DE平分∠IEC．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
13．學(xué)完旋轉(zhuǎn)這一章，老師給同學(xué)們出了這樣一道題：
“如圖1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求證：EF＝BE＋DF．”
小明同學(xué)的思路：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．
把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，然后證明，從而可得．
，從而使問題得證．
(1)【探究】請(qǐng)你參考小明的解題思路解決下面問題：
如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接寫出EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．
(2)【應(yīng)用】如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求證：EF＝BE＋DF．
(3)【知識(shí)遷移】如圖4，四邊形ABPC是的內(nèi)接四邊形，BC是直徑，AB＝AC，請(qǐng)直接寫出PB＋PC與AP的關(guān)系．
【答案】(1)BE＋DF＝EF
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）將△ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAD得△，證明△AEF≌△，等量代換即得結(jié)論；
（2）將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAD，先證明∠EAF=，再證明△AEF≌△，等量代換即得結(jié)論；
（3）將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明P，C，在同一直線上，再證明△為等腰直角三角形，等量代換即得結(jié)論．
（1）
解：結(jié)論：BE＋DF＝EF，理由如下：
證明：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAD，使得AB與AD重合，點(diǎn)E轉(zhuǎn)到點(diǎn)的位置，如圖所示，
可知，
∴．
由∠ADC+∠=180°知，C、D、共線，
∵，
∴∠BAF+∠DAF=∠EAF，
∴∠+∠DAF=∠EAF=，
∴△AEF≌△，
∴EF==BE+DF．
（2）
證明：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAD，使得AB與AD重合，點(diǎn)E轉(zhuǎn)到點(diǎn)的位置，如圖所示，
由旋轉(zhuǎn)可知，
∴，，，．
∵∠B＋∠ADC＝180°，
∴，
∴點(diǎn)C，D，在同一條直線上．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵AF＝AF，
∴，
∴，即BE＋DF＝EF．
（3）
結(jié)論：，理由如下：
證明：將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，使得AB與AC重合，如圖所示，
由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得：∠AC+∠ACP=180°，
即P，C，在同一直線上．
∴，，
∵BC為直徑，
∴∠BAC=90°=∠BAP+∠PAC=∠CA+∠PAC=，
∴△為等腰直角三角形，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)與全等三角形的綜合應(yīng)用、直徑所對(duì)的圓周角是直角、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．解題關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形．
特點(diǎn)
過正方形ABCD頂角頂點(diǎn)（設(shè)頂角為A），引兩條射線且它們的夾角為∠A2；這兩條射線與過底角頂點(diǎn)的相關(guān)直線交于兩點(diǎn)E、F，則BE,EF,FC之間必存在固定關(guān)系。這種關(guān)系僅與兩條相關(guān)直線及頂角A相關(guān).
解決方法
以點(diǎn)A為中心，把△ADF（順時(shí)針或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)角A度，至△ABF'；
結(jié)論
1、△AMN全等于△AMN'，MN=MN';
2、△AEF全等于△AEF'，EF=EF'→BE+EF=EF;
3、；
4、△CEF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的一半；
5、點(diǎn)A到EF的距離等于正方形的邊長(zhǎng)（AB）。
應(yīng)用環(huán)境
1：頂角為特殊角的等腰三角形，如頂角為30°、45°、60°、75°或它們的補(bǔ)角、90°；
2：正方形、菱形等也能產(chǎn)生等腰三角形；
3：過底角頂點(diǎn)的兩條相關(guān)直線：底邊、底角兩條平分線、腰上的兩高、底角的鄰補(bǔ)角的兩條角平分線，底角的鄰余角另外兩邊等；正方形或棱形的另外兩邊；
4：此等腰三角形的相關(guān)弦.
證明
90°中夾45°(正方形中的半角模型)
條件：在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=45°，BD為對(duì)角線，交AE于M點(diǎn)，交AF于N點(diǎn)。
結(jié)論①：圖1、2中，EF=BE+FD
證明：如圖3中，將AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，F(xiàn)點(diǎn)落在F’處，連接BF’，
∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，
且AE=AE，AF=AF’，
∴△FAE≌△F’AE(SAS)，
∴EF=EF’，
又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，
∴F’、B、E三點(diǎn)共線，
∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
結(jié)論②：圖2中MN2=BM2+DN2；
證明：如圖4中，將AN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，N點(diǎn)落在N’處，連接AN’、BN’、MN’，
∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，
且AM=AM，AN=AN’，
∴△MAN’≌△MAN(SAS)，
∴MN=MN’，
又∠ADN=45°=∠ABN’，∠ABD=45°，
∴∠MBN’=∠ABD+∠ABN’=45°+45°=90°，
∴在Rt△MBN’中，MN’2=BM2+BN’2，
即MN2=BM2+BN’2。
結(jié)論③：圖1、2中EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE。
證明過程見證明①中時(shí)△FAE≌△F’AE即可。
結(jié)論④：圖1、2中。
證明：如圖5中，過A點(diǎn)作AH⊥EF于H點(diǎn)，由結(jié)論③可知：∠AEH=∠AEB，
且∠AHE=∠ABE=90°，AE=AE，∴△AEB≌△AEH(AAS)，
∴AH=AB=AD，進(jìn)而可以證明△AHF≌△ADF(AAS)，
∴.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多