一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，在中，是的中點(diǎn).若，則（ ）
A．B．C．D．
3．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（ ）
A．或B．或3C．或3D．3
4．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個單位，則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為
A．B．
C．D．
5．設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
6．已知四邊形，設(shè)E為的中點(diǎn)，，則（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，則（ ）
A．5B．C．D．
8．設(shè)函數(shù)，若的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在上恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知向量，，滿足，，，則（ ）
A．
B．當(dāng)時，
C．當(dāng)時，
D．在上的投影向量的坐標(biāo)為
10．下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要條件
B．函數(shù)圖象的對稱中心為，
C．命題“，”的否定是，
D．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是
11．函數(shù)過定點(diǎn)，若，則結(jié)論正確的是（ ）
A．B．最小值為
C．最小值為D．的最小值為
三、填空題
12．折扇，古稱聚頭扇、撒扇等，以其收攏時能夠二頭合并歸一而得名.某折扇的扇面是一個圓臺的側(cè)面展開圖，如圖所示.設(shè)，，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是 .

13．在中，，，，為邊上一點(diǎn)，且，則
14．設(shè)，，用表示，中較小者，記為，若方程恰有三個不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
四、解答題
15．在中，角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角的大?。?br>(2)若，且的面積為，求的周長.
16．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).
(1)求的值；
(2)解不等式.
17．已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明；
(3)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，解不等式.
18．行列式在數(shù)學(xué)中是一個函數(shù)，無論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用.將形如的符號稱二階行列式，并規(guī)定二階的行列式計(jì)算如下：，設(shè)函數(shù).
(1)求的對稱軸方程及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在銳角中，已知，，求.
19．如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形.記，
(1)記矩形的面積，求的解析式；
(2)求當(dāng)角取何值時，矩形的面積最大？并求出這個最大面積.
《云南省昭通市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期2月開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題》參考答案
1．A
【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以.
故選：A.
2．C
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得答案.
【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，，
所以
.
故選：C.
3．A
【分析】利用正弦定理求得，由可得或，分別求即得.
【詳解】由題意及正弦定理，得，解得.
又，故，于是或，均符合題意.
當(dāng)時，，由正弦定理，得，解得；
當(dāng)時，，此時是等腰三角形，.
故選：A
4．D
【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律即可得解，注意三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減．
【詳解】解：將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），
得到的圖象對應(yīng)的解析式為，
再將所得圖象向左平移個單位，
則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換，三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減，屬于基礎(chǔ)題．
5．C
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷大小 .
【詳解】由題意得，，，，
綜合比較 ，
故選：C.
6．A
【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算法則得到，利用，求出，從而得到答案.
【詳解】在平面（空間同樣）四邊形中，
，
因?yàn)?，所以?br>故選：A．
7．A
【分析】利用兩角和差公式展開，進(jìn)而解得，，兩式作商求得.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，，
從而，，故．
故選：A.
8．B
【分析】根據(jù)的圖象經(jīng)過的點(diǎn)及范圍求出，再根據(jù)的范圍得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，列出相應(yīng)不等式，即可解得范圍，即可得答案.
【詳解】因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以.
又，所以，則函數(shù)，，
當(dāng)時，，
因?yàn)樵谏锨∮?個零點(diǎn)，所以，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
9．BC
【分析】由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算，利用向量模長公式，可得A的正誤；由平行向量的坐標(biāo)表示，建立方程，可得B的正誤；由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算，利用垂直向量坐標(biāo)，可得C的正誤；利用投影向量的計(jì)算方法，可得D的正誤.
【詳解】對于A，，，，所以，故A錯誤；
對于B，，，當(dāng)時，，即，故B正確；
對于C，，由，可得，即，故C正確；
對于D，在上的投影向量為，故D錯誤，
故選：BC.
10．ACD
【分析】利用充分不必要條件定義判斷A；求出對稱中心判斷B；由存在量詞命題的否定判斷C；由零點(diǎn)存在性定理判斷D.
【詳解】對于A，由，得或，則是的充分不必要條件，A正確；
對于B，由，得，函數(shù)圖象的對稱中心為，，B錯誤；
對于C，命題，的否定是命題，，C正確；
對于D，在上單調(diào)遞增，，，
函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，D正確.
故選：ACD
11．CD
【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，利用集合與元素的關(guān)系可得，即可得A；借助對數(shù)運(yùn)算結(jié)合基本不等式計(jì)算可得B；借助基本不等式及指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算可得C；借助“1”的活用可得D.
【詳解】對于A：由，故定點(diǎn)，
由，故有，即，故A錯誤；
對于B：，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即最大值為，故B錯誤.
對于C：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確；
對于D：由，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故D正確.
故選：CD.
12．
【分析】利用扇形的面積公式求解，用大扇形的面積減去小扇形的面積即可.
【詳解】由題可知，，，所以扇形的面積，
扇形的面積，所以扇面的面積.
故答案為：.
13．
【分析】在中，由余弦定理求出，在中，由正弦定理求出.
【詳解】如圖，
在中，由余弦定理得，
又，則，
在中，由正弦定理得，
所以，.
故答案為：.
14．
【分析】作出分段函數(shù)的圖象，分解因式，再利用的圖象與之間的關(guān)系判斷即可．
【詳解】由已知得，
作出的圖象如下（圖象中的實(shí)線部分）：

又，則，即或，
由圖易知有兩個解，故有3個解，故.
故答案為：
15．(1)；
(2).
【分析】（1）應(yīng)用二倍角正弦公式及三角形內(nèi)角的性質(zhì)有，即可確定角的大?。?br>（2）由已知及三角形面積公式可得，再應(yīng)用余弦定理可得，即可得周長.
【詳解】（1）由，得，即且，則.
（2）因?yàn)?，所以，解得?br>由余弦定理得，
所以，所以的周長為.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)求出，同理求出即可求解；
（2）求出的表達(dá)式和，轉(zhuǎn)化原不等式，求出的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
所以，
所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
所以，所以，
所以；
（2）由（1）得，，
轉(zhuǎn)化為，
即得出
所以，即不等式的解集為：.
17．(1)在上的單調(diào)遞增，證明見解析；
(2)奇函數(shù)，證明見解析；
(3).
【分析】（1）任取，，且，用作差法判斷的大小，即可證結(jié)論；
（2）根據(jù)奇偶性定義證明函數(shù)的奇偶性；
（3）根據(jù)（1）（2）結(jié)論，不等式可化為，解不等式求解集.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，故在上的單調(diào)遞增.
證明如下：任取，，且，
則
，
因?yàn)?，所以，?br>所以，即，即在上單調(diào)遞增.
（2）函數(shù)，定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
又，所以為奇函數(shù).
（3）由，得，
即，又，，
由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，所以，
所以不等式的解集為.
18．(1)對稱軸為，單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)
【分析】（1）由三角函數(shù)的和差公式與二倍角公式化簡函數(shù)解析式，利用整體思想，結(jié)合正弦函數(shù)的周期性與對稱性，可得答案；
（2）由（1）的函數(shù)的解析式求得角的值，由同角三角函數(shù)的平方式與三角形內(nèi)角和，利用和差角公式，可得答案.
【詳解】（1）
，
由，，得，，
所以的對稱軸為.
由，，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由（1）知，，則，
由，得，則，解得.
因?yàn)樵谥?，，則為銳角，
所以.
因?yàn)?，，所以?br>所以.
19．(1)
(2)當(dāng)時，矩形的面積最大，最大面積為.
【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)表示出、，由及三角恒等變換公式化簡，即可得到的解析式；
（2）根據(jù)的范圍，求出的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】（1）在中，，，
在中，，
所以，，
則
.
（2）由，得，所以當(dāng)，
即時，，
因此，當(dāng)時，矩形的面積最大，最大面積為.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
D
C
A
A
B
BC
ACD
題號
11









答案
CD









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