1. 雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由雙曲線的方程可知，即可直接寫出其漸近線的方程.
【詳解】由雙曲線的方程可知，根據(jù)漸近線方程公式，得到漸近線方程為.
故選：D.
2. 記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，，則（ ）
A. 49B. 63C. 70D. 126
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的項(xiàng)的“等和性”得到，再運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.
【詳解】因是等差數(shù)列，故，于是
故選：B
3. 若直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 2或3
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)直線平行可得，運(yùn)算求解并代入檢驗(yàn)即可.
【詳解】若直線與平行，
則，整理可得，解得或，
若，則與平行，符合題意；
若，則與重合，不合題意；
綜上所述：.
故選：B.
4. 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A. B. 20C. D. 30
【答案】A
【解析】
【分析】首項(xiàng)寫出展開(kāi)式的通項(xiàng)，再令的指數(shù)為1，從而計(jì)算可得；
【詳解】解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
令，解得，所以
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
5. 下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可得解.
詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
6. 已知圓與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由兩圓圓心距與半徑和差得關(guān)系即可求解；
【詳解】由題意可得：，
即：，
解得：，且，
所以的取值范圍為，
故選：C
7. 2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)都計(jì)劃去旅游，除常見(jiàn)的五個(gè)旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，延邊打卡也火爆全國(guó)，則甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)恰好選擇三個(gè)城市旅游的方法種數(shù)共有（ ）
A. 1800B. 1080C. 720D. 360
【答案】C
【解析】
【分析】先求出恰有個(gè)同學(xué)所選的旅游地相同，再應(yīng)用分步計(jì)數(shù)及排列、組合數(shù)求得結(jié)果.
【詳解】第一步，先選恰有個(gè)同學(xué)所選的旅游地相同，有種；
第二步，從個(gè)旅游地中選出個(gè)排序，有種，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，方法有種.
故選：C
8. 已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知結(jié)合橢圓定義得出，再結(jié)合余弦定理得出，進(jìn)而得出離心率.
【詳解】
因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以?br>因?yàn)?，則，，
在中，，
所以，
所以，
所以，所以.
故選：D.
二?多選題本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則的可能值為（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義列式求解即得.
【詳解】由為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，得，所以或.
故選：AC
10. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 過(guò)、兩點(diǎn)的直線方程為
B. 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為
C. 若直線過(guò)，且在軸上的截距是在軸上的截距的倍，則的方程為
D. 直線的傾斜角為
【答案】BD
【解析】
【分析】利用直線的兩點(diǎn)式方程可判斷A選項(xiàng)；利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性可判斷B選項(xiàng)；利用直線的截距式方程可判斷C選項(xiàng)；利用直線傾斜角與斜率的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，過(guò)、兩點(diǎn)的直線方程不能用表示，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
由題意可知，直線與直線垂直，且線段的中點(diǎn)在直線上，
所以，，解得，
所以，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，若直線過(guò)，且在軸上的截距是在軸上的截距的倍，
當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，可得，解得，
此時(shí)，直線的方程為，即，
當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，即，
所以，，解得，此時(shí)，直線的方程為，
綜上所述，直線的方程為或，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，直線的斜率為，其傾斜角為，D對(duì).
故選：BD.
11. 已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線相交于不同于的點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可判斷A選項(xiàng)；利用拋物線的焦半徑公式可判斷B選項(xiàng)；將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷D選項(xiàng).
【詳解】將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的方程，可得，可得，A對(duì)；
所以，拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為，故，B對(duì)；
易知點(diǎn)，直線的斜率為，直線的方程為，
聯(lián)立，解得或，即點(diǎn)，
所以，，C對(duì)；
，故、不垂直，D錯(cuò).
故選：ABC.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 用數(shù)字0?2?5?7四個(gè)數(shù)可以組成__________個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．
【答案】18
【解析】
【分析】先根據(jù)三位數(shù)是否含0分為兩類，利用排列數(shù)列式，再由分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即得.
【詳解】依題意，由數(shù)字0?2?5?7組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)可分為兩類：
第一類：不含0，有個(gè)；第二類：包含0，有個(gè)，
由分類加法計(jì)數(shù)原理，可得所求三位數(shù)有個(gè).
故答案為：18.
13. 數(shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算推理即得.
【詳解】依題意，，
故得.
故答案為：.
14. 已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為側(cè)面內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)線面角得出的軌跡，結(jié)合邊長(zhǎng)得出角進(jìn)而應(yīng)用弧長(zhǎng)公式求出側(cè)面內(nèi)的劣??；
【詳解】以 為原點(diǎn)， 所在直線為 軸， 所在直線為 軸， 所在直線為 軸，建立坐標(biāo)系 ，
易知平面 的一個(gè)法向量為 ，
設(shè) ，
當(dāng)直線 與平面 所成的角為時(shí)，
，
所以 ，
則點(diǎn) 的軌跡是以 為球心，為半徑的球，
為側(cè)面 內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
則點(diǎn) 的軌跡在側(cè)面 內(nèi)是以 為圓心，為半徑的劣弧，
設(shè)軌跡分別交 于點(diǎn) ， ，
可得 ，
則 ，則 ，
劣弧 的長(zhǎng)為 ，
故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．
15. 某校高二年級(jí)舉行了“學(xué)憲法、講憲法”知識(shí)競(jìng)賽，為了了解本次競(jìng)賽的學(xué)生答題情況，從中抽取了200名學(xué)生的成績(jī)（成績(jī)均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求頻率分布直方圖中x的值，并估計(jì)該200名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）若在和的樣本成績(jī)對(duì)應(yīng)的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取7人進(jìn)行訪談，再?gòu)倪@七人中隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行學(xué)習(xí)跟蹤，求抽取的兩人都來(lái)自組的概率.
【答案】（1）0.016，71，70.6
（2）
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用頻率相加等于1即可求出x的值，并利用中點(diǎn)值以及占比計(jì)算出平均值，面積法得到中位數(shù)；
（2）使用排列組合公式結(jié)合古典概型，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由圖知，，
因?yàn)椋詫W(xué)生成績(jī)的中位數(shù)在內(nèi)，
設(shè)200名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為m，因?yàn)椋?br>解得，所以200名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是.
因?yàn)椋?br>所以200名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為
【小問(wèn)2詳解】
由題意，在和的樣本成績(jī)對(duì)應(yīng)的學(xué)生的人數(shù)為
現(xiàn)要按分層抽樣抽取7人，則在和成績(jī)分組中各抽取3人，4人；
則所以從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，2人成績(jī)都在抽取的兩人都來(lái)自組的概率為.
16. 已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2，且離心率為．
（1）求的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，求．
【答案】（1）方程為，左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)雙曲線虛軸長(zhǎng)以及離心率聯(lián)立方程組即可得出的方程；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，由韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)榈碾x心率為，又的虛軸長(zhǎng)為2，所以，
又，
聯(lián)立解得，，
所以的方程為，左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，
根據(jù)題意易得過(guò)的直線斜率存在，
設(shè)的直線方程為，如下圖所示：
聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，
所以，
因?yàn)橹悬c(diǎn)橫坐標(biāo)為3，所以，
解得，所以，
則，
則．
17. 如圖，在四棱錐中，平面，，，且．
（1）求直線與直線所成角的大?。?br>（2）求直線PD與平面PAC所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來(lái)求得直線與直線所成角的大小.
（2）利用向量法來(lái)求得直線PD與平面PAC所成角的正弦值．
【小問(wèn)1詳解】
由于平面，平面，所以，
由于，所以兩兩相互垂直.
以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，
，設(shè)直線與直線所成角為，
則，
由于，所以.
【小問(wèn)2詳解】
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè)，
設(shè)直線PD與平面PAC所成角為，
則.
18. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，.已知.
（1）求角的大小；
（2）設(shè)，
（?。┣蟮闹?；
（ⅱ）求的值.
【答案】（1）
（2）（?。?；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理計(jì)算可得，即；
（2）（ⅰ）利用余弦定理代入計(jì)算可得；
（ⅱ）由余弦定理得推論計(jì)算可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及三角恒等變換計(jì)算可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
依題意根據(jù)由正弦定理可得；
又，所以可得，
即，所以，
可得，又，
解得.
【小問(wèn)2詳解】
（ⅰ）由以及，
利用余弦定理可得，
解得；
（ⅱ）由，可得；
又，因此可得；
可知，
；
所以.
19. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求得答案；
（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.
【小問(wèn)1詳解】
∵
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，符合上式，
∴
∴；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)
由（1）知
∴
∴
∴

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