1.本試卷包括第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答第Ⅰ卷時(shí)，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；答第Ⅱ卷時(shí)，用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡規(guī)定的區(qū)域內(nèi)作答，字體工整，筆記清楚；不能答在試題卷上.
3.考試結(jié)束后，監(jiān)考人將答題卡收回.
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一.選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，每小題有且只有一個(gè)正確答案.
1. 樣本數(shù)據(jù)24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位數(shù)為（ ）
A. 17B. 18C. 19D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】由百分位數(shù)定義即可得解.
【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?2，13，14，14，16，18，20，24，則，
所以75%分位數(shù)為.
故選：C.
2. 設(shè)復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位),則
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】∵
∴===選D．
3. 某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊5次的成績(jī)?nèi)缦卤恚?br>下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 該射擊運(yùn)動(dòng)員5次射擊的平均環(huán)數(shù)為9.2
B. 該射擊運(yùn)動(dòng)員5次射擊的平均環(huán)數(shù)為9.5
C. 該射擊運(yùn)動(dòng)員5次射擊的環(huán)數(shù)的方差為1
D. 該射擊運(yùn)動(dòng)員5次射擊的環(huán)數(shù)的方差為
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平均值和方差的公式即可求解.
【詳解】該射擊運(yùn)動(dòng)員5次射擊平均環(huán)數(shù)為，
5次射擊的環(huán)數(shù)的方差.
結(jié)合選項(xiàng)可知：ABC錯(cuò)誤，D正確.
故選：D.
4. 已知向量，滿足，，且，的夾角為，則向量在向量方向上的投影向量的模為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的知識(shí)求得正確答案.
【詳解】向量在向量方向上的投影向量的模為.
故選：B
5. 柜子里有雙不同的鞋，分別用，，，，，表示只鞋，如果從中隨機(jī)地取出只，則取出的鞋一只左腳一只右腳的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式直接可得解.
【詳解】設(shè)，，分別表示三雙鞋的左只，，，分別表示三雙鞋的右只，
則從中隨機(jī)取出只的所有可能為，，，，，，，，，，，，，，，
共種，
其中滿足取出的鞋一只左腳一只右腳的有，，，，，，，，，共種，
所以概率為,
故選：C.
6. 如圖，中，為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的基本定理與混合運(yùn)算，結(jié)合圖形即可得解.
【詳解】在中，為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
則.
故選：A.
7. 當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】畫(huà)出兩函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象即可求解
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的的最小正周期為，
函數(shù)的最小正周期為，
所以在上函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，
在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如圖所示：
由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).
故選：C
8. 某數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量一古建筑物的高度，設(shè)計(jì)了測(cè)算方案．如圖，在該建筑物旁水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)M的仰角分別為，，，且，則該古建筑的高度為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，利用三角函數(shù)分別表示，然后分別在中利用余弦定理表示，因?yàn)?，所以可?進(jìn)而求解即可.
【詳解】設(shè)，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：,
因?yàn)?所以，
即，解得，
所以該古建筑的高度為.
故選：C.
二?選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分
9. 已知平面向量，，與的夾角為，則（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量平行的坐標(biāo)公式判斷A選項(xiàng)；利用向量的坐標(biāo)求模長(zhǎng)，從而判斷B選項(xiàng)；
利用向量垂直的坐標(biāo)公式判斷C選項(xiàng)；利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則，故，故B正確；
對(duì)于C，若，則，則，故C正確；
對(duì)于D，若，則，
解得，故D正確.
故選：BCD
10. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有（ ）

A.
B.
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 為偶函數(shù)
【答案】AC
【解析】
【分析】由圖列方程組可判斷A項(xiàng)，代入點(diǎn)可判斷B項(xiàng)，結(jié)合圖象及其周期可判斷C項(xiàng)，令計(jì)算可判斷D項(xiàng).
【詳解】由圖可知，，
，
所以，
所以，
將點(diǎn)代入可得：，，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以?br>由圖可知，在上單調(diào)遞減，
即：在上單調(diào)遞減，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以不是偶函數(shù)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 我們知道正.余弦定理推導(dǎo)的向量法，是在中的向量關(guān)系的基礎(chǔ)上平方或同乘的方法構(gòu)造數(shù)量積，進(jìn)而得到長(zhǎng)度與角度之間的關(guān)系.如圖，直線與的邊，分別相交于點(diǎn)，，設(shè)，，，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用余弦定理可判斷A；利用正弦定理和正弦的和差公式可判斷B；設(shè)，在兩邊同乘向量，根據(jù)數(shù)量積定義即可判斷CD.
【詳解】對(duì)A，由余弦定理知，，
，
上述三個(gè)等式相加得，A正確；
對(duì)B，因?yàn)椋?br>所以，B正確；
對(duì)CD，設(shè)，則，
則，
因?yàn)?，所以?br>即，
整理得，C錯(cuò)誤，D正確.
故選：ABD
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三.填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，，則的值為_(kāi)________.
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和余弦的兩角和差公式求解即可.
【詳解】，，故，
所以.
故答案：
13. 為估計(jì)某草場(chǎng)內(nèi)兔子的數(shù)量，使用以下方法：先隨機(jī)從草場(chǎng)中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上記號(hào)后放回草場(chǎng).再隨機(jī)從草場(chǎng)中捕捉60只，若尾巴上有記號(hào)的兔子共有10只，估計(jì)此草場(chǎng)內(nèi)約有兔子__________只.
【答案】
【解析】
【分析】利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，結(jié)合樣本估計(jì)總體可解.
【詳解】假設(shè)草場(chǎng)約有n只兔子，則，則.
故答案為：600.
14. 某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，李華答對(duì)每道題目的概率都是，若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過(guò)，否則就一直抽題到第3次為止，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，則李華最終通過(guò)面試的概率為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用相互獨(dú)立事件以及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算即可.
【詳解】依題意，李華3道題都沒(méi)有答對(duì)的概率為，
所以李華最終通過(guò)面試的概率為.
故答案為：.
四.解答題：共77分，解答題應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明.證明過(guò)程或演算步驟.
15. 在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，
（1）求角；
（2）以，，為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，，，若，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由邊化角，再結(jié)合，即可求解;
（2）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；
【小問(wèn)1詳解】
由，
可得：
,
又，
所以，即
【小問(wèn)2詳解】
由題意得， ，，
則，即，
由余弦定理得，所以，
由，得，則；
16. 2023 年，某地為了幫助中小微企業(yè)渡過(guò)難關(guān)，給予企業(yè)一定的專(zhuān)項(xiàng)貸款資金支持.下圖是該地 120 家中小 微企業(yè)的專(zhuān)項(xiàng)貸款金額（萬(wàn)元）的頻率分布直方圖 ：

（1）確定 的值，并估計(jì)這 120 家中小微企業(yè)的專(zhuān)項(xiàng)貸款金額的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)） ；
（2）按專(zhuān)項(xiàng)貸款金額進(jìn)行分層抽樣，從這 120 家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取 20 家，記專(zhuān)項(xiàng)貸款金額在 內(nèi)應(yīng)抽取的中小微企業(yè)數(shù)為.
①求的值 ；
②從這家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取 3 家，求這 3 家中小微企業(yè)的專(zhuān)項(xiàng)貸款金額都在內(nèi)的概率.
【答案】（1），中位數(shù).
（2）①，②.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖所有小矩形面積之和為即可計(jì)算，設(shè)中位數(shù)為，則在內(nèi)，由即可計(jì)算；
（2）①計(jì)算120家專(zhuān)項(xiàng)貸款金額在內(nèi)的中小微企業(yè)的企業(yè)數(shù)，根據(jù)抽樣比計(jì)算；②根據(jù)頻率比，計(jì)算專(zhuān)項(xiàng)貸款金額在內(nèi)和在內(nèi)的企業(yè)數(shù)，然后根據(jù)古典概型計(jì)算概率即可.
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)頻率分布直方圖所有小矩形面積之和為得
，
解得.
設(shè)中位數(shù)為，則專(zhuān)項(xiàng)貸款金額在內(nèi)的評(píng)率為，
在內(nèi)的評(píng)率為，
所以在內(nèi)，
則，解得，
所以估計(jì)120家中小微企業(yè)的專(zhuān)項(xiàng)貸款金額的中位數(shù)為萬(wàn)元.
【小問(wèn)2詳解】
①由題意，抽樣比為，
專(zhuān)項(xiàng)貸款金額在內(nèi)的中小微企業(yè)共有家，
所以應(yīng)該抽取家，即.
②專(zhuān)項(xiàng)貸款金額在內(nèi)和在內(nèi)的頻率之比為，
故在抽取的5家中小微企業(yè)中，
專(zhuān)項(xiàng)貸款金額在內(nèi)的有家，分別記為,
專(zhuān)項(xiàng)貸款金額在內(nèi)的有家，記為,
從這5家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取3家的可能情況為
共10種，
其中這3家中小微企業(yè)的專(zhuān)項(xiàng)貸款金額都在內(nèi)的情況有
共4種，
所以所求概率為.
17. 已知函數(shù)的最大值為3，
（1）若的定義域?yàn)?，求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）和
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式將化簡(jiǎn)并利用最值可得，再由三角函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）代入解析式可求得，再根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系以及二倍角等公式求，最后利用誘導(dǎo)公式可求.
【小問(wèn)1詳解】
將化簡(jiǎn)可得，
因?yàn)?，所以?br>此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
令．得；
令，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知．
由，得，
所以．又因?yàn)椋裕?br>所以．
所以，
所以.
18. 如圖，在斜坐標(biāo)系中，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，的夾角為，定義向量在該斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為有序數(shù)對(duì)，記為.在斜坐標(biāo)系中，完成如下問(wèn)題：
（1）若，，求的坐標(biāo)；
（2）若，，且，求實(shí)數(shù)的值；
（3）若，，求向量的夾角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用，表示，借助，的線性運(yùn)算求解可得；
（2）用，表示，將轉(zhuǎn)化為的運(yùn)算，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解可得；
（3）用，表示，利用，求及，再由兩向量夾角公式可得.
【小問(wèn)1詳解】
若，，則，
則
故的坐標(biāo)為.
【小問(wèn)2詳解】
若，，且，
則，，
由已知得，
所以
，解得.
【小問(wèn)3詳解】
若，，
則，
，
所以，
又，
向量，的夾角的余弦值為.
19. 我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書(shū)九章》卷五“田域類(lèi)”有一個(gè)題目：“問(wèn)沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知為田幾何？”其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開(kāi)平方得積.”這就是秦九韶推出的“三斜求積”公式.若的內(nèi)角，，的對(duì)應(yīng)邊分別為，，，面積為，則“三斜求積”公式為，
（1）若，，，求面積；
（2）用“三斜求積”公式推導(dǎo)以下公式中的一個(gè)：①；②，其中；
（3）若，且，求面積的最大值.
【答案】（1）；
（2）推導(dǎo)見(jiàn)詳解； （3）.
【解析】
【分析】（1）將所給邊長(zhǎng)代入公式直接計(jì)算即可；
（2）選①：利用余弦定理和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系代入化簡(jiǎn)可得；選②：利用平方差公式因式分解，再結(jié)合完全平方公式可證；
（3）利用正弦定理邊化角整理可得，根據(jù)兩邊和大于第三邊求出的范圍，然后根據(jù)面積公式和二次函數(shù)性質(zhì)可解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?，?br>所以
【小問(wèn)2詳解】
選①：
.
選②：
，
記，則.
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)椋裕?br>由正弦定理邊化角得，
所以，即，
由3a+a>23a+2>aa+2>3a解得，所以，
因?yàn)?br>，
所以 當(dāng)時(shí)，取得最大值.第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
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9環(huán)
10環(huán)
8環(huán)
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