第I卷（選擇題 共58分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 在1和31之間插入14個(gè)數(shù)，使它們與1，31組成公差大于零的等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為（ ）
A. B. 30C. －2D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】分別對(duì)這16個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)等差數(shù)列的前16項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】設(shè)16個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)公差為的等差數(shù)列的前16項(xiàng)，則由題意可知，，，
故，解得，.
故選：D.
2. 設(shè)三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A. 的極大值為，極小值為
B. 極大值為，極小值為
C. 的極大值為，極小值為
D. 的極大值為，極小值為
【答案】C
【解析】
【分析】由圖，根據(jù)的符號(hào)，判斷出的符號(hào)，從而得到的單調(diào)性，找出的極值.
【詳解】由圖象可知，當(dāng)和時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)， ，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則.
所以在，上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
所以的極小值為，極大值為.
故選：C.
3. 已知數(shù)列滿足，則（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求出前幾項(xiàng)可得出數(shù)列為周期數(shù)列即可得解.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，
所以，
所以，
所以是周期為3的周期數(shù)列，
又，所以．
故選：A．
4. 已知是的極值點(diǎn)，則在上的最大值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，解出，分析導(dǎo)數(shù)正負(fù)，確定函數(shù)單調(diào)性，比較極大值和端點(diǎn)處的函數(shù)值，從而確定答案即可.
【詳解】由題意, 且
則 ,
當(dāng) 時(shí),單調(diào)遞減;
當(dāng) 或 時(shí), 單調(diào)遞增,
在上, 單調(diào)遞增; 單調(diào)遞減,
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，

在上最大值是,
故選： A.
5. 已知函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 ，若有 ，則
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求導(dǎo)，然后令即可算出答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>令，所以．
故選：A．
6. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則（ ）
A. 25B. 20C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由已知條件結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)公比為，
因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，
所以，，
所以，所以，
所以，
故選：C
7. 原始的蚊香出現(xiàn)在宋代，根據(jù)宋代冒蘇軾之名編寫的《格物粗談》記載：“端午時(shí)，收貯浮萍，陰干，加雄黃，作紙纏香，燒之，能祛蚊蟲.”如圖，為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺旋蚊香”，畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段，做一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段的延長線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段的延長線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段的延長線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段延長線于點(diǎn)，以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹奥菪孟恪迸c直線恰有9個(gè)交點(diǎn)時(shí)，“螺旋蚊香”的總長度的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫圓弧，除了A點(diǎn)外，每畫一圈增加2個(gè)交點(diǎn)，求出要畫的圈數(shù)，計(jì)算每段弧長，根據(jù)規(guī)律求和即可.
【詳解】由題意除了A點(diǎn)外，每畫一圈增加2個(gè)交點(diǎn)，所以9個(gè)交點(diǎn)至少要畫 圈，
每圈是3段弧，每段弧的半徑增加1個(gè)單位.
記增加的弧的長度組成數(shù)列，
則，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為 ，公差為的等差數(shù)列，
所以有9個(gè)交點(diǎn)時(shí)，“螺旋蚊香”的總長度的最小值為 .
故選：A.
8. 已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，由奇偶性變形，利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較自變量的大小后可得函數(shù)值大?。?br>【詳解】，在上減函數(shù)，
，是奇函數(shù)，所以，
，，所以，所以，即，
故選：D．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查比較函數(shù)值的大小，解題方法是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用奇偶性變形函數(shù)值的表示形式，然后由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較自變量的大小，從而得函數(shù)值的大?。?br>二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有三個(gè)正確選項(xiàng)的，每個(gè)選項(xiàng)2分，有兩個(gè)正確選項(xiàng)的，每個(gè)選項(xiàng)3分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法-商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知題意，探索遞推規(guī)律，由規(guī)律得通項(xiàng)，由此判斷選項(xiàng).
【詳解】由題意得，第層有個(gè)球，.
即，，，，
因?yàn)椋?，A正確；
由，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，C正確；
由，D正確；
故選：ACD.
10. 已知數(shù)列滿足，其中，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A. 為等差數(shù)列B. C. D. 當(dāng)時(shí)，有最大值
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出為等差數(shù)列，求出、逐項(xiàng)判斷可得答案.
【詳解】由得，
且，
所以是以首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，故A正確；
所以，故B錯(cuò)誤；
，故C錯(cuò)誤；
，
因?yàn)闀r(shí)，所以當(dāng)時(shí)有最大值，為，故D正確.
故選：AD.
11. 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，的極大值大于0
B. 當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)
C. ，使在上是減函數(shù)
D. ，曲線的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為定值
【答案】BD
【解析】
【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極大值即可判斷；對(duì)于B，由恒成立即可判斷；對(duì)于C，由解集能否為即可判斷；對(duì)于D，求出圖象的對(duì)稱中心即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，
令得或，由，得或，
由，得，于是在，上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，
極大值為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于C，要使在上是減函數(shù)，則恒成立，
而不等式的解集不可能為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，
得曲線的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，故D正確.
故選：BD.
第Ⅱ卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 習(xí)近平同志提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵.要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).為鼓勵(lì)外出人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，某鎮(zhèn)政府決定投入“創(chuàng)業(yè)資金”，幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員.五年內(nèi)，預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的“創(chuàng)業(yè)資金”構(gòu)成數(shù)列（單位：萬元），且第一年投入“創(chuàng)業(yè)資金”3（萬元），以后每年投入的“創(chuàng)業(yè)資金”為上一年的2倍，則該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入的“創(chuàng)業(yè)資金”為___________萬元.
【答案】93
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列求和公式即得.
【詳解】由已知，可知數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，
所以.
故答案為：93.
13. 已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則_____
【答案】
【解析】
【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由題中條件，列出方程，求解，即可得出，再由切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)為，
又函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，
可得，解得，
又切點(diǎn)為，可得，即.
故答案為：.
14. 一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和都等于一個(gè)常數(shù)，則稱此數(shù)列為等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和，設(shè)等和數(shù)列的公和為2，前項(xiàng)和為，若，則___________.
【答案】
【解析】
分析】由題意可得，分組求和，從而可求出.
【詳解】，
，
．
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知等差數(shù)列滿足：，，的前項(xiàng)和為．
（1）求和；
（2）令，，求證數(shù)列是等差數(shù)列．
【答案】（1）；；（2）證明見詳解.
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式即可求解.
（2）利用等差數(shù)列的定義即可證明.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，
則，所以，
又，則，
解得，所以，解得，
所以，
.
（2）由（1）可得，
，
所以數(shù)列是等差數(shù)列.
【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的定義，需熟記定義，屬于基礎(chǔ)題.
16. 已知函數(shù)．
（1）若a=1，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值小于零 ．
【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，只有的最大值小零即可
【詳解】解：（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)a=1時(shí)，，．
當(dāng)時(shí)，解得x>1，函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，解得x

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