注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡集合，由交集的概念即可得解.
【詳解】因為，且注意到，
從而.
故選：A.
2. 已知數(shù)列的前項和為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可求得結(jié)果.
【詳解】因為數(shù)列的前項和為，
則.
故選：C.
3. 復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】先應(yīng)用模長公式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運算，最后應(yīng)用共軛復(fù)數(shù)概念得出虛部即可.
【詳解】因為，即，
所以，
所以復(fù)數(shù)，故虛部為.
故選：C.
4. 已知，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 充分必要條件C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量共線的向量坐標(biāo)運算列式求得或，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念判斷即可.
【詳解】向量，，由，得，
解得或，由能推出或成立，反之不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
5. 已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用拋物線定義求解即可.
【詳解】因為拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，點在上，
所以到準(zhǔn)線的距離為，
又到直線的距離為，
所以，故.
故選：D.
6. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則計算即可．
【詳解】由，則.
故選：D.
7. 已知函數(shù)在處取得極值0，則（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 12或24
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)在處取得極值0可得，解出即可.
【詳解】由題意知，，又在處取得極值0，
則，解得或，
當(dāng)時，，
函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；
當(dāng)時，，
令或，，
所以在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極小值，符合題意，
所以，，
則.
故選：C.
8. 設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，且，，成等差數(shù)列，則（ ）
A. 7B. 15C. 31D. 63
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差中項的性質(zhì)得到，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項公式解方程，最后利用求和公式計算.
【詳解】解析：設(shè)公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，
則，解得或（舍）．
因為，所以，故．
故選：C.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A. 的公比為B. 的公比為2
C. D. 數(shù)列為遞增數(shù)列
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，列出等式求出等比數(shù)列的首項和公比，然后逐一判斷即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
依題意，，解得，則，，BC正確，A錯誤；
對于D，，則數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤.
故選：BC
10. 我國2024年3月至10月服務(wù)業(yè)生產(chǎn)指數(shù)當(dāng)月同比增速依次為5.0%，3.5%，4.8%，4.7%，4.8%，4.6%，5.1%，6.3%，則（ ）
A. 這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4.8%B. 這組數(shù)據(jù)的極差為2.8%
C. 這組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為4.6%D. 這組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為5.0%
【答案】ABD
【解析】
【分析】把給定的數(shù)據(jù)由小到大排列，再利用眾數(shù)、極差、百分位數(shù)的定義求解即得.
【詳解】樣本數(shù)據(jù)由小到大排列為：3.5%，4.6%，4.7%，4.8%，4.8%，5.0%，5.1%，6.3%，
對于A，4.8%出現(xiàn)次數(shù)最多，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4.8%，A正確；
對于B，這組數(shù)據(jù)的極差為，B正確；
對于C，，這組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為，C錯誤；
對于D，，這組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為5.0%，D正確.
故選：ABD.
11 已知曲線．（ ）
A. 若，則E一條直線
B. 若，則E是圓，其半徑為
C. 若，則E是雙曲線，其焦點在y軸上
D. 若E的離心率是，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】選項A，B，C直接代入結(jié)合直線，圓和雙曲線分析可判斷，選項D根據(jù)離心率小于可知是橢圓，化為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程后結(jié)合的范圍由可求解.
【詳解】若時，E即，表示直線y軸，A正確；
若表示圓，其半徑為，故B正確；
若表示雙曲線，且焦點在y軸上，故C正確；
由題意，E是橢圓，則且
當(dāng)時，，故，所以，解得，
當(dāng)時，，故，所以，解得，故D錯誤．
故選：ABC．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)，則______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用對數(shù)的運算法則直接計算可得答案.
【詳解】因為，所以，
.
故答案為：.
13. 已知的內(nèi)角為所對應(yīng)的邊分別為，且．則角的大小為_______.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理得，由三角形內(nèi)角的關(guān)系得.
【詳解】由正弦定理得，，
因為，所以，
所以，因為，所以，所以，
故答案為：.
14. 雙曲線的左、右焦點分別為，以的實軸為直徑的圓記為，過作的切線與雙曲線在第一象限交于點，且，則雙曲線C的離心率為_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的面積可得，可得,利用雙曲線定義可得，進而根據(jù)余弦定理求解.
【詳解】設(shè)切點為,連接,過作，
則，
設(shè)則
，故，
，故，進而可得，
由余弦定理可得，化簡可得，
因此，
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)在處的切線平行于軸．
（1）求實數(shù)的值；
（2）求函數(shù)的極小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)切線斜率為0計算求參；
（2）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求解函數(shù)的單調(diào)性進而得出函數(shù)的極小值即可.
【小問1詳解】
由可得，
則，
由于，故，
【小問2詳解】
，
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故的極小值為
16. 在四棱錐中，底面是正方形，若．
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點為，可得，由勾股定理得，從而得平面，進而證明平面平面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，從而得到二面角的余弦值.
【小問1詳解】
取的中點為，連接.
因為，，則，
而，故.
在正方形中，因為，故，故，
因為，故，故為直角三角形且，
因，故平面，
因為平面，故平面平面.
【小問2詳解】
在平面內(nèi)，過作，交于，則，
結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.
則，故.
設(shè)平面的法向量，
則即，取，則，
故
而平面的法向量為，故.
由圖可知，二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.
17. 已知函數(shù)．
（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；
（2）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由條件可得切線的斜率為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求；
（2）條件可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再分離變量，結(jié)合基本不等式求結(jié)論.
【小問1詳解】
設(shè)曲線在點處的切線的斜率，
直線的斜率為，
因為曲線在點處的切線與直線垂直，
所以，即，
又的導(dǎo)函數(shù)，
所以，
所以，
所以，
【小問2詳解】
由若在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，
由（1）可得在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，其中，
又當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，
所以，
所以的取值范圍為.
18. 記是等差數(shù)列的前項和，若．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求使成立的的最小值；
（3）求數(shù)列的前項的和．
【答案】（1）
（2）4 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可求解首項和公差，進而可求解，
（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得，即可列不等式求解，
（3）根據(jù)平方差公式，即可結(jié)合等差數(shù)列求和公式得解.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意知，，解得，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可得，
由可得，解得或，
因為，故正整數(shù)的最小值為.
【小問3詳解】
因為， 所以
19. 已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．
（1）求的方程；
（2）過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)的坐標(biāo)及軸可求基本量，故可求橢圓方程.
（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達定理化簡前者可得，故可證軸.
【小問1詳解】
設(shè)，由題設(shè)有且，故，故，故，
故橢圓方程為.
【小問2詳解】
直線的斜率必定存在，設(shè)，，，
由可得，
故，故，
又，
而，故直線，故，
所以
，
故，即軸.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.

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