第一部分（選擇題共58分）
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 將化成角度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用弧度制和角度值的轉(zhuǎn)化關(guān)系即可.
【詳解】，
故選：B
2. 設(shè)集合，函數(shù)的定義域為，則為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】函數(shù)的定義域由解得，進(jìn)而運用交集定義運算即可.
詳解】要使有意義，需滿足，解得，
所以，
又集合，所以.
故選：D．
3. 設(shè)函數(shù)的零點為，則所在的區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性以及零點存在性定理分析判斷.
【詳解】因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，
所以函數(shù)的唯一零點為.
故選：A.
4. 已知函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由的單調(diào)性判斷的單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性建立不等式組，解之即可求解.
【詳解】由題意知，當(dāng)時，是單調(diào)遞減函數(shù)，
所以在R上是單調(diào)遞減函數(shù).
則，解得，
即實數(shù)的取值范圍為.
故選：A
5. 如果不考慮空氣阻力，火箭的最大速度（單位：）與燃料質(zhì)量（單位：），火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系是，這里表示以為底的自然對數(shù)．若已知火箭的最大速度為，火箭的質(zhì)量約為，則火箭需要加注的燃料質(zhì)量約為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意得到方程，得到.
【詳解】由題意得，即，
.
故選：B
6. 已知，則的大小順序為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，根據(jù)弧度所在象限，得，根據(jù)指數(shù)冪運算得，由此即可求解.
【詳解】，因為，所以，
因為，所以，
，
所以.
故選：A
7. 關(guān)于的不等式恒成立的一個充分不必要條件是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立以及充分不必要條件的知識求得正確答案.
【詳解】若不等式恒成立，
當(dāng)時，恒成立，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，不等式不恒成立，
所以的取值范圍是.
所以不等式恒成立的一個充分不必要條件是.
故選：A
8. 隨著冬天的到來，越來越多的旅客從全國各地來到“爾濱”賞冰樂雪，今年冰雪大世界以“冰雪同夢，亞洲同心”為主題，一睹冰雕雪雕風(fēng)采的同時還能體驗各中冰上項目，如抽尜，大滑梯，摩天輪等.如圖所示，某地摩天輪最高點離地面高度128m，最低點離地面高度8m，設(shè)置若干個座艙，游客從離地面最近的位置進(jìn)艙，開啟后按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周的時間約為24min，游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面高度為hm，下列說法正確的是（ ）
A. 摩天輪的輪盤直徑為60m
B. h關(guān)于t的函數(shù)解析式為
C. h關(guān)于t的函數(shù)解析式為
D. 在游客乘坐一周的過程中，游客有16min時間距地面高度超過38m
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)摩天輪離地最高距離和最低距離的差值，求出直徑判斷A；依題意，分別求出得解析式，判斷B，C；根據(jù)提議，令，求出的取值范圍，判斷D.
【詳解】對于A，因為摩天輪最高點離地面高度128m，最低點離地面高度8m，所以摩天輪的輪盤直徑為，故A錯誤；
對于B，設(shè)，則，
令時，則，，
又，解得，
所以，故B，C錯誤 ；
對于D，，
當(dāng)距地面高度超過38m時，即，即，
即，解得，
又因為，所以，所以游客有16min時間距地面高度超過38m，故D正確，
故選：D
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知 ，下列不等式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由作差法，不等式性質(zhì)可判斷選項正誤；.
【詳解】對于A，∵，∴，故A對；
對于B，∵，∴，故B對；
對于C，∵，有，則，故，故C錯；
對于D， ∵，且，∴，故D對.
故選：ABD
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 點是圖象的一個對稱中心B. 直線是圖象的一條對稱軸
C. 在上單調(diào)遞增D.
【答案】AB
【解析】
【分析】通過代入驗證法，判斷選項中對稱中心對稱軸單調(diào)區(qū)間等結(jié)論是否成立.
【詳解】函數(shù)，
，點是圖象的一個對稱中心，A選項正確；
，是函數(shù)最值，直線是圖象的一條對稱軸，B選項正確；
時，，不是正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，C選項錯誤；
，D選項錯誤.
故選：AB
11. 已知函數(shù)，其中，且．則（ ）
A. 當(dāng)時，函數(shù)有且只有兩個零點
B. 當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點
C. 當(dāng)時，函數(shù)的圖象是軸對稱圖形
D. 當(dāng)時，函數(shù)的圖象是中心對稱圖形
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)條件求解函數(shù)的零點可判斷AB；根據(jù)函數(shù)的奇偶性可判斷CD.
【詳解】，定義域為，
∵，∴，
令，得，
∴，又，
∴當(dāng)時，，方程無解，函數(shù)沒有零點，故A錯誤；
當(dāng)時，，解得，函數(shù)有且只有一個零點，故B正確；
當(dāng)時，，，
∴偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故C正確；
當(dāng)時，，，
∴是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故D正確.
故選：BCD.
第二部分（非選擇題共92分）
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. ______．
【答案】
【解析】
【分析】結(jié)合對數(shù)、指數(shù)運算法則及特殊角的三角函數(shù)值計算即可得.
【詳解】由題意知．
故答案為：.
13. 若，則的值為___________.
【答案】-3
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡求值.
【詳解】
故答案為：-3
14. 已知是定義域為的偶函數(shù)，，且當(dāng)時，（是常數(shù)），則不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)以及奇偶性計算的值，然后根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解不等式.
【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，
所以，所以；
又因為時是增函數(shù)且，
所以時是減函數(shù)且；
所以，解得，即不等式的解集為，
故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知角的終邊經(jīng)過點，
（1）求值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，，，利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系得到；
（2）添加分母，齊次化，化弦為切，代入求值即可.
【小問1詳解】
因為角的終邊經(jīng)過點，
所以，，，
故
；
【小問2詳解】
.
16. 已知函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
（1）求的解析式；
（2）求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)即可得解；
（2）由（1）結(jié)合得，再結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
因為函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
所以函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，
又函數(shù)，所以.
小問2詳解】
由（1），
令，若，則，
所以
又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，
所以當(dāng)時，
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域為.
17. 某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分).
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）分別寫出x≤6時和x＞6時出租自行車的總收入，減去管理費用即可得到出租自行車的日凈收入，同時還要注意實際問題中自變量的取值范圍.
（2）根據(jù)一次函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性分別求出分段函數(shù)在每段上的最大值，兩者進(jìn)行比較即可得出函數(shù)的最大值.
【小問1詳解】
當(dāng)x≤6時，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，
∵x為整數(shù)，∴3≤x≤6，x∈Z；
當(dāng)x＞6時，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115，
令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，又因為x∈Z，所以解得6＜x≤20，x∈Z.
∴.
【小問2詳解】
當(dāng)時，，顯然當(dāng)x＝6時，ymax＝185；
當(dāng)時，，
當(dāng)x＝11時，ymax＝270.
因為270＞185，所以當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多.
18. 已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為.
（1）求函數(shù)的對稱中心和對稱軸方程；
（2）先將函數(shù)的圖象各點的橫坐標(biāo)向左平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變得到曲線，再把上各點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模玫降膱D象，若，求的取值集合.
【答案】（1）對稱中心為；對稱軸方程為.
（2）.
【解析】
【分析】（1）由條件可得函數(shù)的最小正周期，結(jié)合周期公式求，再由正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的對稱中心和對稱軸方程；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象變換結(jié)論求函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)性質(zhì)解不等式求的取值范圍.
【小問1詳解】
因為圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，
所以的最小正周期為，
又，則，所以，
由得，
所以函數(shù)的對稱中心為；
由得，
所以函數(shù)的對稱軸方程為.
【小問2詳解】
將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到曲線，
把上各點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫降膱D象，
由得，
所以，
所以，
所以的取值集合為.
19. 已知函數(shù).
（1）判斷并證明的奇偶性；
（2）求出使成立的的取值范圍；
【答案】（1）函數(shù)為偶函數(shù)，證明見解析
（2）的取值范圍是
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)運算法則將函數(shù)化簡之后，根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷即可；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)單調(diào)性，從而將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得解.
【小問1詳解】
函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：
函數(shù)，其定義域為，
又，則函數(shù)為偶函數(shù)．
【小問2詳解】
設(shè)，則，
又由，則，，
故，
故函數(shù)在上為增函數(shù),
所以函數(shù)在上為增函數(shù)；
又由，
則，即，
變形可得，解得，
即的取值范圍是．

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