【知識儲備】
1．充分條件、必要條件與充要條件的概念
2．集合判斷法判斷充分條件、必要條件
若以集合的形式出現(xiàn)，以集合的形式出現(xiàn)，即：，：，則
（1）若，則是的充分條件；
（2）若，則是的必要條件；
（3）若，則是的充分不必要條件；
（4）若，則是的必要不充分條件；
（5）若，則是的充要條件；
（6）若且，則是的既不充分也不必要條件.
3.全稱量詞和存在量詞
(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“?”表示．
(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”等在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“?”表示．
4．全稱命題、特稱命題及含一個量詞的命題的否定
【題型精講】
【題型一 充分、必要條件的判定】
必備技巧 充分條件、必要條件的兩種判定方法
(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題．
(2)集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題．
例1 （2021·浙江）已知非零向量 ，則“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】B.
【解析】若但= 不一定成立, 故充分性不成立;若時,一定成立,故必要性成立, 故“ ”是“ ”的必要不充分條件故答案為：B.
例2 （2022·天津·一模）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】解不等式可得，，
又，反之不成立，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：B.
例3 （2022·全國·模擬預(yù)測）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】“直線與直線平行”
因?yàn)椋灾本€，直線，與平行，故充分條件成立；
當(dāng)直線與直線平行時，，解得或，
當(dāng)時，直線與直線重合，
當(dāng)時，直線，直線平行，故充要條件成立．故選：A．
【題型精練】
1. （2022·天津河?xùn)|·一模）“且”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】當(dāng)且時，不成立，因?yàn)闀r，無意義，所以充分性不成立.
當(dāng)時，有可能得到且，所以不是必要條件.
因此“且”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
2．（2022?福州模擬）“”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解答】解：，，，
①若“ “，則，即，所以具有充分性；
②若，則，不一定可以推到，如，，，但，所以不具有必要性；
故選：．
3．（2022·湖北·模擬預(yù)測）在等比數(shù)列中，已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】∵公比，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴且，
∴且，
即“”是“”的充分不必要條件．
故選：A．
4. （2022·河北·模擬預(yù)測）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】，則要滿足，解得：，
因?yàn)椋?br>故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
【題型二 根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍】
必備技巧 根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍
(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．
(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．
例4 （2022·江西新余·高三期末）已知”的必要不充分條件是“或”，則實(shí)數(shù)a的最大值為（ ）
A．2B．1C．0D．1
【答案】D
【解析】由，得或，
因?yàn)椤钡谋匾怀浞謼l件是“或”，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)a的最大值為1，
故選：D
例5 （山西省呂梁市交城縣2022屆高三核心模擬（下）理科數(shù)學(xué)（一）試題）“，使得成立”的充要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，等價于，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
即，故．
故選：A．
例6 （2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，設(shè).
(1)若p是q的充要條件，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】(1)，
因?yàn)閜是q的充要條件，所以，
∴；
(2)因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以且，
∴，即；
(3)因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以且，
∴.
【題型精練】
1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若成立的一個充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，可得：；
由，則，可得；
∵成立的一個充分不必要條件是，
∴，可得.
故選：D.
2. （2022·重慶·一模）已知且，則函數(shù)為奇函數(shù)的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若函數(shù)為奇函數(shù)，由于函數(shù)的定義域?yàn)镽，
∴，∴,即,∴∴；
當(dāng)時，，
即為奇函數(shù)的充分必要條件是或，
是的非充分非必要條件；是的非充分非必要條件；是的充分不必要條件；
故選：C.
3. （2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，非空集合，若是成立的一個充分而不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】由題意得，，
由是成立的一個充分而不必要條件，得，
即解得，，
故答案為：.
【題型三 全稱命題與特稱命題的真假】
必備技巧 全稱命題與特稱命題的真假
判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判定特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個x0，使p(x0)成立
例7 （2022·北京四中高三期中）下列命題中的假命題是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】對A：取，則成立，故選項(xiàng)A正確；
對B：當(dāng)時，沒有意義，故選項(xiàng)B錯誤；
對C：取，則成了，故選項(xiàng)C正確；
對D：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有成立，故選項(xiàng)D正確.
故選：B.
例8 【多選】（2022·全國·高三專題練習(xí)）給出下列命題，其中假命題為（ ）
A．，；
B．，；
C．，；
D．是的充要條件.
【答案】ABC
【解析】.，所以該命題是假命題；
.當(dāng)時，所以該命題是假命題；
.當(dāng)時，左邊，右邊，所以該命題是假命題；
.時，時，所以是的充要條件，所以該命題是真命題.
故選：ABC
例9 （2022·江西·二模）已知命題：存在，使得，命題：對任意的，都有，命題：存在，使得，其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，可知不成立；由輔助角得，所以所以的最大值為5，所以為假.
故選：B
【題型精練】
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中正確的是_____（寫出正確命題的序號）
（1），使，只需；
（2），恒成立，只需；
（3），，成立，只需；
（4），，，只需．
【答案】（2）（3）
【解析】對于（1），，使，只需，故（1）錯誤；
對于（2），，恒成立，即恒成立，
應(yīng)需，故（2）正確；
對于（3），，，成立，
即需，故（3）正確；
對于（4），，，，，
應(yīng)需，故（4）錯誤．
綜上，正確的命題是（2）（3）．
故答案為：（2）（3）．
2. （2022·陜西模擬）下列命題中，真命題的是（ ）
A．函數(shù)的周期是B．
C．函數(shù)是奇函數(shù).D．的充要條件是
【答案】C
【解析】由于，所以函數(shù)的周期不是，故選項(xiàng)A是假命題；
當(dāng)時，故選項(xiàng)B是假命題；
函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足，故函數(shù)是奇函數(shù)，即選項(xiàng)C是真命題；
由得且，所以“”的必要不充分條件是“”，故選項(xiàng)D是假命題
故選：C
3. （2021·山西·朔州市平魯區(qū)李林中學(xué)高一階段練習(xí)）在下列命題中，是真命題的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，則對于任意的，都有
【答案】B
【解析】選項(xiàng)A，，即有實(shí)數(shù)解，所以，顯然此方程無實(shí)數(shù)解，故排除；
選項(xiàng)B，，，故該選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)C，，而當(dāng)，不成立，故該選項(xiàng)錯誤，排除；
選項(xiàng)D，，當(dāng)時，當(dāng)取得6的正整數(shù)倍時，，所以，該選項(xiàng)錯誤，排除.
故選：B.
【題型四 含有量詞的命題的否定】
必備技巧 對全稱命題、特稱命題進(jìn)行否定的方法
(1)找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義先加上量詞，再改變量詞；
(2)對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定．
例10 （山東省濰坊市2022屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題）十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“對任意正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程沒有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯給出了證明，使它終成費(fèi)馬大定理，則費(fèi)馬大定理的否定為（ ）
A．對任意正整數(shù)n，關(guān)于x，y，z的方程都沒有正整數(shù)解
B．對任意正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解
C．存在正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解
D．存在正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解
【答案】D
【解析】命題的否定形式為，原命題的題設(shè)不變，結(jié)論改否定；故只有D滿足題意；
故選：D
例11 （重慶市南開中學(xué)校2022屆高三第九次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）命題“，”的否定為（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【解析】由全稱命題的否定為特稱命題，故原命題否定為“，”.故選：A
例12 （2022·遼寧·建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）命題“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】
由存在量詞命題的否定知原命題的否定為：，.
故選：C.
【題型精練】
1．【多選】（廣東省佛山市順德區(qū)2022屆高三一模數(shù)學(xué)試題）下列說法正確的是（ ）
A．命題：，的否定是：，；
B．，是的充要條件；
C．是的充分非必要條件；
D．是命題：，恒成立的充分非必要條件
【答案】AC
【解析】對A，，的否定是，，A正確；
對B，或，
故，是的充分不必要條件，故B錯；
對C，或，所以是的充分非必要條件，故C正確；
對D，，恒成立的條件為
所以是命題：，恒成立的必要不充分條件
故選：AC
2. （湖南省衡陽市第八中學(xué)2022屆高三下學(xué)期第六次月考（開學(xué)考試）數(shù)學(xué)試題）下列有關(guān)命題的說法正確的是( )
A．若，則
B．“”的一個必要不充分條件是“”
C．若命題：，，則命題：，
D．、是兩個平面，、是兩條直線，如果，，，那么
【答案】C
【解析】A：若，則方向相反且，故A錯誤；
B：若，則，故“”是“”的充分條件，故B錯誤；
C：命題：，，則其否定為：，，故C正確；
D：如果，，，則無法判斷α、β的位置關(guān)系，故D錯誤.
故選：C.
3. （2022·山東濰坊·二模）十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“對任意正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程沒有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯給出了證明，使它終成費(fèi)馬大定理，則費(fèi)馬大定理的否定為（ ）
A．對任意正整數(shù)n，關(guān)于x，y，z的方程都沒有正整數(shù)解
B．對任意正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解
C．存在正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解
D．存在正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解
【答案】D
【解析】命題的否定形式為，原命題的題設(shè)不變，結(jié)論改否定；
故只有D滿足題意；故選：D
【題型五 根據(jù)命題的真假求參】
必備技巧 根據(jù)命題的真假求參
(1)已知命題的真假，可根據(jù)每個命題的真假利用集合的運(yùn)算求解參數(shù)的取值范圍．
(2)對于含量詞的命題中求參數(shù)的取值范圍的問題，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)值域(或最值)解決．
例13 （2022·全國·高三專題練習(xí)）已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意可知，命題“，”是真命題.
當(dāng)時，則有，不合乎題意；
當(dāng)時，由，可得，則有，
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
例14 （河南省信陽市羅山縣2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)命題p：，x若是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．(-D．(-
【答案】B
【解析】命題p：，x所以：，，
由是真命題可得，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，故選：B
例15 （2021·山東臨沂模擬）若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】，，則，由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以，
因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.
【題型精練】
1．（2022·湖北·江夏一中高三階段練習(xí)）已知，，若“，，使得成立”為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】當(dāng)，有，
則，，使得成立，
等價于，，
即，在上恒成立，
參變分離可得：，
當(dāng)，，當(dāng)時取等，
所以，
故答案為：.
2. （2022·全國·高三專題練習(xí)）若命題p：“，”是真命題，則k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意可知恒成立，所以，解得，故選：D
3. （2022·廣東·石門中學(xué)模擬預(yù)測）若“”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____.
【答案】
【解析】因?yàn)椤啊睘榧倜}，所以恒成立，
即在恒成立，所以且，
又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，所以.故答案為：.
若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件
p?q且q?p
p是q的必要不充分條件
p?q且q?p
p是q的充要條件
p?q
p是q的既不充分也不必要條件
p?q且q?p
命題名稱
語言表示
符號表示
命題的否定
全稱命題
對M中任意一個x，有p(x)成立
?x∈M，p(x)

特稱命題
存在M中的一個x0，使p(x0)成立
?x0∈M，p(x0)

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