1．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程常見的方法有：(1)直接法；(2)定義法；(3)相關(guān)點(diǎn)代入法；(4)消參法．要根據(jù)數(shù)學(xué)情景靈活選擇方法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
2．點(diǎn)差法是圓錐曲線中解決中點(diǎn)和斜率關(guān)系的重要方法，利用點(diǎn)差法時(shí)，一定注意最后的檢驗(yàn)．
1．（2023秋·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是上一點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線過(guò)原點(diǎn)，且與雙曲線交于兩點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)（不同于）.求直線與直線的斜率之積.
【解題思路】（1）先由雙曲線的離心率求得，再利用點(diǎn)代入求得，從而得解；
（2）根據(jù)題意設(shè)出的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)差法即可求得，由此得解.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?，所以，即?br>所以，所以雙曲線，
因?yàn)槭请p曲線上一點(diǎn)，
所以，解得，則
所以雙曲線的方程為.
（2）依題意，設(shè)，
因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn)，且與雙曲線交于兩點(diǎn)，
所以由雙曲線的對(duì)稱性可得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，
所以，，
因?yàn)闉殡p曲線上的點(diǎn)，所以，
兩式相減得，
所以.
所以直線與直線的斜率之積為.
2．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知雙曲線：的離心率為，直線：與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程
(2)設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為，直線平行于，且交雙曲線C于M，N兩點(diǎn)，求證：的垂心在雙曲線C上.
【解題思路】（1）由離心率為可得，再聯(lián)立直線與雙曲線利用判別式可得的方程；
（2）設(shè)方程，及的坐標(biāo)，由過(guò)A引的垂線交C于另一點(diǎn)H，可得點(diǎn)H為.再證即可.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即，
所以雙曲線的方程為，
聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去得，
即，
因?yàn)榕c雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以，
解得,
故雙曲線的方程為.
（2）設(shè)，，則滿足
消去得，
所以，，
如圖所示，過(guò)A引的垂線交C于另一點(diǎn)H，
則AH的方程為.
代入得，即（舍去）或.
所以點(diǎn)H為.
所以
，
所以，
故為的垂心，得證.
3．（2023·遼寧朝陽(yáng)·校聯(lián)考一模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，左?右頂點(diǎn)分別為，且為上不與重合的一點(diǎn)，直線的斜率之積為3.
(1)求雙曲線的方程；
(2)平面一點(diǎn)且不在上，過(guò)的兩條直線分別交的右支于兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，若四點(diǎn)在同一圓上，求直線的斜率與直線的斜率之和.
【解題思路】（1）根據(jù)題意，由直線的斜率之積為3列出方程，然后由以及雙曲線的關(guān)系，即可得到結(jié)果；
（2）由四點(diǎn)共圓，可得，然后將直線與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理分別表示出與即可得到結(jié)果.
【解答過(guò)程】（1）由題意，，設(shè)，
則，所以①，
因?yàn)橹本€的斜率之積為3，所以，
將式①代入化簡(jiǎn)得：②，
又雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以，結(jié)合式②解得：，
雙曲線的方程為.
（2）因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以，且，所以有
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
將直線方程代入的方程化簡(jiǎn)并整理可得，
，
由已知得，且
由韋達(dá)定理有，，
又由可得，
同理可得，得
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
同理可得，
由已知得，又，則，化簡(jiǎn)可得，
又，則，即，即直線的斜率與直線的斜率之和為0.
4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線：（，）的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上的點(diǎn)，且的面積為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，試問(wèn)：以線段為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出該定點(diǎn)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解題思路】（1）由面積和點(diǎn)縱坐標(biāo)可求出，再將點(diǎn)代入雙曲線方程，求出，即可；
（2）先通過(guò)直線斜率不存在時(shí)，發(fā)現(xiàn)滿足題意的圓過(guò)原點(diǎn)，再設(shè)直線方程，證明直線斜率存在時(shí)該圓過(guò)原點(diǎn)即可.
【解答過(guò)程】（1）的面積，∴，
又∵點(diǎn)為雙曲線上的點(diǎn)，
∴，解得，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，不妨取：，
由，解得，，
∴，，
∴，，即以線段為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).
同理，當(dāng)直線的方程為時(shí)，以線段為直徑的圓也過(guò)原點(diǎn).
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，即，
∵原點(diǎn)到直線的距離，∴，
∵雙曲線的漸近線方程為，且直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，
∴，
由，消去整理得（），
設(shè)，，
則，，
∴，
∵，，
∴
，
∴，即以線段為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).
綜上所述，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，該定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).
5．（2023·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考一模）已知雙曲線C：過(guò)點(diǎn)，且漸近線方程為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)如圖，過(guò)點(diǎn)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M、N.直線MA、NA分別交直線于點(diǎn)P、Q，求的值.
【解題思路】（1）根據(jù)漸近線方程設(shè)雙曲線C的方程為，代入點(diǎn)，運(yùn)算求解即可得結(jié)果；
（2）設(shè)，根據(jù)題意求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理證明，即可得結(jié)果，注意分類討論直線是否與軸垂直.
【解答過(guò)程】（1）∵雙曲線C的漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線C的方程為，
代入點(diǎn)，即，
故雙曲線C的方程為.
（2）由雙曲線C的方程為的方程可得，
由題意可得點(diǎn)，則有：
當(dāng)直線l與軸垂直時(shí)，則，
可得直線，令，則，
即點(diǎn)，
同理可得：點(diǎn)，
故，即；
當(dāng)直線l不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線，
聯(lián)立方程，消去x得，
則，
可得直線，
令，則，
即點(diǎn)，
同理可得：點(diǎn)，
∵
，
即點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，故，即；
綜上所述：的值為1.
6．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知離心率為的雙曲線，直線與C的右支交于兩點(diǎn)，直線l與C的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，且從上至下依次為，．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)求的面積．
【解題思路】（1），根據(jù)雙曲線離心率表示出的關(guān)系，可得雙曲線漸近線方程，記，進(jìn)而可求得的坐標(biāo)表達(dá)式，聯(lián)立可得根與系數(shù)關(guān)系式，從而推出與的中點(diǎn)均為同一個(gè)點(diǎn)P，結(jié)合，推出是線段的兩個(gè)四等分點(diǎn)，即可求得，從而，即可求得，可得答案；
（2）利用（1）的結(jié)論，可求得，利用三角形面積公式結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，將面積化為，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得答案.
【解答過(guò)程】（1）設(shè)，設(shè)的中點(diǎn)為，
記，則直線即，
因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，故，
于是雙曲線的漸近線為．
聯(lián)立,解得,即，
同理由,解得,即，于是．
聯(lián)立,消去x，得．
即,需滿足，
由韋達(dá)定理，得，
所以，，說(shuō)明與的中點(diǎn)均為同一個(gè)點(diǎn)P，
所以，關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，所以，
因?yàn)?，所以是線段的兩個(gè)四等分點(diǎn)，
故P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，所以，
于是，即，結(jié)合，
解得，滿足，則，
故所求雙曲線方程為．
（2）由（1）可知，，
于是．
設(shè)，則
，
代入，
得，
故的面積為．
7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)在以，為左，右焦點(diǎn)的雙曲線：上，雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為2．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如圖，點(diǎn)P在雙曲線C的左支上，若直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)A，B，其中A在第一象限，且l與的平分線m垂直，垂足為D，線段AP中點(diǎn)為O，求的最大值．
【解題思路】(1)根據(jù)題意可以求出，再將帶入雙曲線方程即可求出結(jié)果；
(2)根據(jù)條件表示出坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式求出，利用弦長(zhǎng)公式求出，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求出結(jié)果.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)樘撦S長(zhǎng)為2，即，所以．
因?yàn)樵陔p曲線上，
所以將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得，則，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題意，點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．由雙曲線的對(duì)稱性，設(shè)，則．
由題意可知直線m的斜率存在，設(shè)直線m的斜率為k，
記，又m為的平分線，則．
因?yàn)?，?br>所以，
同理，
又，，
代入，得，
化簡(jiǎn)得．
又，，所以，
將代入，，得，，
所以，，．
設(shè)直線m的方程為，
將代入得，
所以直線m的方程為，，
由點(diǎn)到直線距離公式得
，
又直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，
將代入得，
所以直線的方程為，將其與聯(lián)立得
，
設(shè)，，
則，，
由得，
．
由基本不等式，，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最大值為．
8．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的一條漸近線方程為，若過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn).
(1)求直線的斜率范圍；
(2)若交的兩條漸近線于，兩點(diǎn)且滿足，求直線的斜率的大小.
【解題思路】（1）直接根據(jù)漸近線方程即可得到關(guān)于的方程，解出即可，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程利用二次項(xiàng)不等于0和即可求出的范圍.
（2）根據(jù)共線向量的關(guān)系得到點(diǎn)A，B恰好為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)，，，，通過(guò)聯(lián)立方程，求出，利用，結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可得到關(guān)于的方程，解出即可.
【解答過(guò)程】（1）由題意可得所以雙曲線方程為，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)顯然不合題意，
則直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則
：，聯(lián)立，
，則，
.
故，且.
（2），則點(diǎn)A，B恰好為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
設(shè)，，，，
聯(lián)立.同理可得，，且.
易知，即，
其中，
由（1）知，，且.
，
所以，故，均滿足題意.
9．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上的點(diǎn)，且的面積為．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線，為雙曲線的兩條切線，且，過(guò)作，的垂線，垂足分別為，求證：．
【解題思路】（1）根據(jù)已知條件列關(guān)于的方程，解出，即可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分析直線的斜率情況，并設(shè)出當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)直線的方程，代入雙曲線方程，根據(jù)相切得的關(guān)系，從而可得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得的值，同理求得的值，從而可證得結(jié)論.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線C上，所以 ①．
因?yàn)榈拿娣e為，所以，得，
則②．
由①②，得，．
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題意知直線，的斜率不為0，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為．
聯(lián)立直線和雙曲線C的方程，得，消去y并整理得．
因?yàn)橹本€與雙曲線C相切，
所以，且，得．
由（1）知，，
因?yàn)橹本€與垂直，所以直線的方程為，
聯(lián)立，得，解得，即點(diǎn)，
所以
，
所以．
同理，得．所以．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨取直線，則，
此時(shí)，，則，，
所以．
綜上，．
10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且點(diǎn)，，均在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與直線的縱截距互為相反數(shù)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).
【解題思路】（1）由題可得，解之可得雙曲線方程；
（2）設(shè)直線的縱截距為，則的方程為，直線的方程為. 將直線與雙曲線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得點(diǎn)P，點(diǎn)Q表達(dá)式，后可得直線PQ表達(dá)式，從而可得定點(diǎn)坐標(biāo).
【解答過(guò)程】（1）由題意知，得，
因此雙曲線的方程為.
（2）設(shè)直線的縱截距為，，，
則，， 因此直線的方程為，直線的方程為.
聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得，
消去，得，
則，即，
所以，得，.
用代替，得，，.
所以當(dāng)，，時(shí)，直線的方程為.
將上面求得的，，，代入得.
注意到，
則直線PQ方程可化簡(jiǎn)為，顯然直線過(guò)定點(diǎn).
11．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為.
（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ii）求的取值范圍.
【解題思路】（1）根據(jù)“姊妺”圓錐曲線的定義設(shè)出雙曲線方程，利用求得參數(shù)b的值，即得答案.
（2）（i）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；（ii）設(shè)直線，代入雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理可解得，結(jié)合A在雙曲線右支，可得，即可求得的范圍，同理求得的范圍，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.
【解答過(guò)程】（1）由題意可設(shè)雙曲線，
則，解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）（i）設(shè)，直線的方程為，
由，消元得.
則，且，
；
或由韋達(dá)定理可得，即,
，
即與的比值為定值.
（ii）設(shè)直線，代入雙曲線方程并整理得，
由于點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，所以此方程有一根為，.
由韋達(dá)定理得：，解得.
因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線的右支上，所以，
解得，即，
同理可得，
由（i）中結(jié)論可知，
得，所以，
故，
設(shè)，其圖象對(duì)稱軸為，
則在上單調(diào)遞減，故，
故的取值范圍為.
另解：由于雙曲線的漸近線方程為，
如圖，過(guò)點(diǎn)作兩漸近線的平行線與，由于點(diǎn)A在雙曲線的右支上，
所以直線介于直線與之間（含軸，不含直線與），
所以.
同理，過(guò)點(diǎn)作兩漸近線的平行線與，由于點(diǎn)在雙曲線的右支上，
所以直線介于直線與之間（不含軸，不含直線與），
所以.
由（i）中結(jié)論可知，
得，所以,
故.
12．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為，過(guò)右焦點(diǎn)F作斜率為正的直線l交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，交兩條漸近線于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)A，C在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求雙曲線E的方程；
(2)設(shè)，，的面積分別是，，，若不等式恒成立，求的取值范圍．
【解題思路】（1）根據(jù)離心率和焦點(diǎn)到漸近線的距離，列出的方程組，解得結(jié)果即可.
（2）設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)題目條件，寫出，根據(jù)的范圍即可求出結(jié)果.
【解答過(guò)程】（1）設(shè)雙曲線 的右焦點(diǎn)，漸近線方程為，
則右焦點(diǎn)到漸近線的距離
又，則，
∴雙曲線的方程為 .
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)
聯(lián)立方程得，


漸近線方程為 則A到兩條漸近線的距離滿足，

聯(lián)立方程得
聯(lián)立方程得


.

恒成立
即恒成立，
∴所求的取值范圍為.
13．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的離心率為e，點(diǎn)在C上，，分別為C的左、右頂點(diǎn)，C的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），直線，分別與y軸交于點(diǎn)M，N.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求以MN為直徑的圓的方程.
【解題思路】(1)由條件列關(guān)于的方程，解方程求可得雙曲線方程；
(2)設(shè)設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組結(jié)合設(shè)而不求法表示條件，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求以MN為直徑的圓的方程.
【解答過(guò)程】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在雙曲線C上，
∴ ①，
由已知右焦點(diǎn)到漸近線的距離 ②.
③，
由①②③得，，
∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）知，
過(guò)點(diǎn)的斜率為0的直線為，
與雙曲線的交點(diǎn)為，與已知矛盾，
故可設(shè)直線l：，
聯(lián)立方程得，消去x并整理得，
由已知，
方程的判別式
，
設(shè)，，
則，
因此.
設(shè)，，
易知直線的方程為，
令，得，
直線的方程為，
令，得，
則
，
∴.
∵，∴.
當(dāng)時(shí)，，
以MN為直徑的圓的方程為，即；
當(dāng)時(shí)，，
以MN為直徑的圓的方程為，即.
故以MN為直徑的圓的方程為.
14．（2023·安徽安慶·?？家荒＃┰谥苯亲鴺?biāo)平面中，的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，兩動(dòng)點(diǎn)滿足，向量與共線.
(1)求的頂點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與（1）的軌跡相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
(3)若為點(diǎn)的軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解題思路】（1）設(shè)，由知，由且向量與共線，知在邊的中垂線上，由此能求出的頂點(diǎn)的軌跡方程；
（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線方程為，代入雙曲線方程，得，再由根的判別式和韋達(dá)定理即可求出的取值范圍；
（3）通過(guò)由特殊到一般的方法進(jìn)行求解.
【解答過(guò)程】（1）設(shè)，由知，
是的重心，.
且向量與共線，在邊的中垂線上，
，
又，
化簡(jiǎn)得，
即所求的軌跡方程是.
（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線方程為，
代入得，
，
且，解得.
，則或，
，
則的取值范圍是.
（3）設(shè)，則，即.
當(dāng)軸時(shí)，，
即，故猜想.
當(dāng)不垂直軸時(shí)，，
.
又與同在內(nèi)，
.
故存在，使恒成立.
15．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．
(1)當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【解題思路】（1）設(shè)，，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，消去y，得，根據(jù)已知直線l與雙曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，得且，即且，由韋達(dá)定理，得，
則，，聯(lián)立消去k，得，再根據(jù)的范圍得出的范圍，即可得出答案；
（2）設(shè)，，根據(jù)雙曲線E的漸近線方程與直線l的方程聯(lián)立即可得出，，則，即線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)，若A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則，結(jié)合弦長(zhǎng)公式列式得，即可化簡(jiǎn)代入得出，即可解出答案.
【解答過(guò)程】（1）設(shè)，，，
聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，
消去y，得．
由且，得且．
由韋達(dá)定理，得．
所以，．
由消去k，得．
由且，得或．
所以，點(diǎn)M的軌跡方程為，其中或．
（2）雙曲線E的漸近線方程為．
設(shè)，，聯(lián)立得，同理可得，
因?yàn)椋?br>所以，線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)．
若A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則．
即，．
而，．
所以，，解得，
所以，存在實(shí)數(shù)，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)．
16．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2．已知雙曲線的焦點(diǎn)為A，D，兩條漸近線分別為直線．
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求的方程；
(2)過(guò)A的直線l與交于M，N兩點(diǎn)，，若點(diǎn)P滿足，證明：P在一條定直線上．
【解題思路】（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，從而得到與，結(jié)合即可求得，，從而得解；
（2）先考慮直線為軸的情況，求得此時(shí)，再考慮直線不為軸的情況，聯(lián)立直線與雙曲線的方程得到，再結(jié)合求得，從而得到，由此得證.
【解答過(guò)程】（1）依題意，以直線為軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
因?yàn)樵谡呅沃?，為正三角形，，?br>設(shè)雙曲線的方程為，
由已知得的漸近線方程為，所以，
又焦距，所以，
又由，則，從而，
所以雙曲線的方程為.
（2）依題意，設(shè)，
當(dāng)直線為軸時(shí)，不失一般性，則，
又由（1）知，故，
所以，從而，
則，即，解得；
當(dāng)直線不為軸時(shí)，設(shè)的方程為，由可知，
聯(lián)立，消去，得，
則，，
因?yàn)椋裕?br>消去，得，
所以，
從而，
又也在直線上，
所以點(diǎn)在定直線上.
17．（2023·云南麗江·統(tǒng)考一模）如圖，已知橢圓與等軸雙曲線共頂點(diǎn)，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P（2，-1）作兩直線與橢圓相交于相異的兩點(diǎn)A，B，直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ).直線AB與x，y軸正半軸相交，分別記交點(diǎn)為M，N.
(1)若的面積為，求直線AB的方程；
(2)若AB與雙曲線的左?右兩支分別交于Q，R，求的范圍.
【解題思路】（1）由題意，先求出橢圓方程和雙曲線的方程，然后聯(lián)立直線和橢圓方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，即得，設(shè)，根據(jù)的面積為求出的值即可求解；
（2）聯(lián)立直線和雙曲線方程，先求出，再根據(jù)的范圍即可求解.
【解答過(guò)程】（1）解：由題得，解得，所以橢圓的方程為，
等軸雙曲線的方程為.
由題意，直線PA的斜率存在，設(shè)PA：，則PB：，
聯(lián)立，消去得，
所以，又，所以，則
將換成，得，所以，
設(shè)，
由，消去得，
，所以得，
則，，，
所以，解得，
所以直線AB的方程為；
（2）解：由，消去得，解得，
所以，
，，則，
，，
所以的取值范圍為．
18．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)如圖，過(guò)圓：上一點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)，求直線的方程．
【解題思路】（1）利用雙曲線的性質(zhì)即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由已知直線的斜率存在，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線 與直線 的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得，由，即可求出與的關(guān)系，由與圓：相切，則，聯(lián)立求出值即可．
【解答過(guò)程】（1）由題可得 的方程：
（2）由已知直線的斜率存在，設(shè)：，
與圓：相切，則，
聯(lián)立雙曲線 與直線 的方程：
設(shè)直線與雙曲線的左右兩支交于兩點(diǎn)，
所以，可得，
所以 ，
又，以，為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)，
所以，，
又
，
即
或，
①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與右頂點(diǎn)重合，不合題意舍去；
②當(dāng)時(shí)，代入，得，，滿足條件，
所以直線的方程為或
19．（2023·江蘇宿遷·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線上.當(dāng)時(shí)，.
（1）求雙曲線的方程.
（2）設(shè)為雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)，在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限，若恰為線段的中點(diǎn)，試判斷的面積是否為定值?若為定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解題思路】（1）由可得，求出即可得出方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，可得，設(shè)，利用漸近線方程的斜率得角的正切值，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式及二倍角公式得，由，的坐標(biāo)得，，結(jié)合及三角形面積公式即可求出.
【解答過(guò)程】（1）由題意，易得，，
則由，可得，
，即.
又，解得（負(fù)值舍去），，
解得，
雙曲線的方程為.
（2）由（1）可知雙曲線Ｃ的漸近線方程為，
設(shè)，，其中，.
為線段的中點(diǎn)，，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得，解得.
設(shè)，則.
又，，，
，，
.
又，，
，
的面積為定值2.
20．（2023春·江蘇宿遷·高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的離心率為，直線與雙曲線C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上.
(1)求線段中點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若，過(guò)點(diǎn)D作斜率為的直線與直線交于點(diǎn)P，與直線交于點(diǎn)Q，若點(diǎn)滿足，求的值.
【解題思路】（1）由離心率為，可得雙曲線C的方程為，后將與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得答案；
（2）結(jié)合（1），由題可得直線的方程為，，R為外心，設(shè)，通過(guò)聯(lián)立OP，OQ中垂線方程可得，通過(guò)聯(lián)立與及可得，.
則，由此結(jié)合可得答案.
【解答過(guò)程】（1）依題意，雙曲線C的離心率，則，
故雙曲線C的方程為，
聯(lián)立，得，且，
設(shè)，則，
設(shè)線段的中點(diǎn)為，故，
將代入直線，得，
故線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）依題意，，則雙曲線C的方程為，
直線，又點(diǎn)在雙曲線C上，
所以，故直線的方程為，
由題可知，點(diǎn)均不重合，由易知為的外心，
設(shè)，則，即，即，
線段的垂直平分線的方程為，線段的垂直平分線的方程為，
聯(lián)立，得，
聯(lián)立，得，同理可得，
故，
故，
即，
則.
21．（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高三開學(xué)考試）已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)為，，為C上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解題思路】（1）由雙曲線定義得到，再由在雙曲線上，求出，求出雙曲線方程；
（2）考慮直線l的斜率存在，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，由得到方程，求出對(duì)任意的均成立，從而求出，再考慮直線l的斜率不存在時(shí)，也符合要求，求出存在點(diǎn)，使恒成立．
【解答過(guò)程】（1）由雙曲線的定義知，
∴．
又為C上一點(diǎn)，
∴，解得，
∴雙曲線C的方程為．
（2）由（1）知雙曲線的右焦點(diǎn)為．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，
設(shè)，，因?yàn)?，所以?br>整理得 ①，
由，可得．
因?yàn)橹本€l與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以，且，所以．
由題設(shè)知①對(duì)任意的均成立，又，，
所以①可轉(zhuǎn)化為，
整理得對(duì)任意的均成立，
故，所以，．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：，
此時(shí)，或，，
則時(shí)，，滿足題意；
綜上，存在點(diǎn)，使恒成立．
22．（2023秋·浙江杭州·高二?？计谀┮阎p曲線C：的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若F是雙曲線的右焦點(diǎn)，Q是雙曲線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，且，求直線l的斜率．
【解題思路】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程為和雙曲線過(guò)點(diǎn)，聯(lián)立求解；
（2）由題意設(shè)直線方程為，令，得到M的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)，用k表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)Q在雙曲線上，代入雙曲線方程求解.
【解答過(guò)程】（1）解：因?yàn)殡p曲線C：的漸近線方程為，
所以，
又因?yàn)殡p曲線C：過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為；
（2）由（1）知：，則，
由題意設(shè)直線方程為，令，得，則，
設(shè)，則，
因?yàn)椋?br>所以，則，
解得，因?yàn)辄c(diǎn)Q在雙曲線上，
所以，解得，
所以直線l的斜率為.
23．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┮阎p曲線的離心率，，分別為其兩條漸近線上的點(diǎn)，若滿足的點(diǎn)在雙曲線上，且的面積為8，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解題思路】（1）根據(jù)雙曲線的離心率得關(guān)系，從而可得關(guān)系，即可得雙曲線漸近線方程，不妨設(shè)，，確定點(diǎn)為的中點(diǎn)代入雙曲線方程可得與的關(guān)系，再由的面積即可求得的值，從而可得雙曲線的方程；
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程與交點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程后可得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，設(shè)，滿足為常數(shù)即可求得的值，并且檢驗(yàn)直線的斜率不存在時(shí)是否滿足該定值即可.
【解答過(guò)程】（1）由離心率，得，所以，則雙曲線的漸近線方程為，
因?yàn)?，分別為其兩條漸近線上的點(diǎn)，所以，不妨設(shè)，，由于，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，
又點(diǎn)在雙曲線上，所以，整理得：
因?yàn)榈拿娣e為8，所以，則，
故雙曲線的方程為；
（2）由（1）可得，所以為
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：，，
則，所以，則
恒成立，所以，
假設(shè)在軸上是否存在定點(diǎn)，設(shè)，則
要使得為常數(shù)，則，解得,定點(diǎn)，；
又當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代入雙曲線可得，不妨取，
若，則，符合上述結(jié)論；
綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)，且.
24．（2023春·湖南·高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，焦距為.
(1)求的方程；
(2)如圖，點(diǎn)為雙曲線的下頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上（位于原點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間），過(guò)作軸的平行線，過(guò)的另一條直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線分別與交于兩點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【解題思路】（1）根據(jù)焦距得到，根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離得到，然后求，即可得到雙曲線的方程；
（2）根據(jù)得到，然后設(shè)直線和的方程得到的坐標(biāo)為，即可得到，設(shè)直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到，解方程得到即可得到點(diǎn)坐標(biāo).
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)榻咕酁?，所以，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；
又因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，漸近線方程為，即，
則，所以，
所以，
故的方程為.
（2）由，又，即，
故，即，所以，.
設(shè)，
由題意可知，則直線，直線，
因?yàn)樵谥本€上，所以，代入直線方程，可知，
故的坐標(biāo)為，所以，.
又，由，則，
整理可得，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；
故設(shè)直線，代入雙曲線方程中，
可得，
則，解得，
所以，
又
，
所以，
故，即，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.
25．（2023春·云南曲靖·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線的傾斜角為，且雙曲線過(guò)點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線與雙曲線的右支相交于、兩點(diǎn)，若____________且的面積為，
從下列條件中選擇一個(gè)填在橫線上，并求直線的方程.
①直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)；
②直線的斜率為.
【解題思路】（1）根據(jù)已知條件求出、的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）選①：分析可知直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，列出韋達(dá)定理，利用三角形的面積公式求出的值，結(jié)合已知條件可得出，，可得出的值，即可得出直線的方程；
選②：設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，列出韋達(dá)定理，利用三角形的面積公式求出的值，結(jié)合，可求得的取值范圍，即可得出直線的方程.
【解答過(guò)程】（1）由題可得，
又因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，則，則，
所以雙曲線的方程為.
（2）若選擇①：由題意可知，直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，
設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立得，
由可得，
由韋達(dá)定理可得.
所以.
所以的面積.
所以，化簡(jiǎn)得，
解得或，可得或，
因?yàn)橹本€與雙曲線右支交于、兩點(diǎn)，所以且，
而，，可得，
所以，所以直線的方程或.
若選擇②：設(shè)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立得.
此時(shí)，解得，
由韋達(dá)定理可得，，
因?yàn)橹本€與雙曲線右支交于、兩點(diǎn)，所以且，
可知，所以
又因?yàn)?
點(diǎn)到直線的距離為，
所以的面積,
即,
因式分解可得,
因?yàn)?，所以，所以?br>所以直線的方程為.

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