1．利用根與系數(shù)關(guān)系法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
(3)列出根與系數(shù)關(guān)系；
(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
(5)代入根與系數(shù)關(guān)系求解．
2．直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略
對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長(zhǎng)公式等進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解．
1．（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l與圓相切，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求的面積的最大值．
2．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓與直線交于兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)記橢圓的上?下頂點(diǎn)分別為，若點(diǎn)在直線上，證明：點(diǎn)在直線上.
3．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考一模）已知橢圓：（）的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)是長(zhǎng)軸長(zhǎng)的.
(1)求橢圓的方程；
(2)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線，與直線交于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo).
4．（2023·甘肅·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率是，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)是．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，求四邊形的面積．
5．（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，，分別為的上、下頂點(diǎn)，P為上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線，的斜率之積為．
(1)求的方程；
(2)設(shè)的右頂點(diǎn)為A，過A的直線與交于另外一點(diǎn)B，與垂直的直線與交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，若，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍．
6．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日是19世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，他創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間解析幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，奠定了空間微分幾何學(xué)的寬厚基礎(chǔ)，根據(jù)他的研究成果，我們定義：給定橢圓：，則稱圓心在原點(diǎn)，半徑是的圓為“橢圓的伴隨圓”，已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.
(1)若點(diǎn)為橢圓的“伴隨圓”與軸正半軸的交點(diǎn)，，是橢圓的兩相異點(diǎn)，且軸，求的取值范圍.
(2)在橢圓的“伴隨圓”上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，，使得，與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷，是否垂直？并說明理由.
7．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）如圖，已知分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，為橢圓M上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若，且面積的最大值為2．
(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知直線與橢圓M相切于點(diǎn)，且與直線和分別相交于兩點(diǎn)，記四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)N．問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
8．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線PA與直線PB的斜率乘積為，點(diǎn)的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)分別過，做兩條斜率存在的直線分別交于C，D兩點(diǎn)和E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且，求直線CD的斜率與直線EF的斜率之積．
9．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在橢圓上，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線?的斜率之和為0.
(1)求直線的斜率；
(2)求面積的最大值.
10．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知橢圓的上頂點(diǎn)為，圓，橢圓上是否存在兩點(diǎn)使得圓內(nèi)切于？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
11．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的短軸，菱形的周長(zhǎng)為，面積為，橢圓的焦距大于短軸長(zhǎng)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若是橢圓內(nèi)的一點(diǎn)（不在的軸上），過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)也在上，求證：直線與相切．
12．（2023·四川成都·?？级＃E圓的光學(xué)性質(zhì)：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)有一橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，從一個(gè)焦點(diǎn)F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射之后恰好與x軸垂直，且.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)點(diǎn)Q為直線上一點(diǎn)，且Q不在x軸上，直線，與橢圓C的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，設(shè)，的面積分別為，，求的最大值.
13．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，離心率，左、右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)圍成的三角形的面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)M，N，A，B為橢圓上不同的四點(diǎn)，且均與橢圓右頂點(diǎn)P不重合，，，，證明：直線MN和直線AB的交點(diǎn)在一個(gè)定圓上．
14．（2023·云南曲靖·?？寄M預(yù)測(cè)）已知曲線，其離心率為，焦點(diǎn)在軸上．
(1)求的值；
(2)若與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)位于點(diǎn)的上方），直線與交于不同的兩點(diǎn)，，直線與直線交于點(diǎn)．求證：當(dāng)時(shí)，，，三點(diǎn)共線．
15．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，，，且點(diǎn)在橢圓上，求直線的方程．
16．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，離心率為，且點(diǎn)在?圓上．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過右焦點(diǎn)F且斜率不為0的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為Q，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)Q的直線m與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求四邊形AMBN的面積的取值范圍．
17．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為2．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)B，C分別作直線的垂線（點(diǎn)B，C在直線l的兩側(cè)）．垂足分別為M，N，記，，的面積分別為，，，試問：是否存在常數(shù)t，使得，，總成等比數(shù)列？若存在，求出t的值．若不存在，請(qǐng)說明理由．
18．（2023·寧夏銀川·校考一模）已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)點(diǎn)，斜率為k的直線l不過點(diǎn)，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由.
19．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的焦距為，離心率為，直線與交于不同的兩點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，直線與分別交于點(diǎn).
①判段直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn).請(qǐng)說明理由：
②記直線的傾斜角分別為，當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線的方程.
20．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考一模）已知圓：，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)G.
(1)求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡C的方程；
(2)已知，軌跡C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)M，N，射線AM，AN分別與圓交于P，Q兩點(diǎn)，記直線MN和直線PQ的斜率分別為，.
①求AM與AN的斜率的乘積；
②問是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.
21．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，且橢圓C過點(diǎn)，離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，那么橢圓在點(diǎn)M處的切線方程為．已知是（1）中橢圓C上除頂點(diǎn)之外的任一點(diǎn)，橢圓C在N點(diǎn)處的切線和過N點(diǎn)垂直于切線的直線分別與y軸交于點(diǎn)P、Q．求證：點(diǎn)P、N、Q、、在同一圓上．
22．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，△AF1F2的面積為，點(diǎn)F2到直線AF1的距離為.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若橢圓E的左頂點(diǎn)為B，P為橢圓上一點(diǎn)（不與左、右頂點(diǎn)重合），直線BP交直線l：x=4于點(diǎn)R，∠PF2B的平分線交直線BP于點(diǎn)Q，求證：.
23．（2023·寧夏銀川·校考一模）已知橢圓的焦距為2，經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)P是橢圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于橢圓C的左右頂點(diǎn)），點(diǎn)，，，直線PN與曲線C的另一個(gè)公共點(diǎn)為Q，直線EP與FQ交于點(diǎn)M．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求證：當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，點(diǎn)M恒在一條定直線上．
24．（2023·寧夏銀川·校考一模）如圖所示，由半橢圓和兩個(gè)半圓、組成曲線，其中點(diǎn)依次為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)為的下頂點(diǎn)，點(diǎn)依次為的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)分別為曲線的圓心．
(1)求的方程；
(2)若過點(diǎn)作兩條平行線分別與和交與和，求的最小值．
25．（2023·四川綿陽·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為3，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4．
(1)已知點(diǎn)，設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，過兩點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足，求實(shí)數(shù)的值．

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