TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151062345" 題型1直接型 PAGEREF _Tc151062345 \h 1
\l "_Tc151062346" 題型2二級(jí)結(jié)論之通徑型 PAGEREF _Tc151062346 \h 8
\l "_Tc151062347" 題型3雙曲線漸近線相關(guān) PAGEREF _Tc151062347 \h 14
\l "_Tc151062348" 題型4坐標(biāo)法 PAGEREF _Tc151062348 \h 22
\l "_Tc151062349" 題型5二級(jí)結(jié)論之焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn) PAGEREF _Tc151062349 \h 30
\l "_Tc151062350" 題型6二級(jí)結(jié)論之焦點(diǎn)已知底角 PAGEREF _Tc151062350 \h 35
\l "_Tc151062351" 題型7焦點(diǎn)三角形已知頂角型 PAGEREF _Tc151062351 \h 40
\l "_Tc151062352" 題型8焦點(diǎn)三角形雙余弦定理 PAGEREF _Tc151062352 \h 46
\l "_Tc151062353" 題型9利用圖形求離心率 PAGEREF _Tc151062353 \h 52
\l "_Tc151062354" 題型10利用橢圓雙曲線的對(duì)稱性求離心率 PAGEREF _Tc151062354 \h 57
\l "_Tc151062355" 題型11點(diǎn)差法 PAGEREF _Tc151062355 \h 66
\l "_Tc151062356" 題型12二級(jí)結(jié)論之中點(diǎn)弦問(wèn)題 PAGEREF _Tc151062356 \h 73
\l "_Tc151062357" 題型13角平分線相關(guān) PAGEREF _Tc151062357 \h 78
\l "_Tc151062358" 題型14圓錐曲線與圓相關(guān) PAGEREF _Tc151062358 \h 83
\l "_Tc151062359" 題型15內(nèi)切圓相關(guān) PAGEREF _Tc151062359 \h 89
\l "_Tc151062360" 題型16與立體幾何相關(guān) PAGEREF _Tc151062360 \h 96
\l "_Tc151062361" 題型17二級(jí)結(jié)論之切線方程 PAGEREF _Tc151062361 \h 105
\l "_Tc151062362" 題型18正切公式的運(yùn)用 PAGEREF _Tc151062362 \h 113
\l "_Tc151062363" 題型19圓錐曲與內(nèi)心結(jié)合 PAGEREF _Tc151062363 \h 119
題型1直接型
【例題1】（2021·江西南昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交的右支于，兩點(diǎn)，且，，則的離心率為
【答案】
【分析】由題設(shè)知，令，易得，根據(jù)雙曲線的定義知、，又即可求雙曲線參數(shù)a與m的數(shù)量關(guān)系，在中應(yīng)用勾股定理構(gòu)造a、c的齊次方程即可求離心率.
【詳解】
由，知：，令，，則，
∴中，，又且，
∴，即，則，，
故在中，，即，
∴.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題設(shè)知，令易得，結(jié)合雙曲線定義確定參數(shù)a與m的數(shù)量關(guān)系，利用勾股定理構(gòu)造齊次方程求離心率.
【變式1-1】1. （2021·全國(guó)·高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè),分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，若，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【分析】求橢圓的離心率，要列出關(guān)于的等量關(guān)系式，設(shè)，根據(jù)橢圓的定義以及，可以表示出三角形各邊的長(zhǎng)度，通過(guò)余弦定理得到各邊關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)幾何關(guān)系可以列出關(guān)于的等量關(guān)系式，從而求出離心率
【詳解】
設(shè)，則，，
，.
，
在中，由余弦定理得，，
，
化簡(jiǎn)可得，而，故，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
橢圓的離心率 ，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】題目考察比較綜合，需要根據(jù)圖形列出各邊之間的關(guān)系式，找到關(guān)于之間的關(guān)系，進(jìn)而求解離心率，涉及到了以下考點(diǎn)：
（1）橢圓的第一定義
（2）三角形的余弦定理
（3）離心率的計(jì)算
【變式1-1】2. （2021·河北秦皇島·統(tǒng)考二模）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，已知，，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量運(yùn)算和橢圓的定義可得關(guān)于的方程，由橢圓的離心率的定義可得選項(xiàng).
【詳解】設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>設(shè)中點(diǎn)為H，則，，，
代入數(shù)據(jù)并整理得：，
等式兩邊同除以得：，解得：或(舍).
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓離心率或其范圍的方法
（1）根據(jù)題意求出的值，再由離心率的定義直接求解．
（2）由題意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．解題時(shí)要注意橢圓本身所含的一些范圍的應(yīng)用，如橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)等
【變式1-1】3. （2023·江西九江·二模）青花瓷又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國(guó)瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤(pán)，盤(pán)子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似看成由大小兩個(gè)橢圓圍成.經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比相等.現(xiàn)不慎掉落一根質(zhì)地均勻的長(zhǎng)筷子在盤(pán)面上，恰巧與小橢圓相切，設(shè)切點(diǎn)為，盤(pán)子的中心為，筷子與大橢圓的兩交點(diǎn)為、，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．給出下列四個(gè)命題：
①兩橢圓的焦距長(zhǎng)相等；
②兩橢圓的離心率相等；
③；
④與小橢圓相切.
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)大、小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比均為，設(shè)點(diǎn)、、，建立平面直角坐標(biāo)系，利用橢圓的幾何性質(zhì)可判斷①②；利用直線與橢圓的位置關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷③的正誤；取以及，可判斷④的正誤.
【詳解】設(shè)大、小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比均為，
設(shè)點(diǎn)、、，
以橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸、短軸所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)小橢圓的方程為，
則大橢圓的方程為，
對(duì)于①，大橢圓的焦距長(zhǎng)為，兩橢圓的焦距不相等，①錯(cuò)；
對(duì)于②，大橢圓的離心率為，則兩橢圓的離心率相等，②對(duì)；
對(duì)于③，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，則點(diǎn)、關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，合乎題意，
當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立可得，
，可得，
此時(shí)，，
聯(lián)立可得，
由韋達(dá)定理可得，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
綜上所述，，③對(duì)；
對(duì)于④，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，將代入可得，
不妨取點(diǎn)、，則，
若，則直線的方程為，此時(shí)直線與橢圓不相切，④錯(cuò).
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決中點(diǎn)弦的問(wèn)題的兩種方法：
（1）韋達(dá)定理法：聯(lián)立直線與曲線的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；
（2）點(diǎn)差法：設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系求解.
【變式1-1】4. （22·23下·恩施·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線C：的左右焦點(diǎn)，且到漸近線的距離為1，過(guò)的直線與C的左、右兩支曲線分別交于兩點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的為（ ）
A．的面積為2B．雙曲線C的離心率為
C．D．
【答案】D
【分析】利用已知條件求出b的值，對(duì)于A：利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義求出的面積，對(duì)于B：利用雙曲線的離心率公式運(yùn)算求解；對(duì)于C：先求，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算求解；對(duì)于D：根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求出，代值計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)雙曲線C的半焦距為，
因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，且，
則其中一條漸近線方程為，即，且，
則到漸近線的距離，可得.
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋遥?br>可得，解得，
所以的面積為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：雙曲線C的離心率為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可得?br>所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)，則，
因?yàn)椋?，解得?br>所以，故D正確；
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．
2．焦點(diǎn)三角形的作用
在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)．
題型2二級(jí)結(jié)論之通徑型
【例題2】（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足軸，四邊形是等腰梯形，直線與y軸交于點(diǎn)，則橢圓的離心率為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】做軸于點(diǎn)，得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得到，然后根據(jù)，列出方程，即可得到結(jié)果.
【詳解】
由題意，做軸于點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危瑒t，
則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入橢圓方程，
可得，即，
因?yàn)?，則，（這里也可以直接利用通徑2ON=||,即）
由，則，
化簡(jiǎn)可得，，同時(shí)除可得，
即，
對(duì)于
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在時(shí)，方程有根，
且，故應(yīng)舍，所以.
故選:D
【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵在于得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形相似列出方程，得到的關(guān)系式.
【變式2-1】1. （23·24高三上·湖北·階段練習(xí)）已知，是橢圓的左右頂點(diǎn)，是雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，直線，分別交橢圓于另外的點(diǎn)，．若直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 ．
【答案】
【分析】由直線斜率公式結(jié)合點(diǎn)在曲線上可得，從而求得，進(jìn)而結(jié)合正切的定義即可求解．（可以直接用通徑公式）
【詳解】由題意可知，，
設(shè)，可得直線的斜率分別為，，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，整理得，所以，
設(shè)點(diǎn)，可得直線，的斜率，，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，整理得，
所以，即，
則，所以直線與關(guān)于軸對(duì)稱，
又因?yàn)闄E圓也關(guān)于軸對(duì)稱，且，過(guò)焦點(diǎn)，則軸，
又，則，
所以，
整理得，即，解得，或（舍去），
所以橢圓的離心率為．
故答案為：．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：
定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；
齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；
特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率．
【變式2-1】2. （2023·湖北武漢·三模）已知橢圓：，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，Р為橢圓上一點(diǎn)，且PF垂直于x軸.過(guò)原點(diǎn)О作直線PA的垂線，垂足為M，過(guò)原點(diǎn)О作直線PB的垂線，垂足為N，記，分別為，的面積.若，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【分析】設(shè)可得，再由三角形的面積公式將化簡(jiǎn)為①，再由可得，代入①可得，化簡(jiǎn)即可求出橢圓的離心率.
【詳解】設(shè)，故，
則，，所以，
①，
令中，所以，解得
故，即，
所以，
所以代入①可得：，
所以，
則，
即，
即，
即，即，
即，故，解得：.
故答案為：.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于由三角形的面積公式將化簡(jiǎn)為，再由勾股定理求出，代入化簡(jiǎn)即可.
【變式2-1】3. （22·23·贛州·二模）已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，滿足為直角三角形，作于點(diǎn)（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），且有，則的離心率為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意分析可得，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合通徑以及三角形相似列式求解即可.
【詳解】由題意可知：顯然，
若，則//，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，這與相矛盾，不合題意；
所以，可得，
因?yàn)?，則，即，
整理得，解得或（舍去），
所以的離心率為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．
【變式2-1】4. （2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為虛軸上端點(diǎn)，是中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，交雙曲線右支于，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】作出圖象，根據(jù)幾何性質(zhì)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合∥可得，進(jìn)而求出離心率.
【詳解】由題意，在雙曲線C: 中，右焦點(diǎn)為，F(xiàn)N垂直于軸，

由題意可知：，
因?yàn)槭荁F中點(diǎn)，則，可得，
且三點(diǎn)共線，則∥，可得，即,
所以.
故選：A.
題型3雙曲線漸近線相關(guān)
【例題3】（2023·山東濰坊·二模）已知雙曲線 的左，右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作的一條浙近線的垂線，垂足為，且，則的離心率為（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，利用勾股定理求出，由銳角三角函數(shù)得出，在利用余弦定理可得出、、的齊次方程，可解出雙曲線離心率的值．
【詳解】如下圖所示，雙曲線的右焦點(diǎn)，漸近線的方程為，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，
由勾股定理得，
在中，，，
在中，，，，
，
由余弦定理得，
化簡(jiǎn)得，，即，因此，雙曲線的離心率為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：
①直接求出、，可計(jì)算出離心率；
②構(gòu)造、的齊次方程，求出離心率；
③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來(lái)求解．
【變式3-1】1. （2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且平分，則的離心率為( )
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件求出P點(diǎn)坐標(biāo)和直線PA方程，平分，則O到PM的距離等于到AP的距離，列式可求離心率﹒
【詳解】如圖，雙曲線的漸近線取，則，
由，
∴P()，，故，
∴，即
∵平分，∴O到PM的距離等于O到AP的距離|OM|，
即，化簡(jiǎn)整理得，解得e=2，
故選：A﹒
【變式3-1】2. （多選）（2023·山東濰坊·三模）函數(shù)的圖象是雙曲線，且直線和是它的漸近線．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．，B．對(duì)稱軸方程是
C．實(shí)軸長(zhǎng)為D．離心率為
【答案】ABD
【分析】由基本不等式可判斷A，由雙曲線的性質(zhì)判斷B，C，D.
【詳解】時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故A正確；
依題意，此雙曲線兩條漸近線為和，，
由雙曲線的對(duì)稱性，雙曲線的漸近線關(guān)于雙曲線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
故得雙曲線的兩條對(duì)稱軸方程為，故B正確；
由雙曲線的性質(zhì)，雙曲線實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為對(duì)稱軸與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，則由得雙曲線實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為
，，
故此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)即為，故C錯(cuò)誤；
依題意，此雙曲線兩條漸近線和的夾角為，
則漸近線與對(duì)稱軸的夾角為，由雙曲線的性質(zhì)有，
所以，解得，故D正確.
故選：ABD
【變式3-1】3. （2020上·廣西桂林·高三廣西師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，過(guò)F作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，若，則C的離心率為 .
【答案】
【解析】由題意，得到雙曲線的其中一條漸近線的方程為， 進(jìn)而得到過(guò)點(diǎn)與垂直的直線方程為，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合，列出方程，進(jìn)而得到，即可求解.
【詳解】如圖所示，雙曲線可得右焦點(diǎn)，
其中一條漸近線的方程為，
則過(guò)點(diǎn)與垂直的直線方程為，
聯(lián)立方程組，解得，即
在中，因?yàn)?，可得，整理得?br>即，所以，整理得，
即，解得或（舍去），
故雙曲線的離心率為.
【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出 ，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)．
【變式3-1】4. （2022·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C：（，）的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F且與雙曲線C的一條漸近線垂直的直線l與另一條漸近線交于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)A，若A為PF的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為 .
【答案】
【分析】先假設(shè)與直線l垂直的一條漸近線的斜率為，進(jìn)而求出的直線斜率，進(jìn)而由F點(diǎn)求出的直線方程為，聯(lián)立另一條漸近線和直線，求出交點(diǎn)坐標(biāo)P，再根據(jù)A為中點(diǎn)列式即可求解.
【詳解】設(shè)與直線l垂直的漸近線的方程為：，
因?yàn)橹本€ 與該漸近線垂直，所以，
所以的直線方程為，
令，得，
所以點(diǎn)A坐標(biāo)為，
聯(lián)立 ，得，
所以點(diǎn)P坐標(biāo)為，
又因?yàn)锳為中點(diǎn)，所以，
即 ，
化簡(jiǎn)得，，
所以雙曲線離心率為：，
故答案為：.
【變式3-1】5.（多選）（2023·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作直線的垂線，垂足為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，過(guò)P作C的切線交直線于點(diǎn)Q，則（ ）
A．C的離心率為B．C的離心率為
C．△OPQ的面積為D．△OPQ的面積為
【答案】AC
【分析】設(shè)，由題意可求得， ，中，利用正弦定理求得，即可求得雙曲線得離心率；通過(guò)設(shè)點(diǎn)表示出，利用切線求得P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，可求△OPQ的面積．
【詳解】直線和直線，是雙曲線C：的兩條漸近線，

設(shè)，則有，
又垂直于漸近線，漸近線方程為，，，
，而，，
，
在中，，由正弦定理：，
， ， ，
，A選項(xiàng)正確；
雙曲線C的方程為：，漸近線為，
過(guò)點(diǎn)的切線與雙曲線切于點(diǎn)，則有，
又，均在雙曲線的漸近線上，故設(shè)，
又， ，
，
當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，由，切線斜率存在，
設(shè)切線方程為，代入雙曲線方程，
得
令，得，解得，
過(guò)點(diǎn)的切線方程為，
切線方程代入，解得，
切線方程代入，解得，
，
，則C選項(xiàng)正確.
故選：AC
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
1.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過(guò)程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．
2.解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
題型4坐標(biāo)法
【例題4】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的左頂點(diǎn)為A，P為C的一條漸近線上一點(diǎn)，AP與C的另一條漸近線交于點(diǎn)Q，若直線AP的斜率為1，且A為PQ的三等分點(diǎn)，則C的離心率為 ．
【答案】
【分析】寫(xiě)出直線的方程為，將其分別與雙曲線漸近線聯(lián)立解出的縱坐標(biāo)，根據(jù)為的三等分點(diǎn)，得到關(guān)于的方程，最后化為關(guān)于的齊次方程，即可得到離心率.
【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，直線的方程為，
聯(lián)立，得點(diǎn)的縱坐標(biāo);
聯(lián)立，得點(diǎn)的縱坐標(biāo).
由為的三等分點(diǎn),可知，則有，整理得,
則，則，故的離心率.
故答案為：.
【變式4-1】1. （2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線（）的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交E的左支于點(diǎn)P，交E的漸近線于點(diǎn)M，N，且P，M恰為線段FN的三等分點(diǎn)，則雙曲線E的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，設(shè)，從而可得出的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在漸近線上，求出，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線，得出的齊次式即可得解.
【詳解】由題意，點(diǎn)在漸近線上，點(diǎn)在漸近線上，
設(shè)，
因?yàn)镻，M恰為線段FN的三等分點(diǎn)，
所以為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，
則，則，即，
又點(diǎn)在漸近線上，
所以，所以，
故，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線，
所以，所以，
所以.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，由為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，得出的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在漸近線上，求出，是解決本題的關(guān)鍵.
【變式4-1】2. （24·25高三上·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)P，若，則橢圓的離心率 ．
【答案】/0.5
【分析】設(shè)直線的方程, 代入橢圓方程, 由韋達(dá)定理, 弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式, 求得中點(diǎn)坐標(biāo) 坐標(biāo), 求得垂直平分線方程, 當(dāng)時(shí), 即可求得點(diǎn)坐標(biāo), 代入即可求得, 即可求得 , 即可求得和的關(guān)系, 即可求得橢圓的離心率.
【詳解】因?yàn)閮A斜角為的直線過(guò)點(diǎn)，
設(shè)直線的方程為: , ,
線段的中點(diǎn),
聯(lián)立 ，化為，
，
，
的垂直平分線為:,
令 , 解得 ,.
,
,則 ,
橢圓的離心率為,
故答案為:.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)算能力是關(guān)鍵；本題考查簡(jiǎn)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,直線的垂直平分線的求法, 屬于較難題.
【變式4-1】3. （2023·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知有公共焦點(diǎn)、的橢圓和雙曲線相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，且滿足，直線AB與x軸交于點(diǎn)P，直線CP與雙曲線交于點(diǎn)Q，記直線AC、AQ的斜率分別為、，若，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【分析】設(shè)橢圓的方程為，雙曲線的方程為，聯(lián)立方程組求的坐標(biāo)，再求點(diǎn)的坐標(biāo)，由條件列方程求橢圓的離心率.
【詳解】設(shè)橢圓的方程為，
雙曲線的方程為，
因?yàn)闄E圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)、，
所以，
因?yàn)椋?br>聯(lián)立，可得，
所以，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，
所以直線的斜率，直線的方程為，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
聯(lián)立，消得，
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
所以，，
所以直線的斜率，又，，
所以，又，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)，，
所以，
故，故
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)
【變式4-1】4. （22·23高三上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)A，與雙曲線的一條漸近線在第一象限交于點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.下列四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
①；
②若，則雙曲線的離心率；
③；
④.
A．①②B．①③C．①②④D．①③④
【答案】C
【分析】對(duì)于①：根據(jù)可得，根據(jù)勾股定理分析判斷；對(duì)于②：根據(jù)向量共線可得，代入雙曲線方程可得離心率；對(duì)于③：根據(jù)雙曲線的定義及三角形的三邊關(guān)系分析判斷；對(duì)于④：根據(jù)兩點(diǎn)間距離以及A的橫坐標(biāo)的范圍分析判斷.
【詳解】對(duì)于①：因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，則，
所以，故①正確；
對(duì)于②：由題意可知：直線，
設(shè)，則，可得，
即，
設(shè)，由，可得，
因?yàn)?，則，解得，
即，由點(diǎn)A在雙曲線上可得，
整理得，解得或（舍去），故②正確；
對(duì)于③：設(shè)直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，
由雙曲線的定義可得：，
在中可得，即，
所以，
即，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：設(shè)，則，可得，
則，
因?yàn)?，則，可得，
所以，即，故④正確；
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．
2．焦點(diǎn)三角形的作用
在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)．
【變式4-1】5.（22·23高三上·河北石家莊·期中）橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率為
【答案】
【分析】由得為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，由得，所以點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，得，代入橢圓方程解出離心率.
【詳解】
如圖，因?yàn)?，所以，即?br>所以為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，
又因?yàn)椋?，即?br>所以，所以點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，
因?yàn)?，，且，所以?br>代入橢圓方程，得，因?yàn)椋?
故答案為：.
【點(diǎn)睛】將兩個(gè)向量條件分別轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的位置，轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而列出關(guān)于離心率的方程解答.
題型5二級(jí)結(jié)論之焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)
【例題5】（23·24高三上·云南·階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于A，B兩點(diǎn)．若的面積是面積的2倍，則的離心率為 ．
【答案】
【分析】由的面積是面積的2倍，得到，由此設(shè)，分別在和中利用余弦定理，即可找出的關(guān)系，即可求得答案.(可以直接用二級(jí)結(jié)論)
【詳解】如圖，由的面積是面積的2倍，可得，
不妨設(shè)，，，則，．
在中，,由，
得，整理得①．
在中，,由，
得，整理得②，
①+②得，將該式代入②，
整理得，即，
故的離心率為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于找到之間的關(guān)系，解答時(shí)要注意利用的面積是面積的2倍，得到，由此可分別在和中利用余弦定理，即可找出的關(guān)系，求得答案.
【變式5-1】1. （2022上·遼寧鞍山·高三鞍山一中校考期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)斜率為的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率 ．
【答案】/0.4
【分析】設(shè)，將直線和橢圓聯(lián)立消元得，由可得，這幾個(gè)式子再結(jié)合化簡(jiǎn)可得.
【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)且斜率為，所以直線為：，
與橢圓：聯(lián)立消去，得，
設(shè)，則
因?yàn)?，可得，代入上式?br>消去并化簡(jiǎn)整理得：，
將代入化簡(jiǎn)得：，解得，
因此，該雙曲線的離心率.
故答案為：.
【變式5-1】2. （2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為，過(guò)、分別作于，于，于，根據(jù)直線的斜率為，得到，再利用雙曲線的第二定義得到，又，結(jié)合求解.
【詳解】設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為，
過(guò)、分別作于，于，于，
如圖所示：
因?yàn)橹本€的斜率為，
所以直線的傾斜角為，
∴，，
由雙曲線的第二定義得：，
又∵，
∴，
∴
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的第二定義的應(yīng)用以及離心率的求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
【變式5-1】3. （2023·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)校考二模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理與構(gòu)建出關(guān)于、、的齊次方程，根據(jù)離心率公式即可解得.
【詳解】設(shè)，，，過(guò)點(diǎn)做傾斜角為的直線斜率，
直線方程為，聯(lián)立方程，
可得，
根據(jù)韋達(dá)定理：，，
因?yàn)?，即，所以?br>所以，
即，所以，聯(lián)立，
可得，.
故選：C.
【變式5-1】4. （2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）橢圓的上頂點(diǎn)為是的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量關(guān)系得到三點(diǎn)共線，表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出離心率.
【詳解】因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，其中，
不妨設(shè)，，
則，
由得，解得，
故，
將其代入中得，，解得，
故離心率為.
故選：A
題型6二級(jí)結(jié)論之焦點(diǎn)已知底角
【例題6】（2008·全國(guó)·高考真題）設(shè)是等腰三角形，，則以，為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題設(shè)條件可知，由正弦定理可得，再由雙曲線的定義可得，最后由離心率公式進(jìn)行計(jì)算即可得解.
【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為，，則，
是等腰三角形，，
，，
由正弦定理即，解得，
雙曲線過(guò)點(diǎn)，由雙曲線的定義可得，
解得離心率，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義、離心率以及解三角形問(wèn)題，屬于中檔題.求雙曲線離心率，一般可由下面兩個(gè)方面著手：
（1）根據(jù)已知條件確定，，的等量關(guān)系，然后把用，代換，求的值；
（2）已知條件構(gòu)造出，，的等式或不等式，結(jié)合化出關(guān)于，的式子，再利用，化成關(guān)于的等式或不等式，從而解出的值或范圍.
【變式6-1】1. （2022秋·山東青島·高二山東省青島第五十八中學(xué)?？计谥校E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為，若直線與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)M滿足，則該橢圓的離心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)的斜率得到，，，結(jié)合橢圓定義得到，，由勾股定理列出方程，求出離心率.
【詳解】【解法一】因?yàn)榻?jīng)過(guò)左焦點(diǎn)，且斜率為，故，
所以，所以，則，
設(shè)，則，
由橢圓的定義可知：，即，
解得：，
所以，，
由勾股定理得：，
故，
解得：，故橢圓離心率.
故選：A
【解法二】===-1。
【變式6-1】2. （2020秋·貴州貴陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，焦距為若直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足，則該橢圓的離心率等于
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由直線斜率得直線傾斜角，從而的三個(gè)內(nèi)角都能求出，可確定是正三角形，于是有，把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，變形整理可解得．
【詳解】如圖，由題意得，又，∴，，
于是是正三角形，∴，
點(diǎn)在橢圓上，∴，整理得，即，
（舍去），．
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的離心率，解題關(guān)鍵是列出關(guān)于的一個(gè)等式，本題關(guān)鍵是由直線的傾斜角求出的三個(gè)內(nèi)角，可確定是正三角形，這樣把點(diǎn)坐標(biāo)用表示后，代入橢圓方程即得．
【變式6-1】3. （2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)Р為橢圓上一點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理得到可得，結(jié)合兩角和的正弦公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，，可得，?br>則，，，，
由正弦定理得：
，
可得，
又由，
所以.
故答案為：.

【變式6-1】4. （2023秋·江西吉安·高三吉安一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）點(diǎn)P是雙曲線：（，）和圓：的一個(gè)交點(diǎn)，且 ，其中，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】/
【分析】利用圓與雙曲線的定義與性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】
由題中條件知，圓的直徑是雙曲線的焦距，則，
∴，，，
．
故答案為：
【變式6-1】5.（2023秋·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市八中?？茧A段練習(xí)）已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【分析】作出輔助線，得到，求出，求出離心率.
【詳解】由題知，過(guò)作軸于，則，
，
，解得，
故答案為：
題型7焦點(diǎn)三角形已知頂角型
【例題7】（20·21高二上·吉林白城·階段練習(xí)）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率，則 .
【答案】4
【分析】依據(jù)橢圓和雙曲線定義和題給條件列方程組，得到關(guān)于橢圓的離心率和雙曲線的離心率的關(guān)系式，即可求得的值.
【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)
則根據(jù)橢圓、雙曲線定義得：，
可得：，，
設(shè)，，
在中利用余弦定理得，，
可得
整理得，即，也就是
故答案為：4
【變式7-1】1. （2021·重慶·校聯(lián)考三模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交雙曲線C的左支于P，Q兩點(diǎn)，若，且的周長(zhǎng)為，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)條件求得，∴，在中，由勾股定理可得關(guān)于的等式，進(jìn)而可求得離心率.
【詳解】由雙曲線定義知，
則，，所以，
∴的周長(zhǎng)為，
∴，，
由，
所以，故，∴，
∴，，∴，
在中，，故.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：由得到.
【變式7-1】2. （2021·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的右支上，與交于點(diǎn)，若，且，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題設(shè)知△為等腰直角三角形，即、，結(jié)合雙曲線的定義求、，在△中應(yīng)用余弦定理，構(gòu)造齊次方程，求離心率即可.
【詳解】由且知：△為等腰直角三角形且、，即，
∵，
∴，故，則，
而在△中，，
∴，則，故.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由已知條件判斷△為等腰直角三角形，結(jié)合雙曲線的定義及余弦定理可得齊次方程，即可求離心率.
【變式7-1】3. （2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，且，四邊形的周長(zhǎng)與面積滿足，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不妨設(shè)，，結(jié)合雙曲線定義和余弦定理可得，再由四邊形的周長(zhǎng)與面積關(guān)系求得關(guān)系即可求離心率．
【詳解】不妨設(shè)，，
由雙曲線的定義可知，，即①，
又，所以由余弦定理可得②，
由①②可得，，所以．
又四邊形為平行四邊形，故四邊形的周長(zhǎng)，
面積．
因?yàn)?，故，整理得?br>故雙曲線的離心率為．
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性得到四邊形是平行四邊形，從而得到．
【變式7-1】4. （2023·上海崇明·一模）已知橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且它們有共同的焦點(diǎn)、，P是與在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，雙曲線的離心率等于 .
【答案】/
【分析】根據(jù)P點(diǎn)是橢圓和雙曲線的交點(diǎn)，結(jié)合橢圓雙曲線的定義表示出，，在△中結(jié)合余弦定理即可列出方程求解．
【詳解】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓離心率為，
設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線離心率為，
由題可知：．
設(shè)，，
則，
由①②得，，，
代入③整理得，，
兩邊同時(shí)除以得，，
即，
即，
解得，即 ．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題綜合考查橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合焦點(diǎn)三角形中的余弦定理，列出方程組即可求解.
【變式7-1】5.（2022上·江蘇南京·高三南京師大附中校考期中）已知，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若是等腰三角形，則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【分析】由題意可得直線為，設(shè)，，代入雙曲線并結(jié)合，在右支可得，可得，然后分，和三種情況進(jìn)行討論，即可求解
【詳解】由雙曲線可得，故直線為，
代入雙曲線可得，即，
設(shè)直線與雙曲線的右支交于，，
故，故即，所以，
結(jié)合可得，
不妨設(shè)在軸的下方，在軸的上方，設(shè)，，由雙曲線定義可得，，
①時(shí)，，即，
故，
因?yàn)橹本€斜率為1，所以傾斜角為，即，
在中，由余弦定理可得，
即，所以，
所以，解得，舍去；
②時(shí)，，即，
故，
因?yàn)橹本€斜率為1，所以傾斜角為，即，
在中，由余弦定理可得，
即，所以，
所以，解得，
因?yàn)?，?br>所以，此時(shí)滿足題意；
③時(shí)，此時(shí)直線垂直與軸，與題意矛盾，故舍去；
綜上所述，雙曲線的離心率為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵點(diǎn)是得到直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)時(shí)，離心率的范圍，后面討論三種情況并結(jié)合所求的范圍進(jìn)行取舍
題型8焦點(diǎn)三角形雙余弦定理
【例題8】（22·23高二下·河南安陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知條件和橢圓定義，將用表示，在中求出，在用余弦定理，建立等量關(guān)系，即可求解.
【詳解】由橢圓的定義可得
結(jié)合可得
由可得，
由橢圓的定義可得所以
在中，，
在中，，
，
.
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．
【變式8-1】1. （22·23上·河南·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且，，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】先設(shè)，再利用雙曲線的定義與向量數(shù)乘的性質(zhì)得到，，關(guān)于的關(guān)系式，從而在與中利用余弦定理得到的齊次方程，解之即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，
因?yàn)?，所以?br>由，得，
由，得，
又，，
所以在中，，整理得，故，
在中，，整理得，
則，整理得，即，
所以，則雙曲線C的離心率為.
故選：A.
.
【變式8-1】2. （2023·浙江·一模）已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為上位于軸上方的兩點(diǎn)，且，．記，交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率是 ．
【答案】
【分析】作出圖像，由余弦定理及雙曲線的定義表示出和，再根據(jù)得出，即可表示出，由列出齊次式，求解即可．
【詳解】做出圖像，如圖所示，則，
在中，由得，，
設(shè)，則，
所以，解得，即，
在中，由得，，
設(shè)，則，
所以，解得，即，
因?yàn)椋?br>所以，
則，即，
所以，解得，
所以，
由可得，，則，
所以，整理得，解得，
故答案為：．
【變式8-1】3. （23·24高三上·江蘇淮安·開(kāi)學(xué)考試）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，直線與橢圓C交于另一點(diǎn)B，若，則橢圓C的離心率為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，再在中根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓的定義可得，再分別在與列出余弦定理，根據(jù)化簡(jiǎn)即可.
【詳解】由橢圓的性質(zhì)可得，設(shè)，在中根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓的定義可得，
即，
整理可得，即，故.
又，故，，
故，即，，
故，故離心率.

故答案為：
【變式8-1】4. （22·23高三下·山東菏澤·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，，，則C的離心率為 ．
【答案】/
【分析】利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.
【詳解】依題意，設(shè)，則，
在中，，則，
故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過(guò)焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.
【變式8-1】5.（2023·湖南株洲·一模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓C的離心率為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)橢圓的定義，線段比例關(guān)系和余弦定理即可求解.
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
又，
所以，
所以，
在三角形中，，
在三角形中，，
以上兩式相等整理得，
故或（舍去），
故，
故答案為：.
題型9利用圖形求離心率
【例題9】（2023·安徽安慶·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線的右支相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，且為線段的中點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由條件證明為線段的中點(diǎn)，由此可得，結(jié)合雙曲線的定義可得，由勾股定理可得的關(guān)系，由此可求曲線的離心率.
【詳解】因?yàn)?，為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，
所以，
因?yàn)?br>所以，又為線段的中點(diǎn)，
所以為線段的中點(diǎn)，且，
又為線段的中點(diǎn)，
所以，
在中，，，
所以，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，
所以，
故，
在中，，，，
由勾股定理可得：，
所以，即，
所以，又，
故，
所以，
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，
然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．
【變式9-1】1. （22·23·包頭·二模）雙曲線C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，以C的虛軸為直徑的圓記為D，過(guò)作D的切線與C的漸近線交于點(diǎn)H，若的面積為，則C的離心率為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)相切關(guān)系可得直線的斜率，進(jìn)而得方程為，聯(lián)立兩直線方程得交點(diǎn)坐標(biāo)，即可由面積公式得的關(guān)系，由齊次式即可求解離心率.
【詳解】設(shè)直線與圓相切于,由題意可知,，所以 ，所以,
所以直線方程為，
聯(lián)立和得 ，故
因此，故，因此，
故 ，
故答案為：
【變式9-1】2. （2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）雙曲線的左焦點(diǎn)為F，直線與雙曲線C的右支交于點(diǎn)D，A，B為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為 .
【答案】
【分析】作出輔助線，得到，設(shè)出，，由雙曲線定義得到方程，并由勾股定理得到，兩方程聯(lián)立后求出離心率.
【詳解】由題意得，取中點(diǎn)，連接，設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為，連接，
因?yàn)?，所以?br>又A，B為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，即為的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，所以，故，
設(shè)，則，又，
由勾股定理得，則，
由雙曲線定義得，即①，
在Rt中，由勾股定理得，
即②，
由①得，兩邊平方得，
解得或（負(fù)值舍去），
將代入②得，故離心率為.

故答案為：
【變式9-1】3. （2023·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求得直線AP的方程，根據(jù)題意求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．
【詳解】由題意可知：，，，直線的方程為：，
由，點(diǎn)在第三象限，，則，
代入直線方程中得整理得，
則，∴橢圓的離心率.
故選：B.
【變式9-1】4. （2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【分析】（1）由可得，從而求得，再根據(jù)可得，再結(jié)合離心率公式即可求解.
【詳解】設(shè)為半焦距，因?yàn)?，所以，故點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，即，整理得?br>所以，得，又，所以.
故答案為：

題型10利用橢圓雙曲線的對(duì)稱性求離心率
【例題10】（22·23高二下·湖南·期末）如圖，已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線的離心率為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得，結(jié)合勾股定理運(yùn)算求解.
【詳解】延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)，
因?yàn)?，根?jù)對(duì)稱性可知，
設(shè)，則，
可得，即，
所以，則，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，
即，解得.
故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值；
2．焦點(diǎn)三角形的作用
在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)．
【變式10-1】1. （2023·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是的一條漸近線上的兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），.若為的左頂點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)，可得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)，可得四邊形為矩形，再求出的坐標(biāo)，求出，再利用余弦定理構(gòu)造齊次式即可得解.
【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，
因?yàn)?，所以?br>所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，
又，所以四邊形為矩形，
因?yàn)橐詾橹睆降膱A的方程為，
不妨設(shè)所在的漸近線方程為，
則，
由解得或，
不妨設(shè)，
因?yàn)闉殡p曲線的左頂點(diǎn)，所以，
所以，
又，
由余弦定理得，
即，整理得，
所以離心率.
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組或不等式組，求得、的值或不等式，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值或取值范圍；
（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程或不等式求解；
（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值構(gòu)建方程或不等式，求得離心率的值或取值范圍.
【變式10-1】2. （2023·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)是，直線交橢圓于兩點(diǎn)﹐直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為 ．
【答案】/
【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，利用已知條件結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可得四邊形為矩形，再利用勾股定理方程組求解即可.
【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，，，

由直線交橢圓于兩點(diǎn)﹐及，
結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可得，
所以，，均為直角三角形，所以四邊形為矩形，
設(shè)，則，，，
所以在直角中，即①，
在直角中，即②，
由②解得，
將代入①得，即，
所以，
故答案為：
【變式10-1】3. （23·24高三上·山西大同·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【分析】由題意可得 ，且，延長(zhǎng)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，然后利用橢圓的對(duì)稱性和橢圓的定義可得，，，則由勾股定理的逆定理可得，再在中利用勾股定理列方程可求出的關(guān)系，從而可求出離心率.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以 ，且，
延長(zhǎng)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，
則由對(duì)稱性可設(shè)，，，，
因?yàn)?，所以?br>則，，，
得
所以，
在中，由，得
，化簡(jiǎn)得，所以，
所以離心率.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查橢圓的離心率的求法，解題的關(guān)鍵是利用橢圓的對(duì)稱性和橢圓的定義表示出各線段的長(zhǎng).
【變式10-1】4. （2022·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，過(guò)的直線l交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)且使得．A為左支上一點(diǎn)且滿足，，的面積為，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)焦三角形的面積為，得到，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交PQ于點(diǎn)B，可知四邊形是平行四邊形，根據(jù)得到，設(shè)，則，，，，．利用勾股定理得到，即可得到雙曲線的離心率.
【詳解】如圖所示：
因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅危?br>因?yàn)椋?br>，
.
所以
可得．
過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交PQ于點(diǎn)B，可知四邊形是平行四邊形，
因?yàn)椋裕?br>又，所以有．
設(shè)，則，，，
，．
在中，由，解得．
在中，由，得，
所以離心率，
故選：C
【變式10-1】5.（2021下·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)是E的右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)PO，PF分別交E于Q，R兩點(diǎn)，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令雙曲線E的左焦點(diǎn)為，連線即得，設(shè)，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點(diǎn)為，連接，
由對(duì)稱性可知，點(diǎn)是線段中點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
設(shè)，則，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
從而有，中，，整理得，，
所以雙曲線E的離心率為．
故選：B
題型11點(diǎn)差法
【例題11】（22·23·吉安·一模）橢圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，滿足，，若直線的斜率為，則橢圓的離心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)出點(diǎn)，由已知求出，利用兩點(diǎn)在橢圓上，化簡(jiǎn)計(jì)算解出直線的方程，可得直線的斜率，解方程求出離心率．
【詳解】設(shè)點(diǎn)，，且，
可得，即，解得，
由兩點(diǎn)在橢圓上，
有，
得：，
即，
同理可得，
因此，直線的方程為，
從而直線的斜率為，
由，可得
故選：B
【變式11-1】1．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的離心率，C的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A在橢圓C上滿足．的角平分線交橢圓于另一點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D．已知，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，作圖，計(jì)算得，，再設(shè)角平分線交x軸于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到直線的方程，再得到點(diǎn)，利用，得到點(diǎn)，然后利用點(diǎn)差法，通過(guò)計(jì)算化簡(jiǎn)，可得答案.
【詳解】
由點(diǎn)A在橢圓C上，且，設(shè)點(diǎn)，且，，
則
，
同理，
設(shè)角平分線交x軸于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可知
，
，
，解得，，得．
可得直線．進(jìn)而可得，
由，可得，
設(shè)中點(diǎn)為M，則．，
點(diǎn)差法的結(jié)論，證明如下：
設(shè)，，，為中點(diǎn)，
故，兩式作差得，，
又由，，可整理得，，
最后化簡(jiǎn)得，，
進(jìn)而得到，，
得．
因?yàn)?，所以?br>聯(lián)立，解得，
所以，故，解得．
故答案為：．
【變式11-1】2. （2022下·云南昭通·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線：斜率為的直線與的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線交于另一點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，如圖1.若直線的斜率為，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，線段AB的中點(diǎn)，代入雙曲線的方程中可得，兩式相減得，可得①，設(shè)，線段CD的中點(diǎn)，同理得②，由，得 三點(diǎn)共線， 從而求得，由此可求得雙曲線的離心率.
【詳解】設(shè)，線段AB的中點(diǎn)，
則，兩式相減得，
所以①，
設(shè)，線段CD的中點(diǎn)，同理得②，
因?yàn)?，所以，則三點(diǎn)共線，
所以，將①②代入得：，即，
所以，即，
所以，
故選：D.
【變式11-1】3. （22·23·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，，，直線與的左、右兩支分別交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，若點(diǎn)恒在直線上，則的離心率為 .
【答案】
【分析】設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)及中點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線作差得，，利用三點(diǎn)共線表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入已知直線方程得，即可求出離心率.（可以利用中點(diǎn)弦結(jié)論）
【詳解】設(shè)，，，，，
的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，
則，兩式相減，得，化簡(jiǎn)得，
所以，所以①，同理②，
因?yàn)?，所以，，三點(diǎn)共線，所以，
將①②代入得，即，
因?yàn)椋裕袋c(diǎn)P恒在直線上，
又點(diǎn)恒在直線上，所以，所以，
所以雙曲線的離心率為.
故答案為：

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一般涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，采用設(shè)而不求點(diǎn)差法求解，本題通過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系建立a，b關(guān)系，從而求出雙曲線的離心率.
【變式11-1】4. （2023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)B，若斜率為的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，且滿足，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【分析】先由得到F為的重心，再利用點(diǎn)差法求得之間的關(guān)系，進(jìn)而求得橢圓的離心率
【詳解】設(shè)，線段PQ的中點(diǎn)為，
由，知F為的重心，故，
即，解得，
又M為線段PQ的中點(diǎn)，則，
又P、Q為橢圓C上兩點(diǎn)，則，
兩式相減得，
所以，
化簡(jiǎn)得，則
解得或（故舍去）
則，則離心率.
故答案為：
【變式11-1】5.（2020上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，過(guò)原點(diǎn)O的直線AB交橢圓C：（a＞b＞0）于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A分別作x軸、AB的垂線AP，AQ分別交橢圓C于點(diǎn)P，Q，連接BQ交AP于一點(diǎn)M，若，則橢圓C的離心率是 .
【答案】
【解析】設(shè)，，根據(jù)已知條件得、、的坐標(biāo)，、B，M，Q三點(diǎn)共線，以及 ，由，在橢圓上有，聯(lián)立所得方程即可求離心率.
【詳解】設(shè)，，則，，，
由，則①，
由B，M，Q三點(diǎn)共線，則，即 ②.
又因?yàn)椋?，即，③?br>將①②代入③得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)表示兩線垂直以及三點(diǎn)共線，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上得到相關(guān)參數(shù)的方程，聯(lián)立方程求橢圓離心率.
題型12二級(jí)結(jié)論之中點(diǎn)弦問(wèn)題
【例題12】（22·23上·徐州·期末）已知橢圓C：，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線交C于A，B兩點(diǎn)．P是C上一點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），直線BP交x軸于點(diǎn)D．若直線AP，BP的斜率之積為，且，則橢圓C的離心率為 ．
【答案】
【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求斜率，由題知，兩式相減，化簡(jiǎn)得，結(jié)合
，知，再利用及離心率公式即可求解.
【詳解】設(shè)，，，
則直線AP的斜率為，BP的斜率為，
由題知，兩式相減得，
即，即，即，
又，則，即，
即，則，所以，
即，則橢圓C的離心率為.
故答案為：
【變式12-1】1. （22·23下·安徽·一模）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)在直線上，且線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則橢圓的離心率是 .
【答案】
【分析】利用點(diǎn)差法證明二級(jí)結(jié)論，再結(jié)合，則兩式相比可得，即，代入即可求出離心率.
【詳解】設(shè)，其中，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，
記坐標(biāo)原點(diǎn)為，直線的斜率分別為，易知三條直線斜率均存在，
又，兩式相減整理可得，
即，又，所以兩式相比可得，
即，代入，整理可得，
所以離心率.
故答案為：.
【變式12-1】2. （2023·貴州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)О為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C：上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作橢圓C內(nèi)部的圓E：的一條切線，切點(diǎn)為D，與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，D為AB的中點(diǎn)，若OD的斜率與DE的斜率之積為2，則C的離心率為 .
【答案】
【分析】設(shè)，，，根據(jù)點(diǎn)差法可得，由題意可知，則，進(jìn)而可求得橢圓的離心率.
【詳解】設(shè)，，，則，.
將A，B代入C，得兩式相減，得，
所以，即.
由：可知，圓E與y軸相切，如圖.
由題意可知，不妨設(shè)OD的斜率為，且.
,是等腰三角形，，
，所以.
由OD的斜率與DE的斜率之積為2，可得，解得（負(fù)值舍去）.
所以，所以，即.
所以，所以，
所以C的離心率為.
故答案為：.
【變式12-1】3. （2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：()的短軸長(zhǎng)為4，上頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，雙曲線：(，)的左?右焦點(diǎn)分別與橢圓的左?右頂點(diǎn)，重合，點(diǎn)是雙曲線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，直線的斜率，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由橢圓的短軸長(zhǎng)為4得的坐標(biāo)，的坐標(biāo)
設(shè)的中點(diǎn)為連接得，，
直線的方程得的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，求出雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，
解得雙曲線的離心率.
【詳解】因?yàn)闄E圓：()的短軸長(zhǎng)為4，所以，.
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，而，，
所以，得，所以直線的方程為，
與直線的方程聯(lián)立，得解得
所以的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，
又雙曲線： 的左?右焦點(diǎn)分別為，，
所以根據(jù)雙曲線的定義，
得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，
所以雙曲線的離心率，
故選：D
【點(diǎn)睛】充分利用橢圓和雙曲線的幾何特征，特別是雙曲線的左右焦點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)重合.
結(jié)論拓展已知直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則.
【變式12-1】4. （22·23下·南通·階段練習(xí)）已知兩點(diǎn)A，M在雙曲的右支上，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，交y軸于點(diǎn)N，若，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)為AB的中點(diǎn)，設(shè)，，，，利用點(diǎn)差的方法表示出，結(jié)合題意繼而表示出，推出，根據(jù)即可求得a，b的關(guān)系，從而可求雙曲線離心率.
【詳解】
如圖，不妨設(shè)A在第一象限，取BM的中點(diǎn)，連接OQ，
因?yàn)闉锳B的中點(diǎn)，故，
，，，，
B，M在雙曲線上，則，兩式相減可得，，
即，而，，
故，即，
又因?yàn)?，則，即，
所以，即，所以，
又，則,
即，故，
所以，而，故,
故，則雙曲線的離心率為，
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，當(dāng)A在第四象限時(shí)，同理可求得，
當(dāng)A在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)，由于，此時(shí)AM與雙曲線相切，不合題意，
故雙曲線的離心率為，
故選：D.
題型13角平分線相關(guān)
【例題13】（22·23下·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線E上一點(diǎn)，，的平分線與x軸交于點(diǎn)Q，，則雙曲線E的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意分析可得，利用正弦定理結(jié)合角平分線可得，再根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合通徑分析運(yùn)算即可.
【詳解】∵，則，可得，
分別在中，由正弦定理可得：
∵平分，可得，即，
且，
故，則，
所以，
又∵，則，
所以，整理得，
故，得，即，
所以.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
方法定睛：1.雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值．
2.焦點(diǎn)三角形的作用
在焦點(diǎn)三角形中，可以將雙曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)．
【變式13-1】1. （22·23下·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線定理得到的關(guān)系，再根據(jù)雙曲線定義分別把圖中所有線段用表示出來(lái)，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可解出離心率.
【詳解】
因?yàn)?，所以∽?br>設(shè)，則，設(shè)，則，．
因?yàn)槠椒?，由角平分線定理可知，，
所以，所以，
由雙曲線定義知，即，，①
又由得，
所以，即是等邊三角形，
所以．
在中，由余弦定理知，
即，化簡(jiǎn)得，
把①代入上式得，所以離心率為．
故選：A．
【變式13-1】2. （22·23高三·云南·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，為橢圓上一點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，的角平分線與直線交于點(diǎn)，若，的面積是面積的6倍，則橢圓的離心率是 .
【答案】
【分析】利用垂直關(guān)系而得出，利用內(nèi)角平分線定理.利用面積比值得出結(jié)論。
【詳解】由題意知，，，，當(dāng)時(shí)，.
由，得，.
又的角平分線與直線交于點(diǎn)，可知，所以.
，解得，橢圓的離心率是.
故答案為：.
【變式13-1】3. （2023·山東煙臺(tái)·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P是C與圓的交點(diǎn)，的平分線交于Q，若，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作圖，根據(jù)幾何關(guān)系以及橢圓的定義求解.
【詳解】
依題意作上圖，因?yàn)?是 的角平分線， ， ，
又P點(diǎn)在圓 的圓周上， ， 是直角三角形，
根據(jù)橢圓的定義有 ，
由勾股定理得： ，整理得： ，
即 解得 或 （舍）；
故選：D.
【變式13-1】4. （2023春·江西贛州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，．橢圓在第一象限存在點(diǎn)，使得，直線與軸交于點(diǎn)，且是的角平分線，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意和橢圓定義可得到，和，的關(guān)系式，再根據(jù)，可得到關(guān)于，的齊次式，進(jìn)而可求得橢圓的離心率．
【詳解】由題意得，
又由橢圓定義得，
記，
則，，
則，
所以，
故，
則，
則，即（負(fù)值已舍）．
故選：B．
題型14圓錐曲線與圓相關(guān)
【例題14】（2023·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為圓心的圓與軸交于，兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).若與的焦距的比值為，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出以為圓心的圓的方程，求出，，求出直線的方程后結(jié)合距離公式可求的坐標(biāo)，代入橢圓方程后可求離心率.
【詳解】
設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)橐詾閳A心的圓過(guò)，故該圓的半徑為，
故其方程為：，
令，則，結(jié)合在軸正半軸上，故，
令，則或，故.
故，故直線.
設(shè)，
因?yàn)樵谳S的正半軸上，在軸的負(fù)半軸上，故，
而，
故，整理得到：，
故，故，
所以，故，
整理得到：，故，
故選：D.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計(jì)算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方程組（不等式或不等式組），后者可通過(guò)點(diǎn)在橢圓上或判別式為零等合理構(gòu)建.
【變式14-1】1. （23·24高三上·福建福州·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為圓心的圓與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)A，線段與C交于點(diǎn)M．若與C的焦距的比值為，則C的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出以為圓心的圓的方程，求出，，求出直線的方程后結(jié)合距離公式可求的坐標(biāo)，代入雙曲線方程后可求離心率.
【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，因?yàn)橐詾閳A心的圓過(guò)，故該圓的半徑為，
故其方程為：，
令，則，結(jié)合在軸正半軸上，故，
令，則或，故.
故，故直線.
設(shè)，
因?yàn)樵谳S的正半軸上，在軸的負(fù)半軸上，故，
而，
故，整理得到：，
故，故，
所以，故，
解得或，又因?yàn)?，則，
則，.
故選：D.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計(jì)算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方程組（不等式或不等式組），后者可通過(guò)點(diǎn)在圓錐曲線上等合理構(gòu)建.
【變式14-1】2. （2023·全國(guó)·二模）已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別是，，圓與的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，直線交的右支于點(diǎn).設(shè)的內(nèi)切圓圓心為軸，則的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】利用M在漸近線和圓上，可得M坐標(biāo)，利用M坐標(biāo)結(jié)合可得直線方程，后利用韋達(dá)定理可得點(diǎn)P坐標(biāo)，后利用可得答案.
【詳解】設(shè)M，因M在漸近線上，則，又M在圓上，則，則.
又由題可得，則直線方程為：，
將其與雙曲線方程聯(lián)立，消去得：.
由題，其判別式大于0，設(shè)，由韋達(dá)定理，，
則，.
又，則，又，
則，.
即.
故選：B
【變式14-1】3. （22·23·馬鞍山·三模）已知分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，圓，直線與圓相交于兩點(diǎn)，直線與圓相交于兩點(diǎn)，若四邊形的面積為，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可得，進(jìn)而可得，利用垂徑定理求，結(jié)合面積運(yùn)算求解即可.
【詳解】由題意可得：，
可得，整理得，
過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，
則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，
所以，
由題意可得：，
因?yàn)閳A的半徑為，
可得，
所以四邊形的面積
，
可得，則，整理得，
所以的離心率.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．
【變式14-1】4. （22·23上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知圓過(guò)雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，曲線與曲線在第一象限的交點(diǎn)為M，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】由題意可求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)推出，由雙曲線定義結(jié)合題設(shè)可得，由余弦定理可得，即可求得a，則可得答案.
【詳解】由，令 ，則 ，即，
故，，即有 ，
圓心為,半徑為，
由于,故,
因?yàn)镸為雙曲線右支上一點(diǎn)，，
設(shè)，則 ，
故 ，
在中， ,
即，即，
故，
故雙曲線離心率為，
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題設(shè)條件可求得雙故曲線的焦半距，因此要求離心率，就要求出a的值，因此關(guān)鍵點(diǎn)就在于要利用圓的幾何性質(zhì)推得，設(shè),從而由余弦定理推出，再結(jié)合雙曲線定義推得，即可求得a，則問(wèn)題即可求解.
題型15內(nèi)切圓相關(guān)
【例題15】（22·23高三下·江西·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為.點(diǎn)在上且位于第一象限，圓與線段的延長(zhǎng)線，線段以及軸均相切，的內(nèi)切圓為圓.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為9，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)圓、與軸的切點(diǎn)分別為，，圓心、在的角平分線上，從而切點(diǎn)也在的角平分線上，所以，由切線的性質(zhì)求得，，由圓面積比得半徑比，然后由相似形得出的關(guān)系式，從而求得離心率.
【詳解】由已知及平面幾何知識(shí)可得圓心、在的角平分線上.如圖，
設(shè)圓、與軸的切點(diǎn)分別為，，由平面幾何知識(shí)可得，直線為兩圓的公切線，
切點(diǎn)也在的角平分線上，所以，
由橢圓的定義知，則，
所以，
所以，
所以，
.
又圓與圓的面積之比為9，
所以圓與圓的半徑之比為3，
因?yàn)椋裕?br>即，整理得，故橢圓的離心率.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)
【變式15-1】1. （2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P為與的一個(gè)交點(diǎn)，若△的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為4，的準(zhǔn)線與交于A，B兩點(diǎn)，且，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，由題設(shè)知且求得，再由內(nèi)切圓中切線長(zhǎng)性質(zhì)及雙曲線定義、性質(zhì)確定與的切點(diǎn)的位置，進(jìn)而求離心率.
【詳解】由題設(shè)，又點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，即，
由，則，故，即，
如下圖示，內(nèi)切圓與△各邊的切點(diǎn)為，
所以，又，
則，
所以為雙曲線右頂點(diǎn)，又△的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為4，即，
故，則，所以離心率為.
故選：B
【變式15-1】2. （22·23下·寧波·階段練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為橢圓上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，為的內(nèi)心，記直線的斜率分別為，若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)，設(shè)圓與軸相切于點(diǎn)，結(jié)合圓的切線長(zhǎng)的性質(zhì)證明，結(jié)合橢圓性質(zhì)可得，由內(nèi)切圓性質(zhì)可得，由條件確定關(guān)系，由此可求離心率.
【詳解】設(shè)，設(shè)圓與軸相切于點(diǎn)，
則，
又，，
所以，
所以，
即，
過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，
則，
所以，
所以，所以，
∴，
∴，
由三角形面積相等，得，
，
，
，
所以，
，即得.
故選：B.
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)
【變式15-1】3. （23·24高三上·云南昆明·期中）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑，則該橢圓的離心率為 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)傾斜角求出弦長(zhǎng)，再根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式求出的關(guān)系.
【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)左焦點(diǎn)且，所以設(shè)直線，
聯(lián)立，得，易知，
所以，所以，
又因?yàn)椋杂医裹c(diǎn)到直線的距離，
所以，
根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式可得，其中為的周長(zhǎng)為，
所以，解得，即
【變式15-1】4. （2023·山西·二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn)，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率 ．
【答案】
【分析】設(shè)內(nèi)切圓與AM切于Q，與切于P，由切線性質(zhì)知，結(jié)合橢圓定義建立的關(guān)系求得.
【詳解】
設(shè)內(nèi)切圓與AM切于Q，與切于P，由切線性質(zhì)知，，，
由對(duì)稱性知，
所以，即，
所以，
所以.
故答案為：
【變式15-1】5.（22·23·紅河·一模）已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為、，若E上存在點(diǎn)P，滿足，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且的內(nèi)切圓的半徑等于a，則E的離心率為 ．
【答案】/
【分析】由可得，，再結(jié)合雙曲線的定義可得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)榈膬?nèi)切圓的半徑為a，所以，即，化簡(jiǎn)運(yùn)算即可得E的離心率.
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>又因?yàn)镻在雙曲線上，所以，聯(lián)立可得，
，所以，
因?yàn)榈膬?nèi)切圓的半徑為a，
所以，
即，即，
所以，兩邊平方得，
即，兩邊同時(shí)除以，得，，
因?yàn)?，所以?br>故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為雙曲線的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的關(guān)系．
題型16與立體幾何相關(guān)
【例題16】（2023·安徽安慶·一模）.如圖是數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin用來(lái)證明一個(gè)平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，截面分別與球，球切于點(diǎn)，，（，是截口橢圓的焦點(diǎn)），則此橢圓的離心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定的幾何體，作出軸截面，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及勾股定理求出橢圓長(zhǎng)軸和焦距作答.
【詳解】依題意，截面橢圓的長(zhǎng)軸與圓錐的軸相交，橢圓長(zhǎng)軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，
得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，
點(diǎn)分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點(diǎn)，線段是橢圓長(zhǎng)軸，
橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，
過(guò)作于D，連，顯然四邊形為矩形，
又，
則，
過(guò)作交延長(zhǎng)線于C，顯然四邊形為矩形，
橢圓焦距，
所以橢圓的離心率．
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識(shí)解題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
【變式16-1】1. （22·23高三下·河北衡水·階段練習(xí)）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn). 現(xiàn)將所在平面沿直線折成平面角為銳角的二面角，如圖，翻折后兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，且若，則的離心率為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意分析可知銳角二面角，利用雙曲線的定義與性質(zhì)結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，
由題意可得：，
則，
且，則銳角二面角，
在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
因?yàn)?，即?br>可得，解得.
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值
【變式16-1】2. （2023·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)所在的課外興趣小組計(jì)劃用紙板制作一個(gè)簡(jiǎn)易潛望鏡模型（圖甲），該模型由兩個(gè)相同的部件拼接粘連制成，每個(gè)部件由長(zhǎng)方形紙板（圖乙）沿虛線裁剪后卷一周形成，其中長(zhǎng)方形卷后為圓柱的側(cè)面．為準(zhǔn)確畫(huà)出裁剪曲線，建立如圖所示的以為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為裁剪曲線上的點(diǎn)，作軸，垂足為．圖乙中線段卷后形成的圓弧（圖甲），通過(guò)同學(xué)們的計(jì)算發(fā)現(xiàn)與之間滿足關(guān)系式，現(xiàn)在另外一個(gè)紙板上畫(huà)出曲線，如圖丙所示，把沿虛線裁剪后的長(zhǎng)方形紙板卷一周，求該裁剪曲線圍成的橢圓的離心率為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】結(jié)合題意，利用函數(shù)的周期，求出圓柱底面圓半徑，繼而求得橢圓短軸長(zhǎng)，結(jié)合函數(shù)的最大值求得橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，結(jié)合橢圓的離心率定義，即可求得答案.
【詳解】函數(shù)的最小正周期為，
所以相應(yīng)圓柱的底面圓的周長(zhǎng)為，故其直徑為4，
故根據(jù)題意可知該橢圓的短軸長(zhǎng)為，即；
又的最大值為2，
故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故，
故橢圓的離心率為，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題關(guān)鍵的關(guān)鍵在于根據(jù)題中所述，明確橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)與已知函數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而求得長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)，從而求得答案.
【變式16-1】3. （2022·遼寧沈陽(yáng)·一模）如圖，在底面半徑為1，高為6的圓柱內(nèi)放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個(gè)與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓.則該橢圓的離心率為 .

【答案】
【分析】由題意如圖所示，由球的半徑可求得的值，進(jìn)而可得的正弦值，所以可求出的值，即可以求出的值，由圓柱的底面半徑可以求出的值，進(jìn)而可以求出離心率.
【詳解】如圖所示：

由題意可得，所以，
又因?yàn)?，結(jié)合可知
，
所以，而，即，
所以，所以離心率.
故答案為：.
【變式16-1】4. （22·23下·遼寧·階段練習(xí)）如圖所示圓錐，為母線的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面圓心，為底面圓的直徑，且，，的長(zhǎng)度成等比數(shù)列，一個(gè)平面過(guò)，，與圓錐面相交的曲線為橢圓，若該橢圓的短軸與圓錐底面平行，則該橢圓的離心率為 ．
【答案】/
【分析】令，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，進(jìn)而確定圓錐軸截面為等腰直角三角形，并求出橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的長(zhǎng)度，根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征找到橢圓短軸長(zhǎng)，最后應(yīng)用橢圓離心率定義求離心率.
【詳解】令，則，又，，的長(zhǎng)度成等比數(shù)列，
所以，即，
由題意，顯然，在直角△中，則，
所以△為等腰直角三角形，故圓錐軸截面為等腰直角三角形且，
所以，即橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則，
軸截面如下圖示：該橢圓的短軸與圓錐底面平行，過(guò)作交于，交于，則，
為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，即為橢圓中心，
過(guò)作交于，
綜上，有△△均為等腰直角三角形，故，則，
同理△△，故，則，
所以，即，
綜上，橢圓離心率為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：注意短軸長(zhǎng)為過(guò)長(zhǎng)軸長(zhǎng)中點(diǎn)平行于軸截面底邊并與母線相交所成的線段長(zhǎng)度.
【變式16-1】5.（多選）（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓錐的軸與母線所成的角為，過(guò)的平面與圓錐的軸所成的角為，該平面截這個(gè)圓錐所得的截面為橢圓，橢圓的長(zhǎng)軸為,短軸為,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，橢圓的中心為,再以為弦且垂直于的圓截面，記該圓與直線交于，與直線交于，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，平面截這個(gè)圓錐所得的截面也為橢圓
B．
C．平面截這個(gè)圓錐所得橢圓的離心率
D．平面截這個(gè)圓錐所得橢圓的離心率
【答案】BC
【分析】由截口曲線的含義可判斷A；過(guò)N作于點(diǎn)G，求出而， ，即可判斷B；根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)求得橢圓的之間的關(guān)系式，即可求得離心率，可判斷C，D.
【詳解】由截口曲線知，當(dāng)時(shí)，平面截這個(gè)圓錐所得截面為雙曲線，A錯(cuò).
對(duì)于B，過(guò)N作于點(diǎn)G，而，

所以，而，
同理過(guò)N向作垂線，可得，
，B正確；
對(duì)于C，D，設(shè)圓錐上部球與橢圓截面圓錐側(cè)面均相切，軸截面的內(nèi)切圓，半徑為r，
球與的切點(diǎn)為橢圓左焦點(diǎn)F，
設(shè)①，
，
,
解得，而，
故，故C正確，D錯(cuò)誤，
故選：BC
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：求解橢圓的離心率時(shí)，要能根據(jù)圖示求得之間的關(guān)系，這是解答的難點(diǎn)，也是關(guān)鍵之處，因此通過(guò)設(shè)，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，得到，，即可求解.
題型17二級(jí)結(jié)論之切線方程
【例題17】（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線C在第一象限的右支上一點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作雙曲線C的切線交x軸于點(diǎn)B，若，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)，再結(jié)合雙曲線的方程和定義求，利用余弦定理列式求解即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，由，可得，
則，
點(diǎn)在雙曲線上，則，即，
可得，
可得在點(diǎn)處的切線方程為，
令，解得，
又因?yàn)?，則，
所以，
即點(diǎn)，
設(shè)雙曲線C的半焦距為，則，，
因?yàn)?，則，整理得，
則，
可得，
且點(diǎn)為雙曲線C在第一象限的右支上一點(diǎn)，則，
可得，
在中，由余弦定理可得：，
即，整理得，
所以雙曲線C的離心率.
故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值；
2．焦點(diǎn)三角形的作用
在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)
【變式17-1】1. （22·23高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知雙曲線：上的一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條切線.若雙曲線的離心率，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線與的斜率之積為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別用坐標(biāo)和a、b、c表示出直線與的斜率，最后計(jì)算出斜率的積即可.
【詳解】由雙曲線的離心率，得，
所以，得，設(shè)，可得雙曲線在點(diǎn)M處的切線l為，所以l的切線方程為
直線l的斜率，又，所以
故選：A
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：
若二次曲線方程為：
設(shè)過(guò)二次曲線的切線切點(diǎn)為，則二次曲線切線方程或切點(diǎn)連線方程為：
證明（僅供參考，結(jié)論考生可直接使用）：
對(duì)方程兩邊同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)，得到：
，整理以后，即得到：
，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線經(jīng)過(guò)處切線的斜率k應(yīng)滿足關(guān)系式，
因此，所求切線方程，可轉(zhuǎn)化為
化簡(jiǎn)并整理，得
用因?yàn)椋虼松鲜娇苫?jiǎn)為：
即，證畢.
【變式17-1】2. （2022·全國(guó)·統(tǒng)考二模）已知雙曲線與橢圓．過(guò)橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線l，l與x軸交于M點(diǎn)，l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N、Q，且N為MQ的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)出切線方程，與橢圓方程聯(lián)立后利用根的判別式求出，求出切線方程，從而得到M點(diǎn)坐標(biāo)，再聯(lián)立漸近線得到N，Q的橫坐標(biāo)，利用中點(diǎn)得到方程，求出，從而求出離心率.
【詳解】由題意得：漸近線方程為，
設(shè)切線方程為，聯(lián)立得：
，
由得：，
解得：，
所以切線方程為，
令得：，所以，
聯(lián)立與，解得：，
聯(lián)立與，解得：，
因?yàn)镹為MQ的中點(diǎn)，
所以，
解得：，
所以離心率為
故選：A
【變式17-1】3. （2017·江蘇南通·校聯(lián)考一模）已知橢圓 的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，且在第一象限，過(guò)作圓的切線交橢圓于，兩點(diǎn)．若的周長(zhǎng)為，則橢圓的方程為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)離心率化簡(jiǎn)橢圓方程，由兩點(diǎn)間距離公式與勾股定理計(jì)算的周長(zhǎng)后求解
【詳解】
橢圓的離心率為 ,則，橢圓方程為
設(shè)，
連接OM，OP，由相切條件知：
，，
，同理得，
由題意得PF2Q的周長(zhǎng)為
∴橢圓C的方程為 .
故答案為：
【變式17-1】4. （2019下·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，是焦距為2的橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的切線l，若，到切線l的距離之積為4，則橢圓C的離心率為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，求得過(guò)點(diǎn)P的橢切線方程，根據(jù)到切線的距離之積為4，列出方程求得，再結(jié)合，利用離心率的公式，即可求解.
【詳解】由題意，橢圓，則，
設(shè)，則，
則經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的橢圓的切線方程為，即，
因?yàn)榈角芯€的距離之積為4，
所以，
所以且，解得，
又因?yàn)?，即，所以?br>所以橢圓的離心率為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出 ，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)．
題型18正切公式的運(yùn)用
【例題18】（2022·山東濰坊·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別是，，圓與的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，直線交的右支于點(diǎn)，若△是等腰三角形，且的內(nèi)角平分線與軸平行，則的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】由題設(shè)可得，，，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求，，再由已知條件知，應(yīng)用二倍角正切公式求得，結(jié)合構(gòu)造齊次方程，即可求離心率.
【詳解】聯(lián)立且在第一象限，可得，而，，
所以，，
由題設(shè)，，故△是等腰直角三角形，
所以，而的內(nèi)角平分線與軸平行，
所以，又，可得，
則，可得，
所以.
故選：B
【變式18-1】1. （2022·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C；的焦距為2c，過(guò)C的右焦點(diǎn)F的直線l與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，，得到，，在Rt△AOB中，，用正切的二倍角公式列出方程，求出，從而求出離心率.
【詳解】因?yàn)椋?huà)出示意圖如圖，設(shè)，因?yàn)閟in∠AFO，
所以，
所以，
所以.
又，
所以，
所以，
所以.
又因?yàn)椋?br>所以.
在Rt△AOB中，，
所以，
化簡(jiǎn)得：，
所以
故選：D
【點(diǎn)睛】圓錐曲線離心率問(wèn)題，要能結(jié)合題目信息列出關(guān)于的齊次方程，求解出離心率，往往會(huì)和直線方程，向量等知識(shí)相結(jié)合.
【變式18-1】2. （2022·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，斜率為的直線l過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線C的右支交于點(diǎn)P，過(guò)切點(diǎn)P的切線與x軸交于點(diǎn)M.若，則雙曲線C的離心率e的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件列出關(guān)于的齊次方程，化簡(jiǎn)求出離心率
【詳解】
如上圖所示，過(guò)作軸，設(shè)，則，根據(jù)題意得：，所以，即，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)處的切線方程為：，聯(lián)立，令可得：，化簡(jiǎn)得點(diǎn)處的切線方程為，斜率，，
所以 ，由①②得：，，且，代入③化簡(jiǎn)得：，同除得：，所以或（舍）所以
故選：A
【變式18-1】3. （22·23下·遼寧·一模）過(guò)雙曲線焦點(diǎn)的直線與的兩條漸近線的交點(diǎn)分分別為M、N，當(dāng)時(shí)，.則的離心率為 .
【答案】
【分析】依題意，垂直于漸近線，結(jié)合圖形在直角三角形利用三角函數(shù)構(gòu)造齊次式求的離心率.
【詳解】解法1：雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為 ，
因?yàn)椋源怪庇跐u近線，如圖所示，
則，，，所以的離心率.
因?yàn)?，所以?
過(guò)作另一條漸近線的垂線，垂足為，則，在直角中，.
因?yàn)?，因?yàn)椋?
因此的離心率為.
解法2：因?yàn)?，所以垂直于漸近線，則，，
因?yàn)?，所以?br>在中，，在中，，
，
，可得，則有，即，
所以C的離心率.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由焦點(diǎn)到漸近線的距離為，可得垂直于漸近線，這是本題的著手點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合在直角三角形中利用三角函數(shù)構(gòu)造齊次式可求的離心率.
【變式18-1】4. （2021上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，若的最大值為，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)直線，的傾斜角分別為，， ，且，利用差角正切公式、基本不等式求關(guān)于橢圓參數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合已知求橢圓參數(shù)的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求離心率.
【詳解】由題意知，，，直線為，設(shè)直線，的傾斜角分別為，，
由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)為第二象限的點(diǎn)，即，，則，.
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又得最大值為，
，即，整理得，故橢圓的的離心率是.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)及，的傾斜角，由與直線，的傾斜角的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合差角正切公式及基本不等式求關(guān)于橢圓參數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而確定橢圓參數(shù)的數(shù)量關(guān)系.
題型19圓錐曲與內(nèi)心結(jié)合
【例題19】（23·24上·南寧·期末）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)H在直線上，且滿足.若，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判斷出是的角平分線，然后結(jié)合三角形的內(nèi)心、重心以及雙曲線的定義等知識(shí)求得雙曲線的離心率.
【詳解】因?yàn)椋訮H是的角平分線，
又因?yàn)辄c(diǎn)H在直線上，且在雙曲線中，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，
設(shè)的內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn)為，
根據(jù)三角形內(nèi)切圓的知識(shí)可知，則是雙曲線的右頂點(diǎn)，
所以的內(nèi)切圓圓心在直線，即點(diǎn)H是的內(nèi)心，（下部分也可以直接利用奔馳定理得出結(jié)論）
如圖，作出，并分別延長(zhǎng)HP、、至點(diǎn)，使得
，可知H為的重心，
設(shè)，由重心性質(zhì)可得，
即，
又H為的內(nèi)心，所以，因?yàn)椋?br>則，所以雙曲線C的離心率.
故選：C
【點(diǎn)睛】求解雙曲線離心率有關(guān)的問(wèn)題，解題有兩個(gè)方向，一個(gè)是求得，從而求得雙曲線的離心率；另一個(gè)是求得的關(guān)系式或的關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)化成離心率.
【變式19-1】1. （2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線l與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)P，Q，若，則C的離心率為 ．
【答案】
【分析】由，的平分線與直線PQ垂直，結(jié)合圖像，根據(jù)雙曲線的定義，找出各邊的關(guān)系，列出等式，求解.
【詳解】依題意，由，
得，即的平分線與直線PQ垂直，
如圖，設(shè)的平分線與直線PQ交于點(diǎn)D，
則，，又，
所以，所以，．
由題得，，設(shè)，，，
在中，，，則，，
由雙曲線的性質(zhì)可得，解得，
則，所以在中，，
又，，所以，
即，整理得，所以．
故答案為：
【變式19-1】2. （2023·遼寧葫蘆島·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則的離心率為 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理、三角形內(nèi)心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)、雙曲線的定義和離心率公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】如圖所示，在焦點(diǎn)三角形中， 處長(zhǎng)交于點(diǎn)，
因?yàn)闉榈膬?nèi)心，（直接用奔馳定理推出比例即可）所以有，
，
因?yàn)椋?br>所以有，
因此的離心率為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用三角形內(nèi)角平分線定理、平面向量線性運(yùn)算、三角形內(nèi)心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【變式19-1】3. （21·22·全國(guó)·專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在直線上，且滿足.若存在實(shí)數(shù)使得，則雙曲線的離心率為
【答案】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義及向量的運(yùn)算，三角形的正弦定理，求出，再表示出，根據(jù)雙曲線離心率的定義求解即可.
【詳解】設(shè)直線交軸于點(diǎn)，如圖，
設(shè)的外接圓半徑為，由，
有，
故，所以直線過(guò)的內(nèi)心，
設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓圓分別切、、于點(diǎn)、、，
由切線長(zhǎng)定理可得，，，
所以，，
結(jié)合圖形可得，所以，，
故的內(nèi)心的橫坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)為的內(nèi)心.
由可得，
所以，，記，
設(shè)，則，所以，，
所以，點(diǎn)在直線上，又因?yàn)?，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，
且有，
由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)到直線、的距離相等，
故，同理可得，
令，則，且，
故.
則雙曲線的離心率.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于推導(dǎo)出點(diǎn)為的內(nèi)心，再結(jié)合角平分線定理推導(dǎo)出，以及，再利用雙曲線的定義來(lái)進(jìn)行求解.
【變式19-1】4. （2022上·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)C是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)D在直線上，且滿足，．若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)得在的角平分線上，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義以及切線長(zhǎng)性質(zhì)可判斷為的內(nèi)心，結(jié)合重心的向量表示以及重心的性質(zhì)，即可得，進(jìn)而由離心率公式即可求解.
【詳解】由于點(diǎn)D在直線上，且滿足，可知在的角平分線上，
設(shè)的內(nèi)切圓分別與邊相切于點(diǎn),（如圖1）則有切線長(zhǎng)定理可得,
結(jié)合雙曲線的定義可得,所以的內(nèi)心在直線上，故為的內(nèi)心，
由得, 由于是的中點(diǎn),所以,
因此,
分別延長(zhǎng)至,使得,如圖2
故，因此是的重心，
設(shè)由是的重心，所以，
又 ，同理即，故
由于為的內(nèi)心，故到三條邊的距離相等，可得,
因此為直角三角形，所以，
因此離心率,
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義和性質(zhì)，以及三角形內(nèi)心，重心的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng).對(duì)于離心率問(wèn)題，要充分挖掘幾何性質(zhì)和圖形中體現(xiàn)的等量關(guān)系，建立出的關(guān)系系，從而求解離心率.
【變式19-1】5.（2021·四川成都·校聯(lián)考三模）已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由可得在的角平分線上，由雙曲線的定義和切線長(zhǎng)定理可得為的內(nèi)心，再由內(nèi)心的向量表示，推得，再由雙曲線的定義和離心率公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋允堑慕瞧椒志€，
又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且在雙曲線中，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，
則的內(nèi)切圓圓心在直線上，即點(diǎn)是的內(nèi)心，
如圖，作出，并分別延長(zhǎng)、、至點(diǎn)、、，使得，
，，可知為的重心，
設(shè)，，，由重心性質(zhì)可得，
即，
又為的內(nèi)心，所以，
因?yàn)椋?，，則，
所以雙曲線的離心率.
故選：C.
【點(diǎn)睛】三角形重心、內(nèi)心和外心的向量形式的常用結(jié)論：
設(shè)的角，，所對(duì)邊分別為，，，則
（1）的重心滿足；
（2）的內(nèi)心滿足；
（3）的外心滿足.
1. （2023·遼寧·三模）雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過(guò)作的切線與曲線在第一象限交于點(diǎn)，且，則曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，求出及，由三角形面積及三角函數(shù)值得到，由雙曲線定義得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到離心率.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，連接，則，，
過(guò)點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)E，則，故，
因?yàn)椋獾茫?br>由雙曲線定義得，所以，
在中，由余弦定理得，
化簡(jiǎn)得，又，
所以，方程兩邊同時(shí)除以得，
解得，所以離心率.
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，對(duì)于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率或離心率的取值范圍).
2. （22·23·南通·二模）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，直線PF2與圓O相交于M，N兩點(diǎn)．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，，有，，，由弦長(zhǎng)公式可得，，四邊形AMBN的面積為，解得，可求雙曲線的離心率.
【詳解】根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示，
圓O：，圓心為，半徑為，
設(shè)，，點(diǎn)P在雙曲線上，，則有，，可得，
過(guò)O作MN的垂線，垂足為D，O為的中點(diǎn)，則，，
同理，，由，
四邊形AMBN的面積為，
，化簡(jiǎn)得，則有，則C的離心率.
故選：D
3. （2023·遼寧丹東·一模）經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與橢圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A垂直于AB的直線與C交于點(diǎn)D，直線DB與y軸相交于點(diǎn)E，若，則C的離心率為 ．
【答案】/
【分析】設(shè)直線BD的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，由求得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，進(jìn)而利用韋達(dá)定理得到其橫坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)，由化簡(jiǎn)求解.
【詳解】解：設(shè)直線BD的方程為，，
則，
由，得，
顯然存在，使得，
故由韋達(dá)定理得，
因?yàn)?，則，即，
則，
因?yàn)椋?br>所以，即，
即，化簡(jiǎn)得，
所以，
故答案為：.
4. （2023·四川涼山·一模）如圖，已知橢圓，．若由橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)和短軸一端點(diǎn)分別向橢圓引切線和，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率 ．
【答案】
【分析】設(shè)切線，，聯(lián)立橢圓方程根據(jù)判別式為零結(jié)合條件可得，然后根據(jù)離心率公式即得.
【詳解】由題可知，，
設(shè)切線，，
由，可得，
所以，
整理可得，
由，可得，
所以，
整理可得，
又兩切線斜率之積等于，
所以，即，
所以，又，
所以 .
故答案為：.
5. （2022·新疆·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作直線，交雙曲線于，，，四點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過(guò)，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用雙曲線的定義，幾何關(guān)系以及對(duì)稱性，再利用平行四邊形的特點(diǎn)，
以及點(diǎn)在圓周上的向量垂直特點(diǎn)，列方程可解.
【詳解】設(shè) ，則 ，
由雙曲線的對(duì)稱性和平行四邊形的對(duì)稱性可知： ，
連接 ，則有 ，

由于 在以AD為直徑的圓周上， ，
∵ABCD為平行四邊形， ， ，
在直角三角形 中，， ，
解得： ， ；
在直角三角形 中， ， ，
得 ， ，
故選：D.
6. （多選）（2023·廣東汕頭·三模）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)（不在軸上），外接圓的圓心為，半徑為，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，直線交軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．最大時(shí)，B．的最小值為2
C．橢圓的離心率等于D．的取值范圍為
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A，根據(jù)當(dāng)在短軸的端點(diǎn)時(shí)，取得最大，且最大值為，再根據(jù)，代入進(jìn)而即可求解；
對(duì)于B，根據(jù)，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義與基本不等式即可求解；
對(duì)于C，運(yùn)用角平分線定理即可求解；
對(duì)于D，由正弦定理可得，再又結(jié)合A可得，從而得到，再根據(jù)題意得到，進(jìn)而即可求解．
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，，則，且，
所以，
則當(dāng)在短軸的端點(diǎn)時(shí)，取得最大，且最大值為，
又，
所以當(dāng)最大時(shí)，，即，故A正確；
對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)G，
又點(diǎn)為外接圓的圓心，即為三條邊的中垂線的交點(diǎn)，則點(diǎn)G為的中點(diǎn)，
由，
又，同理，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為2，故B正確；
對(duì)于C，由內(nèi)切圓的圓心為，則，分別是，的角平分線，
則由角平分線定理可得，即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)，，，
由正弦定理可得，即，
則，即，
因?yàn)椋?br>又結(jié)合A有，所以，即，所以，
又因?yàn)楫?dāng)在短軸的端點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，，
所以，即，所以，
故，故D正確．
故選：ABD．

【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義以及幾何性質(zhì)，明確外心的位置和內(nèi)角平分線性質(zhì)，靈活運(yùn)用正弦定理和等面積法是解答本題關(guān)鍵，考查了推理能力、運(yùn)算求解能力，屬于難題．
7.（多選）（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)雙曲線右支上一點(diǎn)作雙曲線的切線分別交兩漸近線于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．若存在點(diǎn)，使得，且，則雙曲線的離心率為2或
【答案】AB
【分析】對(duì)于A,先證明雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為，與雙曲線的漸近線進(jìn)行聯(lián)立，可得坐標(biāo)，可得到，結(jié)合即可判斷；對(duì)于B，由A選項(xiàng)可得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，即可判斷；對(duì)于C，由即可判斷；對(duì)于D，通過(guò)可得，則能算出，結(jié)合余弦定理即可求解
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，先求雙曲線上一點(diǎn)的切線方程，
不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對(duì)稱性同理可得）.
由得：，所以，
則在點(diǎn)的切線斜率為，
所以在點(diǎn)的切線方程為：，
又因?yàn)?，所以在點(diǎn)的切線方程為：，
當(dāng)為右頂點(diǎn)時(shí)，切線方程為，易得也滿足，
不失一般性，設(shè)點(diǎn)是雙曲線在第一象限的一點(diǎn)或雙曲線的右頂點(diǎn)，是切線與漸近線在第一象限的交點(diǎn)，是切線與漸近線在第四象限的交點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為，
聯(lián)立，
所以點(diǎn)，同理可得：，
則，
又因?yàn)?，所以，即：，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，由A項(xiàng)知，，
所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)樵邳c(diǎn)的切線方程為：，
令得，所以點(diǎn)，
則，
當(dāng)點(diǎn)在頂點(diǎn)時(shí)，仍然滿足，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以，解得：?br>即：，代入得，
所以
，
，
因?yàn)?，所以?br>所以，
解得：或6，所以離心率為或，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AB
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為，對(duì)橢圓、拋物線也有類似結(jié)論．
8.（多選）（2023·湖南·二模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)作斜率為的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)（在第一象限），，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．雙曲線的離心率為
C．的面積為D．直線的斜率為
【答案】AD
【分析】利用雙曲線的定義求出、，可判斷A選項(xiàng)；在中，應(yīng)用余弦定理可得出關(guān)于、的齊次等式，可求得雙曲線的離心率，可判斷B選項(xiàng)；利用三角形的面積公式可判斷C選項(xiàng)；利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】如下圖所示：
對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，?br>由雙曲線的定義可得，所以，，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則為銳角且，
由可得，則，
在中，由余弦定理得，
即，
等式兩邊同時(shí)除以可得，
因?yàn)?，解得，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，則為鈍角，
所以，，
，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，，則，可得，
因?yàn)?，則，
由得，
所以，，則，
則直線的斜率為，D正確．
故選：AD．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；
（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.
9.（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為 ．
【答案】/
【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.
方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，，將點(diǎn)代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；
【詳解】方法一：
依題意，設(shè)，則，
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依題意，得，令，
因?yàn)椋?，則，
又，所以 ，則，
又點(diǎn)在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過(guò)焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.
10.（多選）（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過(guò)作圓的切線切點(diǎn)為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.
【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過(guò)作圓的切線切點(diǎn)為B，
所以，因?yàn)?，所以在雙曲線的左支，
，， ，設(shè)，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)?，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設(shè)，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過(guò)且與圓相切的一條直線為，
兩交點(diǎn)都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過(guò)且與圓相切的一條直線為，
兩交點(diǎn)在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過(guò)作圓的切線切點(diǎn)為，
若分別在左右支，
因?yàn)椋?，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設(shè)，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
11. （2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為 ．
【答案】/
【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.
方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，，將點(diǎn)代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；
【詳解】方法一：
依題意，設(shè)，則，
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依題意，得，令，
因?yàn)?，所以，則，
又，所以 ，則，
又點(diǎn)在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過(guò)焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.
12. （2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫(xiě)出滿足條件“直線與C無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值 ．
【答案】2（滿足皆可）
【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.
【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,
結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需，即，
可滿足條件“直線與C無(wú)公共點(diǎn)”
所以，
又因?yàn)?，所以?br>故答案為：2（滿足皆可）
13. （2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為 .
【答案】2
【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，，，即可根據(jù)斜率列出等式求解即可．
【詳解】聯(lián)立，解得，所以.
依題可得，，，即，變形得，,
因此，雙曲線的離心率為.
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
14. （2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓，焦點(diǎn)， ，若過(guò)的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，且軸，則該直線的斜率是 ，橢圓的離心率是 .
【答案】
【分析】不妨假設(shè)，根據(jù)圖形可知，，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出；再根據(jù)橢圓的定義求出，即可求得離心率．
【詳解】
如圖所示：不妨假設(shè)，設(shè)切點(diǎn)為，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案為：；．
橢圓與雙曲線的離心率公式為：e=注意橢圓的離心率范圍（0,1），雙曲線的離心率范圍（1，+?）
橢圓與雙曲線的半通徑是, 通徑是
雙曲線的漸近線求離心率可以直接使用公式：，
相對(duì)運(yùn)算較麻煩的一種方法，可以通過(guò)聯(lián)立方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，構(gòu)造等式求出離心率
1.點(diǎn)F是橢圓的焦點(diǎn)，過(guò)F的弦AB與橢圓焦點(diǎn)所在軸的夾角為θ,，k為直線AB的斜率，且，則e=
當(dāng)曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，e=
注：或者 ,而不是或者點(diǎn)F是雙曲線焦點(diǎn)，
2.過(guò)F弦AB與雙曲線焦點(diǎn)所在軸夾角為θ,，k為直線AB斜率，且，則e=
當(dāng)曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，e=
1. 已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形，則橢圓的離心率
2. 已知雙曲線方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形，則 ，
可以通過(guò)焦點(diǎn)三角形的特征進(jìn)行解決
1.根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓（或雙曲線）方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；
2.點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓（或雙曲線）方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)M(x0，y0)是線段AB的中點(diǎn)，由①－②，得eq \f(1,a2)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＋eq \f(1,b2)(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＝0，變形得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)，(，)
橢圓或者雙曲線，已知中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)在x軸，
2.為橢圓上一點(diǎn)， 為離心率，
①為兩個(gè)頂點(diǎn)，則；
②為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，則；
以上結(jié)論也適用于雙曲線.
1.角平分線“拆”面積：
2.角平分線定理性質(zhì)：
圓錐曲線切線方程的常用結(jié)論
【結(jié)論1】（1）經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為．
（2）當(dāng)在圓外時(shí)，過(guò)M點(diǎn)引切線有且只有兩條，過(guò)兩切點(diǎn)的弦所在直線方程為．
【結(jié)論2】（1）若圓心不在原點(diǎn)，圓的方程：，若為圓上一點(diǎn)，則過(guò)切線方程：
（2）若在圓外，過(guò)M點(diǎn)切線有兩條：切點(diǎn)弦所在直線方程：
方便記憶，求切線和切點(diǎn)弦的方法，統(tǒng)一稱為“代一留一”．
【結(jié)論3】（1）過(guò)圓上一點(diǎn)切線方程為；
（2）當(dāng)在橢圓的外部時(shí)，過(guò)M引切線有兩條，過(guò)兩切點(diǎn)的弦所在直線方程為．
（3）設(shè)過(guò)橢圓外一點(diǎn)引兩條切線，切點(diǎn)分別為，．由（1）可知過(guò)兩點(diǎn)的切線方程分別為：，．又因是兩條切線的交點(diǎn)，∴有，．觀察以上兩個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)，滿足直線，∴過(guò)兩切點(diǎn)兩點(diǎn)的直線方程為．
同理可得焦點(diǎn)在軸上的情形．
【結(jié)論4】（1）過(guò)圓上一點(diǎn)切線方程為；
（2）當(dāng)在橢圓的外部時(shí)，過(guò)M引切線有兩條，過(guò)兩切點(diǎn)的弦所在直線方程為．
【結(jié)論5】（1）過(guò)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程為；
（2）當(dāng)在雙曲線的外部時(shí)，過(guò)M引切線有兩條，過(guò)兩切點(diǎn)的弦所在直線方程為：．
（3）設(shè)過(guò)雙曲線外一點(diǎn)引兩條切線，切點(diǎn)分別為、．由（1）可知過(guò)兩點(diǎn)的切線方程分別為：．又因是兩條切線的交點(diǎn)，∴有．觀察以上兩個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)，滿足直線，∴過(guò)兩切點(diǎn)兩點(diǎn)的直線方程為．
同理可得焦點(diǎn)在軸上的情形．
【結(jié)論6】（1）過(guò)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程為；
（2）當(dāng)在雙曲線的外部時(shí)，過(guò)M引切線有兩條，過(guò)兩切點(diǎn)的弦所在直線方程為：．

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