一、注意基礎(chǔ)知識的整合、鞏固。進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度。
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，針對“一?！笨荚囍械膯栴}要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識體系。同學(xué)們在聽課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
重難點(diǎn)專題24向量壓軸小題十大題型匯總
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc146230376" 題型1平面向量的線性運(yùn)算 PAGEREF _Tc146230376 \h 1
\l "_Tc146230377" ◆類型1基底法 PAGEREF _Tc146230377 \h 1
\l "_Tc146230378" ◆類型2三點(diǎn)共線方程組法 PAGEREF _Tc146230378 \h 3
\l "_Tc146230379" ◆類型3坐標(biāo)法 PAGEREF _Tc146230379 \h 3
\l "_Tc146230380" ◆類型4等和線法法 PAGEREF _Tc146230380 \h 5
\l "_Tc146230381" 題型2向量數(shù)量積最值取值范圍問題 PAGEREF _Tc146230381 \h 6
\l "_Tc146230382" ◆類型1定義法 PAGEREF _Tc146230382 \h 6
\l "_Tc146230383" ◆類型2基底法（線性表示） PAGEREF _Tc146230383 \h 8
\l "_Tc146230384" ◆類型3坐標(biāo)法 PAGEREF _Tc146230384 \h 9
\l "_Tc146230385" ◆類型4極化恒等式法 PAGEREF _Tc146230385 \h 10
\l "_Tc146230386" ◆類型5幾何意義法 PAGEREF _Tc146230386 \h 11
\l "_Tc146230387" 題型3向量模長最值取值范圍問題 PAGEREF _Tc146230387 \h 11
\l "_Tc146230388" ◆類型1坐標(biāo)法 PAGEREF _Tc146230388 \h 11
\l "_Tc146230389" ◆類型2幾何意義法 PAGEREF _Tc146230389 \h 12
\l "_Tc146230390" ◆類型3三角換元法 PAGEREF _Tc146230390 \h 13
\l "_Tc146230391" ◆類型4三角不等式法 PAGEREF _Tc146230391 \h 13
\l "_Tc146230392" 題型4向量共線的應(yīng)用 PAGEREF _Tc146230392 \h 14
\l "_Tc146230393" 題型5向量夾角 PAGEREF _Tc146230393 \h 16
\l "_Tc146230394" 題型6向量平行與垂直的應(yīng)用 PAGEREF _Tc146230394 \h 17
\l "_Tc146230395" 題型7投影向量 PAGEREF _Tc146230395 \h 17
\l "_Tc146230396" 題型8解析幾何與向量 PAGEREF _Tc146230396 \h 18
\l "_Tc146230397" 題型9奔馳定理與面積比 PAGEREF _Tc146230397 \h 20
\l "_Tc146230398" 題型10向量四心 PAGEREF _Tc146230398 \h 21
題型1平面向量的線性運(yùn)算
◆類型1基底法
【例題1-1】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，連接AF，BE交于點(diǎn)M，連接AC，點(diǎn)N為AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，記AB=a，AD=b，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)M，N，E三點(diǎn)共線
B．若AM=λa+μb，則λ+μ=97
C．BN=73BM
D．S△ABM=17S，S為平行四邊形ABCD的面積
【變式1-1】1. （2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BD上的一動點(diǎn)，若AF=xAE+yDC，且x>m>0，y>0，則myx?m的最大值為（ ）
A．8243B．4243C．381D．481
【變式1-1】2. （2022秋·遼寧沈陽·高三東北育才學(xué)校?？计谀┮阎狾是ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，且OA+OB+OC=0，點(diǎn)M在ΔOBC內(nèi)（不含邊界），若AM=λAB+μAC，則λ+2μ的取值范圍是
A．1,52B．1,2C．23,1D．12,1
【變式1-1】3.（2020春·湖北襄陽·高三襄陽四中?？茧A段練習(xí)）在ΔABC中，AC=2,AB=2,∠BAC=120°,AE=λAB,AF=μAC，M為線段EF的中點(diǎn)，若AM=1，則λ+μ的最大值為（ ）
A．73B．273C．2D．213
◆類型2三點(diǎn)共線方程組法
【例題1-2】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD=DB,E是線段BC上的點(diǎn)，且滿足BE=2EC，線段CD與線段AE交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．AE=13AB+23ACB．3DF=2CF
C．AF=14AB+12ACD．4AF=3AE
◆類型3坐標(biāo)法
【例題1-3】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，延長邊CD至點(diǎn)E，使得DE=CD.動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿菱形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動一周回到A點(diǎn)，若AP=λAB+μAE，則（ ）

A．滿足λ+μ=1的點(diǎn)P有且只有一個(gè)
B．滿足λ+μ=2的點(diǎn)P有兩個(gè)
C．λ+μ存在最小值
D．λ+μ不存在最大值
【變式1-3】1.（2024秋·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來構(gòu)造無理數(shù). 已知AB=BC=CD=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AC與BD交于點(diǎn)O，若DO=λAB+μAC，則λ+μ=（ ）
A．2?1B．1?2C．2+1D．?2?1
【變式1-3】2. （多選）（2023秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中∠COD=2π3，OC=4OA=4，動點(diǎn)P在CD上（含端點(diǎn)），連結(jié)OP交扇形OAB的弧AB于點(diǎn)Q，且OQ=xOC+yOD，則下列說法正確的是（ ）
A．若y=x，則x+y=1B．若y=2x，則OA?OP=0
C．AB?OP≥?2D．PA?PB≥232
【變式1-3】3. （多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）正方形ABCD的邊長為4，E是BC中點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P是以AB 為直徑的半圓上任意點(diǎn)，AP=λAB+μAE，則（ ）
A．μ最大值為1B．AP·AB最大值是8
C．λ最大值為5+14D．AP? AC最大值是8+82
【變式1-3】4. （2023·北京海淀·校考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)O是邊長為4的正方形的中心，點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，OP=1，若AP=λAB+μAD．
（1）λ的取值范圍是 ；
（2）當(dāng)λ+μ取得最大值時(shí)，AP=
【變式1-3】5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB//DC，AD=DC=1，AB=2，動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓上或圓內(nèi)移動，設(shè)AP=λAD+μABλ,μ∈R，則λ2+72λμ最大值是 .
◆類型4等和線法法
【例題1-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知A、B、C是圓O:x2+y2=4上的三點(diǎn)，∠AOB=2π3,CO的延長線與線段AB交于點(diǎn)D，若OC=mOA+nOB，則m+n的取值范圍為 .
題型2向量數(shù)量積最值取值范圍問題
◆類型1定義法
【例題2-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠C=π4，AC=2，BC=6+2.在△ABC所在的平面內(nèi)，有一個(gè)邊長為1的正方形ADEF繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1周），則AE?BD的取值范圍是（ ）
A．?3,5B．?4,6C．?5,9D．?3,4
【變式2-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，∠A=60°，BC=23，O為△ABC的外心，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)，且OD2+OE2+OF2=4，則OA?OB+OB?OC+OC?OA= .
【變式2-1】2.（2023秋·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？奸_學(xué)考試）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等，如圖，已知圓O的半徑2，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，且OP=2，弦AC,BD均過點(diǎn)P，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．PA?PC為定值B．OA?OC的取值范圍是?2,0
C．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，AB?CD為定值D．AC?BD的最大值為12
【變式2-1】3.（2023春·福建福州·高三?？茧A段練習(xí)）圓O為銳角△ABC的外接圓，AC=2AB=2，點(diǎn)P在圓O上，則BP?AO的取值范圍為（ ）
A．?12,4B．0,2C．?12,2D．0,4
【變式2-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC中，∠A=60°，AB=6，AC=4，O為△ABC的外心，若AO=λAB+μAC，則λ+μ的值為 .
【變式2-1】5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD的邊BC上有一點(diǎn)E，邊DC上有一點(diǎn)F（E，F(xiàn)不與頂點(diǎn)重合）且BE>DF，若△AEF是邊長為3的等邊三角形，則BA?BE的范圍是 .
◆類型2基底法（線性表示）
【例題2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點(diǎn)E在邊BC上，BC=3BE，若G為線段DC上的動點(diǎn)，則AG?AE的最大值為（ ）
A．2B．83
C．103D．4
【變式2-2】1. （2023·全國·高三專題練習(xí)）在直角△ABC中，AB⊥AC,AC=3,AB=1，平面ABC內(nèi)動點(diǎn)P滿足CP=1，則AP?BP的最小值為 .
【變式2-2】2. （多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知直線l1//l2，點(diǎn)A是l1，l2之間的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)A到l1，l2的距離分別為1，2.點(diǎn)B是直線l2上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥AB，交直線l1于點(diǎn)C，GA+GB+GC=0，則（ ）

A．AG=13AB+ACB．△GAB面積的最小值是23
C．AG≥1D．GA?GB存在最小值
◆類型3坐標(biāo)法
【例題2-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=2,AC=4，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC斜邊BC的中線AD上，則PB?PC的取值范圍為（ ）
A．?5,0B．?3,0C．0,3D．0,5
【變式2-3】1.（2023·上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)校考模擬預(yù)測）已知e為單位向量，向量a,b滿足a?2e=2,b?3e=3，則a?b的取值范圍是 .
【變式2-3】2. （2023·上海黃浦·格致中學(xué)校考三模）已知平面向量a，b，c滿足a=1，a?b=b?c=1，a?b+c≤22，則a?c的最大值為 ．
【變式2-3】3. （2023·天津河西·統(tǒng)考二模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖l是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，正八邊形ABCDEFGH中，若AE=λAC+μAFλ,μ∈R，則λ+μ的值為 ；若正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動點(diǎn)，則AP?BC的取值范圍是 ．
【變式2-3】4. （2023秋·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)校考期末）已知△ABC是面積為33的等邊三角形，四邊形MNPQ是面積為2的正方形，其各頂點(diǎn)均位于△ABC的內(nèi)部及三邊上，且可在△ABC內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，則BP?CQ的最大值為（ ）
A．?92B．32C．6?2?2D．6+2?2
◆類型4極化恒等式法
【例題2-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊AC=2，M為線段AB上的動點(diǎn)（包含端點(diǎn)），D為AC的中點(diǎn)．將線段AC繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到線段EF，則ME?MF的最小值為（ ）
A．?2B．?32
C．?1D．?12

【變式2-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在四邊形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且AD=λBC,AD?AB=?32，則實(shí)數(shù)λ= ；若M，N是線段BC上的動點(diǎn)，且MN=1，則DM?DN的最小值為 ．
◆類型5幾何意義法
【例題2-5】（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知平面向量a，b，c，滿足a=2，a?b=23，若對于任意實(shí)數(shù)x，都有b?xa≥b?a成立，且c?a≤1，則b?c的最大值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【變式2-5】（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）已知A?3,0，B3,0，P為平面內(nèi)一動點(diǎn)（不與A,B重合），且滿足PAPB=2，則PA?PB 的最小值為 ．
題型3向量模長最值取值范圍問題
◆類型1坐標(biāo)法
【例題3-1】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選題）已知向量a,b,c滿足a=3,b=1,a?b=7,c=2c?a.設(shè)m=tb,t∈R，則（ ）
A．m?c的最小值為2
B．m?c的最小值為23?2
C．m?c的最大值為23+2
D．m?c無最大值
【變式3-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，a⊥(a?2b)，(c?2a)?(c?b)=0，則|c|的最大值為（ ）
A．0B．3C．7+32D．7
【變式3-1】2. （2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量a，b，c，滿足a=1，a,b=7a?c,9a?c=π6，則b?c的取值范圍是 ．
【變式3-1】3. （2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)x、y∈R，若向量a，b，c滿足a=(x,1)，b=(2,y)，c=(1,1)，且向量a?b與c互相平行，則|a|+2|b|的最小值為 ．
【變式3-1】4. （2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知平面向量a ,b ,c ,e滿足a =3, e =1 , b ?a =1, =2π3，且對任意的實(shí)數(shù)t ，均有 c ?t e ≥c ?2 e，則c ? b的最小值為 .
【變式3-1】5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量a，b，且滿足a?b=|a|=|b|=2，若e為平面單位向量，則a?e+b?e的最大值
【變式3-1】6.（2023春·上海虹口·高三統(tǒng)考期中）已知平面向量a，b，c，e滿足a=3，e=1，b?a=1，=2π3，且對任意的實(shí)數(shù)t，均有c?te≥c?2e，則c?b的最小值為 .
◆類型2幾何意義法
【例題3-2】（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學(xué)?？既＃┰赗t△ABC中，AC=BC=4，D是以BC為直徑的圓上一點(diǎn)，則AB+AD的最大值為（ ）
A．12B．82C．56D．65
【變式3-2】1. （2023·全國·高三專題練習(xí)）已知非零向量a，b，c滿足a=4，a?b=2b，c2=32a?c?5，則對任意實(shí)數(shù)t，c?tb的最小值為 ．
【變式3-2】2. （2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量a，b，c，滿足b=2，a+b=1，c=λa+μb且λ+2μ=1，若對每一個(gè)確定的向量a，記c的最小值為m，則當(dāng)a變化時(shí)，實(shí)數(shù)m的最大值為 .
【變式3-2】3. （2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量a,b,c滿足a=2b=2,csa,b=?csc?a,c?b=?22，則以c為直徑長的圓的面積的最大值為 .
【變式3-2】4. （2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知點(diǎn)A,B是平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)，且OA=2aa>0．若存在m,n∈R，使得mAB+OA與nAB+OB垂直，且mAB+OA?nAB+OB=a，則AB的最小值為 ．
【變式3-2】5.（2020秋·浙江金華·高三浙江金華第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知平面向量a,b滿足a=b=a·b=2，且a?cb?c=0，則b+2c的最大值是 ．
【變式3-2】6.（2022秋·上海浦東新·高三華師大二附中?？计谥校┰O(shè)向量OA，OB滿足OA=OB=2，OA?OB=2，若m，n∈R，m+n=1，則mAB+12BO?nBA的最小值為 ．
◆類型3三角換元法
【例題3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量a，b滿足2a+b=3，b=1，則a+2a+b的最大值為 .
【變式3-3】1. （2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為2，動點(diǎn)P在以D為圓心且與AC相切的圓上，則BP?AC的取值范圍是 ．
【變式3-3】2. （2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a,b,c,d是單位向量，滿足a⊥b,m=a+2b,|m?c|2+|m?d|2=20，則|c?d|的最大值為 ．
◆類型4三角不等式法
【例題3-4】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知非零平面向量a、b、c滿足a=5，2b=c，且b?a?c?a=0，則b的最小值是
【變式3-4】1. （2022秋·河南鄭州·高三鄭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若直線ax?y=0a≠0與函數(shù)fx=2cs2x+1ln2+x2?x圖象交于不同的兩點(diǎn)A,B，且點(diǎn)C6,0，若點(diǎn)Dm,n滿足DA+DB?DC?DC=0，則m+n的取值范圍是 .
【變式3-4】2.（多選） （2020·北京·高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）設(shè)平面向量a,b,c滿足|a|≤2,|b|≤1，且|a?2b?c|≤|a+2b|，則|c|的（ ）
A．最大值為42B．最大值為26
C．最小值為0D．最小值為2
題型4向量共線的應(yīng)用
【例題4】（2023秋·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知csB=23，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)．若點(diǎn)P滿足CP+bcBP=acPA，且BP=xBA+yBC，則x+y的最大值為 ．
【變式4-1】1. （2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在線段AB上，且AD=13AB，E是CD的中點(diǎn)，延長AE交BC于點(diǎn)H，點(diǎn)P為直線AH上一動點(diǎn)（不含點(diǎn)A），且AP=λAB+μAC（λ,μ∈R）．若AB=4，且λAC=μBC，則△CAH的面積的最大值為 ．

【變式4-1】2. （多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，AC=4，AB=5，BC=6，D為AC中點(diǎn)，E在BD上，且BE=12ED，AE延長線交BC于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．AE=3B．AE?BC=?514
C．△ACF的面積為37D．AF=6EF
【變式4-1】3. （多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在凸四邊形ABCD中，對邊BC，AD的延長線交于點(diǎn)E，對邊AB，DC的延長線交于點(diǎn)F，若BC=λCE，ED=μDA，AB=3BF λ,μ>0，則（ ）
A．EB=14EF+14EAB．λμ=14
C．1λ+1μ的最大值為1D．EC?ADEB?EA≥?49
【變式4-1】4. （2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？家荒＃┰凇鰽BC中，AB?AC=9，sinB=csAsinC，S△ABC=6，P為線段AB上的動點(diǎn)，且CP=x?CA|CA|+y?CB|CB|，則2x+1y的最小值為（ ）
A．116+63B．116C．1112+63D．1112
【變式4-1】5.（2022秋·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，AB=4，BC=3，CA=2，點(diǎn)P在該三角形的內(nèi)切圓上運(yùn)動，若AP=mAB+nAC（m，n為實(shí)數(shù)），則m+n的最小值為（ ）
A．518B．13C．718D．49
【變式4-1】6.（2022·全國·高三專題練習(xí)）過△ABC重心O的直線PQ交AC于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q，PC=34AC，QC=nBC，則n的值為 .
題型5向量夾角
【例題5】（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）已知向量a、b不共線，夾角為θ，且a=2，b=1，a+λb+a?λb=42，若433≤λ0,CA?CB=6,BA=14，設(shè)BA=a,則BE在a上的投影向量為 ．（結(jié)果用a表示）．
【變式7-1】1. （2023·天津·統(tǒng)考二模）在△ABC中，AB=32，角A為銳角，且向量AB在向量AC上的投影向量的模是3，則A= ；若AC=6，則函數(shù)fx=xAB?13AC+xAB?12ACx∈R的最小值為 .
【變式7-1】2.（多選） （2023·全國·高三專題練習(xí)）窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）

A．若函數(shù)fx=AD?xAB，則函數(shù)fx的最小值為2+2
B．PA?PB的最大值為12+82
C．AG在AB方向上的投影向量為?AB2
D．OA+OC=3OB
題型8解析幾何與向量
【例題8】（多選）（2023秋·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）⊙Q:(x+1)2+(y?1)2=2與l:y=?x交于A,B,M為曲線y=1x(x>0)上的動點(diǎn)，則（ ）
A．M到直線l距離最小值為2
B．MA?MB>0
C．存在點(diǎn)M，使得△MAB為等邊三角形
D．MA?MB最小值為1
【變式8-1】1. （2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知直線l:y=kx(k>0)與雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，經(jīng)過點(diǎn)A且與直線l垂直的直線與雙曲線C的另外一個(gè)交點(diǎn)為M，點(diǎn)N在y軸上，BN//NM，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且ON2=7OA?NO，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A．y=±3xB．y=±5xC．y=±6xD．y=±7x
【變式8-1】2. （2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量a=(x+1,5+y),b=(x?1,5?y)，滿足a⊥b的動點(diǎn)M(x,y)的軌跡為E，經(jīng)過點(diǎn)N(2,0)的直線l與E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)A，點(diǎn)P在圓x2+(y?22)2=1上，則AP的最小值為（ ）．
A．3?22B．2?1
C．22?2D．1
【變式8-1】3. （2023·海南?？凇ずＤ现袑W(xué)校考二模）如圖，2022年世界杯的會徽像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”．在平面直角坐標(biāo)系中，圓M:x2+y+m2=n2和N:x2+y?12=1外切也形成一個(gè)8字形狀，若P0,?2，A1,?1為圓M上兩點(diǎn)，B為兩圓圓周上任一點(diǎn)（不同于點(diǎn)A，P），則PA?PB的最大值為（ ）．
A．32+22B．22+1C．3+2D．32+2
【變式8-1】4. （2023·全國·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:x24+y22=1上兩點(diǎn)A，B滿足kOA?kOB=?12．若橢圓C上一點(diǎn)M滿足OM=λOA+μOB，則λ+μ的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．2
【變式8-1】5.（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，F(xiàn)1A?F1B=0，BF2=35BA，則C的離心率為 ．
【變式8-1】6.（2023春·全國·高三競賽）設(shè)圓(x?3)2+(y?4)2=25的圓心為C，點(diǎn)N6,0，M12,10，P為直線y=x上一點(diǎn)．若圓上存在兩點(diǎn)A，B，使得點(diǎn)P滿足MA=MB+MP，則△PCN面積的取值范圍為（ ）
A．2,51B．3,51C．2,52D．3,52
題型9奔馳定理與面積比
【例題9】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）有下列說法其中正確的說法為（ ）
A．若a∥b，b∥c，則a∥c
B．若a∥bb≠0，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得a=λb
C．兩個(gè)非零向量a，b，若a?b=a+b，則a與b共線且反向
D．若2OA+OB+3OC=0，S△AOC，S△AOB分別表示△AOC，△AOB的面積，則S△AOC:S△AOB=1:3
【變式9-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC,△AOC,△AOB的面積分別為SA,SB,SC，則有SA?OA+SB?OB+SC?OC=0．設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC,∠ABC,∠ACB分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題不正確的有（ ）
A．若OA+OB+OC=0，則O為△ABC的重心
B．若OA+2OB+3OC=0，則SA:SB:SC=1:2:3
C．若OA=OB=2,∠AOB=5π6，2OA+3OB+4OC=0，則S△ABC=92
D．若O為△ABC的垂心，則tan∠BAC?OA+tan∠ABC?OB+tan∠ACB?OC=0
題型10向量四心
【例題10】(多選)（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)M在△ABC所在平面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若AM=ABAB+ACAC，且AM=λAB+1?λAC00，則動點(diǎn)O的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心
【變式10-1】2. （2023·全國·高三專題練習(xí)）對于給定的△ABC，其外心為O，重心為G，垂心為H，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．AO?AB=12AB2
B．OA?OB=OA?OC=OB?OC
C．過點(diǎn)G的直線l交AB、AC于E、F，若AE=λAB，AF=μAC，則1λ+1μ=3
D．AH與ABABcsB+ACACcsC共線
1.（多選）（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量a，b，c滿足a=2，a?b=c?b=c=1，則可能成立的結(jié)果為（ ）
A．b=1B．b=3C．b?c=3D．b?c=32
2. （2023·天津和平·統(tǒng)考一模）已知四邊形ABCD,DC=tAB,AB=6,AD=4,∠DAB=60°，且AD?CD=?6，點(diǎn)E為線段BD，上一點(diǎn)，且AE=1+λAD+23CB，則λ= ，過E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F，則FD?FC= .
3. （2022·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校聯(lián)考二模）在梯形ABCD中，AB∥CD,AD=1,AB=3,CD=1,AM=13AB,CM與BD相交于點(diǎn)Q．若MP=13MC，則AQ?DP= ；若AC?AB=32，N為線段AC延長線上的動點(diǎn)，則NQ?NB的最小值為 ．
4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量a=3,1,b=2,2，則csa+b,a?b=（ ）
A．117B．1717C．55D．255
5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點(diǎn)，則EC?ED=（ ）
A．5B．3C．25D．5
6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量a,b,c滿足a=b=1,c=2，且a+b+c=0，則cs?a?c,b?c?=（ ）
A．?45B．?25C．25D．45
7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PB與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若PO=2，則PA?PD的最大值為（ ）
A．1+22B．1+222
C．1+2D．2+2
8．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量a=1,1,b=1,?1，若a+λb⊥a+μb，則（ ）
A．λ+μ=1B．λ+μ=?1
C．λμ=1D．λμ=?1
9．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，∠A=60°，BC=1，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，若設(shè)AB=a,AC=b，則AE可用a,b表示為 ；若BF=13BC，則AE?AF的最大值為 ．
10．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量a，b滿足a?b=3，a+b=2a?b，則b= ．
11．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知平面向量a,b滿足|5a?b|=4,a?b∈[0,1]，則a的取值范圍是 ．
平面向量基本定理（平面內(nèi)三個(gè)向量之間關(guān)系）；若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1＋λ2e2.
1.選定基底，則λ1、λ2，是唯一的
2.處理技巧：可“繞三角形”，可待定系數(shù)，可建系.
等和線原理：OA=λOB+μOC?λ+μ=1
OF=λOB+μOC?λ+μ=mm=OFOE,
求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：
（1）利用定義（包括向量數(shù)量積幾何意義）
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算（自主建系，只要題目有可以建系的條件，可通過建系法求解）；（3）利用向量三角不等式
（a+b）2=a2+2ab+b2（a?b）2=a2?2ab+b2?ab=14[a+b2?（a?b）2],
在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，則AB?AC=|AD|2?|DB|2
設(shè)平面上三點(diǎn)O，A，B不共線，則平面上任意一點(diǎn)P與A，B共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)入與出，使得OP=λOA+μOB且λ+μ=1.特別地，當(dāng)P為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，OP=12OA+12OB.
在△ABC中:
重心：PA+PB+PC=0
外心：|PA|=PB=|PC|
內(nèi)心：向量λ（ABAB+CDAB）(λ≠0)所在直線過△ABC內(nèi)心（∠BAC角平分線所在直線）
垂心：PA?PB=PB?PC=PA?PC

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