TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151500048" 題型1直線過定點之型 PAGEREF _Tc151500048 \h 1
\l "_Tc151500049" 題型2直線過定點之 PAGEREF _Tc151500049 \h 3
\l "_Tc151500050" 題型3直線過定點之求直線方程 PAGEREF _Tc151500050 \h 4
\l "_Tc151500051" 題型4特殊到一般法 PAGEREF _Tc151500051 \h 6
\l "_Tc151500052" 題型5斜率和問題 PAGEREF _Tc151500052 \h 8
\l "_Tc151500053" 題型6斜率積問題 PAGEREF _Tc151500053 \h 10
\l "_Tc151500054" 題型7斜率比值問題 PAGEREF _Tc151500054 \h 11
\l "_Tc151500055" 題型8多斜率問題 PAGEREF _Tc151500055 \h 13
\l "_Tc151500056" 題型9與角度有關的定點問題 PAGEREF _Tc151500056 \h 15
\l "_Tc151500057" 題型10直線過定點之類比法 PAGEREF _Tc151500057 \h 17
\l "_Tc151500058" 題型11定點與恒成立問題 PAGEREF _Tc151500058 \h 18
\l "_Tc151500059" 題型12圓過定點問題 PAGEREF _Tc151500059 \h 20
題型1直線過定點之型
【例題1】（2021·貴州貴陽·高三校聯(lián)考開學考試）已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為，且C經過點．
(1)求C的方程；
(2)設C與y軸正半軸交于點D，直線與C交于A、B兩點（l不經過D點），且．證明：直線l經過定點，并求出該定點的坐標．
【變式1-1】1. （2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實驗中學?？计谀┮阎獎狱c到定點的距離與到定直線：的距離之比為，記點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)已知曲線與軸的正半軸交于點，不與軸垂直的直線交曲線于兩點（，異于點），直線分別與軸交于兩點，若的橫坐標的乘積為，則直線是否過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.
【變式1-1】2. （2023上·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學考試）已知橢圓的左焦點為，且點在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)橢圓的上、下頂點分別為，點，若直線與橢圓的另一個交點分別為點，證明：直線過定點，并求該定點坐標.
【變式1-1】3. （2023上·江蘇·高三江蘇省梁豐高級中學校聯(lián)考階段練習）在直角坐標平面內，已知，，動點滿足條件：直線與直線斜率之積等于，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)過直線：上任意一點作直線與，分別交于，兩點，則直線是否過定點？若是，求出該點坐標；若不是，說明理由．
【變式1-1】4. （2023上·河北張家口·高三統(tǒng)考開學考試）已知橢圓過點，且離心率．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點A作與相切的兩條直線，分別交橢圓C于P，Q兩點，求證：直線恒過定點．
題型2直線過定點之
【例題2】（2021·廣東深圳·統(tǒng)考二模）已知圓:，一動圓與直線相切且與圓外切．
(1)求動圓圓心的軌跡的方程；
(2)若經過定點的直線與曲線交于兩點，是的中點，過作軸的平行線與曲線相交于點，試問是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【變式2-1】1. （2020·山東·高三山東省實驗中學校考階段練習）已知橢圓的左右焦點分別為F1，F2，左頂點為A，且滿足，橢圓上的點到焦點距離的最大值為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若P是橢圓上的任意一點，求的取值范圍；
(3)已知直線與橢圓相交于不同的兩點M，N(均不是長軸的端點)，AH⊥MN，垂足為H且，求證：直線l恒過定點．
【變式2-1】2. （2022·遼寧沈陽·二模）已知橢圓的焦距為2，且經過點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)經過橢圓右焦點F且斜率為的動直線l與橢圓交于A、B兩點，試問x軸上是否存在異于點F的定點T，使恒成立？若存在，求出T點坐標，若不存在，說明理由．
【變式2-1】3. （2023上·北京豐臺·高三北京市第十二中學?？茧A段練習）已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)M為橢圓的左頂點，直線與橢圓交于兩點，若，求證：直線過定點．
【變式2-1】4. （2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？奸_學考試）已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為，設為坐標原點，線段的中點為，且滿足.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設點，圓過且交直線于兩點，直線分別交于另一點（異于點）.證明：直線過定點，并求出該定點的坐標.
題型3直線過定點之求直線方程
【例題3】（2020下·河南鶴壁·高三鶴壁高中?？茧A段練習）已知雙曲線C的右焦點F，半焦距c=2，點F到直線的距離為，過點F作雙曲線C的兩條互相垂直的弦AB，CD，設AB，CD的中點分別為M，N.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)證明：直線MN必過定點，并求出此定點的坐標.
【變式3-1】1. （2020上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）在中，已知、，直線與的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)設為曲線上一點，直線與交點的橫坐標為，求證：直線過定點.
【變式3-1】2. （2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）設橢圓C：的左、右頂點分別為A、B，且焦距為2．點P在橢圓上且異于A、B兩點．若直線PA與PB的斜率之積為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過點作不與軸重合的直線與橢圓C相交于M、N兩點，直線m的方程為：，過點M作垂直于直線，交于點E．判斷直線是否過定點，并說明理由．
【變式3-1】3. （2023上·江蘇連云港·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為，點，為C的左，右頂點．P為直線上的動點，與C的另一個交點為M，與C的另一個交點為N．
(1)求C的方程；
(2)證明：直線MN過定點．
【變式3-1】4. （2020·全國·校聯(lián)考二模）在平面直角坐標系xOy中，M為直線y＝x－2上一動點，過點M作拋物線C：x2＝y(tǒng)的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B，N為AB的中點．
(1)證明：MN⊥x軸．
(2)直線AB是否恒過定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由．
【變式3-1】5.（2023上·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓E的中心在原點，周長為8的的頂點，為橢圓E的左焦點，頂點B，C在E上，且邊BC過E的右焦點.
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)橢圓E的上、下頂點分別為M，N，點若直線 ， 與橢圓E的另一個交點分別為點S，T，證明：直線ST過定點，并求該定點坐標.
題型4特殊到一般法
【例題4】（2023上·山東·高三校聯(lián)考開學考試）如圖，已知點和點在雙曲線上，雙曲線的左頂點為，過點且不與軸重合的直線與雙曲線交于，兩點，直線，與圓分別交于，兩點.

(1)求雙曲線的標準方程；
(2)設直線，的斜率分別為，，求的值；
(3)證明：直線過定點.
【變式4-1】1. （2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預測）已知點為拋物線的焦點，點，過點作直線與拋物線順次交于兩點，過點A作斜率為的直線與拋物線的另一個交點為點．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)求證：直線過定點．
【變式4-1】2. （2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知直線l：與點，過直線l上的一動點Q作直線，且點P滿足．
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)過點F作直線與C交于A，B兩點，設，直線AM與直線l相交于點N．試問：直線BN是否經過x軸上一定點？若過定點，求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由．
【變式4-1】3. （2023·全國·高三專題練習）動點P到定點的距離比它到直線x＝－2的距離小1，設動點P的軌跡為曲線C，過點F且斜率為k（）的直線交曲線C于M，N兩點.
(1)求曲線C的標準方程；
(2)若點M關于x軸的對稱點為A，探究直線AN是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.
【變式4-1】4. （2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預測）在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，橢圓上的點與點的距離的最大值為4.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)點在直線上，點關于軸的對稱點為，直線分別交橢圓于兩點（不同于點）.求證：直線過定點.
【變式4-1】5.（2023·全國·模擬預測）已知，分別是雙曲線：（，）的左?右焦點，點為雙曲線上的點，且的面積為.
(1)求雙曲線的標準方程.
(2)設原點到直線的距離為，直線交雙曲線于，兩點，試問：以線段為直徑的圓是否經過一個定點？若經過，求出該定點；若不經過，請說明理由.
題型5斜率和問題
【例題5】（2020下·山西運城·高三統(tǒng)考階段練習）橢圓的離心率為，右焦點為，點在橢圓上運動，且的最大值為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過作斜率分別為，的兩條直線分別交橢圓于點，，且，證明：直線恒過定點．
【變式5-1】1. （2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知拋物線：過點．
(1)求拋物線的方程；
(2)，是拋物線上的兩個動點，直線的斜率與直線的斜率之和為4，證明：直線恒過定點．
【變式5-1】2. （2023上·湖北隨州·高三隨州市曾都區(qū)第一中學?？奸_學考試）在平面直角坐標系中，已知圓心為C的動圓過點，且在軸上截得的弦長為4，記C的軌跡為曲線E．
(1)求E的方程；
(2)已知及曲線E上的兩點B和D，直線AB，AD的斜率分別為，，且，求證：直線BD經過定點．
【變式5-1】3. （2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知點為雙曲線上一點，的左焦點到一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)不過點的直線與雙曲線交于兩點，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.
【變式5-1】4. （2023下·湖南岳陽·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線，四點，，，中恰有三點在雙曲線上.
(1)求的方程；
(2)設直線不經過點且與相交于兩點，若直線與直線的斜率的和為證明：過定點.
題型6斜率積問題
【例題6】（2020·北京·海淀實驗中學?？既＃┮阎cM為橢圓C：的右頂點，點A，B是橢圓C上不同的兩點（均異于點M），且滿足直線MA 與直線MB斜率之積為.
（1）求橢圓C的離心率及焦點坐標；
（2）試判斷直線AB是否過定點？若是，求出定點坐標；若否，說明理由.
【變式6-1】1. （2020下·山西運城·高三統(tǒng)考階段練習）拋物線（），斜率為1的直線過拋物線的準線與軸的交點.
（1）試判斷直線與拋物線的位置關系，并加以證明；
（2）若，過分別作斜率為，的兩條直線，，分別交拋物線于點，兩點，且，證明：直線恒過定點，并求出定點的坐標.
【變式6-1】2. （2024上·山東臨沂·高三校聯(lián)考開學考試）已知拋物線，為E上位于第一象限的一點，點P到E的準線的距離為5．
(1)求E的標準方程；
(2)設O為坐標原點，F為E的焦點，A，B為E上異于P的兩點，且直線與斜率乘積為．
（i）證明：直線過定點；
（ii）求的最小值．
【變式6-1】3. （2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考開學考試）已知橢圓的右頂點為，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)不經過點的直線與交于兩點，且直線和的斜率之積為1，證明：直線過定點.
【變式6-1】4. （2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知為坐標原點，，，和交點為.
(1)求點的軌跡；
(2)直線和曲線交與兩點，試判斷是否存在定點使？如果存在，求出點坐標，不存在請說明理由.
題型7斜率比值問題
【例題7】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預測）已知橢圓C：的左右焦點分別為、，離心率，、分別為橢圓C的左、右頂點，且.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若O為坐標原點，過的直線l與橢圓C交于A、B兩點，求面積的最大值；
(3)若橢圓上另有一點M，使得直線與斜率、滿足，請分析直線BM是否恒過定點.
【變式7-1】1. （2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）已知點，動點滿足直線與的斜率之積為.記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程，并說明是什么曲線；
(2)設為曲線上的兩動點，直線的斜率為，直線的斜率為，且.
①求證：直線恒過一定點；
②設的面積為，求的最大值.
【變式7-1】2. （2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知圓：，定點，如圖所示，圓上某一點恰好與點關于直線對稱，設直線與直線的交點為.

(1)求證：為定值，并求出點的軌跡方程；
(2)設，為曲線上一點，為圓上一點（，均不在軸上）.直線，的斜率分別記為，，且.求證：直線過定點，并求出此定點的坐標.
【變式7-1】3. （2023·內蒙古赤峰·統(tǒng)考二模）已知橢圓的離心率為，其左、右頂點分別為,左右焦點為,點為橢圓上異于的動點，且的面積最大值為.
(1)求橢圓的方程及的值；（、分別指直線的斜率）
(2)設動直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，且.
①求證：直線過定點；
②設的面積分別為，求的取值范圍.
【變式7-1】4. （2023·貴州黔西·?？家荒＃┮阎p曲線的離心率是，點在雙曲線C上．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設，M為C上一點，N為圓上一點（ 均不在x軸上）．直線的斜率分別記為，且，判斷：直線是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由．
題型8多斜率問題
【例題8】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知兩定點，，M是平面內一動點，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且．
(1)求動點M的軌跡；
(2)設過的直線交曲線于C，D兩點，Q為平面上一動點，直線QC，QD，QP的斜率分別為，，，且滿足．問：動點Q是否在某一定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，請說明理由．
【變式8-1】1. （2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）已知橢圓（），四點，，，中恰有三點在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)橢圓C上是否存在異于的兩點M，N使得直線與的斜率之和與直線MN的斜率（不為零）的2倍互為相反數？若存在，請判斷直線MN是否過定點；若不存在，請說明理由．
【變式8-1】2. （2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知雙曲線：的一條漸近線為，橢圓：的長軸長為4，其中.過點的動直線交于A，B兩點，過點Р的動直線交于M，N兩點.
(1)求雙曲線和橢圓的方程；
(2)是否存在定點Q，使得四條直線QA，QB，QM，QN的斜率之和為定值?若存在，求出點Q坐標；若不存在，說明理由.
【變式8-1】3. （2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校?？寄M預測）已知離心率為的橢圓的左焦點為，左、右頂點分別為、，上頂點為，且的外接圓半徑大小為．
(1)求橢圓方程；
(2)設斜率存在的直線交橢圓于，兩點（，位于軸的兩側），記直線、、、的斜率分別為、、、，若，則直線l是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．
【變式8-1】4.（2023·四川涼山·二模）在平面內動點P與兩定點連線斜率之積為．
(1)求動點P的軌跡E的方程；
(2)已知點，過點P作軌跡E的切線其斜率記為，當直線斜率存在時分別記為．探索是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【變式8-1】5.（2023下·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知點，，是異于A，的動點，，分別是直線，的斜率，且滿足.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)在線段上是否存在定點，使得過點的直線交的軌跡于，兩點，且對直線上任意一點，都有直線，，的斜率成等差數列.若存在，求出定點，若不存在，請說明理由.
題型9與角度有關的定點問題
【例題9】（2023·陜西西安·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校阎獎訄A與圓內切，且與直線相切，設動圓圓心的軌跡為曲線．
(1)求的方程；
(2)已知是曲線上一點，是曲線上異于點的兩個動點，設直線?的傾斜角分別為，且，請問：直線是否經過定點？若是，請求出該定點，若不是，請說明理由.
【變式9-1】1. （2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線，過點的直線與該雙曲線的左、右兩支分別交于點．
(1)當直線的斜率為時，求；
(2)是否存在定點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式9-1】2. （2023·四川綿陽·模擬預測）已知點A是圓上的任意一點，點，線段AF的垂直平分線交AC于點P．
(1)求動點P的軌跡E的方程；
(2)若過點且斜率不為O的直線l交（1）中軌跡E于M、N兩點，O為坐標原點，點．問：x軸上是否存在定點T，使得恒成立．若存在，請求出點T的坐標，若不存在，請說明理由．
【變式9-1】3. （2023上·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知雙曲線的左右焦點分別為，點在雙曲線上，若，且雙曲線焦距為4．
(1)求雙曲線的方程；
(2)如果為雙曲線右支上的動點，在軸負半軸上是否存在定點使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
【變式9-1】4. （2022上·貴州·高二校聯(lián)考階段練習）已知焦點在軸上的橢圓：的長軸長為4，的右頂點到右焦點的距離為1.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)如圖，已知點，直線與橢圓交于不同的兩點，，（，兩點都在軸上方），為坐標原點，且.證明直線過定點，并求出該定點坐標.
【變式9-1】5.（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的虛軸長為2，點到C的漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的標準方程．
(2)若斜率不為零的直線l與C交于A，B兩點，y軸恰是的平分線，試問：直線l是否過定點？若過定點，求該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．
題型10直線過定點之類比法
【例題10】（2023上·四川成都·高三?？茧A段練習）已知橢圓C：的左?右焦點分別為，，左頂點為D，離心率為，經過的直線交橢圓于A，B兩點，的周長為8.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過直線上一點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為M，N，
①證明：直線MN過定點；
②求的最大值.
【變式10-1】1. （2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個公共點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知結論：若點為橢圓上一點，則橢圓在該點處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點．
【變式10-1】2. （2023上·廣東惠州·高三?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，頂點在原點，以坐標軸為對稱軸的拋物線經過點.
(1)求的方程；
(2)若關于軸對稱，焦點為，過點且與軸不垂直的直線交于，兩點，直線交于另一點，直線交于另一點，求證：直線過定點.
【變式10-1】3. （2023·福建·校聯(lián)考模擬預測）設拋物線：（）的焦點為，點的坐標為.已知點是拋物線上的動點，的最小值為4.
(1)求拋物線的方程：
(2)若直線與交于另一點，經過點和點的直線與交于另一點，證明：直線過定點.
【變式10-1】4. （2023·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）已知動圓恒過定點，圓心到直線的距離為．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)過直線上的動點作的兩條切線，切點分別為，證明：直線恒過定點．
【變式10-1】5.（2023·貴州·校聯(lián)考二模）拋物線的焦點到準線的距離等于橢圓的短軸長．
(1)求拋物線的方程；
(2)設是拋物線上位于第一象限的一點，過作（其中）的兩條切線，分別交拋物線于點,,證明：直線經過定點．
題型11定點與恒成立問題
【例題11】（2023上·四川眉山·高三仁壽一中?？计谀E圓的離心率是，點是橢圓上一點，過點的動直線與橢圓相交于兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)求面積的最大值；
(3)在平面直角坐標系中，是否存在與點不同的定點，使恒成立？存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【變式11-1】1. （2024·陜西寶雞·?？家荒＃┰O拋物線：，直線與交于，兩點，且.
(1)求；
(2)若在軸上存在定點，使得，求定點的坐標.
【變式11-1】2. （2022上·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市第70中?？计谥校┰O，分別是橢圓：的左、右焦點，是上一點，與軸垂直.直線與的另一個交點為，且直線的斜率為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設是橢圓的上頂點，直線：與橢圓交于兩個不同點、，直線與軸交于點，直線與軸交于點.若，求證：直線經過定點.
【變式11-1】3. （2022上·四川綿陽·高三鹽亭中學?？计谥校┮阎獟佄锞€的頂點在原點，對稱軸為 ?軸，且經過點?.
(1)求拋物線方程;
(2)若直線 ?與拋物線交于?兩點，且滿足?，求證: 直線?恒過定點，并求出定點坐標.
【變式11-1】4. （2023上·云南昆明·高三云南民族大學附屬中學校考階段練習）已知橢圓的離心率是 ，其左?右焦點分別為，過點且與直線垂直的直線交軸負半軸于.
(1)求證：；
(2)若點，過橢圓右焦點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于兩點，點是點關于軸的對稱點，在軸上是否存在一個定點，使得三點共線？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
【變式11-1】5.（2022·遼寧沈陽·二模）已知橢圓的焦距為2，且經過點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)經過橢圓右焦點F且斜率為的動直線l與橢圓交于A、B兩點，試問x軸上是否存在異于點F的定點T，使恒成立？若存在，求出T點坐標，若不存在，說明理由．
題型12圓過定點問題
【例題12】（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）已知雙曲線的左右焦點分別為，，左頂點的坐標為，離心率為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)分別是雙曲線的左右頂點，是雙曲線上異于，的一個動點，直線分別于直線交于兩點，問以為直徑的圓是否過定點，若是，求出此定點；若不是，請說明理由.
【變式12-1】1. （2023上·貴州黔西·高三興義第一中學校聯(lián)考階段練習）已知拋物線，過焦點的直線與拋物線交于兩點A，，當直線的傾斜角為時，.
(1)求拋物線的標準方程和準線方程；
(2)記為坐標原點，直線分別與直線，交于點，，求證：以為直徑的圓過定點，并求出定點坐標.
【變式12-1】2. （2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式12-1】3. （2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知過點的直線與拋物線交于兩點，過線段的中點作直線軸，垂足為，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)若為上異于點的任意一點，且直線與直線交于點，證明：以為直徑的圓過定點.
【變式12-1】4.（2021·上?！じ呷龑ｎ}練習）如圖，橢圓E：的左焦點為，右焦點為，離心率，過的直線交橢圓于A?B兩點，且△的周長為8.
(1)求橢圓E的方程；
(2)設動直線l：與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線相交于點Q，試探究：在x軸上是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.
【變式12-1】5.（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，動點與定點的距離和D到定直線的距離的比是常數2，設動點D的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)已知定點，，過點P作垂直于x軸的直線，過點P作斜率大于0的直線與曲線C交于點G，H，其中點G在x軸上方，點H在x軸下方．曲線C與x軸負半軸交于點A，直線，與直線分別交于點M，N，若A，O，M，N四點共圓，求t的值．
【變式12-1】6.（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線，直線過的右焦點且與交于兩點．
(1)若兩點均在雙曲線的右支上，求證：為定值；
(2)試判斷以為直徑的圓是否過定點？若經過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．
1. （2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的離心率是，上、下頂點分別為，.圓與軸正半軸的交點為，且.
(1)求的方程；
(2)直線與圓相切且與相交于，兩點，證明：以為直徑的圓恒過定點.
2. （2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的左頂點為，過右焦點且平行于軸的弦．
(1)求的內心坐標；
(2)是否存在定點，使過點的直線交于，交于點，且滿足？若存在，求出該定點坐標，若不存在，請說明理由．
3. （2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的右焦點，右頂點分別為，，，，點在線段上，且滿足，直線的斜率為1，為坐標原點.
(1)求雙曲線的方程.
(2)過點的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，在軸上是否存在與不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
4. （2023·全國·模擬預測）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知直線與橢圓交于兩點，證明：在軸上存在定點，使得直線，關于軸對稱.
5. （2023·廣西柳州·柳州高級中學校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓 的右焦點為F，且經過點，過F的直線與橢圓E交于C，D兩點，當軸時，．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)橢圓E的右頂點為A，若橢圓上的存在兩點P，Q，且使成立，證明直線PQ過定點．
6. （2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）已知點，點分別為橢圓的左?右頂點，直線交于點是等腰直角三角形，且.
(1)過橢圓的上頂點引兩條互相垂直的直線，記上任一點到兩直線的距離分別為，求的最大值；
(2)過點且斜率不為零的直線與橢圓相交于兩點試問：是否存在軸上的定點，使得.若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由.
7. （2023·江西吉安·統(tǒng)考一模）已知雙曲線，焦點到漸近線的距離為2.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)記雙曲線的左?右頂點分別為，直線交雙曲線于點（點在第一象限），記直線斜率為，直線斜率為，過原點做直線的垂線，垂足為，當為定值時，問是否存在定點，使得為定值，若存在，求此定點.若不存在，請說明理由.
8. （2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過雙曲線的右焦點作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點分別為、，那么直線是否過定點?若不過定點，請說明原因；若過定點，請求出定點坐標.
9. （2023·四川成都·三模）已知斜率為的直線l與拋物線相交于P，Q兩點．
(1)求線段PQ中點縱坐標的值；
(2)已知點，直線TP，TQ分別與拋物線相交于M，N兩點（異于P，Q）．則在y軸上是否存在一定點S，使得直線MN恒過該點？若存在，求出點S的坐標；若不存在，請說明理由．
10.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．
11．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．
(1)求E的方程；
(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．
12.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點．
（1）求的方程：
（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．
13．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點.
定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：
①假設直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；
③利用韋達定理表示出已知中的等量關系，代入韋達定理整理；
④由所得等式恒成立可整理得到定點.
技巧：若直線方程為,則直線過定點;
若直線方程為 (為定值),則直線過定點
1.直線AB方程為，聯(lián)立曲線方程，
結合韋達定理化簡整理得到只關于t、m的方程，即可求出t、m的關系，即可進一步討論直線AB過定點的情況；
2.設直線時注意考慮AB斜率不存在的情況，聯(lián)立方程也要注意討論判別式.
在解析幾何中，有些含有參數的直線或曲線的方程，不論參數如何變化，其都過某定點，這類問題稱為定點問題．證明直線（曲線）過定點的基本思想是是確定方程，即使用一個參數表示直線（曲線）方程，根據方程的成立與參數值無關得出的方程組，以方程組的解為坐標的點就是直線（曲線）所過的定點．核心方程是指已知條件中的等量關系．
特殊到一般法：根據動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.
與定點問題有關的基本結論
（1）若直線與拋物線交于點，則 直線l過定點；
（2）若直線與拋物線交于點，則 直線l過定點；
（3）設點是拋物線上一定點，是該拋物線上的動點，則直線MN過定點．
（4）設點是拋物線上一定點，是該拋物線上的動點，則 直線MN過定點；
（5）過橢圓的左頂點P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點，則直線過點；
（6）過橢圓的左頂點P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點，則直線過點；
（7）設點是橢圓C：上一定點，點A，B是橢圓C上不同于P的兩點，若，則直線AB過定點；
（8）設點是雙曲線C：一定點，點A，B是雙曲線C上不同于P的兩點，若，則直線AB過定點．
圓過定點問題
圓過定點問題的常見類型是以為直徑的圓過定點P，求解思路是把問題轉化為，也可以轉化為

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