①分離參數＋函數最值
②直接化為最值＋分類討論；
③縮小范圍＋證明不等式；
④分離函數＋數形結合（）。
通過討論函數的單調性及最值，直接化為最值的優(yōu)點是函數結構簡單，是不等式恒成立的通性通法，高考參考答案一般都是以這種解法給出，缺點是一般需要分類討論，解題過程較長，解題層級數較多，不易掌握分類標準。
一、分離參數法
1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個字母時（一個視為變量，另一個視為參數），可利用不等式的等價變形讓兩個字母分居不等號的兩側，即不等號的每一側都是只含有一個字母的表達式.然后可利用其中一個變量的范圍求出另一變量的范圍
2、如何確定變量與參數：一般情況下，那個字母的范圍已知，就將其視為變量，構造關于它的函數，另一個字母（一般為所求）視為參數.
3、參變分離法的適用范圍：判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法，可遵循以下兩點原則：
（1）已知不等式中兩個字母是否便于進行分離，如果僅通過幾步簡單變換即可達到分離目的，則參變分離法可行.但有些不等式中由于兩個字母的關系過于“緊密”，會出現無法分離的情形，此時要考慮其他方法.例如：，等
（2）要看參變分離后，已知變量的函數解析式是否便于求出最值（或臨界值），若解析式過于復雜而無法求出最值（或臨界值），則也無法用參變分離法解決問題.（可參見”恒成立問題——最值分析法“中的相關題目）
4、參變分離后會出現的情況及處理方法：（假設為自變量，其范圍設為，為函數；為參數，為其表達式）
（1）若的值域為
①，則只需要
，則只需要
②，則只需要
，則只需要
③，則只需要
，則只需要
④，則只需要
，則只需要
（2）若的值域為
① ，則只需要
，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）
② ，則只需要
，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）
③ ，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）
，則只需要
④ ，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）
，則只需要x/k-+w
5、多變量恒成立問題：對于含兩個以上字母（通常為3個）的恒成立不等式，先觀察好哪些字母的范圍已知（作為變量），那個是所求的參數，然后通常有兩種方式處理
（1）選擇一個已知變量，與所求參數放在一起與另一變量進行分離.則不含參數的一側可以解出最值（同時消去一元），進而多變量恒成立問題就轉化為傳統(tǒng)的恒成立問題了.
（2）將參數與變量進行分離，即不等號一側只含有參數，另一側是雙變量的表達式，然后按所需求得雙變量表達式的最值即可.
二、數形結合法
1、函數的不等關系與圖象特征：
（1）若，均有的圖象始終在的下方
（2）若，均有的圖象始終在的上方
2、在作圖前，可利用不等式的性質對恒成立不等式進行變形，轉化為兩個可作圖的函數
3、要了解所求參數在圖象中扮演的角色，如斜率，截距等
4、作圖時可“先靜再動”，先作常系數的函數的圖象，再做含參數函數的圖象（往往隨參數的不同取值而發(fā)生變化）
5、在作圖時，要注意草圖的信息點盡量完備
6、什么情況下會考慮到數形結合？利用數形結合解決恒成立問題，往往具備以下幾個特點：
（1）所給的不等式運用代數手段變形比較復雜，比如分段函數，或者定義域含參等，而涉及的函數便于直接作圖或是利用圖象變換作圖
（2）所求的參數在圖象中具備一定的幾何含義
（3）題目中所給的條件大都能翻譯成圖象上的特征
不等式恒成立問題常見處理方法：① 分離參數恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數形結合(圖象在 上方即可)；③ 最值法：討論最值或恒成立；④ 討論參數. 最值法求解恒成立問題是三種方法中最為復雜的一種，但往往會用在解決導數綜合題目中的恒成立問題.此方法考查學生對所給函數的性質的了解，以及對含參問題分類討論的基本功.是函數與導數中的難點問題，下面通過典型例題總結此類問題的解法----最值分析法.
三、最值分析法
1、最值法的特點：
（1）構造函數時往往將參數與自變量放在不等號的一側，整體視為一個函數，其函數含參
（2）參數往往會出現在導函數中，進而參數不同的取值會對原函數的單調性產生影響——可能經歷分類討論
2、理論基礎：設的定義域為
（1）若，均有（其中為常數），則
（2）若，均有（其中為常數），則
3、技巧與方法：
（1）最值法解決恒成立問題會導致所構造的函數中有參數，進而不易分析函數的單調區(qū)間，所以在使用最值法之前可先做好以下準備工作：
① 觀察函數的零點是否便于猜出（注意邊界點的值）
② 縮小參數與自變量的范圍：
通過代入一些特殊值能否縮小所求參數的討論范圍（便于單調性分析）
觀察在定義域中是否包含一個恒成立的區(qū)間（即無論參數取何值，不等式均成立），縮小自變量的取值范圍
（2）首先要明確導函數對原函數的作用：即導函數的符號決定原函數的單調性.如果所構造的函數，其導數結構比較復雜不易分析出單調性，則可把需要判斷符號的式子拿出來構造一個新函數，再想辦法解決其符號.
（3）在考慮函數最值時，除了依靠單調性，也可根據最值點的出處，即“只有邊界點與極值點才是最值點的候選點”，所以有的討論點就集中在“極值點”是否落在定義域內.
一、二次函數的恒成立問題
1、一元二次不等式在實數集上的恒成立
（1）、不等式對任意實數恒成立?或
（2）、不等式對任意實數恒成立?或
【注意】對于二次不等式恒成立問題，
恒大于0就是相應的二次函數的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；
恒小于0就是相應的二次函數的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．
2、一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題求解方法
方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，
可以先求解集，再由子集的含義求解參數的值（或范圍）；
方法二：轉化為函數范圍問題，即已知函數的范圍為，
則恒成立?，即；恒成立?，即．
例1.（1）、（2022·吉林省實驗中學高一階段練習）“不等式在R上恒成立”的充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不等式在R上恒成立 ，即，
因為，但不能推出成立，
故是不等式在R上恒成立的充分不必要條件，
故選：A
（2）、（2022·全國·高一課時練習）已知關于的不等式在上有解，則實數的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】因為關于的不等式在上有解，
的最大值為4
所以，解得
故答案為：
【變式訓練1-1】、（2022·上海市青浦區(qū)第一中學高一階段練習）已知對于任意實數恒成立，則實數k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】當時，不恒成立；
當時，，所以；
綜上，.
故選：
【變式訓練1-2】、（2022·全國·高一課時練習）若關于的不等式有解，則實數的取值范圍是
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【解析】因為關于的不等式有解，所以，解得或.
故選A．
二、分離參數法
例2.已知關于的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】最大值,因為當時
令
因此,由因為為偶函數,所以最大值為, ,選C.
【變式訓練2-1】、若函數（且）在上單調遞增，則實數的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意，不妨設，則，由時為減函數，即，又在上為單調遞增，所以，所以，而此時函數為增函數，一減一增為減，故不合題意；
同理由時為增函數，即，又在上為單調遞增，所以，所以，而當時，函數為增函數，因此當時，同增為增，滿足題意.故選D.
例3、（2020年高考全國Ⅰ卷文數20）已知函數．
（1）當時，討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍．
【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）．
【分析】（1）將代入函數解析式，對函數求導，分別令導數大于零和小于零，求得函數的單調增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）若有兩個零點，即有兩個解，將其轉化為有兩個解，令，求導研究函數圖像的走向，從而求得結果．
【解析】（1）當時，，，
令，解得，令，解得，
∴的減區(qū)間為，增區(qū)間為．
（2）若有兩個零點，即有兩個解，從方程可知，不成立，即有兩個解．
令，則有，
令，解得，令，解得或，
∴函數在和上單調遞減，在上單調遞增，且當時，，而時，，當時，，∴當有兩個解時，有，∴滿足條件的的取值范圍是：．
【變式訓練3-1】、已知函數，．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）當a=1時，若不等式恒成立，求m的取值范圍．
【試題來源】河南省名校聯(lián)盟2021-2022學年高三下學期2月大聯(lián)考
【答案】（1）答案見解析，（2）
【解析】（1）的定義域為， ，
當時，，f（x）單調遞減；
當a>0時，令，解得，
所以當時，，f（x）單調遞減，
當時，，f（x）單調遞增，
綜上，當時，f（x）在上單調遞減；當a>0時，f（x）在上單調遞減，在上單調遞增．
（2）當a=1時，，
所以不等式恒成立等價于在恒成立，
即只需，
記，則，
當時，，所以h（x）單調遞減，當時，，所以h（x）單調遞增，所以，所以，即，當且僅當x=0時取等號．
因為，當且僅當時取等號．
所以，從而，所以，
所以，所以m的取值范圍為．
三、數形結合法
例4.（江西省萍鄉(xiāng)市2021屆高三上期數學期中復習試卷）已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出函數的圖象，利用數形結合的思想判斷的范圍，找出臨界點即相切時的取值，進而得出的范圍．
【詳解】作出的圖象，如圖，
由圖象可知：
要使恒成立，
只需函數的圖象恒在圖象的下方，
可得，
設與函數相切于點，
由的導數為，可得切線的斜率為，
即有，，
解得，
由圖象可得，
綜上可得的范圍是，．
故選：A
【變式訓練4-1】、已知函數在上不單調，則實數的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】已知函數定義域為，
，
，令，圖象如圖，
∵函數在上不單調，
∴區(qū)間在零點1或3的兩側，
或，
解得或.
即實數的取值范圍是.
點睛：利用導數研究函數的單調性的關鍵在于準確判定導數的符號，注意單調函數的充要條件，尤其對于已知單調性求參數值(范圍)時，隱含恒成立思想
【變式訓練4-2】、若不等式對于任意的都成立，則實數的取值范圍是___________
【答案】
【解析】本題選擇數形結合，可先作出在的圖象，扮演的角色為對數的底數，決定函數的增減，根據不等關系可得，觀察圖象進一步可得只需時，，即，所以
四、最值分析法
例5.（山東省泰安肥城市2021屆高三高考適應性訓練）已知函數，，若，且對任意恒成立，則的最大值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】
由不等式，參變分離為，轉化為求函數，的最小值，利用導數求函數的最小值.
【詳解】
，即.由于對任意恒成立，
所以，即.令，，.
令，，
所以在上單調遞增，所以，可得，所以在上單調遞增.
所以.
又，所以.
故選：B.
【變式訓練5-1】、（廣西柳州市2021屆高三摸底考試）已知函數，若存在，使得成立，則實數m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
分析函數的最小值，只需使成立即可．
【詳解】
當時，，根據二次函數的性質可知，當時，有最小值；
當時，，由得
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以最小值為，則
若存在，使得成立，則
所以，解得
故選：A．
例6．（2022·山東臨沂·三模）已知函數，其圖象在處的切線過點．
(1)求a的值；
(2)討論的單調性；
(3)若，關于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．
【解】(1)解：因為函數，
所以，，
則，
所以函在處的切線方程為，
又因為切線過點，
所以，
即，解得；
(2)由（1）知；，則，
令，則，
當時，，當時，，
所以
即當時，，當時，，
所以在上遞增，在上遞增；
(3)因為x的不等式在區(qū)間上恒成立，
所以在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，
因為在上遞增，
所以在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，
令，則，
當時，，當時，，
所以當時，取得最大值，
所以.
【變式訓練6-1】、已知函數，其中為自然對數的底數．
（1）求函數的單調區(qū)間；
（2）記，當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【試題來源】四川省南充高級中學2021-2022學年高三上學期月考四
【答案】（1）答案見解析，（2）
【解析】（1）函數的定義域為，．
①當時，，此時函數在上單調遞增；
②當時，當時，，此時函數單調遞減，
當時，，此時函數單調遞增．
綜上所述，當時，函數的單調遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；
當時，函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為．
（2）不等式恒成立，即恒成立，
若，則有對任意的恒成立，合乎題意；
當時，則，令，其中，，
令，其中，則，
所以，函數在上單調遞減，且，
當時，，即，此時函數單調遞增，
當時，，即，此時函數單調遞減，
所以，，
因為函數的值域為，從而可知函數的值域為，
此時，，解得；
若，則，因為函數無最小值，不合乎題意．
綜上所述，．
五、討論參數
例7．（1）、（2022·江蘇揚州·模擬預測）已知為正整數，若對任意，不等式成立，則的最大值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】因為對恒成立，令，
當時，在上單調遞減，時，，不滿足題意；
當時，恒成立；
當時，，所以在上遞增，在上遞減，，設，，所以在上遞減，在上遞增，，而成立，成立，，．
故選：B.
（2）、（2022·廣東廣州·三模）對于任意都有，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，令，
則，所以在上單調遞減，在上單調遞減，
所以，所以，
所以轉化為：，令，，
①當時，，所以在上單調遞增，所以
，所以.
②當時，您，所以，
（i）當即時，
，所以在上單調遞增，，所以.
(ii)當即時，
在上單調遞減，在上單調遞增，，
所以，所以.
綜上，的取值范圍為：.
故選：B.
【變式訓練7-1】、（2022·遼寧·鞍山一中模擬預測）已知且，若任意，不等式均恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由題設，，令，則恒成立，
令，則，，
當時，遞減；當時，遞增；
所以，故遞增，
當，即時，，不合題意；
當，即時，要使恒成立，則恒成立，
令且，則，，
當時，遞減；當時，遞增；
所以，故在上遞增，而，
此時時，即恒成立.
綜上，的取值范圍為.
故選：A
例8．已知函數．
（1）求函數的單調區(qū)間；
（2）當時，函數恒成立，求實數取值范圍．
【試題來源】“四省八?！?022 屆高三下學期開學考試
【答案】（1）答案見解析，（2）
【解析】（1）函數的定義域為，
①當時，則，所以在上單調遞增；
②當時，則由知，由知，
所以在上單調遞增，在上單調遞減；
綜上，當時，的單調遞增區(qū)間為，
當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．
（2）由題意知恒成立，
而，
由，得，
令，則．
①若，，則在上單調遞增，故，
所以在上單調遞增，所以，
從而，不符合題意；
②若，則，當時，，在上單調遞增，
從而，所以在在單調遞增，所以，不符合題意；
③若，則，在上恒成立，
所以在上單調遞減，，
從而在上單調遞減，所以，所以恒成立．
綜上所述，的取值范圍是．
【名師點睛】本題考查利用函數不等式恒成立求參數，本題涉及端點效應，一般的解題思路就是對參數的取值進行分類討論，利用導數分析函數在定義域上的單調性，驗證對應的不等式能否恒成，由此求解．
【變式訓練8-1】、已知函數，e為自然對數的底數．
（1）求函數的極值；
（2）若關于x的不等式恒成立，求實數a的取值范圍．
【試題來源】2022年高三數學新高考測評卷（猜題卷三）
【答案】（1）當時，無極值；當時，的極小值為，無極大值；（2）
【解析】（1）因為，所以，
（點撥：導函數中含有參數，需要注意對參數分類討論）
當時，，單調遞增，函數無極值．
當時，令，得，得，易知當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以的極小值為，無極大值．
綜上，當時，無極值；當時，的極小值為，無極大值．
（2）解法一 ： 由得，，
整理得．
令，則，，
當時，，單調遞增，
且當時，，不滿足題意．
當時，，滿足題意．
當時，令，
則，所以函數在上單調遞增，
而，且當時，，
所以在上存在唯一的，使得，即，（技巧：利用零點存在定理判斷）
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以．
令，則，
所以函數在上單調遞減，又，所以．
又，所以．
綜上，實數a的取值范圍為．（分類討論后，注意整合結論）
解法二 由得，，
整理得．
令，
則，，
當時，，單調遞增，
且當時，，不滿足題意．
當時，，滿足題意．
當時，得．（技巧：分離參數，構造函數）令，
則，
令，則，（點撥：一次求導之后，無法判斷導函數的符號時，要構造函數，進行二次分析）
所以單調遞減，又，
故當時，，即，單調遞增，
當時，，即，單調遞減，
所以，所以，得．
綜上，實數a的取值范圍為．
解法三 由得，，
整理得．
令，
則，，當時，，單調遞增，
且當時，，不滿足題意．
當時，，滿足題意．
當時，由，得．
現在證明當時，．
因為，所以，
令，則，
易知單調遞增，且，
所以當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以，所以恒成立，
得恒成立．
綜上，實數a的取值范圍為．
1．（2022·全國·高一）已知關于的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵關于的不等式在上恒成立，
∴，
解得：.
故選：B．
2．（2022·全國·高一課時練習）若不等式在上有解，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，所以不等式化為，
又在上單調遞減，所以當時，有最小值．所以a的取值范圍是．
故選：B．
3．（2020遼寧省沈陽市2019屆高三一模）已知函數，若不等式在上恒成立，則實數的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先證明恒成立，得函數在上遞減，即當時，恒成立，問題轉化為恒成立，即可求出a的范圍．
【詳解】
設則，當時，
所以在上遞增，得
所以當時，恒成立.
若不等式在上恒成立，得函數在上遞減，
即當時，恒成立，所以
即，可得恒成立，因為,所以，
故選．
4．（黑龍江省大慶鐵人中學2021屆高三第三次模擬）若函數在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
將函數在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間，轉化在區(qū)間成立，再轉化為，進而可求出結果.
【詳解】
因為函數在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間，
所以在區(qū)間上成立，
即在區(qū)間上成立，
又函數在上單調遞增，
所以函數在上單調遞增，
故當時最小，且，
即，得.
故選：D
5．（2022·湖北省仙桃中學模擬預測）若關于的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍為_______________ .
【答案】
【解析】不等式可化為： ，即.
記.
因為，所以當時，，所以在上單調遞增函數，所以當時，，即.
記，則.
因為，所以只需在上遞增，
所以，
只需恒成立.
因為在單調遞減，所以當時，最大，
所以.
即實數的取值范圍為.
故答案為：.
6．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預測）已知.設實數，若對任意的正實數，不等式恒成立，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】因為僅在時取等號，
故為R上的單調遞增函數，
故由設實數，對任意的正實數，不等式恒成立，
可得，恒成立，
，即恒成立，
當時，，恒成立，
當時，
構造函數，恒成立，
當時，遞增，則不等式恒成立等價于恒成立，
即恒成立，故需，
設，，
在，上遞增，在，遞減，
，故的最小值為 ，
故答案為：
7．（山西省運城市2021屆高三檢測）當時，不等式恒成立，則實數k的取值范圍是__．
【答案】
【分析】
由題意可得對恒成立，討論，，，運用參數分離和構造函數，利用導數判斷單調性，求最值，可得所求范圍．
【詳解】當時，不等式恒成立，
即為對恒成立，
①當即時，恒成立；
②當，即時，恒成立，
等價為，
設，
，
可得時，，遞增；時，，遞減，
可得在處取得最大值，且為，
則；
③當，即時，恒成立，
等價為，
設，，
可得時，，遞減，
可得，
則，
綜上可得，k的范圍是．
【點睛】
本題考查不等式恒成立問題解法，參變分離是常用的解題方法，屬于中檔題．
方法點睛：（1）將參數和變量分離，轉化為求最值問題；
（2）構造函數，求導數，分析單調性；
（3）求函數的最值，求出參數的范圍.
8.（T8聯(lián)考八校2020-2021學年高三上學期第一次聯(lián)考）已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍為______.
【答案】
【分析】
根據恒成立，可得到含有的不等式，再進行分離變量，將“恒成立”’轉化為求函數的最大值或最小值，最后得出的范圍.
【詳解】
，則，
兩邊加上得到，
單調遞增，，即，
令，則，因為的定義域為
時，，單調遞增，，，單調遞減，
，
.
故答案為：
9.（浙江省百校2020-2021學年高三上學期12月聯(lián)考）已知，若對于任意的，不等式恒成立，則的最小值為______.
【答案】
【分析】
不等式等價變形，利用同構函數的單調性得解
【詳解】
令，，
∴在上單調遞增.∵，，
∴，∴恒成立，
令，只需，，
∴單調遞增，
∴單調遞減，
時，的最大值為，
∴，∴的最小值為.
故答案為：
10.（河北省部分學校2022屆高三上學期第一次月考）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是____________.
【答案】
【分析】
求出函數的導函數，再由恒成立即可得解.
【詳解】
依題意：，因函數在上單調遞增，
于是得對恒成立，則，解得，
所以的取值范圍是.
故答案為：
11.已知函數的定義域為，且.若對任意，，則的解集為__________.
【答案】
【分析】
構造函數，利用導數研究函數的單調性即可求解.
【詳解】令，則，
因為對任意，，
所以，
所以在上為增函數，
又，
所以，
所以時，即， ，可得，
所以的解集為，
故答案為：.
12.（浙江省寧波市北侖中學2021-2022學年高三上學期返?？荚嚕┰O函數，若不等式對任意恒成立，則的最大值為______________．
【答案】
【分析】
根據轉化成兩個函數比較大小的問題.
【詳解】
不等式對任意恒成立,即，恒成立，
設
所以在單調遞增，且，當時
當時
作出的圖像如圖，
再設，當可得表示過點，斜率為的一條射線（不含端點），要求的最大值且滿足不等式恒成立，可求的最大值，由點在軸上方移動，只需找到合適的，且與圖像相切于點，如圖所示，此時
故答案為：
13.（貴州省銅仁市思南中學2021屆高三第十次月考）已知函數存在極大值.
（1）求實數的值；
（2）若函數有兩個零點，，求實數的取值范圍，并證明：.
【答案】（1）；（2），證明見解析.
【分析】
（1）利用的極大值為方程，由此求得的值.
（2）根據的單調性求得的取值范圍.由列方程，得到，將要證明轉化為證明對恒成立，結合構造函數法以及導數證得結論成立.
【詳解】
（1），
，令，，
此時，在上，遞增；在上，遞減，所以當時，取得極大值為符合題意，所以.
（2）由（1）知：在上遞增，在上遞減，極大值為.
，，當時，；當時，；當時，.
由于函數有兩個零點，，
所以.
因為，是的兩個零點，則.
所以，，，兩邊取對數得，
要證，只需證明，
即證，不妨設，令，則，
即證對恒成立.
令，，
所以在上遞增，所以，即，
所以.從而成立.
【點睛】
根據極值求參數，要注意驗證函數的單調性是否滿足.
14．（一題多解）（2022·海南中學高三階段練習）已知函數.
(1)若，求的單調區(qū)間；
(2)是否存在實數a，使對恒成立，若存在，求出a的值或取值范圍；若不存在，請說明理由.
【解】(1)因為，
所以，
即.
當時，，
令，則，
所以在單調遞增，因為，
所以，當時，，；當時，，，
所以的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是.
(2)法一：設，則，
①當時，，，即，
故不符合題意.
②當時，
當時，.·
令，即，
取，則，即，.
故不符合題意.
③當時，令，，則，
故在單調遞增.
因為，，
所以存在唯一的使得，
所以，時，，；時，，，
故在單調遞減，在單調遞增.
所以的最小值為，
因為，即，兩邊取對數得，
所以.
令，則，
所以在單調遞增，在單調遞減，
故，當且僅當時，等號成立，
故當且僅當時，在恒成立，
綜上，存在a符合題意，.
法二：設，則，
設，易知在單調遞增，
①當時，因為，，
所以存在唯一，使得，即，.
所以當，，即，單調遞減；
當，，即，單調遞增.
故，即，符合題意.
②當時，，，
所以存在唯一，使得，
所以當，，即，單調遞減，
故，即，故不符合題意.
③當時，，，
所以存在唯一，使得，
所以當，，即.
所以在單調遞增，故，即，
故不符合題意.
④當時，，不符合題意.
⑤當時，，不符合題意.
綜上，存在a符合題意，.
法三：①當時，，故在上單調遞增.
因為在單調遞增，且，，
故存在唯一，使得，即，
即，故，
所以任意，都有.
故不符合題意.
②當時，，
對于函數，.
所以時，；時，.
所以在單調遞減，在單調遞增，
故，所以，
故，故符合題意.
③當且時，對于函數，
因為在單調遞增，且，，
所以存在，使得，即，
所以.
令，則，
故在單調遞增，在單調遞減.
故，當且僅當時，“=”成立.
所以當時，，即，，
故不符合題意.
綜上，存在a符合題意，.
法四：設，，易知在單調遞增.又當時，，所以的值域為；
當時，的值域為.
所以的值域為.
故對于上任意一個值，都有唯一的一個正數，使得.
因為，即.
設，，所以要使，只需.
當時，因為，即，所以不符合題意.
當時，當時，，在單調遞減；
當時，，在單調遞增.
所以.
設，，
則，當時，，在單調遞增；
當時，，在單調遞減.
所以，所以，，當且僅當時，等號成立.
又因為，所以，所以.
綜上，存在a符合題意，.
15．已知，設函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）若恒成立，求實數a的取值范圍．
【試題來源】四川省樹德中學2021-2022學年高三下學期開學考試
【答案】（1）答案見解析，（2）.
【解析】（1），且；
① ，，單調遞增：
② ，，單調遞減：
③ ，，
時，，單調遞減；
時，，單調遞增；
（2），由定義域可知，
即，令，
則，令，可得，
當時，，由于的定義域為，
，則在單調遞減，
則只需滿足，所以，解得，所以；
當時，時，，時，
可得在單調遞增，在單調遞減，
則，
整理可得，
令，則，
時，，時，
則可得在單調遞增，在單調遞減，
則，故時，恒成立，
綜上，.
16．已知函數，．
（1）若在點處的切線與在點處的切線互相平行，求實數的值；
（2）若對，恒成立，求實數的取值范圍．
【試題來源】百師聯(lián)盟（山東省新高考卷）2021-2022學年高三下學期開年摸底聯(lián)考
【答案】（1），（2）
【解析】（1）由題意，函數，可得，所以，
又由函數，可得，所以，
因為在點處的切線與在點處的切線互相平行，可得，
因為，所以．
（2）由得，即，
即，
設，則，，
由，設，可得，
所以時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以，
所以在上單調遞增，所以對恒成立，
即對恒成立，
設，則，
當時， ，單調遞增；
當時， ，單調遞減，
所以，故，
所以實數的取值范圍為．
【名師點睛】解決本題的關鍵是利用同構結合函數的單調性轉化不等式為．
17．已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）當時，恒成立，求a的取值范圍．
【試題來源】河南省名校聯(lián)盟2021-2022學年高三下學期3月大聯(lián)考
【答案】（1）答案見解析，（2）
【解析】（1）的定義域為，
．
當時，恒成立，則在上單調遞增．
當時．令，得，則在上單調遞減；
令，得，則在上單調遞增．
（2）當時，恒成立等價于當時，恒成立．
當時，在上單調遞增，則，恒成立．
當時，，則在上單調遞增，則恒成立．
當時，，則在上單調速減，在上單調遞增，
所以，這與恒成立矛盾，所以不合題意．
綜上，a的取值范圍為．
18．已知函數．
（1）若，求曲線在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若關于x的不等式在上恒成立，求a的取值范圍．
【試題來源】河南省頂級中學2021-2022學年高三上學期階段性測試（一）
【答案】（1），（2）
【解析】（1）依題意，故，
故，
而，故所求切線方程為．
（2）依題意，令，
則
令
則當時，
則在上單調彈增，因為，，
所以存在，則，
則，故，
令，，則，
所以在上單調遞增，則，
因為當時，，當時，，
即函數在上單調遞減，在上單調通增，
所以，
故a的取值范圍為．
【名師點睛】本題考查導數的幾何意義，利用導數研究函數的性質，考查數學運算，邏輯推理的核心素養(yǎng)，解答的關鍵在于能對函數式進行合理的變形，從而構造新函數，確定最值問題，從而最終解決問題．
19．已知函數．
（1）若，求證：函數在R上單調遞增；
（2）若關于x的不等式恒成立，求實數m的最小值．
【試題來源】安徽省A10聯(lián)盟2022屆高三下學期開年考
【答案】（1）證明見解析，（2）．
【解析】（1）由題意得，，則，
令，則，
令，解得，令，解得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以，所以函數在R上單調遞增．
（2）由題意得，．，恒成立，
所以，可得；
令，，，
則在R上單調遞增，
由，，
所以存在唯一的，使得，
且當時，，即；當時，，即，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以；
由，得，
由，得，
即，由，得，所以．
設，則，可知在上單調遞增，
所以，即，所以實數m的最小值為；
故答案為．
【名師點睛】對于第2小問，直接參數分離是不行的，但可以在導數和最大值中進行分離，這是解題的關鍵．

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