零點(diǎn)問(wèn)題涉及到函數(shù)與方程，但函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念,但它們之間有著密切的聯(lián)系,方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通過(guò)方程進(jìn)行研究.就中學(xué)數(shù)學(xué)而言,函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：
①是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì),解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題：②是在問(wèn)題的研究中,通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù),把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性
質(zhì),達(dá)到化難為易,化繁為簡(jiǎn)的目的.
許多有關(guān)方程的問(wèn)題可以用函數(shù)的方法解決,反之,許多函數(shù)問(wèn)題也可以用方程的方法來(lái)解決.函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想,也是各地模考和歷年高考的重點(diǎn).
二、考點(diǎn)梳理
1.確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程f(x)＝0的實(shí)根個(gè)數(shù))的方法：
(1)判斷二次函數(shù)f(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般由對(duì)應(yīng)的二次方程f(x)＝0的判別式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0來(lái)完成；對(duì)于一些不便用判別式判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的二次函數(shù)，則要結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷．
(2)對(duì)于一般函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，不僅要用到零點(diǎn)存在性定理，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)才能確定，如三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．
(3)若函數(shù)f(x)在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且是單調(diào)函數(shù)，又f(a)·f(b)＜0，則y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一零點(diǎn)．
2.導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象交點(diǎn)及零點(diǎn)問(wèn)題
利用導(dǎo)數(shù)來(lái)探討函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，有以下幾個(gè)步驟：
①構(gòu)造函數(shù)；
②求導(dǎo)；
③研究函數(shù)的單調(diào)性和極值（必要時(shí)要研究函數(shù)圖象端點(diǎn)的極限情況）；
④畫(huà)出函數(shù)的草圖，觀察與軸的交點(diǎn)情況，列不等式；
⑤解不等式得解.
探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，往往從函數(shù)的單調(diào)性和極值入手解決問(wèn)題，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求解.
三、題型突破
重難點(diǎn)題型突破1 二分法
例1．（1）、（新疆疏勒縣八一中學(xué)2018-2019學(xué)年高二上期末）
函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
【答案】B
【解析】由題得，
，
所以
所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是.
故選：B
（2）、（2015·遼寧朝陽(yáng)·一模（理）） 方程的解所在的區(qū)間為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】試題分析：因?yàn)榉匠痰慕饩褪呛瘮?shù)的零點(diǎn)，
又因?yàn)?br>所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，
又因?yàn)楹瘮?shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)的唯一零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，
所以方程的解所在的區(qū)間為
故選B.
考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根；2、對(duì)數(shù)函數(shù).
【變式訓(xùn)練1-1】．（2019·浙江湖州高一期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)
【答案】B
【解析】
函數(shù)是上的增函數(shù),是上的增函數(shù),
故函數(shù)是上的增函數(shù).
,,
則時(shí),;時(shí),,
因?yàn)?所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn).
故選:B.
【變式訓(xùn)練1-2】、（2010·黑龍江哈爾濱·一模（理））用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解（精確到）為（參考數(shù)據(jù)： ）
A．2.4B．2.5C．2.6D．2.56
【答案】C
【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求解．
【詳解】由題意可知：f（2.5）=lg2.5+2.5-3=0.398-0.50上單調(diào)遞增，
，
函數(shù)f（x）零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是；
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定義定理求解函數(shù)的零點(diǎn)的范圍，屬于基礎(chǔ)題；解題的關(guān)鍵是首先要判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在的條件：已知函數(shù)在（a，b）連續(xù)，若 確定零點(diǎn)所在的區(qū)間.
2．（2017·河南·息縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)，則下一個(gè)有根區(qū)間是
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】試題分析：設(shè)，
f（2）=-1＜0，f（3）=16＞0，
f（2.5）=＞0，
f（x）零點(diǎn)所在的區(qū)間為[2，2.5]，
方程有根的區(qū)間是[2，2.5]，
考點(diǎn)：二分法求方程的近似解
3．（2022·黑龍江·大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可判斷出函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間.
【詳解】∵函數(shù)，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，，，
故函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為．
故選：C.
4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作圖求解
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則；以此類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，；…；
在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的部分圖象如圖所示.
由圖可知，與的圖象有7個(gè)不同的交點(diǎn)
故選：D
5．（2021·陜西·安康市教學(xué)研究室一模（理））已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線與恰有3個(gè)交點(diǎn)，然后利用導(dǎo)函數(shù)求與相切時(shí)的值，最后結(jié)合圖像即可求解.
【詳解】令，可得，
若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則曲線與恰有3個(gè)交點(diǎn)，
函數(shù)的圖象如圖所示，易知，
由題意可知，，
當(dāng)時(shí)，若函數(shù)與相切，且此時(shí)原點(diǎn)為切點(diǎn)，
由可知，，
當(dāng)時(shí)，若函數(shù)與在處相切，
由可知，，
因?yàn)榍€與恰有3個(gè)交點(diǎn)，
所以結(jié)合圖象可知，．
故選：A.
6．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，是函數(shù)的零點(diǎn)，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由題意作出直線和函數(shù)的大致圖象，得到，利用對(duì)稱性得到，
把轉(zhuǎn)化為，令，得到，利用對(duì)勾函數(shù)求出值域，得到答案.
【詳解】由題意，作出直線和函數(shù)的大致圖象如圖所示，
易得，
且，（易錯(cuò)：注意，的范圍不是）
由，即，
得，則，
所以，
令，則，，
所以.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減函數(shù)，所以.
即.
故選：D
【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合法解決零點(diǎn)問(wèn)題：
(1)零點(diǎn)個(gè)數(shù)：幾個(gè)零點(diǎn)；
(2)幾個(gè)零點(diǎn)的和通常利用對(duì)稱性解決；
(3)幾個(gè)零點(diǎn)的積 .
7．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)若方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，分別記為，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】當(dāng)時(shí)利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析，再畫(huà)出函數(shù)圖象，不妨令，則，且與關(guān)于對(duì)稱，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到，最后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
【詳解】解：，
當(dāng)時(shí)
令，解得，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，令，解得或，
令，解得或，
函數(shù)的圖象如下所示：
因?yàn)榉匠糖∮兴膫€(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即與恰有四個(gè)交點(diǎn)，所以，
不妨令，則，且與關(guān)于對(duì)稱，所以，
又，即，所以，即，
所以，
所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，
所以；
故選：A
8．（2022·貴州·貴陽(yáng)一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)則方程的根___________.
【答案】或2##2或-1
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定在上的解，再求方程的正根即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
故當(dāng)時(shí)，有唯一根，
當(dāng)時(shí)，，
令，解得（舍去）或2，
故當(dāng)時(shí)，的根為2，
綜上，根為或2.
故答案為：或2.
9．（2022·山西臨汾·二模（理））已知函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則k的取值范圍是____________．
【答案】
【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，于是畫(huà)出曲線與直線的圖象，結(jié)合圖象求解即可
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，
即曲線（圓的上半部分）與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖
過(guò)作圓的切線，則點(diǎn)到切線的距離，
解得（舍去）或，
所以，得，
即k的取值范圍是，
故答案為：
10．（2022·湖南益陽(yáng)·一模）已知函數(shù)，若且，則的最小值為_(kāi)________.
【答案】##
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫(huà)出函數(shù)圖形，即可得到，再根據(jù)將轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，即可得解；
【詳解】解：由，可得函數(shù)圖象如下所示：
因?yàn)榍?，所以，且，所以，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；
故答案為：
11．（2022·上海·華師大二附中模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解、、，且，則的值為_(kāi)_______．
【答案】##
【分析】分析可知，函數(shù)為偶函數(shù)，可得出，然后分、、解方程，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得解.
【詳解】設(shè)，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，故函數(shù)為偶函數(shù)，
所以，關(guān)于的方程的三個(gè)實(shí)數(shù)解必關(guān)于數(shù)軸的坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱分布，
必有，以下求方程的實(shí)數(shù)解.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，；
因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，.
從而方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解，，，
由條件知，解得，，因此，.
故答案為：.
B卷 能力提升
12．（2022·貴州·貴陽(yáng)一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)則方程的根___________.
【答案】或2##2或-1
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定在上的解，再求方程的正根即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
故當(dāng)時(shí)，有唯一根，
當(dāng)時(shí)，，
令，解得（舍去）或2，
故當(dāng)時(shí)，的根為2，
綜上，根為或2.
故答案為：或2.
13．（2022·山西臨汾·二模（理））已知函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則k的取值范圍是____________．
【答案】
【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，于是畫(huà)出曲線與直線的圖象，結(jié)合圖象求解即可
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，
即曲線（圓的上半部分）與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖
過(guò)作圓的切線，則點(diǎn)到切線的距離，
解得（舍去）或，
所以，得，
即k的取值范圍是，
故答案為：
14．（2021·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的根，則的取值范圍是______．
【答案】
【分析】在時(shí)，求出的范圍，再將方程的根轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后分段計(jì)算即可得解.
【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，而，
當(dāng)時(shí)，，，
方程有四個(gè)不同的根，即直線與函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，如圖，
其交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不妨令，觀察圖象知，，，
由得，即，則，
由，即得：是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，
于是得，，則，而在上是遞增的，，
因此，，
所以的取值范圍是.
故答案為：
15．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為單調(diào)函數(shù)且對(duì)任意的都有，若方程有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】由題意得，方程化簡(jiǎn)得，變形得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，作出圖像，數(shù)形結(jié)合可得解.
【詳解】令，則，所以，
又，所以，解得，可得
方程化簡(jiǎn)得，變形得
令，求導(dǎo)，令，解得
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
作出函數(shù)的圖像，如圖所示
由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
16．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫(huà)出函數(shù)與的大致圖象可得答案.
【詳解】顯然不是方程的實(shí)數(shù)根，所以方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)等于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫(huà)出函數(shù)與的大致圖象，如下圖所示，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所以方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為，
故答案為：.
【遞減】本題的關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的能力.
17．（2021·江西萍鄉(xiāng)·二模（理））已知函數(shù)，若存在三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，，，滿足，則的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】利用圖像法作出a、b、c對(duì)應(yīng)位置，計(jì)算出ab=1，即可求出的取值范圍.
【詳解】如圖示：
記，在坐標(biāo)系內(nèi)作出和的圖像，三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次記為a、b、c，則有，且，
所以，所以，即，所以.
所以
故答案為：
【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．
18．（2021·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，關(guān)于x的方程恰有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)____.
【答案】
【分析】首先畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)題設(shè)條件和函數(shù)的圖象，令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有一個(gè)根為1，另外一個(gè)根為0或大于1，分類(lèi)討論，即可求解.
【詳解】由題意，函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示，
當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，
令，則關(guān)于 的方程，
轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有一個(gè)根為1，另外一個(gè)根為0或大于1，
令，可得，解得或；
當(dāng)時(shí)，方程即為，此時(shí)或，不合題意；
當(dāng)時(shí)，方程即為，此時(shí)或，滿足題意，
綜上可得：.
故答案為：
19．（2021·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)關(guān)于x的方程恰有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)b=___________.
【答案】-1
【分析】先畫(huà)出的圖像，令，分析的根的情況，由題意分析關(guān)于x的方程恰有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，只需關(guān)于t的一元二次方程的一個(gè)根為t=1，另一個(gè)根為0或另一個(gè)根大于1， 分類(lèi)討論，求出b的值.
【詳解】
作出的圖像如圖所示：
令，
當(dāng)時(shí)，由2個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，由3個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，由2個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，由4個(gè)實(shí)數(shù)根，
可化為，
要使關(guān)于x的方程恰有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
只需關(guān)于t的一元二次方程的一個(gè)根為t=1，另一個(gè)根為0或另一個(gè)根大于1.
把t=1代入，解得：或.
當(dāng)時(shí)，方程即為，此時(shí)，或，不合題意；
當(dāng)時(shí)，方程即為，此時(shí)，或，滿足題意；
綜上所述：
故答案為：-1.
【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．
20．（2020·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【分析】把函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題，變換方程的形式，轉(zhuǎn)化為兩條曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，研究?jī)蓷l曲線的特征，確定實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】解：函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的根，即方程有兩個(gè)不同的根，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
因?yàn)樗裕?br>作出函數(shù)與的大致圖象如圖所示.數(shù)形結(jié)合可知，
當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此類(lèi)問(wèn)題需注意以下幾點(diǎn)：（1）會(huì)轉(zhuǎn)化，即會(huì)將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)問(wèn)題；（2）會(huì)作圖，即會(huì)根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象或利用導(dǎo)數(shù)畫(huà)出相關(guān)函數(shù)的大致圖象；（3）會(huì)觀察，即會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想觀察得到參數(shù)的取值范圍.
21．（2018·湖北·二模（文））已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_(kāi)_________．
【答案】
【詳解】，易知的圖象如下：
，
令，則，得，
當(dāng)有兩個(gè)不等實(shí)根是，則，
所以，即的取值范圍是．

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