新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)專(zhuān)題04 函數(shù)基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

函數(shù)的性質(zhì)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,所有高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，都可以圍繞這一主線考查學(xué)生。單調(diào)性與奇偶性更是高考的必考內(nèi)容,在高考命題中函數(shù)常與方程、不等式等其他知識(shí)結(jié)合考查,而且考查的形式不一,簡(jiǎn)單的題目也有出現(xiàn)，但是壓軸題目是肯定會(huì)對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行考查的。
二、考點(diǎn)梳理
1．周期性的常用結(jié)論—對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x),則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,則T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－,則T＝2a(a>0)．(4)若,則T＝6a(a>0)．
(5)若f(x＋a)＝,則T＝2a(a>0)．(6)若f(x＋a)＝,則T＝4a(a>0)．
2．函數(shù)對(duì)稱(chēng)性與函數(shù)周期性的關(guān)系（類(lèi)比三角函數(shù)）
(1)若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),又關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則是周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期.
(2)若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則是周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期.
(3)若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則是周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期.
3. 復(fù)合函數(shù)
設(shè)是定義在M上的函數(shù),若與的單調(diào)性相反,則在M上是減函數(shù)；若與的單調(diào)性相同,則在M上是增函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)同增異減.
4. 對(duì)稱(chēng)性的一般結(jié)論
= 1 \* GB3 ①若,則圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；
= 2 \* GB3 ②，函數(shù)關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng).
三、題型突破
(一) 函數(shù)單調(diào)性的靈活應(yīng)用
例1.（1）、（2022·安徽蚌埠·高一期末）若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】要保證函數(shù)在R上單調(diào)遞減，需使得和都為減函數(shù)，且x=1處函數(shù)值滿(mǎn)足,由此解得答案.
【詳解】由函數(shù)在R上單調(diào)遞減，
可得，解得，
故選：D.
（2）、（2021·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高三（理））函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的同增異減原理，只要保證在上單調(diào)遞增，且滿(mǎn)足定義，即可得解.
【詳解】
函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，
令，
為增函數(shù)，
故只要在上為增函數(shù)即可，
只要：，解得：，
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了復(fù)合函數(shù)的同增異減原理，同時(shí)注意滿(mǎn)足定義域，有一定的計(jì)算量，屬于基礎(chǔ)題.
（3）、（2021·廣東汕頭·）已知是定義在R上的函數(shù)，滿(mǎn)足.都有，且在上單調(diào)遞增.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
首先判斷函數(shù)的奇偶性，從而得到，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)足，
所以函數(shù)是是奇函數(shù)，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以
又在上單調(diào)遞增，
所以，
即，
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的應(yīng)用，比較函數(shù)值的大小，在求解的過(guò)程中，要注意對(duì)奇偶性的應(yīng)用，其實(shí)就是將自變量的取值放在函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，最后通過(guò)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.
【變式訓(xùn)練1-1】、（2020·安徽宣城·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且，則以下結(jié)論正確的是
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的單調(diào)遞減函數(shù)，又因?yàn)?，即，所以由函?shù)的單調(diào)性可得：，應(yīng)選答案D．
【變式訓(xùn)練1-2】．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是____________．
【答案】
【分析】
利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法,分內(nèi)層和外層分別判斷,解出的取值范圍.
【詳解】
由題意得，設(shè)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上是單調(diào)增函數(shù)，且，所以，所以．
故答案為:
【點(diǎn)睛】
本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查學(xué)生運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
【變式訓(xùn)練1-3】、（2022·浙江·玉環(huán)市坎門(mén)中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由題可得，解之即得.
【詳解】∵在上單調(diào)遞增，
∴，解得.
故選：B.
(二) 函數(shù)奇偶性的靈活應(yīng)用
例2．（1）、（2022·上海靜安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）
A．為偶函數(shù)B．為非奇非偶函數(shù)
C．在上單調(diào)遞減D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
【答案】A
【分析】,所以為偶函數(shù)，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，即的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
,所以為偶函數(shù)，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，令所以
令得令得
所以此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
，，即的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：A
（2）．（2014·湖南高考真題（理））已知分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則
A. B. C.1 D.3
【答案】C
【解析】試題分析：分別令和可得和,因?yàn)楹瘮?shù)分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù),所以,即
,則,故選C.
考點(diǎn)：奇偶性
（3）、（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，且是奇函數(shù)，則（）
A．是偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
C．是奇函數(shù)D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
【答案】C
【分析】由周期函數(shù)的概念易知函數(shù)的周期為2，根據(jù)圖象平移可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而可得奇偶性.
【詳解】由可得2是函數(shù)的周期，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以，，所以是奇函數(shù)，
故選：C.
【變式訓(xùn)練2-1】．（2008·重慶高考真題（理））若定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意有則下列說(shuō)法一定正確的是
A．為奇函數(shù)B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù)D．為偶函數(shù)
【答案】C
【詳解】
x1=x2=0，則，，
令x1=x，x2=-x，
則，
所以，
即，為奇函數(shù)，故選C.
【變式訓(xùn)練2-2】．（2015·全國(guó)高考真題（文））設(shè)函數(shù),則使成立的的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】
試題分析：，定義域?yàn)?，∵，∴函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知：得成立，∴，∴，∴的范圍為故答案為A.
考點(diǎn)：抽象函數(shù)的不等式.
【思路點(diǎn)晴】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)和利用偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)牢記．根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式可知函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)在大于零的單調(diào)性為遞增，根據(jù)偶函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可知，距離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的點(diǎn)，函數(shù)值越大，把可轉(zhuǎn)化為，解絕對(duì)值不等式即可．
【變式訓(xùn)練2-3】、（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)在上的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件及奇函數(shù)的定義求出當(dāng)時(shí)函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，確定單調(diào)性即可求解.
【詳解】由題意可知，因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以.
因?yàn)楹瘮?shù)在上的最小值為
當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
因?yàn)楹瘮?shù)在上的最小值為，所以，解得（舍），
當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
因?yàn)楹瘮?shù)在上的最小值為，所以，解得，
當(dāng)時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
因?yàn)楹瘮?shù)在上的最小值為，所以，解得（舍），
綜上，實(shí)數(shù)的值為.
故答案為：.
函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的靈活應(yīng)用
例3．（1）、（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則
A．在（0，2）單調(diào)遞增B．在（0，2）單調(diào)遞減
C．的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)D．的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)
【答案】C
【詳解】
由題意知，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故C正確，D錯(cuò)誤；又（），由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以A，B錯(cuò)誤，故選C．
【名師點(diǎn)睛】如果函數(shù)，，滿(mǎn)足，恒有，那么函數(shù)的圖象有對(duì)稱(chēng)軸；如果函數(shù)，，滿(mǎn)足，恒有，那么函數(shù)的圖象有對(duì)稱(chēng)中心．
（2）、（2019·甘肅蘭州市·蘭州一中高三月考（文））函數(shù)f（x）=的大數(shù)圖象為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除C、D項(xiàng)；再由當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值小于0，排除B，即可得到答案.
【詳解】
由題知，函數(shù)滿(mǎn)足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除C、D項(xiàng)；
又由當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值小于0，排除B，故選A.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的取值范圍，利用排除法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.
（3）、（2019·陜西西安市·高考模擬（文））若定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足且時(shí)，，則方程的根的個(gè)數(shù)是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由題意作出函數(shù)與的圖象，兩圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程的根的個(gè)數(shù).
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)足，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).
又時(shí)，，所以函數(shù)的圖象如圖所示.
再作出的圖象，易得兩圖象有個(gè)交點(diǎn)，所以方程有個(gè)零點(diǎn)．故應(yīng)選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)與方程.函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間是可以等價(jià)轉(zhuǎn)化的.
【變式訓(xùn)練3-1】、（2021·四川宜賓·三模）已知是定義在上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足，下列說(shuō)法：
①的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)；
②的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)；
③在內(nèi)至少有個(gè)零點(diǎn)；
④若在上單調(diào)遞增，則它在上也是單調(diào)遞增．
其中正確的是（）
A．①④B．②③C．②③④D．①③④
【答案】C
【分析】推導(dǎo)出，可判斷①②的正誤；分析得出，可判斷③的正誤；利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、周期性的關(guān)系可判斷④的正誤.
【詳解】因?yàn)榍沂嵌x在上的奇函數(shù)，則，
故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且，
所以，，故函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，①錯(cuò)誤，②正確；
由題意可知，，
因?yàn)?，令，可得，即?br>所以，，從而，故函數(shù)在內(nèi)至少有個(gè)零點(diǎn)，③正確；
因?yàn)?，，且函?shù)在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)在上也為增函數(shù)，故函數(shù)在上也是單調(diào)遞增，④正確.
故選：C.
【變式訓(xùn)練3-2】、（2021·臨澧縣第一中學(xué)高一期末）設(shè)函數(shù)則使得f()>f(3x-1)成立的x的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】
先判斷函數(shù)的奇偶性，求出函數(shù)的單調(diào)性，由此得到，解不等式即得解.
【詳解】
由題得函數(shù)的定義域?yàn)镽. 所以函數(shù)是偶函數(shù).
當(dāng)時(shí)，都是增函數(shù)，所以是增函數(shù)，
所以函數(shù)在是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
因?yàn)閒()>f(3x-1)，所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查抽象不等式的解法，注意對(duì)于偶函數(shù)，解其不等式時(shí)，避免討論，運(yùn)用絕對(duì)值得出其大小關(guān)系，屬于中檔題.
【變式訓(xùn)練3-3】、（2019·廣東中山紀(jì)念中學(xué)高三月考（文））函數(shù)的圖像大致為
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】
分析：利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的變化趨勢(shì)，即可作出選擇．
詳解：由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且滿(mǎn)足，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除A、C；
又時(shí)，，時(shí)，，排除B，故選D．
點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力．
函數(shù)周期性的靈活應(yīng)用
例4．（1）、（2021·宜賓市翠屏區(qū)天立學(xué)校（文））已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的都有，當(dāng)時(shí)，，則
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意，對(duì)變形可得，則函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，據(jù)此可得，，結(jié)合函數(shù)的解析式以及奇偶性求出與的值，相加即可得答案．
【詳解】
根據(jù)題意，函數(shù)滿(mǎn)足任意的都有，則，
則函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
，
又由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，
時(shí)，，則，
則；
故；
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性、對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題．
（2）、（2022·四川·鹽亭中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．3B．0C．D．
【答案】D
【分析】利用函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性以及函數(shù)的解析式進(jìn)行求解處理.
【詳解】因?yàn)椋?，所以的周期?，
所以，
又是定義在上的奇函數(shù)，所以，
所以，
又因?yàn)樵谥?，令，得?br>所以，又當(dāng)時(shí)，，所以令，，
所以.故A，B，C錯(cuò)誤.
故選：D.
（3）、（2021·全國(guó)高一專(zhuān)題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，且為偶函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由題意可判斷函數(shù)f（x）的周期為6，對(duì)稱(chēng)軸為x＝3，所以有f（12.5）＝f（0.5），f（-4.5）＝f（1.5），f（3.5）＝f（2.5），因?yàn)?＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且函數(shù)在（0，3）內(nèi)單調(diào)遞減，從而判斷大小
【詳解】
∵函數(shù)滿(mǎn)足，∴=，
∴f（x）在R上是以6為周期的函數(shù)，∴f（12.5）＝f（12+0.5）＝f（0.5），
又為偶函數(shù)，∴f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x＝3，∴f（3.5）＝f（2.5），
又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，
且在（0，3）內(nèi)單調(diào)遞減，∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）
即f（3.5）＜f（-4.5）＜f（12.5）
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了函數(shù)周期性與對(duì)稱(chēng)性的推導(dǎo)，考查了周期與單調(diào)性的綜合運(yùn)用，利用周期與對(duì)稱(chēng)把所要比較的變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，是解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法，屬于中檔題．
【變式訓(xùn)練4-1】．（2018·德州躍華學(xué)校高中部高考模擬（理））已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足：（1）；（2）；（3）時(shí)，.則大小關(guān)系
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)已知可得函數(shù) f （x）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，周期為4，且在[1，3]上為減函數(shù)，進(jìn)而可比較f（2018），f（2019），f（2020）的大?。?br>【詳解】
∵函數(shù) f （x）滿(mǎn)足：
①f（2﹣x）＝f（x），故函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)；
②f（x+4）＝f（x），故函數(shù)的周期為4；
③x1，x2∈[1，3]時(shí)，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0．故函數(shù)在[1，3]上為減函數(shù)；
故f（2018）＝f（2），
f（2019）＝f（3），
f（2020）＝f（0）＝f（2），
故f（2020）＝f（2018）＞f（2019），
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的單調(diào)性，從已知的條件中分析出函數(shù)的性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．
【變式訓(xùn)練4-2】．（2020·四川閬中中學(xué)）已知函數(shù)，則（）
A．在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞減
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
【答案】C
【分析】
利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷出A、B選項(xiàng)的正誤；利用函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的定義可判斷出C、D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】
對(duì)于函數(shù)，，解得，
則函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>由于內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
外層函數(shù)為增函數(shù)，
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，A、B選項(xiàng)均錯(cuò)；
，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，C選項(xiàng)正確；
由上可知不恒為零，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性的判斷，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.
【變式訓(xùn)練4-3】、（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由條件可得是周期為4的周期函數(shù)，從而結(jié)合已知條件，利用函數(shù)的周期性和奇偶性即可求解.
【詳解】由可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，即
又函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，所以
即，所以
所以是周期為4的周期函數(shù).
所以
故選：D
(五) 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例5．（1）、（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則（）
A．4040B．4038C．2D．9
【答案】B
【分析】
根據(jù)函數(shù)不等式可得，然后分組配對(duì)可求和.
【詳解】
，則

故選：B
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)性質(zhì)解決求和問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是由，根據(jù)，屬于中檔題.
（2）、（2022·廣西南寧·三模）函數(shù)，則的圖象在內(nèi)的零點(diǎn)之和為（）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】由題可知函數(shù)與函數(shù)的圖象在內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即得.
【詳解】由可得，
則函數(shù)與函數(shù)的圖象在內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)，
又函數(shù)與函數(shù)的圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
作出函數(shù)與函數(shù)的大致圖象，
由圖象可知在內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn)，則零點(diǎn)之和為4．
故選：B.
【變式訓(xùn)練5-1】．（2022·浙江高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，都有，則m的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
本題為選擇壓軸題，考查函數(shù)平移伸縮，恒成立問(wèn)題，需準(zhǔn)確求出函數(shù)每一段解析式，分析出臨界點(diǎn)位置，精準(zhǔn)運(yùn)算得到解決．
【詳解】
時(shí)，，，，即右移1個(gè)單位，圖像變?yōu)樵瓉?lái)的2倍．
如圖所示：當(dāng)時(shí)，，令，整理得：，（舍），時(shí)，成立，即，，故選B．
【點(diǎn)睛】
易錯(cuò)警示：圖像解析式求解過(guò)程容易求反，畫(huà)錯(cuò)示意圖，畫(huà)成向左側(cè)擴(kuò)大到2倍，導(dǎo)致題目出錯(cuò)，需加深對(duì)抽象函數(shù)表達(dá)式的理解，平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面練習(xí)，提高抽象概括、數(shù)學(xué)建模能力．
【變式訓(xùn)練5-2】．（2020·全國(guó)高三（理））已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．
【答案】
【分析】
畫(huà)圖分析可得函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，利用偶函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性可解.
【詳解】
作出函數(shù)的圖如下所示，
觀察可知，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，故
，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查利用函數(shù)奇偶性及單調(diào)性解不等式. 函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：
(1)如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么．
(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．
【變式訓(xùn)練5-3】、（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且在上單調(diào)遞減，則關(guān)于的不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而得到在上單調(diào)遞增，數(shù)形結(jié)合將轉(zhuǎn)化為，解不等式即可.
【詳解】因?yàn)?，，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，
結(jié)合草圖可知：要使，則到的距離小于到的距離，故不等式
等價(jià)于，兩邊同時(shí)平方后整理得，解得或.
故選：C．
【變式訓(xùn)練5-4】．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（文））定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，.若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】
利用滿(mǎn)足得到函數(shù)解析式，由解析式探究出函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得到對(duì)任意恒成立，討論得到范圍.
【詳解】
由已知得，
由函數(shù)式可得，
所以不等式可化為，
得到.
因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，所以，
即對(duì)任意恒成立，
當(dāng)時(shí)顯然不滿(mǎn)足對(duì)任意恒成立，
所以，即.
故答案為：
四、遷移應(yīng)用
A組基礎(chǔ)鞏固
1．（2021·長(zhǎng)春市基礎(chǔ)教育研究中心（長(zhǎng)春市基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)中心）高三（文））已知函數(shù)，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
可求得，即可得出.
【詳解】
，所以.
故選：D.
2．（2020·江西·南昌二中一模（理））已知函數(shù)，滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù)，可知函數(shù)為減函數(shù)，且，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，解得，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)還要考慮分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.
3．（2021·云南昆明一中高三（理））已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求出函數(shù)的定義域，分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，將不等式變形為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>,
所以，函數(shù)為奇函數(shù)；
，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以?br>所以，，解得.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)不等式的思路如下：
（1）先分析出函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞恐g的關(guān)系，并注意定義域；
（3）求解關(guān)于自變量的不等式，從而求解出不等式的解集.
4．（2021·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高三（文））函數(shù)的圖象大致為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)值的正負(fù)，從而排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得正確選項(xiàng).
【詳解】
因?yàn)?br>所以.
得，
所以為奇函數(shù)，排除C；
在，設(shè)，，單調(diào)遞增，
因此，
故在上恒成立，
排除A、D，
故選：B.
5．（2022·河北邯鄲·二模）已知函數(shù)，且，，，則（）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，故?br>故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：得到是解題的關(guān)鍵.
6．（2019·武邑宏達(dá)學(xué)校高一期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是偶函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先根據(jù)條件得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且在上單調(diào)遞增，然后通過(guò)比較到對(duì)稱(chēng)軸距離的大小可得所求結(jié)果．
【詳解】
由是偶函數(shù)可得其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋?br>所以，即．
故選D．
【點(diǎn)睛】
比較函數(shù)值大小的常用方法：（1）將自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；（2）對(duì)于圖象有對(duì)稱(chēng)軸的函數(shù)來(lái)講，可將函數(shù)值的大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自變量到對(duì)稱(chēng)軸的距離的大小的問(wèn)題求解．
7．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．[1，+∞)C．D．
【答案】C
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以時(shí)，，函數(shù)在上為單調(diào)遞增，
時(shí)，，函數(shù)在上為單調(diào)遞減，
又，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以，
所以可化為，
所以，
所以，
所以，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是，
故選：C.
8．（2022·全國(guó)（文））奇函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由計(jì)算得出實(shí)數(shù)的值，推導(dǎo)出函數(shù)的周期為，可得出，即可得解.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，，
由已知條件可得，
所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，則.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱(chēng)性與周期性之間的常用結(jié)論：
（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的周期為；
（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的周期為；
（3）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的周期為.
9．（2020·內(nèi)江市市中區(qū)天立學(xué)校）已知函數(shù)，若，則（）
A．2B．0C．D．
【答案】D
【分析】
驗(yàn)證為定值，然后求解.
【詳解】
因?yàn)椋?br>則，
則有，又由，則.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題考查根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求函數(shù)值，難度一般，關(guān)鍵是要找出與的關(guān)系.
10．（2022·河南平頂山·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，則其圖象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)值的變化情況分析判斷.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以排除AC，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，
所以，所以排除D，
故選：B
11．（2021·全國(guó)）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后解答不等式，在恒成立的條件下求出結(jié)果
【詳解】
依題意得：函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以，即，在上恒成立?br>所以，即，故選B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，需要掌握解題方法
12．（2019·黑龍江哈爾濱市·高考模擬（文））已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】
由二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性的定義，解不等式即可得到所求范圍．
【詳解】
當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸為，
由遞增可得，，解得；
當(dāng)時(shí)，遞增，可得；
由，遞增，即有，解得．
綜上可得，的范圍是，故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，注意運(yùn)用定義，同時(shí)考查二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題.
13．（2021·全國(guó)高三（理））函數(shù)的部分圖象大致為（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
判斷函數(shù)的奇偶性，再代入特殊點(diǎn)，利用排除法進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：，
則是奇函數(shù)，故排除C，D，因?yàn)?，故排除B.
故選：B．
14．（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則使不等式成立的x的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將抽象不等式轉(zhuǎn)化為不等式組即可解得答案.
【詳解】由得定義域?yàn)椋?br>，故為偶函數(shù)，
而，在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，
則可化為，
解得或
故選：D.
15．（2017·天津高考真題（理））已知奇函數(shù)，且在上是增函數(shù).若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，
，
，又，則，所以即，
，
所以，故選C．
【考點(diǎn)】
指數(shù)、對(duì)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性
【名師點(diǎn)睛】
比較大小是高考常見(jiàn)題，指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的比較大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合不僅能比較大小，還可以解不等式.
16．（2008·全國(guó)高考真題（理））設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】
由f(x)為奇函數(shù)可知，＝0時(shí)，f(x)

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