考向一：函數(shù)零點個數(shù)的判斷
考法1：方程法判斷零點個數(shù)
考法2：數(shù)形結(jié)合法判段函數(shù)零點個數(shù)
考法3：轉(zhuǎn)化法判斷函數(shù)零點個數(shù)
考法4：零點存在定理與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合判斷零點個數(shù)
考向二：利用零點求參數(shù)的值（范圍）
考法5：利用函數(shù)零點（方程有根）求參數(shù)值或參數(shù)范圍
考法6：利用函數(shù)的交點（交點個數(shù)）求參數(shù)
二、命題規(guī)律與備考策略
一、函數(shù)零點的求解與判斷方法：
（1）直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．
（3）利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
二、利用零點求參數(shù)的值（范圍）常用的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解
已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
三、題型方法
考向一：函數(shù)零點個數(shù)的判斷
考法1：方程法判斷零點個數(shù)
一、單選題
1．（2023秋·新疆喀什·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，則在區(qū)間上的零點個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、多選題
3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A．若與圖象至多有2個公共點
B．若與圖象至少有2個公共點
C．若與圖象至多有2個公共點
D．若與圖象至少有2個公共點
三、填空題
4．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省通州高級中學校考階段練習）寫出一個同時滿足下列3個條件的函數(shù)=__．
①是上偶函數(shù)；②在上恰有三個零點；③在上單調(diào)遞增．
5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①若，恰 有2個零點；
②存在負數(shù)，使得恰有1個零點；
③存在負數(shù)，使得恰有3個零點；
④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．
其中所有正確結(jié)論的序號是_______．
四、解答題
6．（2023·全國·高三專題練習）已知是定義在R上的函數(shù)，，，，求在區(qū)間上至少有幾個根？
7．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當時，證明在上有且僅有兩個零點.
8．（2023·全國·高三專題練習）某同學用“五點法”畫函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖像時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如下表：
(1)請?zhí)顚懮媳淼目崭裉帲嫵龊瘮?shù)圖像
(2)寫出函數(shù)的解析式，將函數(shù)的圖像向右平移個單位，再所得圖像上各點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，求的解析式．
(3)在（2）的條件下，若在上恰有奇數(shù)個零點，求實數(shù)a與零點個數(shù)n的值．
考法2：數(shù)形結(jié)合法判段函數(shù)零點個數(shù)
一、單選題
1．（2023·浙江·高三專題練習）已知函數(shù)，則的零點個數(shù)為（ ）
A．2023B．2025C．2027D．2029
2．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間上只有，則方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)（ ）．
A．1348B．1347C．1346D．1345
3．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習）函數(shù)在上零點的個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）對于給定的正整數(shù)﹐定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：當時，且對任意的，都有．若與n有關(guān)的實數(shù)使得方程在區(qū)間上有且僅有一個實數(shù)解，則關(guān)于x的方程的實數(shù)解的個數(shù)為（ ）
A．nB．C．D．
二、多選題
5．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）已知圓，則（ ）
A．存在兩個不同的a，使得圓C經(jīng)過坐標原點
B．存在兩個不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段長相等
C．存在唯一的a，使得圓C的面積被直線平分
D．存在三個不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切
三、填空題
6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)滿足：當時，，且對任意都成立，則方程的實根個數(shù)是______．
7．（2023·四川·四川省金堂中學校校聯(lián)考三模）函數(shù)的零點個數(shù)為__________.
考法3：轉(zhuǎn)化法判斷函數(shù)零點個數(shù)
一、單選題
1．（2022秋·全國·高一專題練習）方程解的情況是（ ）
A．有且只有一個根B．不僅有根還有其他根
C．有根和另一個負根D．有根和另一個正根
2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的描述中，其中正確的是（ ）．
①當時，函數(shù)沒有零點；
②當時，函數(shù)有兩不同零點，它們互為倒數(shù)；
③當時，函數(shù)有兩個不同零點；
④當時，函數(shù)有四個不同零點，且這四個零點之積為1．
A．①②B．②③C．②④D．③④
3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·全國·高三專題練習）對于任意正實數(shù)，關(guān)于的方程的解集不可能是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當時，，那么函數(shù)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)可能是（ ）
A．2B．4C．6D．8
三、填空題
7．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）若函數(shù)，，則函數(shù)的零點個數(shù)為______．
四、解答題
8．（2022·全國·高三專題練習）證明：函數(shù)的圖象與的圖象有且僅有一個公共點．
9．（2022·全國·高三專題練習）已知是定義在上的偶函數(shù)，當時，
（1）求，的值；
（2）求的解析式并畫出函數(shù)的簡圖；
（3）討論方程的根的情況.
考法4：零點存在定理與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合判斷零點個數(shù)
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)定義在上的奇函數(shù)滿足在，則在上的零點至少有（ ）個
A．6B．7
C．12D．13
2．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空題
3．（2023·全國·高三專題練習）已知四個函數(shù)：（1），（2），（3），（4），從中任選個，則事件“所選個函數(shù)的圖象有且僅有一個公共點”的概率為___________.
三、解答題
4．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；
(2)證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點.
考向二：利用零點求參數(shù)的值（范圍）
考法5：利用函數(shù)零點（方程有根）求參數(shù)值或參數(shù)范圍
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有且僅有兩個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點．則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)有唯一的零點，則實數(shù)m為（ ）
A．2B．C．3D．
5．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）記函數(shù)的最小正周期為，且，若在上恰有3個零點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
6．（2023·全國·高三專題練習）已知，分別是函數(shù)和的零點，則（ ）
A．B．
C． D．
三、填空題
7．（2023·四川涼山·三模）若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______．
8．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)，當時，的零點個數(shù)為_____________；若恰有4個零點，則的取值范圍是______________.
9．（2023·全國·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)根時，實數(shù)a的取值范圍是______.
10．（2023·天津河西·統(tǒng)考一模）已知，且函數(shù)恰有個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是______．
四、解答題
11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是偶函數(shù)．
(1)求實數(shù)k的值．
(2)當時，函數(shù)存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．
(3)函數(shù)（且），函數(shù)有2個零點，求實數(shù)m的取值范圍．
12．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)求的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在上有唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍．
考法6：利用函數(shù)的交點（交點個數(shù)）求參數(shù)
一、單選題
1．（2023春·貴州·高一校聯(lián)考階段練習）函數(shù) ，若，有，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)且有兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
3．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象所有交點的橫坐標之和等于______.
4．（2022春·上海閔行·高三閔行中學?？奸_學考試）已知，函數(shù)，若存在不相等的三個實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是________.
三、解答題
5．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，其中為正整數(shù).
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
6．（2023·海南海口·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求的最值；
(2)當時，函數(shù)的圖像與的圖像有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．x
0
0
1
0
-1
0
0
0
0
重難點05函數(shù)與方程中的零點問題（2種考向6種考法）
【目錄】
考向一：函數(shù)零點個數(shù)的判斷
考法1：方程法判斷零點個數(shù)
考法2：數(shù)形結(jié)合法判段函數(shù)零點個數(shù)
考法3：轉(zhuǎn)化法判斷函數(shù)零點個數(shù)
考法4：零點存在定理與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合判斷零點個數(shù)
考向二：利用零點求參數(shù)的值（范圍）
考法5：利用函數(shù)零點（方程有根）求參數(shù)值或參數(shù)范圍
考法6：利用函數(shù)的交點（交點個數(shù)）求參數(shù)
二、命題規(guī)律與備考策略
一、函數(shù)零點的求解與判斷方法：
（1）直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．
（3）利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
二、利用零點求參數(shù)的值（范圍）常用的方法
已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
三、題型方法
考向一：函數(shù)零點個數(shù)的判斷
考法1：方程法判斷零點個數(shù)
一、單選題
1．（2023秋·新疆喀什·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，則在區(qū)間上的零點個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)三角恒等變換的化簡可得，令2x-=kπ求得x=+，k∈Z，列舉k的值即可求解.
【詳解】
，
當2x-=kπ，k∈Z時，x=+，k∈Z，
所以當k=0時，x=，當k=1時，x=，
所以f(x)在區(qū)間(0,π)上有2個零點.
故選：B.
2．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】利用輔助角公式可得，令，從而解得在的零點個數(shù).
【詳解】由，
得，又，所以，
所以或
解得或.
所以函數(shù)在的零點個數(shù)是2.
故選：A.
二、多選題
3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A．若與圖象至多有2個公共點
B．若與圖象至少有2個公共點
C．若與圖象至多有2個公共點
D．若與圖象至少有2個公共點
【答案】ACD
【分析】對于選項AC，聯(lián)立方程利用判別式判斷該選項正確；對于選項B, 假設(shè)，可以判斷該選項錯誤；對于選項D，說明有兩個解即可判斷該選項真假.
【詳解】對于選項A. ，所以與圖象至多有2個公共點，所以該選項正確；
對于選項B, 假設(shè)，則令，
所以或，所以.所以此時與圖象只有1個公共點，所以該選項錯誤；
對于選項C，，令，所以，此時與圖象至多有2個公共點，所以該選項正確；
對于選項D, ,令，假設(shè) 或，所以和是的兩個解，所以與圖象至少有2個公共點，所以該選項正確.
故選：ACD
三、填空題
4．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省通州高級中學?？茧A段練習）寫出一個同時滿足下列3個條件的函數(shù)=__．
①是上偶函數(shù)；②在上恰有三個零點；③在上單調(diào)遞增．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)條件①②可令函數(shù)為兩個偶函數(shù)的積，其中一個有唯一零點0，另兩個零點互為相反數(shù)，再驗證單調(diào)性作答.
【詳解】因為是上偶函數(shù)，且在上恰有三個零點，于是的一個零點為0，另兩個零點互為相反數(shù)且不為0，
不妨令，顯然是上偶函數(shù)，且有3個零點分別為，
求導得，當時，恒成立，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)符合題意.
故答案為：
5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①若，恰 有2個零點；
②存在負數(shù)，使得恰有1個零點；
③存在負數(shù)，使得恰有3個零點；
④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．
其中所有正確結(jié)論的序號是_______．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.
【詳解】對于①，當時，由，可得或，①正確；
對于②，考查直線與曲線相切于點，
對函數(shù)求導得，由題意可得，解得，
所以，存在，使得只有一個零點，②正確；
對于③，當直線過點時，，解得，
所以，當時，直線與曲線有兩個交點，
若函數(shù)有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，
直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，
因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點，③錯誤；
對于④，考查直線與曲線相切于點，
對函數(shù)求導得，由題意可得，解得，
所以，當時，函數(shù)有三個零點，④正確.
故答案為：①②④.
【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
四、解答題
6．（2023·全國·高三專題練習）已知是定義在R上的函數(shù)，，，，求在區(qū)間上至少有幾個根？
【答案】401
【分析】依題意可求得，再求得在區(qū)間上，方程至少兩個根，結(jié)合周期函數(shù)性質(zhì)求解即可．
【詳解】由，則，
又，則，
所以，
則，
又，
所以在區(qū)間上，方程至少兩個根，
又是周期為10的函數(shù)，則在每個周期上至少有兩個根，
所以方程在區(qū)間上至少有1+個根．
7．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當時，證明在上有且僅有兩個零點.
【分析】（1）求得，分、、三種情況討論，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）由可得出，由結(jié)合判別式可判斷出方程的根的個數(shù)，由此可證得結(jié)論成立.
（1）
解：函數(shù)的定義域為，.
當時，則，由可得，由可得，
此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當時，由可得或.
①當時，，由可得或，由可得，
此時函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為；
②當時，，由可得，由可得或，
此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.
綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）
解：由可得，因為，則，
即關(guān)于的方程有兩個不等的實根，
所以，當時，在上有且僅有兩個零點.
【點睛】思路點睛：討論含參函數(shù)的單調(diào)性，通常注意以下幾個方面：
（1）求導后看最高次項系數(shù)是否為，須需分類討論；
（2）若最高次項系數(shù)不為，通常是二次函數(shù)，若二次函數(shù)開口方向確定時，再根據(jù)判別式討論無根或兩根相等的情況；
（3）再根據(jù)判別式討論兩根不等時，注意兩根大小比較，或與定義域比較.
8．（2023·全國·高三專題練習）某同學用“五點法”畫函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖像時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如下表：
(1)請?zhí)顚懮媳淼目崭裉?，并畫出函?shù)圖像
(2)寫出函數(shù)的解析式，將函數(shù)的圖像向右平移個單位，再所得圖像上各點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，求的解析式．
(3)在（2）的條件下，若在上恰有奇數(shù)個零點，求實數(shù)a與零點個數(shù)n的值．
【答案】(1)答案見解析
(2)；
(3)，在共有個不同的零點
【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得關(guān)于的方程組，解出的值后再計算補全表中數(shù)據(jù)，再由表中數(shù)據(jù)可得，從而可得函數(shù)的解析式和圖象.
（2）由（1）可得函數(shù)的解析式，伸縮和平移變換求出的解析式.
（3）令，設(shè)方程的根為，分①；②；③三種情況討論在及上零點個數(shù)，再根據(jù)周期性得到的零點個數(shù)，結(jié)合題設(shè)條件可得的值及相應的零點個數(shù).
【詳解】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得 ，解得，
故，所以，
又，故.
所以完善表如下：
.
函數(shù)圖像如圖：
（2）由（1）知：，將函數(shù)的圖像向右平移個單位，所得圖像的解析式為：，
再將所得圖像上各點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，
故.
（3），的周期為，
當時，令，考慮方程的根情況，
因為，故在必有兩個不同的實數(shù)根，
因為在有奇數(shù)個零點，故或.
若，則方程、在共有4個不同的實數(shù)根，
在有0個實數(shù)根或2個實數(shù)根，
故在有個根或個根，
與有奇數(shù)個零點矛盾，舍去.
若，則在共有2個不同的實數(shù)根，在有0個實數(shù)根或2個實數(shù)根，
故在有個根或，
與有奇數(shù)個零點矛盾，舍去.
同理也不成立，所以或，
若，則，此時的根為，
方程、在共有3個不同的實數(shù)根，而在上，有兩個不同的根，無解，
所以在有個根，
與有奇數(shù)個零點矛盾，舍去；
若，則，方程的根，
方程、在共有3個不同的實數(shù)根，而在上，無解，有一個根，
所以故在有個根，符合題意.
綜上，，在共有個不同的零點.
考法2：數(shù)形結(jié)合法判段函數(shù)零點個數(shù)
一、單選題
1．（2023·浙江·高三專題練習）已知函數(shù)，則的零點個數(shù)為（ ）
A．2023B．2025C．2027D．2029
【答案】C
【分析】因為 ,得出,進而依此類推，可得，易知單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合函數(shù)的圖像與這一系列直線 確定交點個數(shù)即可.
【詳解】因為 ,所以當時, ,
得或,
得或,
由得或，
由得，進而可得,
故由可得，或或.
依此類推，可得，其中 k =0,,2023.
易知,,可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
可得在上單調(diào)遞減，畫出函數(shù)的圖像，如圖所示．
結(jié)合圖像易知，函數(shù)的圖像與這一系列直線 ,,共有2027個交點.
故選 :C
2．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間上只有，則方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)（ ）．
A．1348B．1347C．1346D．1345
【答案】B
【分析】根據(jù)周期函數(shù)性質(zhì)可知，只需求出一個周期里的根的個數(shù)，可求得在上的零點個數(shù)，再分區(qū)間和討論即可.
【詳解】在上滿足，，
關(guān)于直線和直線對稱，
，，
，
，所以的周期為6，
又在閉區(qū)間上只有，則，，
且當時，通過其關(guān)于直線對稱，得其值對應著的值，
則在閉區(qū)間上只有，
同理可推得在也只有兩個零點，
因為，則在共有個零點，
因為，且在的圖象與的圖象相同，
則在上有個零點，
則方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)為1347個.
故選：B.
【點睛】思路點睛：利用零點存在性定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)

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