一．直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義：
直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直
(2)直線與平面垂直的判定定理及性質定理：
二．平面與平面垂直的判定定理與性質定理
三．證明線線垂直的思路
精講精練
題型一 線面垂直
【例1】3．(2024·江西吉安市·高三期末節(jié)選)如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為正三角形，為的中點，求證：平面
【答案】證明見解析
【解析】∵為正三角形，為的中點，∴.
∵，，為的中點.∴四邊形為平行四邊形，∴.
又，∴，即.又，∴平面.
【舉一反三】
1．(2024·河南信陽市節(jié)選)如圖所示，四棱錐中，，，，平面，求證:平面
【答案】證明見解析
【解析】證明:，，
又，，故，
又平面平面，，
又，平面.
2．(2024·江西贛州市節(jié)選)如圖，已知三棱柱的所有棱長均為2，，證明：平面
【答案】證明見解析
【解析】證明：如圖取中點，連接．
因為四邊形為菱形，所以
又因為三棱柱的所有棱長均為2，，
所以和是等邊三角形，所以
因為平面，
所以平面
所以，而，
所以平面
3．(2024·山東德州市節(jié)選)如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為的正方形，為等邊三角形，分別為和的中點，且，證明:平面
【答案】證明見解析
【解析】如圖所示，連接，由是邊長為的正方形，
因為是的中點，可得的中點，
在中，因為分別是的中點，可得，
又因為，所以，
又由，且，所以平面.
題型二 面面垂直
【例2】(2024·河南高三期末節(jié)選)如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，，，，，是的中點，求證：平面平面
【答案】證明見解析
【解析】由題意可得，
所以，因此.
在直四棱柱中，
平面，平面，所以
又因為，平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面．
【舉一反三】
1．(2024·河南焦作市節(jié)選)如圖所示，在四棱錐中，底面是菱形，平面點為線段的中點，求證:平面平面
【答案】證明見解析
【解析】因為四邊形是菱形，所以
因為平面平面所以
又因為所以平面
因為平面所以平面平面.
2．(2024·山東青島市·高三期末節(jié)選)如圖，在直角梯形中，，，，，.將矩形沿翻折，使得平面平面，若，證明：平面平面
【答案】證明見解析
【解析】證明：連接，因所以
因為平面平面，平面平面，所以平面
因為平面，所以
因為，所以平面
因為平面，所以平面平面
3．(2024·安徽馬鞍山市節(jié)選)如圖，BE，CD為圓柱的母線，是底面圓的內接正三角形，M為BC的中點，證明：平面AEM⊥平面BCDE
【答案】證明見詳解
【解析】根據題意可得，.
又為圓柱的母線，平面.
，，
平面.
又平面，
平面平面．
題型三 線線垂直
【例3】(2024·江西宜春市·高安中學節(jié)選)如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，已知，E為的中點，求證
【答案】證明見解析
【解析】交點為，連接，
是邊長為2的菱形，是的中點，
，
又平面，平面，，平面，
平面，
【舉一反三】
1．(2024·江蘇南通市·高三期末節(jié)選)如圖，在四棱錐中，，，，為的中點，，求證：
【答案】證明見解析
【解析】取AC中點M，連接FM，DM，
分別為AB，AC中點，，
，
四邊形DEFM是平行四邊形，，
，
平面ACD，，
平面CDM，平面CDM，；
2．(2024·山東德州市節(jié)選)如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面分別為的中點.
(1)求證:;
(2)求證:平面.
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.
【解析】
證明：(1)連，
，底面為菱形，
是等邊三角形，
，
，
又，
，
又面面，
，
，
面面，
.
取的中點，連，
，
所以，
又，
，
四邊形是平行四邊形，
，
又面面，
面.
3．(2024·山東棗莊市節(jié)選)如圖，四棱錐的側面是正三角形，底面是直角梯形，，，為的中點，求證：
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】證明：取中點，連，，
因為是正三角形，所以.又是中點，所以.
因為，即.所以，因為，?平而，
所以平面，平面，所以
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判定定理
一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b)) ?l⊥α
性質定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))?a∥b
文字語言
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符號語言
判定定理
一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l?β,l⊥α))?α⊥β
性質定理
兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α

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