一．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
二．空間幾何體的表面積與體積公式
精講精練
題型一 空間幾何的體積
【例1】(2024·陜西咸陽市·高三一模)如圖，在三棱錐中，平面平面是的中點．
(1)求證：平面；
(2)設(shè)點N是的中點，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)∵平面平面，
平面，平面，
是的中點，
，
平面
(2)由(1)知平面，
是的中點，到平面的距離是，
平面，
，
．
【方法總結(jié)】
求空間幾何體的體積的常用方法
公式法
對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解
割補法
把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算其體積
等體積法
等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決三棱錐的體積
【舉一反三】
1．(2024·江西吉安市·高三其他模擬)在四棱錐中，平面，底面四邊形是邊長為1的正方形，側(cè)棱與底面成的角是，，分別是，的中點.
(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】證明：(1)取的中點，連結(jié)、，
∵是的中點，∴，且，
∵底面四邊形是邊長是１的正方形，又是的中點，
∴，且∴，
∴，且，∴四邊形是平行四邊形，
∴，又磁面，平面，∴平面.
(2)∵平面，∴是側(cè)棱與底面成的角，
∴，∴是等腰直角三角形，則，
∴.
2．(2024·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考)如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，面面，且，點在棱上.
(1)證明：當(dāng)時，直線平面；
(2)當(dāng)平面時，求的體積.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)證明：連結(jié)與交于點，連結(jié)
，，，
，，
又面，面，平面.
(2)解：平面，平面，，
是的中點，面面，
點到面的距離為
到面的距離為
．
3．(2024·安徽蕪湖市·高三期末)如圖，三棱柱的各棱的長均為2，在底面上的射影為的重心．
(1)若為的中點，求證：平面；
(2)求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)連接交于點，連接，則為的中點，
又∵為的中點，∴為的中位線，
∴，
又平面，平面，
∴平面；
(2)在中，為重心，則，
在中，，
則．
題型二 空間幾何的表面積
【例2-1】(2024·全國高三專題練習(xí))一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為 .
【答案】
【解析】判斷棱錐是正六棱錐，利用體積求出棱錐的高，然后求出斜高，即可求解側(cè)面積．
∵一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，
∴棱錐是正六棱錐，設(shè)棱錐的高為h，則
棱錐的斜高為該六棱錐的側(cè)面積為
【例2-2】(2024·全國高三專題練習(xí))某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長方體.正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為( )
A．20B．C．16D．
【答案】A
【解析】由題意，正四棱錐的斜高為，該組合體的表面積為.故選：A
【方法總結(jié)】
求解幾何體表面積的類型及求法
求多面體的表面積
只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積
求旋轉(zhuǎn)體的表面積
可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積
求不規(guī)則幾何體的表面積時
通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積
【舉一反三】
1．(2024·湖南高三月考)如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，.
(1)證明：直線平面；
(2)若四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)在平面內(nèi)，因為，所以，
又平面，平面，故平面.
(2)取的中點，連結(jié)，.依題四邊形為正方形，
因為為等邊三角形，所以.
又側(cè)面底面，平面平面，所以底面.
因為底面.
所以，
同理側(cè)面，所以.
設(shè)，則，，，.
四棱錐的體積，解得.
取的中點，連結(jié)，則，所以.
所以，
，.
所以四棱錐的側(cè)面積為.
2．(2024·全國高三專題練習(xí))如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，BD1⊥B1D，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，D1D＝6，E，F(xiàn)分別是線段AB的兩個三等分點．
(1)求證：D1F//平面A1DE；
(2)求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面積．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)連接交于，連接，如圖，
分別為，的中點，
,
又平面A1DE，平面A1DE，
D1F//平面A1DE
(2)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，
所以四棱柱為直四棱柱，
因為在矩形中，BD1⊥B1D，
所以四邊形是正方形，
所以,
所以,
又，
所以，
即四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面積為.
3．(2024·上海閔行區(qū)·高三一模)如圖，在圓柱中，是圓柱的母線，是圓柱的底面的直徑，是底面圓周上異于?的點.
(1)求證：平面；
(2)若，，，求圓柱的側(cè)面積.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)如圖所示：
由已知可知平面，平面，
點是上異于?的點，是的直徑，
所以，
又，
∴平面.
(2)在中，，，，
，
圓柱的側(cè)面積為：S側(cè) .
題型三 點面距
【例3】(2024·河南信陽市·高三月考)如圖，在長方體中，為中點．
(1)求證：平面；
(2)若，，求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析；(2)．
【解析】(1)連接交于點，則為中點，連接，
又為中點，故為的中位線，故，
又平面，平面，
所以平面．
(2)由(1)知，平面，
則到平面的距離與到平面的距離相等，連接．
故，
又中，，，．
由余弦定理知：，則，
故，
.
故到平面的距離
即點到平面的距離為．
【舉一反三】
1．(2024·安徽蚌埠市·高三二模)如圖，已知四邊形和均為直角梯形，∥，∥，且，，．
(1)求證：∥平面；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)證明：在平面中，過作于，交于，連接，
由題意知，且，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
又平面，平面，
∴平面．
(2)，，平面，
∴平面，∵平面
∴平面平面，
在平面內(nèi)過點作交于，
則平面，
∵，
∴，，
設(shè)點到平面的距離為，
則由得，
由題意知，，
，
代入，
解得，即點到平面的距離為．
2．(2024·河南高三期末)如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，是的中點．
(Ⅰ)求證：平面平面；
(Ⅱ)求點到平面的距離．
【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)．
【解析】(Ⅰ)由題意可得，
所以，因此，
在直四棱柱中，平面，所以，
又因為，所以平面，
因為平面，所以平面平面．
(Ⅱ)如圖，在平面內(nèi)作，垂足為．
由(Ⅰ)知平面，因為平面平面，
所以平面，所以，
又因為，所以平面．
所以線段的長就是點到平面的距離．
因為，所以．
在平面內(nèi)，可知，
所以，得，
所以點到平面的距離為．
3．(2024·河南駐馬店市·高三期末)如圖，該多面體由底面為正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的邊長為，是線段上(不含端點)的動點，．
(1)證明：平面；
(2)求到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析；(2)．
【解析】(1)證明：取的中點，連接，．
因為該多面體由底面為正方形的直四棱柱被截面所截而成，
所以截面是平行四邊形，
則．
因為，
所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以．
因為平面，平面，
所以平面．
(2)解：連接，，，記到平面的距離為，
則到平面的距離為．
在中，，高為，所以的面積為．
因為三棱錐的高為，所以的體積為．
在中，，，
所以的面積為．
因為的體積與的體積相等，
所以，所以．
故到平面的距離為．
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圓柱
圓錐
圓臺
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l
名稱
幾何體
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側(cè)＋2S底
V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側(cè)＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
臺體(棱臺和圓臺)
S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3

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