1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.
2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.
3.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc27765" 7-3 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 PAGEREF _Tc27765 \h 1
\l "_Tc27680" 一、主干知識(shí) PAGEREF _Tc27680 \h 1
\l "_Tc7818" 考點(diǎn)1：極值的定義： PAGEREF _Tc7818 \h 2
\l "_Tc31675" 考點(diǎn)2：極值的性質(zhì)： PAGEREF _Tc31675 \h 2
\l "_Tc11462" 考點(diǎn)3：判別f（x0）是極大、極小值的方法： PAGEREF _Tc11462 \h 2
\l "_Tc3581" 考點(diǎn)4：求函數(shù)f（x）的極值的步驟： PAGEREF _Tc3581 \h 2
\l "_Tc25284" 【常用結(jié)論總結(jié)】 PAGEREF _Tc25284 \h 2
\l "_Tc15066" 二、分類(lèi)題型 PAGEREF _Tc15066 \h 3
\l "_Tc12359" 題型一 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問(wèn)題 PAGEREF _Tc12359 \h 4
\l "_Tc5160" 命題點(diǎn)1 根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值 PAGEREF _Tc5160 \h 4
\l "_Tc9343" 命題點(diǎn)2 求已知函數(shù)的極值 PAGEREF _Tc9343 \h 4
\l "_Tc26172" 命題點(diǎn)3 已知極值(點(diǎn))求參數(shù) PAGEREF _Tc26172 \h 5
\l "_Tc5293" 題型二 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值 PAGEREF _Tc5293 \h 5
\l "_Tc2702" 三、分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固 PAGEREF _Tc2702 \h 6
一、主干知識(shí)
考點(diǎn)1：極值的定義：
（1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＜f（x0），就說(shuō)f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點(diǎn)；
（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＞f（x0），就說(shuō)f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點(diǎn)．
考點(diǎn)2：極值的性質(zhì)：
（1）極值是一個(gè)局部概念，由定義知道，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最?。?
（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)；
（3）極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系，即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值；
（4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)．
考點(diǎn)3：判別f（x0）是極大、極小值的方法：
若x0滿(mǎn)足f′（x0）＝0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則x0是f（x）的極值點(diǎn)，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側(cè)滿(mǎn)足“左正右負(fù)”，則x0是f（x）的極大值點(diǎn)，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側(cè)滿(mǎn)足“左負(fù)右正”，則x0是f（x）的極小值點(diǎn)，f（x0）是極小值．
考點(diǎn)4：求函數(shù)f（x）的極值的步驟：
（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個(gè)根處無(wú)極值．
【常用結(jié)論總結(jié)】
（1）按定義，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)a，b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）．
（2）極值是一個(gè)局部性概念，只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得．一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值，也就是說(shuō)極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小．
（3）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值．
（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有
限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的，
可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)．
二、分類(lèi)題型
題型一 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問(wèn)題
命題點(diǎn)1 根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值
如圖為定義在R上的函數(shù)的圖象，則關(guān)于它的導(dǎo)函數(shù)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．存在對(duì)稱(chēng)軸B．的單調(diào)遞減區(qū)間為
C．在上單調(diào)遞增D．存在極大值
【解答】由題可知，為二次函數(shù)，可知函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為1，可得，且兩根分別是和1．所以存在極小值，對(duì)稱(chēng)軸，
單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．A，B，C正確．故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三次函數(shù)的圖象研究其導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.
（2023·上海松江·校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a、b、c、d，若函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．，B．，
C．，D．，
【解答】，由圖象可知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，并且函數(shù)是先增后減再增，所以極大值點(diǎn)大于極小值點(diǎn)，所以導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，

由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，，，并且極值點(diǎn)的和，
得.故選：D
（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)校考期中）已知函數(shù)的大致圖象如圖所示，則（ ）
A．B．
C．D．
所以函數(shù)圖象開(kāi)口方向朝上，且于x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故；又函數(shù)的極大值點(diǎn)在y軸左側(cè)，極小值點(diǎn)在y軸右側(cè)，且極大值點(diǎn)離y軸較近，所以方程的兩根滿(mǎn)足，即，得，因此.故選；B.
（多選）函數(shù)的定義域?yàn)镽，它的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論正確的是（ ）
A．在上函數(shù)為增函數(shù)B．在上函數(shù)為增函數(shù)
C．在上函數(shù)有極大值D．是函數(shù)在區(qū)間上的極小值點(diǎn)
【解答】由圖象可知在區(qū)間和上，遞增；在區(qū)間上，遞減.所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.在區(qū)間上，有極大值為，C選項(xiàng)正確.在區(qū)間上，是的極小值點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC
（多選）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則以下關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是（ ）
A．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減B．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增
C．是極小值點(diǎn)D．是極大值點(diǎn)
【解答】解：．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)單調(diào)遞增；故不正確，
．函數(shù)在區(qū)間的導(dǎo)數(shù)為，在區(qū)間上單調(diào)遞增，正確；．由圖象知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，但是函數(shù)沒(méi)有取得極小值，故錯(cuò)誤，．時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，，此時(shí)此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，則函數(shù)內(nèi)有極大值，是極大值點(diǎn)；故正確，故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)，極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的識(shí)圖和用圖的能力．屬于中檔題．
（2021秋·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中校考期末）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖像如圖所示，則下列敘述正確的是（ ）
①；②函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值；
③函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值；④函數(shù)的最小值為.
A．③B．①②C．③④D．④
【解答】由的圖像可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
對(duì)于①，由題意可得，所以①不正確．
對(duì)于②，由題意得函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，故②不正確．
對(duì)于③，由②的分析可得正確．對(duì)于④，由題意可得不是最小值，故④不正確．
綜上可得③正確．故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查由導(dǎo)函數(shù)的圖像判函數(shù)的極值和最值，屬于基礎(chǔ)題.
已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】由題，
導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)即原函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，
且，只有B圖符合.故選：B.
命題點(diǎn)2 求已知函數(shù)的極值
（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在處取得極小值，則極小值為（ ）
A．1B．2C．D．
【解答】依題意，，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，則，解得，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極小值.故選：C
（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）函數(shù)的極大值為_(kāi)_____．
【解答】依題意，因?yàn)?，所以，所以?br>所以在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.所以在處取得極大值：.故答案為：1.
（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，且函數(shù)，當(dāng)時(shí)取到極大值，則等于______.
【解答】令，
則函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，極大值為，
所以，故，
又成等比數(shù)列，所以，故答案為：.
（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的極值點(diǎn)為1，且，則的極小值為（ ）
A．B．C．bD．4
【解答】，，，所以，解得：，，所以，得，時(shí)，，，，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，.故選：D
（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，，，則（ ）
A．無(wú)極值B．有極大值，也有極小值
C．有極大值，無(wú)極小值D．有極小值，無(wú)極大值
【解答】由已知知，又，所以，令，則，
又，令，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
所以的極小值為，無(wú)極大值，故選：D.
（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若是函數(shù)的極值點(diǎn)．則的極小值為（ ）
A．-3B．C．D．0
【解答】函數(shù)，求導(dǎo)得：，
因是函數(shù)的極值點(diǎn)，即，解得，
，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即是函數(shù)的極值點(diǎn)，函數(shù)在處取得極小值.
故選：A
函數(shù)在___處取得極小值，且極小值為_(kāi)__.
【解答】，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則時(shí)取得極小值，且極小值為；故答案為：2，
命題點(diǎn)3 已知極值(點(diǎn))求參數(shù)
（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）若函數(shù)在處有極小值，則的值為_(kāi)_____．
【解答】因?yàn)椋?，又因?yàn)楹瘮?shù)在處有極小值，所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在處取得極小值；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在處取得極大值，不合題意，舍去， 故答案為：.
（2023·廣西柳州·高三柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在上有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)__．
【解答】因?yàn)椋裕?br>為二次函數(shù)，且對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，則函數(shù)在單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)在上有極值，所以在有解，
根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知，即，
解得，故答案為：.
（2022·內(nèi)蒙古赤峰·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極值，則在上的極小值為_(kāi)_____．
【解答】由題意，函數(shù)，可得，
因?yàn)樵谔幦〉脴O值，可得，即，解得，
所以，可得，
令，得或，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)取得極小值，極小值為．故答案為：.
根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)
(1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；
(2)驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性．
（2022秋·湖南邵陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若時(shí)，取得極值0，則___________.
【解答】由，得，
因?yàn)闀r(shí)，取得極值0，所以，，
解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在在處取不到極值，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，函數(shù)在處取得極值，
所以，所以.故答案為：18
（2022秋·遼寧葫蘆島·高三興城市高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的最小值為，函數(shù)的零點(diǎn)與極小值點(diǎn)相同，則___________.
【解答】由可得，
因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以是的極值點(diǎn)，所以，所以；
當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知該函數(shù)無(wú)極小值點(diǎn)，不符合題意；
由可得，令，可得或，
當(dāng)時(shí)，，由可得或；由可得，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以的極小值點(diǎn)為，由題意可得，解得，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不合題意；所以.故答案為：.
（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，則的取值范圍為_(kāi)_______．
【解答】由可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令可得或；
令可得：，所以時(shí)，在處取得極小值，
若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，則，解得，綜上所述：的取值范圍為；故答案為：.
（2023春·山東聊城·高二校考階段練習(xí)）函數(shù)既有極大值，又有極小值，則的取值范圍是_________．
【解答】，，
因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值，又有極小值，所以，
即，，解得或，故的取值范圍為，故答案為：.
題型二 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值
（北京·高考真題）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)減區(qū)間；
(2)若在區(qū)間上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．
【解答】（1）由，求導(dǎo)可得,
由，可得或，
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，；
（2）因?yàn)椋?br>令，解得或可得下表：
則，分別是在區(qū)間上的最大值和最小值，
所以，解得，
從而得函數(shù)在上的最小值為.
（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
【解答】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，
此時(shí)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即；
（2）因?yàn)?，則，
由題意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，，.
（海南·高考真題）設(shè)函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)求在區(qū)間的最大值和最小值．
【解答】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又.
令，解得或；令，解得.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
（2）由（1）可得：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
又，，
而，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為：.
即在區(qū)間上的最大值為，最小值為.
(1)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值．
(2)若所給的閉區(qū)間[a，b]含參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值．
（湖南·高考真題）已知函數(shù)，其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【解答】（1），函數(shù)定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，令，得．
若，則，從而在上單調(diào)遞增；
若，則，從而在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，令，得，解得或，有．
若，則或，從而在和上單調(diào)遞減；
若，則，從而在上單調(diào)遞增；
（2）由（1）中求得單調(diào)性可知，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是．
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是．
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，最大值是．
（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若的圖象與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.
【解答】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又，
因?yàn)椋剩?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）因?yàn)榍业膱D與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，
所以的圖象在軸的上方，
由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，
故即.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式的恒成立問(wèn)題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號(hào)來(lái)討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化中注意等價(jià)轉(zhuǎn)化.
（2023·廣東佛山·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.
【解答】（1）的定義域?yàn)?，故?br>令，，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，且，
，
所以由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間存在唯一的，使
又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，?br>所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.
（2）有個(gè)零點(diǎn)，證明如下：
因?yàn)?，?br>若，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，
結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
若，則，則，
若，因?yàn)椋裕?br>綜上，函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
（2024秋·四川成都·高三成都七中校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
【解答】（1）因?yàn)椋?br>所以，取，則有，即；
所以，取，則有，即．
故，．
（2）由（1）知，，
則，
所以、與，的關(guān)系如下表：
故，．
三、分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固
1．（2023?禪城區(qū)模擬）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則
A．B．C．D．2
【解答】解：，
令，則為偶函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
若有唯一零點(diǎn)，則根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，
所以．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用偶函數(shù)的 對(duì)稱(chēng)性求解參數(shù)的值，解題的關(guān)鍵是靈活利用偶函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)．
2．（2023?石嘴山一模）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【解答】解：因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)，
所以在上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，
所以在有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，且根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知這兩根的兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，
所以，解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
3．（2023?翠屏區(qū)校級(jí)模擬）若函數(shù)在處有極大值，則實(shí)數(shù)的值為
A．1B．或C．D．
【解答】解：函數(shù)，，
函數(shù)在處有極大值，可得（1），解得或，
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，，時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處有極小值，不合題意．
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，時(shí)，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處有極大值，符合題意．
綜上可得，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．
4．（2023?宜春模擬）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則的取值范圍為
A．B．C．D．
【解答】解：因?yàn)椋裕?br>若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，
則，所以，且，
所以，
令函數(shù)，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，則，
即的取值范圍為，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值問(wèn)題，屬于中檔題．
5．（2023?梅河口市校級(jí)一模）已知函數(shù)有兩個(gè)大于1的零點(diǎn)，則的取值范圍可以是
A．，B．C．D．，
【解答】解：已知函數(shù)有兩個(gè)大于1的零點(diǎn)，
所以在不單調(diào)，
可得，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，
易知在上單調(diào)遞增，
又（1），
當(dāng)，時(shí)，（1），
所以在上單調(diào)遞增，不符合題意，排除選項(xiàng)；
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)椋?），（a），
所以存在，使得，
即，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，也是最小值，
因?yàn)椋?），
當(dāng)趨向正無(wú)窮時(shí)，趨向正無(wú)窮，
所以當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)大于1的零點(diǎn)時(shí)，只需滿(mǎn)足即可，
因?yàn)椋?br>不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br>可得，
所以單調(diào)遞增；
不妨設(shè)，
可得，
當(dāng) 時(shí)，，單調(diào)遞減，
對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，
由可知，
當(dāng)時(shí)，，
所以，滿(mǎn)足題意．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．
6．（2023?湖北模擬）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，（1），，若，則的極值情況是
A．有極大值，無(wú)極小值B．有極小值，無(wú)極大值
C．既有極大值，又有極小值D．既無(wú)極小值，也無(wú)極大值
【解答】解：，，
取可得，（1），
由，令，得（1）（1），
（1），可得（1），
，則，
．
令，則；
令，，
易知時(shí)，，在上單調(diào)遞減；時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取最小值，
又，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
存在，，使得，
不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
既有極大值，又有極小值．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
7．（2023?梅河口市校級(jí)模擬）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則
A．B．C．D．
【解答】解：由函數(shù)，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以，是方程的兩個(gè)正根，
即的兩個(gè)正根為，．
所以，即，
所以，
，
所以，可得，因?yàn)?，所以?br>故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．
8．（2023?廣陵區(qū)校級(jí)模擬）已知正方形的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上．若正方形唯一確定，則實(shí)數(shù)的值為
A．B．C．D．
【解答】解：法一：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，為其中心?br>所以于點(diǎn)，且，
不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，則直線(xiàn)的方程為，
設(shè)點(diǎn)，，，，則，，，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，與僅有1個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)，不合題意，
當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程，得到，解得，
聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程，得到，解得，
因?yàn)椋裕?br>整理得，即，
設(shè)，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?br>要使符合題意的正方形只有1個(gè)，則必有有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
即△，解得，正根舍去，
此時(shí)，解得，負(fù)根舍去，
所以；
法二：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，且，，，四點(diǎn)逆時(shí)針排布，
設(shè)，，
則，
由題意得兩點(diǎn)存在曲線(xiàn)上，
所以，
由①得，由②得，
聯(lián)立兩式得
，
因?yàn)?，?br>故，，
又，，所以只有時(shí)，才能使得兩式恒成立，
故，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
由題意，有唯一解，故．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．
9．（2023?長(zhǎng)沙模擬）已知函數(shù)，若不等式的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：函數(shù)，不等式化為：．
分別令，．
．
可得：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
，（2）．如圖所示．
不等式的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，
正整數(shù)解為1，2，
，即．
解得：．
數(shù)的取值范圍是，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的解法、數(shù)形結(jié)合方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
10．（2023?遵義模擬）已知函數(shù)在處取得極值0，則
A．B．0C．1D．2
【解答】解：，
有，得，，
所以．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
11．（2023?河南三模）已知函數(shù)在處取得極大值4，則
A．8B．C．2D．
【解答】解：因?yàn)椋裕?br>所以（1），（1），解得，，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)極值相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．
12．（2023?阜新模擬）已知函數(shù)，則的極大值為
A．B．1C．27D．
【解答】解：，
，
，解得（2），
，，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取得極大值27．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬中檔題．
13．（2023?廣西模擬）函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，則整數(shù)的值為
A．，0B．，C．，D．，0
【解答】解：函數(shù)，可得，
當(dāng)和時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
若在上無(wú)極值點(diǎn)，則或或，
，，．時(shí)，在上無(wú)極值點(diǎn)，
，，時(shí)，在上存在極值點(diǎn)．
因?yàn)槭钦麛?shù)，故或，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的判斷，是中檔題．
14．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且存在唯一的整數(shù)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
【解答】解：由題意函數(shù)，有兩個(gè)零點(diǎn)，，
即，得有兩個(gè)正實(shí)根，
設(shè)，則，
令，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，且，
又時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，，
作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：
直線(xiàn)與的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即分別為，，
由題意知，又，
因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)，，所以，
又直線(xiàn)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖可知：（2）（1），，即，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．
15．（2023?平羅縣校級(jí)模擬）若函數(shù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【解答】解：函數(shù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，
即方程在上存在兩個(gè)根，
即方程在上存在兩個(gè)根，
設(shè)，，
則，
令得，，，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，
，
又，（e），且，
在，上的大致圖象，如圖所示：
方程在上存在兩個(gè)根，等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖象可知，，
即的取值范圍是，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
16．（2023?阿勒泰地區(qū)三模）函數(shù)的極值點(diǎn)是
A．0B．1C．D．
【解答】解：，令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，所以，函數(shù)的極值點(diǎn)是1．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
17．（2023?湖北二模）設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，
C．，，D．，，
【解答】解：函數(shù)，，
，
函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，方程恰有兩個(gè)正根，
顯然是方程的一個(gè)正根，
方程有唯一正根，即方程有唯一正根，
等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)在上只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)不等于1，
，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，（1），
函數(shù)的圖象如圖所示：，
且，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，是中檔題．
18．（2023?全國(guó)）已知函數(shù)在處取得極小值1，則
A．B．0C．1D．2
【解答】解：，
則，
函數(shù)在處取得極小值1，
，解得，
故，
，
令，解得或，
在，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
故在處取得極小值，
故，符合題意．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題．
19．（2023?重慶模擬）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【解答】解：易知的定義域是，
由已知，
若△，即，則恒成立，單調(diào)遞增，不合題意，
若，則在上恒成立，單調(diào)遞增，不合題意，
若，則存在兩個(gè)實(shí)根，，且，因此，，
不妨設(shè)，即，
當(dāng)或時(shí)，，時(shí)，，
因此在和，上都是單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
在，上（1），有一個(gè)零點(diǎn)，因此，，
取，由于，因此，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
設(shè)，則，所以即是增函數(shù)，時(shí)，（2），
所以即在上是增函數(shù)，從而時(shí)，（2），
所以時(shí)，是增函數(shù)，（2），
綜上，，因此，在上有唯一零點(diǎn)，也即在，上有唯一零點(diǎn)，
同理取，由于，因此有，
從而在，即在上有唯一零點(diǎn)，
所以有三個(gè)零點(diǎn)，所以的取值范圍是．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
20．（2023?商洛三模）若函數(shù)無(wú)極值，則的取值范圍為
A．，B．
C．，，D．，，
【解答】解：，
，
函數(shù)在上無(wú)極值，
函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，
沒(méi)有兩個(gè)不等的根，
即△，
解得，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題，解題時(shí)應(yīng)該注意導(dǎo)函數(shù)等于0的等根的情形，以免出現(xiàn)只一個(gè)零點(diǎn)的誤解．
21．（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)，定義域?yàn)?，有唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
【解答】解：函數(shù)，可得，
函數(shù)，定義域?yàn)?，有唯一極值點(diǎn)，
就是方程在內(nèi)有唯一解，
即在內(nèi)有唯一解，
就是與的圖象在內(nèi)由一個(gè)交點(diǎn)，如圖：
可得，
解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值的判斷，考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，是中檔題．
22．（2023?成都模擬）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，其中，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【解答】解：定義域?yàn)椋@然，
若是零點(diǎn)，則，
，
所以也是零點(diǎn)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，
不妨設(shè)，則，，
所以，，
當(dāng)時(shí)，結(jié)合定義域和判別式易知恒成立，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩根分別為，，
易知，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，（1），
（1），當(dāng)，，
所以由零點(diǎn)存在定理易知有三個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足題意．
綜上，的取值范圍是．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
23．（2023?廣西模擬）函數(shù)在處取得極小值，則極小值為
A．1B．2C．D．
【解答】解：依題意，，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，則（1），解得，
此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，
因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取得極小值（1）．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)極值相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．
24．（2023?南寧模擬）已知在處取得極大值，則的值為
A．2B．C．D．
【解答】解：由已知可得，，（1），得，
此時(shí)，，
令，得或，
令，得，
故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
故在處取得極大值，符合題意．
則的值為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
25．（2023?江西二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，，（1）（1），則
A．無(wú)極值B．有極大值，也有極小值
C．有極大值，無(wú)極小值D．有極小值，無(wú)極大值
【解答】解：由已知知（1）（1），
又（1）（1），所以（1）（1），
令，則，
又，
令，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，又（1）（1）（1），
所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
所以的極小值為（1），無(wú)極大值．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
26．（2023?大慶三模）函數(shù)，則方程解的個(gè)數(shù)為
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：，定義域?yàn)椋?br>則，
令，得或，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?，且?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以畫(huà)出的大致圖象，如圖所示：
方程解的個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
由圖象可知，函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)，
即方程解的個(gè)數(shù)為0．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
27．（2023?上饒二模）已知函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)分別為，，，且，，成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值為
A．11B．12C．13D．14
【解答】解：設(shè)，則常數(shù)項(xiàng)為：，
因?yàn)?，，成等比?shù)列，
所以，
所以，即，解得，
把代入，
所以（2），解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
28．（2023?南寧二模）已知函數(shù)的極值點(diǎn)為1，且（2），則的極小值為
A．B．C．D．4
【解答】解：，（1），（2），
所以，解得：，，
，
所以，得，時(shí)，，，，
所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，（1）．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題．
29．（2023?漢濱區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)在內(nèi)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．，
【解答】解：，
依題意，在上有變號(hào)零點(diǎn)，令，則，
設(shè)，則在上恒成立，
在上單調(diào)遞減，
又（1），時(shí)，，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，考查轉(zhuǎn)化思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
30．（2023?貴州模擬）已知函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．，B．C．，D．
【解答】解：，
，，
要使函數(shù)在處取得極小值，則，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬基礎(chǔ)題．
31．（2023?貴州模擬）已知函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．，C．D．，
【解答】解：由，
得，
要使函數(shù)在處取得極小值，則，
且當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，
可得，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．
32．（2023?成都模擬）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為
A．，B．
C．D．
【解答】解：，
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則有兩個(gè)變號(hào)正的零點(diǎn)，
因?yàn)椋?），
令，
則在，，上有一個(gè)零點(diǎn)，
又（2），
所以在，，上有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程在，，上有一個(gè)根，
令，，，，
，
所以在，，上，單調(diào)遞減，
在上，單調(diào)遞增，
，（1），（3），
所以且，
所以的取值范圍為，，，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
增
極大值
減
極小值
增
0
1
2
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

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