1.拋物線y=x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A. (12,0)B. (0,12)C. (14,0)D. (0,14)
2.已知直線l1：3x+ay+1=0，l2：(a+2)x+y+a=0.當(dāng)l1//l2時(shí)，a的值為( )
A. 1B. ?3C. ?3或1D. ?32
3.已知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若lim?→0f(2+?)?f(2)2?=12，則f′(2)=( )
A. ?1B. ?14C. 1D. 14
4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞B. 3盞C. 5盞D. 9盞
5.已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…及2，8，14，…，100，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的各項(xiàng)之和為( )
A. 438B. 450C. 254D. 278
6.橢圓x24+y29=1上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,1)的距離的最小值為( )
A. 4 55B. 5C. 2D. 1
7.若曲線y=x3與直線y=3ax+2有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. (?∞,1)B. (?1,1)C. (1,+∞)D. (2,+∞)
8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C的圓心在直線x?y+2 2=0上，半徑為1，點(diǎn)A(3,0).若圓C上存在點(diǎn)M，滿足|MA|=2|MO|，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是( )
A. (?∞,0]B. [?1?2 2,0]C. [0,1+2 2]D. [1+2 2,+∞)
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象，則( )
A. 在x=?2時(shí)，函數(shù)y=f(x)取得極值
B. 在x=1時(shí)，函數(shù)y=f(x)取得極值
C. y=f(x)的圖象在x=0處切線的斜率小于零
D. 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(?2,2)上單調(diào)遞增
10.已知實(shí)數(shù)x，y滿足y= ?x2?4x?3，則( )
A. 2x+1的最小值為?5B. x2+y2的最大值為9
C. yx的最大值為 33D. yx的最小值為? 33
11.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an2?an+2，a1=1，則( )
A. an+10,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距成等比數(shù)列，則其離心率為_(kāi)_____．
14.已知直線y=kx+b(k,b∈R)與曲線f(x)=e2x?x相切，則k+b的最大值為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3=14，S6=126．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若an2+Sn>958，求n的最小值．
16.(本小題12分)
已知圓C過(guò)點(diǎn)A(1,?1)，且與圓O：x2+y2=100相切于點(diǎn)B(8,6)．
(1)求圓C的方程；
(2)設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)P(32,0)，且與圓C交于M，N兩點(diǎn)，若∠MCN=2π3，求l的方程．
17.(本小題12分)
已知數(shù)列{an+1?an}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，且a1=2．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn=2an?n?1n+λ，λ∈R，若{bn}是等差數(shù)列，求λ的值．
18.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=x2+alnx，a∈R．
(1)若曲線f(x)在x=1處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，求a的值；
(2)討論f(x)的單調(diào)性；
(3)當(dāng)x∈[1e,e]時(shí)，f(x)≥(a+2)x，求a的取值范圍．
19.(本小題12分)
已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y= 3x，且過(guò)點(diǎn)(2,3).設(shè)A，B分別是C的左、右頂點(diǎn)，M，N是C的右支上異于點(diǎn)B的兩點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)若直線MN過(guò)點(diǎn)P(3,0)，且MN的斜率為2，求||MP|?|PN||的值；
(3)設(shè)直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，若3k1+k2=0，求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)．
參考答案
1.D
2.B
3.C
4.B
5.B
6.A
7.C
8.B
9.AD
10.ABD
11.BCD
12.6?n(答案不唯一)
13.1+ 52
14.e2?1
15.解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
因?yàn)镾3=14，S6=126，所以a4+a5+a6=S6?S3=112，
因?yàn)镾3=a1+a2+a3=14，則a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3，
即112=14q3，解得q3=8，解得q=2，
又因?yàn)镾3=a1(1+q+q2)=14，解得a1=2，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1qn?1=2n；
(2)由(1)知，Sn=2(1?2n)1?2=2n+1?2，
由an2+Sn>958，得22n+2n+1?2>958，
即(2n)2+2×2n?960>0，整理得：(2n?30)(2n+32)>0，
因?yàn)?n>0，所以2n>30，
又因?yàn)閚∈N?，解得n≥5，
所以n的最小值為5．
16.解：(1)(方法一)設(shè)圓心C(a,b)，由題意得CA=CB，kOC=kOB=34，
所以(a?1)2+(b+1)2=(a?8)2+(b?6)2，且ba=34，
解得a=4，b=3，即圓心C(4,3)，
所以半徑r=CA= (4?1)2+(3+1)2=5，
所以圓C的方程為(x?4)2+(y?3)2=25．
(方法二)因?yàn)閳AC與圓O相切于點(diǎn)B，所以C，O，B三點(diǎn)共線，
因?yàn)閗OB=34，所以O(shè)B的方程為y=34x．
因?yàn)閗AB=6+18?1=1，所以AB的中垂線斜率為?1，
又AB的中點(diǎn)為(92,52)，所以AB的中垂線方程為y?52=?(x?92)，即y=?x+7．
由y=34x,y=?x+7,解得x=4,y=3,即圓心C(4,3)，
所以半徑r=CA= (4?1)2+(3+1)2=5，
所以圓C的方程為(x?4)2+(y?3)2=25．
(2)因?yàn)椤螹CN=2π3，又半徑為5，所以圓心C(4,3)到直線l的距離d=52．
①當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=32，此時(shí)d=4?32=52，符合題意．
②當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x?32)，即2kx?2y?3k=0，
所以d=|5k?6|2 k2+1=52，解得k=1160，
所以l的方程為y=1160(x?32)，即22x?120y?33=0．
綜上，l的方程為x=32或22x?120y?33=0．
17.解：(1)因?yàn)閧an+1?an}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，
所以an+1?an=4+2(n?1)=2n+2．
由a2?a1=4，a3?a2=6，…，an?an?1=2n(n≥2)，
將以上式子左右分別相加得：an?a1=4+6+...+2n，
又因?yàn)閍1=2，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an=2+4+6+...+2n=n(2+2n)2=n2+n，
又因?yàn)閍1=2符合上式，所以an=n2+n．
(2)由(1)知，bn=2an?n?1n+λ=2n2+n?1n+λ．
因?yàn)閧bn}是等差數(shù)列，所以可設(shè)bn=kn+b，
則2n2+n?1n+λ=kn+b，即2n2+n?1=kn2+(λk+b)n+λb對(duì)任意n∈N?恒成立，
所以k=2λk+b=1λb=?1，解得k=2λ=1b=?1或k=2λ=?12b=2，
所以λ的值為1或?12．
18.解：(1)∵f(x)=x2+alnx，∴f′(x)=2x+ax，
∴f′(1)=2+a，
又f(x)在x=1處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，∴f′(1)?(?23)=?1，
即2+a=32，∴a=?12．
(2)f′(x)=2x+ax=2x2+ax，x>0．
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增．
②當(dāng)a0，即x?lnx>0，
則a≤x2?2xx?lnx在[1e,e]上恒成立．
令?(x)=x2?2xx?lnx，x∈[1e,e]，
則?′(x)=(2x?2)(x?lnx)?(x2?2x)(1?1x)(x?lnx)2
=2(x?1)(x?lnx)?(x?2)(x?1)(x?lnx)2=(x?1)(x+2?2lnx)(x?lnx)2．
∵x∈[1e,e]，∴l(xiāng)nx≤1，則x+2?2lnx>0，
令?′(x)=0，得x=1，
當(dāng)x∈[1e,1)時(shí)，?′(x)0，
∴?(x)在[1e,1)上單調(diào)遞減，在(1,e]上單調(diào)遞增，
∴?(x)min=?(1)=?1，
∴a≤?1，即a的取值范圍是(?∞,?1]．
19.解：(1)因?yàn)殡p曲線C的一條漸近線方程為y= 3x，且過(guò)點(diǎn)(2,3)，
所以ba= 34a2?9b2=1，
解得a=1b= 3，
則雙曲線C的方程為x2?y23=1；
(2)易知直線MN的方程為y=2(x?3)，
設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，
聯(lián)立y=2(x?3)3x2?y2=3，消去y并整理得x2?24x+39=0，
由韋達(dá)定理得x1+x2=24，
因?yàn)镸，N在P點(diǎn)的兩側(cè)，
所以x1?3與x2?3異號(hào)，
所以||MP|?|PN||=| 1+22|x1?3|? 1+22|x2?3||
= 5|(x1?3)+(x2?3)|= 5|x1+x2?6|=18 5；
(3)證明：若MN的斜率不存在，
設(shè)直線MN的方程為x=t(t>1)，M(t,y1)，N(t,y2).
因?yàn)閗2=?3k1，A(?1,0)，B(1,0)，
所以y2t?1=?3?y1t+1，
由對(duì)稱性知，y2=?y1，
即t+1=3(t?1)，
解得t=2，
所以直線MN的方程為x=2，
此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn)(2,0)；
若直線MN的斜率存在，
設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
聯(lián)立y=kx+mx2?y23=1，消去y并整理得(3?k2)x2?2kmx?m2?3=0，
此時(shí)3?k2≠0，
由韋達(dá)定理得x1+x2=2km3?k2，x1x2=?m2?33?k2，
因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線上，
所以x12?y123=1，
又A(?1,0)，B(1,0)，
可得kAM?kBM=y1x1+1?y1x1?1=y12x12?1=y12y123=3．
因?yàn)?k1+k2=0，
即kAM=?13kBN，
所以kBM?kBN=y1x1?1?y2x2?1=?9，
即(kx1+m)(kx2+m)=?9(x1?1)(x2?1)，
整理得(k2+9)x1x2+(km?9)(x1+x2)+m2+9=0，
所以(k2+9)??m2?33?k2+(km?9)?2km3?k2+m2+9=0，
化簡(jiǎn)得m2+3km+2k2=0，
解得m=?k或m=?2k．
當(dāng)m=?k時(shí)，直線MN的方程為y=k(x?1)，
此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn)B(1,0)，不符合題意；
當(dāng)m=?2k時(shí)，直線MN的方程為y=k(x?2)，
此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn)(2,0)，符合題意．
綜上所述，MN恒過(guò)定點(diǎn)(2,0)．

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