第2課時 垂線及其性質(zhì)
1．掌握垂線、垂線段、點到直線的距離等概念，理解關(guān)于垂線的基本事實，會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線．
2．通過探索垂線的性質(zhì)，能解決相關(guān)的垂線問題，并能夠進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼f理．
3．通過創(chuàng)設(shè)情境，利用變式訓(xùn)練等多種教學(xué)手段來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給學(xué)生創(chuàng)造成功的機(jī)會，讓他們愛學(xué)、會學(xué)且學(xué)會，從而體驗成功的快樂．
重點：垂線的畫法、關(guān)于垂線基本事實和性質(zhì)．
難點：垂線段最短及簡單應(yīng)用．

一、情境導(dǎo)入
如圖是教室的一幅圖片，黑板相鄰兩邊的夾角等于多少度？這樣的兩條邊所在的直線有什么位置關(guān)系？
二、合作探究
探究點一：垂線的概念
【類型一】 運(yùn)用垂線的概念求角度
如圖，直線BC與MN相交于點O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度數(shù)．
解析：要求∠AOM的度數(shù)，可先求它的余角．由已知∠EON＝20°，結(jié)合∠BOE＝∠NOE，即可求得∠BON.再根據(jù)對頂角相等即可求得；要求∠NOC的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可．
解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°.∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°.∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°.∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
方法總結(jié)：(1)由兩條直線互相垂直可以得出這兩條直線相交所成的四個角中，每一個角都等于90°；(2)在相交線中求角度，一般要利用垂直、對頂角相等、余角、補(bǔ)角等知識．
【類型二】 運(yùn)用垂線的概念判定兩直線垂直
如圖所示，已知OA⊥OC于點O，∠AOB＝∠COD，試判斷OB和OD的位置關(guān)系，并說明理由．

解析：由于OA⊥OC，根據(jù)垂直的定義，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°，又∠AOB＝∠COD，則∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°，再根據(jù)垂直的定義，得出OB⊥OD.
解：OB⊥OD，理由如下：因為OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.因為∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°.所以∠BOD＝90°.所以O(shè)B⊥OD.
方法總結(jié)：由垂直這一條件可得兩條直線相交構(gòu)成的四個角為直角，反過來，由兩條直線相交構(gòu)成的角為直角，可得這兩條直線互相垂直．判斷兩條直線垂直最基本的方法就是說明這兩條直線的夾角等于90°.
探究點二：垂線的畫法
如圖，平面上有三點A，B，C.
(1)畫直線AB，畫射線BC (不寫作法，下同)；
(2)過點A畫射線BC的垂線，垂足為G；過點A畫直線AB的垂線，交射線BC于點H.
解析：根據(jù)垂線的畫法“一落、二過、三畫”畫圖即可．
解：如圖所示．
方法總結(jié)：“一落、二過、三畫”：“一落”是指把三角板的一條直角邊落在已知直線上；“二過”是指使三角板的另一條直角邊過已知點；“三畫”是指沿已知點所在的直角邊畫直線．
探究點三：垂線的性質(zhì)和點到直線的距離
【類型一】 點到直線的距離的運(yùn)用
如圖，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5.
(1)試說出點A到直線BC的距離，點B到直線AC的距離；
(2)點C到直線AB的距離是多少？你能求出來嗎？
解析：(1)點A到直線BC的距離就是線段AC的長；點B到直線AC的距離就是線段BC的長；(2) 過點C作CD⊥AB，垂足為D.點C到直線AB的距離就是線段CD的長，可利用面積求得．
解：(1)點A到直線BC的距離是3，點B到直線AC的距離是4；
(2)過點C作CD⊥AB，垂足為D.因為三角形ABC的面積＝ eq \f(1,2) BC·AC＝ eq \f(1,2) AB·CD，所以5CD＝3×4，解得CD＝ eq \f(12,5) .所以點C到直線AB的距離為 eq \f(12,5) .
方法總結(jié)：點到直線的距離是過這一點作已知直線的垂線，垂線段的長度才是這一點到直線的距離．
【類型二】 “垂線段最短”的實際運(yùn)用
如圖所示，修一條路從A村到B村，再到公路MN，怎樣修才能使所修的路最短？畫出線路圖，并說明理由．
解析：連接AB，過點B作BC⊥MN即可．
解：連接AB，作BC⊥MN，C是垂足，線段AB和BC就是符合題意的線路圖．因為從A到B，線段AB最短，從B到MN，垂線段BC最短，所以AB＋BC最短．
方法總結(jié)：與垂線段有關(guān)的作圖，一般是過一點作已知直線的垂線，作圖的依據(jù)是“垂線段最短”．
三、板書設(shè)計
1．垂線的概念
兩條直線相交所成的4個角中，如果有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．
2．垂線的作法
3．垂線的性質(zhì)
過一點有且只有一條直線垂直于已知直線．
在連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短．
4．點到直線的距離
本節(jié)課學(xué)習(xí)了垂線的概念和垂線的性質(zhì)，垂直是相交的一種特殊情況，要說明兩條相交線的位置關(guān)系，一般都是垂直．垂線的兩條性質(zhì)中，不要遺漏條件“在同一平面內(nèi)”，以保證定理的精確性．對于垂線的概念和性質(zhì)，要讓學(xué)生理解記憶．

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初中數(shù)學(xué)滬科版（2024）七年級下冊（2024）電子課本 新教材

10.1 相交線

版本： 滬科版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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