考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。
3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。
4．本卷命題范圍：高考范圍。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．“暢通微循環(huán)，未來(lái)生活更舒適”．我國(guó)開(kāi)展一刻鐘便民生活圈建設(shè)，推進(jìn)生活服務(wù)業(yè)“規(guī)范化、連鎖化、便利化、品牌化、特色化、智能化”發(fā)展，以提質(zhì)便民為核心，高質(zhì)量建設(shè)國(guó)際消費(fèi)中心城市，便民商業(yè)體系向高品質(zhì)發(fā)展．某調(diào)研機(jī)構(gòu)成立5個(gè)調(diào)研小組，就4個(gè)社區(qū)的便民生活圈的建設(shè)情況進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)調(diào)研小組選擇其中1個(gè)社區(qū)，要求調(diào)研活動(dòng)覆蓋被調(diào)研的社區(qū)，共有派出方案種數(shù)為（ ）
A．120B．240C．360D．480
5．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．8B．9C．16D．17
6．已知向量，，若，則（ ）
A．B．C．D．
7．已知圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內(nèi)切球的半徑為（ ）
A．B．C．D．
8．已知橢圓：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，是上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)7，8，9，11，10，14，18的平均數(shù)為11
B．?dāng)?shù)據(jù)7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位數(shù)為16
C．隨機(jī)變量，則標(biāo)準(zhǔn)差為2
D．設(shè)隨機(jī)事件和，已知，，，則
10．正方體的棱長(zhǎng)為2，是正方形的中心，為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．
B．直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為
C．不存在點(diǎn)使得平面
D．三棱錐的體積為定值
11．已知為定義在上的偶函數(shù)且不是常函數(shù)，，，若是奇函數(shù)，則（ ）
A．的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
B．
C．是奇函數(shù)
D．與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．若函數(shù)的部分圖象如圖，則的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為_(kāi)_______．
13．已知，，，則的最小值是________．
14．已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的左支上，，，延長(zhǎng)交的右支于點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)），則直線(xiàn)與的斜率之積________．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（本小題滿(mǎn)分13分）
記的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，的面積為，且．
（1）證明：；
（2）求的外接圓的半徑．
16．（本小題滿(mǎn)分15分）
如圖，已知四邊形為菱形，平面，平面，．
（1）證明：平面平面；
（2）若平面平面，求的長(zhǎng)．
17．（本小題滿(mǎn)分15分）
2023年9月23日第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州開(kāi)幕，本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目．為研究不同性別學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況，某學(xué)校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件“了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，．
（1）根據(jù)已知條件，填寫(xiě)下列列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)?
（2）現(xiàn)從該校了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取9名學(xué)生，再?gòu)倪@9名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，
18．（本小題滿(mǎn)分17分）
如圖，已知拋物線(xiàn)：與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，．
（1）若，求切線(xiàn)的方程；
（2）若，求證：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．
19．（本小題滿(mǎn)分17分）
已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2023~2024學(xué)年第二學(xué)期高三開(kāi)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)·數(shù)學(xué)
參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則
1．C 由可得
所以．故選C．
2．C 因?yàn)椋?，．故選C．
3．B 若兩直線(xiàn)平行，則有且，應(yīng)選B．
4．B 將這5個(gè)調(diào)研小組分成2，1，1，1這4個(gè)小組，然后派往4個(gè)社區(qū)，所以派出方案種數(shù)為．故選B．
5．A 設(shè)，則，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，，，仍成等比數(shù)列．
因?yàn)椋?br>所以
所以
故．故選A．
6．D 因?yàn)?，所以得?br>所以．故選D．
7．D 側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為，圓錐底邊的半徑滿(mǎn)足，解得，
所以該圓錐軸截面是一個(gè)兩腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為1的等腰三角形，底邊上的高為，設(shè)內(nèi)切球半徑為，
則，．故選D．
8．B 由題意知，，
所以，，所以，故的方程為，
設(shè)，又，，
故，，
所以．故選B．
9．ACD 對(duì)于A(yíng)，，即平均數(shù)為11，A正確；
對(duì)于B，該組數(shù)據(jù)共10個(gè)，則，
第80百分位數(shù)為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
方差為4，則標(biāo)準(zhǔn)差為2，C正確；
對(duì)于D，
，D正確．故選ACD．
10．ABD 對(duì)于A(yíng)項(xiàng)，在中，，是的中點(diǎn)，
所以，故A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是異面直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角（或其補(bǔ)角），
在中，，，
所以，故B正確；
對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，由于平面，平面，
所以平面，同理可證得平面，由于，，平面，所以平面平面，當(dāng)時(shí)，平面，所以平面，即存在點(diǎn)使得平面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，，故D正確．故選ABD．
11．ABC 由題意，得，即，
整理，得，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故A正確；
又為偶函數(shù)，則，所以，，所以，故B正確；
，故C正確；
因?yàn)?，所以與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤．故選ABC．
12．（答案不唯一） 由題圖可知，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以．因?yàn)椋?，所以?br>由題圖可知，所以，所以．
由題圖可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，，解得，．
又，所以，
所以．令，，解得，，
所以圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，，當(dāng)時(shí)，圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為．
13．14 由題意知，，，
則
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是14．
14．2 依題意，設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為，則，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以，
故由得，
因?yàn)椋?，所以?br>在中，
在中，
所以，則，，所以．
15．（1）證明：因?yàn)?br>所以2分
所以，4分
整理得，所以．6分
（2）解：由（1）知，又，所以，，8分
由余弦定理，得，
所以，10分
由正弦定理，得，所以13分
16．（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，
又平面，平面，所以平面2分
因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以?br>又平面，平面，所以平面4分
因?yàn)?，，平面?br>所以平面平面．6分
（2）解：設(shè)交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，所以，底面．
以為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋裕?br>設(shè)，則，，，，，8分
所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則
令，得；10分
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則
令，得13分
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以，解得，
故的長(zhǎng)為1．15分
17．解：（1）因?yàn)椋?br>所以對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目了解的女生為，了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生為，2分
結(jié)合男生和女生各50名，填寫(xiě)列聯(lián)表為：
3分
零假設(shè)：該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無(wú)關(guān)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷成立，
即該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無(wú)關(guān)7分
（2）由（1）知，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取9名學(xué)生，其中男生人數(shù)為（人）；
女生人數(shù)為（人）8分
由題意可得，隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3．
，
，
隨機(jī)變量的分布列如下：
13分
則15分
18．（1）解：顯然切線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)切線(xiàn)：，
代入，得，2分
由，解得4分
所以直線(xiàn)的方程為，
即．6分
（2）證明：設(shè)，，切線(xiàn)：，
代入，得8分
由，解得．9分
所以直線(xiàn)的方程為，即10分
同理直線(xiàn)的方程為11分
因?yàn)樵谥本€(xiàn)和上，
所以
可得點(diǎn)，在直線(xiàn)上，
所以直線(xiàn)的方程為14分
因?yàn)?，所以，則直線(xiàn)的方程為，
由可得
故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)17分
19．解：（1）由題意知的定義域?yàn)?，?分
若，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增；2分
若，令，得，令，得，4分
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞減5分
（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立，
即為對(duì)任意，恒有6分
令，則不等式等價(jià)于，
且，7分
令，，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，9分
所以，故在上單調(diào)遞增，
由，得對(duì)任意恒成立，11分
兩邊取對(duì)數(shù)，得，
所以對(duì)任意恒成立12分
令，則，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，15分
所以，即，
解得，
故的取值范圍為17分了解
不了解
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
了解
不了解
合計(jì)
男生
15
35
50
女生
30
20
50
合計(jì)
45
55
100
0
1
2
3

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