一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．0,1D．2,3
2．若且，則x取值的集合為（ ）
A．B．C．D．
3．已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 Sn，若 ，則 （ ）
A．24B．12C．20D．15
4．設(shè)向量，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
5．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A．0.1B．C．D．
6．已知某圓錐的側(cè)面積為，軸截面面積為1，則該圓錐的母線與底面所成的角為（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，，，則（ ）
A．1B．2C．4D．22
8．已知，，設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A．8B．4C．2D．1
二、多選題（本大題共3小題）
9．若隨機(jī)變量，且，則（ ）
A．B．
C．D．
10．如圖，函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ≤π2的圖象與軸的其中兩個(gè)交點(diǎn)為，，與軸交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，，，，則（ ）
A．的圖象不關(guān)于直線對稱
B．的最小正周期為
C．f-x+2的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
D．在5,7單調(diào)遞減
11．如圖，矩形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，將沿直線AM翻折成，連接，N為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法正確的是（ ）

A．不存在某個(gè)位置，使得
B．翻折過程中，CN的長是定值
C．若，則
D．若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積是
三、填空題（本大題共3小題）
12．在，角，，所對的邊分別為，，，，交AC于點(diǎn)，且，則的最小值為 ．
13．設(shè)是雙曲線C: 的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且，則面積為 .
14．對于任意的，函數(shù)滿足，函數(shù)滿足.若，，則 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在中，角，，所對的邊分別為，，．已知．
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求的值．
16．某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發(fā)放節(jié)日紅包．在一個(gè)不透明的袋子中裝有個(gè)形狀大小相同的標(biāo)有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機(jī)摸取m個(gè)球，摸完后全部放回袋中，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額．
(1)若，，當(dāng)袋中的球中有個(gè)所標(biāo)面值為元，1個(gè)為元，1個(gè)為元時(shí)，在員工所獲得的紅包數(shù)額不低于元的條件下，求取到面值為元的球的概率；
(2)若，，當(dāng)袋中的球中有1個(gè)所標(biāo)面值為元，2個(gè)為元，1個(gè)為元，1個(gè)為元時(shí)，求員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學(xué)期望與方差．
17．如圖，在三棱錐中，，，．
(1)證明：平面；
(2)若，E是棱上一點(diǎn)且，求平面與平面的夾角．
18．已知函數(shù)，，．
(1)討論：當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)當(dāng)時(shí)，，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．已知橢圓過點(diǎn)，且．
(1)求橢圓ω的方程；
(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓ω交于P，Q兩點(diǎn)，且直線l與x軸不重合，直線AP，AQ分別與y軸交于M，N兩點(diǎn)．求證為定值．
參考答案
1．【答案】A
【分析】圖中陰影部分表示的集合為，根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即圖中陰影部分表示的集合為.
故選A.
2．【答案】C
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)得方程，求解即得.
【詳解】，
因，則，即，
可得，，解得或7．
故選C．
3．【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，借助等比數(shù)列前 項(xiàng)和公式求出公比即可得解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列 an的公比為，顯然，否則，此等式不成立，
則，由，整理得，即，
因此，所以.
故選D.
4．【答案】C
【分析】利用求投影向量的公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】在方向上的投影向量為
.
故選C.
5．【答案】A
【分析】由條件結(jié)合正態(tài)密度曲線的對稱性可得，結(jié)合條件可求.
【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，
所以隨機(jī)變量的均值,
所以隨機(jī)變量的密度曲線關(guān)于對稱，
所以，
又，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故選A.
6．【答案】C
【分析】設(shè)相應(yīng)長度，根據(jù)圓錐的側(cè)面積和軸截面面積列式可得，再結(jié)合線面夾角運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，高為，
由題意可得：，解得，
設(shè)該圓錐的母線與底面所成的角為，則，
可得，所以該圓錐的母線與底面所成的角為.
故選C.
7．【答案】B
【分析】設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義即可求解.
【詳解】設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，
設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立，可得，所以，，
則．因?yàn)椋?，所以，?br>則，解得或．因?yàn)?，所以?br>故選B.
8．【答案】B
【分析】由化簡得，就底數(shù)進(jìn)行分類討論求解得到，最后利用常值代換法，由基本不等式即可求得.
【詳解】由可得，，即，也即，
因，①當(dāng)時(shí)，可得，即得；
②當(dāng)時(shí)，可得，即得，
綜上可得，，即，因
故由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值,等于4.
故選B.
【思路導(dǎo)引】由化簡得，就底數(shù)的正負(fù)進(jìn)行分類討論求解得到的關(guān)系，最后利用常值代換法，由基本不等式即可求得最值.
9．【答案】AC
【分析】利用二項(xiàng)分布的性質(zhì)及期望、方差公式計(jì)算一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>整理得，解得，
則，，.
故選AC.
10．【答案】ACD
【分析】先寫出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，得到方程，后根據(jù)構(gòu)造方程組解出，得到解析式，最后按照正弦型三角函數(shù)特征，結(jié)合對稱性，周期性，奇偶性和單調(diào)性逐個(gè)驗(yàn)證即可.
【詳解】由題可，，，則，
有，
，，
把代入上式，得，解得（負(fù)值舍去），
，，由，解得，
解得，，
對A，，故A正確；
對B：的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；
對C：，為奇函數(shù)，故C正確；
對D：當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，為奇函數(shù)，故D正確.
故選ACD.
11．【答案】ABD
【分析】對于A，取AD的中點(diǎn)為E，若，則可推出矛盾，即可判斷；對于B，結(jié)合余弦定理即可判斷；對于C，采用反證的方法，利用得出互相矛盾的結(jié)論，即可判斷；對于D，根據(jù)三棱錐體積最大，可得出平面平面，從而結(jié)合面面垂直性質(zhì)求出相關(guān)線段的長，確定三棱錐外接球球心，求出半徑，即可判斷
【詳解】對于A，取AD的中點(diǎn)為E，連接CE交MD于F，則四邊形為平行四邊形，如圖，

F為MD的中點(diǎn)，由于N為的中點(diǎn)，則，
如果，則，
由于，則，
由于共面且共點(diǎn)，故不可能有，同時(shí)成立，
即不存在某個(gè)位置，使得，A正確；
對于B，結(jié)合A的分析可知，且，
在中，，
由于均為定值，故為定值，
即翻折過程中，CN的長是定值，B正確；
對于C，如圖，取AM中點(diǎn)為O，由于，即，則，

若，由于平面，故平面，
平面，故，則，
由于，故，，則,
故，與矛盾，故C錯(cuò)誤；
對于D，由題意知，只有當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大；
設(shè)AD中點(diǎn)為E，連接，由于，則，
且，而平面平面，平面，
故平面，平面，故，
則，
從而，則,
即AD的中點(diǎn)E即為三棱錐的外接球球心，球的半徑為1，
故外接球的表面積是，D正確；
故選ABD.
【思路導(dǎo)引】解答本題的難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)結(jié)合三棱錐體積最大，可得平面平面，從而結(jié)合面面垂直性質(zhì)求出相關(guān)線段的長，確定三棱錐外接球球心，求出半徑，即可判斷.
12．【答案】
【分析】根據(jù)面積公式和，求出，故利用基本不等式“1”的代換求出最值，得到答案.
【詳解】，
，
，
，
，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
故答案為：.
13．【答案】3
【分析】利用雙曲線定理結(jié)合勾股定理求出的長，再利用三角形面積公式即可.
【詳解】由題意得雙曲線中，，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)，
根據(jù)雙曲線對稱性，不妨假設(shè)點(diǎn)在第一象限，
設(shè)，其中，
因?yàn)?，則，
根據(jù)勾股定理知，
即，解得（負(fù)舍），
則，則面積為.
故答案為：3.
14．【答案】2
【分析】利用賦值法先判定的周期性，化，再利用賦值法計(jì)算即可.
【詳解】令，得，則或（與矛盾舍去）.
令，得，則，
則，則，則.
又因?yàn)?，所以，則，
從而.
故答案為：2.
【思路導(dǎo)引】抽象函數(shù)的性質(zhì)問題通常用賦值法，通過巧妙賦值先判定的周期性，再利用賦值法計(jì)算函數(shù)值即可.
15．【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求出的大小，
（2）根據(jù)正弦定理即可求出的值，
（3）根據(jù)同角的三角形函數(shù)的關(guān)系，二倍角公式，兩角和的正弦公式即可求出．
【詳解】（1）由余弦定理以及，
則，
，
；
（2）由正弦定理，以及，，，可得；
（3）由，及，可得，
則，
，
．
16．【答案】(1)
(2)期望為；方差為
【分析】（1）記事件：員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，根據(jù)條件先求，再利用條件概率公式，即可求解；
（2）由題知可能取值為，再求出對應(yīng)的概率，利用期望和方差的計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】（1）記事件：員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，
因?yàn)榍蛑杏袀€(gè)所標(biāo)面值為元，1個(gè)為元，1個(gè)為元，且
，，，所以，
又，所以．
（2）設(shè)X為員工取得的紅包數(shù)額，則可能取值為，
所以，，
，，
所以，
．
17．【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）連接，通過證明得出結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出線線垂直來證明線面垂直即可；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算面面夾角即可.
【詳解】（1）連接，因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)?，，所以?
因?yàn)?，所以，則，所以，
因?yàn)?，平面?br>所以平面．
（2）易知，O為的中點(diǎn)，所以，
由（1）可知，兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線
分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，因?yàn)?，所以為正三角形?br>所以，，，
因?yàn)椋?，所以，?br>設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，
又平面的一個(gè)法向量為，
所以，即平面PAE與平面PAC的夾角為．
18．【答案】(1)答案見解析
(2)．
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，分別討論當(dāng)和導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）對求導(dǎo)，確定其最小值，從而將問題轉(zhuǎn)化成不等式成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，即可求解.
【詳解】（1），，
①當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，
因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，，
所以有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以有一個(gè)極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)．
②當(dāng)時(shí)，令，則，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
所以，即，所以的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，
當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．
（2），
由，得，由，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，使得，
所以只需成立，即不等式成立．
令，則，
則，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
又，所以，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
【思路導(dǎo)引】本題第二問的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求出，從而轉(zhuǎn)化為求出不等式成立．
19．【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題可得，進(jìn)而得出，即可得出橢圓方程；
（2）先考慮直線斜率不存在時(shí)，可得，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，得出韋達(dá)定理，得出直線的方程，可表示出坐標(biāo)，同理表示出的坐標(biāo)，進(jìn)而利用韋達(dá)定理可求出.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以.
因?yàn)?，所?
所以橢圓的方程為.
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為.
不妨設(shè)此時(shí)，，
所以直線的方程為，即.
直線的方程為，即.
所以.
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
由，得.
依題意，.
設(shè)，，則，.
又直線的方程為，
令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即，同理.
所以
.
綜上，為定值，定值為.
【方法總結(jié)】解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為Ax1,y1，Bx2,y2；
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；
（3）寫出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.

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