滿分 150 分， 考試時(shí)間 120 分鐘
注意事項(xiàng):
1. 答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息.
2. 請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上.
第 I 卷
一、單選題 (本題共 8 道題， 每小題 5 分， 共 40 分. 在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中， 只有 一項(xiàng)符合題目要求.)
1. 已知集合，則（ ）
A B. C. =D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接求兩集合的交集、并集，即可得解.
【詳解】根據(jù)題意，=，.
故選：C.
2. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)存在量詞命題否定為全稱量詞命題即可得解.
【詳解】因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定為全稱量詞命題，
所以命題“”的否定是.
故選：C.
3. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于的解析式，即可解得的定義域.
【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得，
因此，函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：C.
4. 設(shè) ，則 的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較的大小，且比較與1的大小，從而得到結(jié)論．
【詳解】因?yàn)樵赗上增函數(shù)，所以，即，
又在R上減函數(shù)，所以，即，所以.
故選：D.
5. 設(shè)x∈R，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義結(jié)合集合的包含關(guān)系可解．
【詳解】由解得：；
因?yàn)?,1，且0,1，
所以“”是“”的充分不必要條件．
故選：A
6. 函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（ ）
A. B. C. 和D.
【答案】B
【解析】
【分析】判斷函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算，得到答案.
【詳解】函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，，，
故函數(shù)在有唯一零點(diǎn).
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查了零點(diǎn)存在定理，確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
7. 已知，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所?
故選：A.
8. 已知函數(shù) 是 上的奇函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) ，若 則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. (1，2)D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)是奇函數(shù)，求出函數(shù) 的解析式，再利用 與 的關(guān)系得到的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，
又，即，所以，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
若則，
或，
故選：D.
二、多選題 (本題共 3 小題， 每小題 6 分， 共 18 分. 每小題給出的選項(xiàng)中， 有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)得 6 分， 部分選對(duì)的得部分分， 選錯(cuò)或者不選得 0 分.)
9. 如果，那么下面結(jié)論一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由不等式的性質(zhì)即可判斷ABC，舉反例即可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以，，，故ABC正確，
取，則，故D錯(cuò)誤.
故選；ABC.
10. 下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?br>B. 函數(shù)的最小值為3
C. 和表示同一個(gè)函數(shù)
D. 是奇函數(shù)且最小正周期是π
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域計(jì)算判定A，換元應(yīng)用基本 不等式 判斷B，根據(jù)函數(shù)定義域判定同一函數(shù)判斷C，應(yīng)用誘導(dǎo)公式計(jì)算化簡得出奇函數(shù)及周期判斷D.
【詳解】A、由的定義域?yàn)椋?，則的定義域?yàn)椋蔄正確；
B、因?yàn)?，所以，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即x=0時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為3，故B正確；
C、的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，不是同一個(gè)函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
D、是奇函數(shù)，根據(jù)公式求得其最小正周期，D錯(cuò)誤.
故選：CD.
11. 已知定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①，；②，當(dāng)時(shí)，；③.則下列選項(xiàng)成立的是（ ）
A
B. 若，則或
C 若，則
D. ，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶性、單調(diào)性定義易知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，進(jìn)而逐項(xiàng)分析各項(xiàng)的正誤．
【詳解】由①，，得為偶函數(shù)，
②，，當(dāng)時(shí)，都有，所以在上單調(diào)遞減，
故,故A正確；
對(duì)于B，由,可得或，解得或，故B正確；
對(duì)于C，由，得，
若，則或，解得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由為上的偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是連續(xù)不斷的，所以為的最大值，
所以，，使得，故D正確．
故選：ABD
第 II 卷
三、填空題 (本題共 3 小題， 每小題 5 分， 共 15 分.)
12. 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為__________．
【答案】
【解析】
【詳解】按三角函數(shù)的定義，有.
13. 已知，則________．
【答案】
【解析】
【分析】先求得，然后求得.
【詳解】依題意，
所以.
故答案為：
14. 已知函數(shù)，則______.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知：，，
所以.
故答案為：1
四、解答題 (本題共 5 小題， 共 77 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
15. 已知，求下列各式的值：（1）；（2）.
【答案】（1）7；（2）47.
【解析】
【分析】
（1）對(duì)等式兩邊同時(shí)平方即可得解；
（2）根據(jù)（1）對(duì)兩邊同時(shí)平方即可得解.
【詳解】（1），∴兩邊平方得..
（2）由（1）知，兩邊平方得.
【點(diǎn)睛】此題考查與指數(shù)冪運(yùn)算相關(guān)的化簡求值，關(guān)鍵在于找準(zhǔn)關(guān)系，準(zhǔn)確化簡代換求值.
16. 計(jì)算或化簡下列各式:
（1）計(jì)算
（2）化簡
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則即可求解；
（2）根據(jù)指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則與性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
原式.
17. 已知函數(shù)，且．
（1）求；
（2）根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
（3）在區(qū)間上，若函數(shù)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由，求解即可；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可.
【小問1詳解】
∵，
∴，
∴.
【小問2詳解】
由于，
證明：，且，
則
，
∵，
∴，
∴，即，
故在上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
∵在上單調(diào)遞增，所以，
∴， ，
∴.
18. 已知，化簡計(jì)算下列各式的值．
（1）；
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）75
（3）-2
【解析】
【分析】（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系弦化切，可得正弦余弦齊次式，再代入可得結(jié)果．
（2）將分母1化為正弦與余弦的平方和，弦化切，可得正弦余弦齊次式，再代入可得結(jié)果
（3）利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)化簡，結(jié)合可得答案．
【小問1詳解】
因?yàn)椋?
【小問2詳解】
75.
【小問3詳解】
＝.
19. 已知，.
（1）當(dāng)且是第四象限角時(shí)，求的值；
（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.（）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出、的值，再結(jié)合立方差公式可求得所求代數(shù)式的值；
（2）由已知可得出，，分、兩種情況討論，在時(shí)直接驗(yàn)證即可，在時(shí)，由參變量分離法可得出，結(jié)合基本不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，綜合可得結(jié)果.
【小問1詳解】
解：因?yàn)?，即，則，
即，
所以.
因?yàn)槭堑谒南笙藿?，則，，所以，所以，
所以.
【小問2詳解】
解：由，可得，
則方程可化，.
①當(dāng)時(shí)，，顯然方程無解；
②當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于.
當(dāng)時(shí)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，
故，
所以要使得關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則.
故的取值范圍是.

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