
大家在掌握幾何模型時,多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論,而忽視幾何模型的證明思路及方法,導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的,學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背,要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶,這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用,并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展,所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是:①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型;②記住結(jié)論,但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法;③ 明白模型中常見的易錯點(diǎn),因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯點(diǎn)。當(dāng)然,以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求,因?yàn)轭}目的多變性,若想在幾何學(xué)習(xí)中突出,還需做到的是,在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練,深刻認(rèn)識幾何模型,認(rèn)真理解每一個題型,做到活學(xué)活用!
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc6819" PAGEREF _Tc6819 \h 2
\l "_Tc11813" 模型1.奔馳模型1(點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)) PAGEREF _Tc11813 \h 2
\l "_Tc30381" 模型2.奔馳模型2(點(diǎn)在等腰直角三角形內(nèi)) PAGEREF _Tc30381 \h 4
\l "_Tc3358" 模型3.奔馳模型3(點(diǎn)在三角形外-雞爪模型) PAGEREF _Tc3358 \h 6
\l "_Tc19996" PAGEREF _Tc19996 \h 9
模型1.奔馳模型1(點(diǎn)在等邊三角形內(nèi))
此模型通常會和旋轉(zhuǎn)一起來考查,還會綜合勾股定理的知識來解題。為什么和旋轉(zhuǎn)-起考查,因?yàn)樾D(zhuǎn)的特征是:共頂點(diǎn)等線段。等邊三角形,三邊相等,每一個頂點(diǎn)出發(fā)都有兩個相等線段,都符合共頂點(diǎn)等線段。等邊三角形三個頂點(diǎn)都可以作為旋轉(zhuǎn)中心(如上圖的旋轉(zhuǎn))。
條件:如圖,已知正三角形內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足(??紨?shù)據(jù):BP=3,AP=4,CP=5),
結(jié)論:∠APB=150°。(注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明)
常用結(jié)論 等邊三角形的面積公式:(選填題非常適用)
證明:以AP為邊向左側(cè)作等邊三角形APP’,連接P’C。
∵三角形ABC和三角形APP’都為等邊三角形;∴AB=AC,AP=AP’=PP’,∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°;
∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC,∴∠BAP=∠P’AC,∴(SAS),∴BP=CP’,∠APB=∠AP’C;
∵,∴,∴∠PP’C=90°,
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°;∴∠APB=150°。
注意:多線段共端點(diǎn)??夹D(zhuǎn)。
例1.(23-24八年級下·廣東深圳·期中)如圖,點(diǎn)P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn),且,,,則的度數(shù)為 .
例2.(2022·湖南·中考真題)如圖,點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),,,,則與的面積之和為( )
A.B.C.D.
例3.(2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測)如圖,,都是等邊三角形,將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)A,D,E在同一直線上,連接.若,,則的長是 .
例4.(2024·安徽·一模)如圖,P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn),且,,,以為邊在外作,連接,則以下結(jié)論中不正確的是( )
A.B.C.D.
例5.(24-25九年級上·廣東廣州·開學(xué)考試)如圖,是正內(nèi)一點(diǎn),,,,將線段BO以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,下列結(jié)論,①可以由繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到;②點(diǎn)與的距離為5;③;④四邊形面積;⑤,其中正確的結(jié)論是( )
A.①④⑤B.①③④C.①③④⑤D.①③⑤
模型2.奔馳模型2(點(diǎn)在等腰直角三角形內(nèi))
條件:如圖,已知等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足,
結(jié)論:∠CPB=135°。(注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明)
證明:以AP為邊向左側(cè)作等腰直角三角形APP’,連接P’C。
∵三角形ABC和三角形APP’都為等腰直角三角形;
∴AB=AC,AP=AP’,∠BAC=∠PAP’=90°,,∠AP’P=45°;
∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC,∴∠PAB=∠P’AC,∴(SAS),∴BP=CP’,∠APB=∠AP’C;
∵,∴,∴∠PP’C=90°,
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°;∴∠APB=135°。
例1.(23-24九年級上·湖北孝感·階段練習(xí))如圖,等腰直角,點(diǎn)P在內(nèi),,,則PB的長為( )
A.B.C.5D.5
例2.(2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測)如圖,在正方形外取一點(diǎn)E,連接,,,過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)P,若,則下列結(jié)論:①;②;③點(diǎn)C到直線的距離為;④其中結(jié)論正確的個數(shù)有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
例3.(2023年湖北省武漢市中考一模)如圖,中,,,.點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn),且滿足.當(dāng)?shù)拈L度最小時,則的面積是 .
例4.(2024·河北·??家荒#┤鐖D1,在正方形內(nèi)有一點(diǎn)P,,,,求的度數(shù).
【分析問題】根據(jù)已知條件比較分散的特點(diǎn),我們可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起,于是將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn),得到了(如圖2),然后連結(jié)PP'.
【解決問題】請你通過計(jì)算求出圖2中的度數(shù);
【比類問題】如圖3,若在正六邊形內(nèi)有一點(diǎn)P,且,,.
(1)的度數(shù)為 ;(2)直接寫出正六邊形的邊長為 .
模型3.奔馳模型3(點(diǎn)在三角形外-雞爪模型)
模型1)條件:如圖1,點(diǎn)P在等邊三角形ABC外,若,結(jié)論:∠CPA=30°。
模型2)條件:如圖2,點(diǎn)P在等腰直角三角形ABC外,若 ,結(jié)論:∠APC=45°。
(注意:上述兩個模型結(jié)論和條件互換也成立)
圖1 圖2
雞爪就是模型本質(zhì)就是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”,構(gòu)造出全等三角形,實(shí)現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化,結(jié)合勾股定理,非常有意思。連完輔助線往往會產(chǎn)生新的直角三角形、等邊三角形等。
模型1)證明:以AP為邊向右側(cè)作等邊三角形ADP,連接DC。
∵三角形ABC和三角形ADP都為等邊三角形;∴AB=AC,AP=AD=DP,∠BAC=∠PAD=∠APD=60°;
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC,∴∠BAP=∠CAD,∴(SAS),∴BP=CD;
∵,∴,∴∠DPC=90°,∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。
模型2)證明:以AP為邊向上方作等腰直角三角形APP’,且∠PAD=90°,連接P’C。
∵三角形ABC和三角形APD都為等腰直角三角形;
∴AB=AC,AP=AD,∠BAC=∠PAD=90°,,∠APD=45°;
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC,∴∠PAB=∠DAC,∴(SAS),∴BP=CD;
∵,∴,∴∠DPC=90°,∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。
例1.(2024九年級上·重慶·專題練習(xí))如圖,是等邊三角形外一點(diǎn),,,,求的度數(shù).
例2.(2023·廣西賀州·二模)如圖,點(diǎn)P為等邊三角形外一點(diǎn),連接,,若,,,則的長是 .
例3.(23-24八年級上·江蘇無錫·期中)如圖,在四邊形ABCD中,AD=5,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,則BD的長為( )
A.B.C.D.
例4.(23-24九年級上·湖北武漢·階段練習(xí))【問題情境】在數(shù)學(xué)課上,老師出了這樣一個問題:“如圖1,在四邊形中,,,,,,求CD的長.”經(jīng)過小組合作交流,找到了解決方法:構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等.將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到,連接DE.則是等邊三角形,所以,導(dǎo)角可得,所以.
(1)請補(bǔ)全圖形;
【探究應(yīng)用】(2)如圖2,在中,,.D為外一點(diǎn),且,,求的度數(shù);
【拓展延伸】(3)如圖3,在中,,,于D,M為AD上一點(diǎn),連接BM,N為BM上一點(diǎn),若,,,連接,請直接寫出線段的長______.
1.(2024九年級·重慶·期中)如圖,在等邊內(nèi)有一點(diǎn),使得,那么以,,的長度為邊長的三角形的三個內(nèi)角的大小之比為 .
2.(23-24九年級下·吉林·階段練習(xí))旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一,利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對集中,以達(dá)到解決問題的目的.
【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①,在等邊三角形內(nèi)部有一點(diǎn),,,,求的度數(shù).
解:如圖①,將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接,.
,,是等邊三角形,,,
是等邊三角形,,,
,即.請你補(bǔ)充完整解答過程.
【應(yīng)用問題】如圖②,在正方形內(nèi)有一點(diǎn),若,,,則 .
【拓展問題】如圖③,在正方形中,對角線,相交于點(diǎn),在直線上方(包括直線)有一點(diǎn),,,連接,則線段的最大值為 .
3.(23-24九年級上·山西呂梁·期末)閱讀下面材料:張明同學(xué)遇到這樣一個問題:如圖1,在正三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且,,,求的度數(shù).
張明同學(xué)是這樣思考的:如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造,連接,得到兩個特殊的三角形,從而將問題解決.
(1)請你計(jì)算圖1中的度數(shù);(2)參考張明同學(xué)思考問題的方法,解決下列問題:如圖3,在正方形內(nèi)有一點(diǎn),且,,,求的度數(shù).
4.(23-24九年級上·重慶沙坪壩·期末)(1)已知如圖1,在中,,,點(diǎn)在內(nèi)部,點(diǎn)在外部,滿足,且.求證:.
(2)已知如圖2,在等邊內(nèi)有一點(diǎn),滿足,,,求的度數(shù).
5.(2023·四川綿陽·一模)如圖,四邊形是正方形,點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn),
(1)若點(diǎn)在正方形內(nèi),如圖1,,求的度數(shù);
(2)若點(diǎn)在正方形外,如果,如圖2,且,求的長.(用表示)
6.(23-24九年級上·浙江紹興·階段練習(xí))閱讀材料題:浙教版九上作業(yè)本①第18頁有這樣一個題目:已知,如圖一,P是正方形ABDC內(nèi)一點(diǎn),連接PA、PB、PC,若PC=2,PA=4,∠APC=135°,求PB的長.
小明看到題目后,思考了許久,仍沒有思路,就去問數(shù)學(xué)老師,老師給出的提示是:將△PAC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB,再利用勾股定理即可求解本題. 請根據(jù)數(shù)學(xué)老師的提示幫小明求出圖一中線段PB的長為 .
【方法遷移】:已知:如圖二,△ABC為正三角形,P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn),若PC=1,PA=2,PB=,求∠APB的大小.
【能力拓展】:已知:如圖三,等腰三角形ABC中∠ACB=120°,D、E是底邊AB上兩點(diǎn)且∠DCE=60°,若AD=2,BE=3,求DE的長.
7.(2024·河南·校考一模)(1)閱讀理解:利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法.如圖,點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),,求的度數(shù).為利用已知條件,不妨把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°得,連接,則的長為_______;在中,易證,且的度數(shù)為_____,綜上可得的度數(shù)為__ ;(2)類比遷移:如圖,點(diǎn)是等腰內(nèi)的一點(diǎn),.求的度數(shù);(3)拓展應(yīng)用:如圖,在四邊形中,,請直接寫出BD的長.
6.(23-24九年級上·山東德州·期中)當(dāng)圖形具有鄰邊相等的特征時,我們可以把圖形的一部分繞著公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn),這樣將分散的條件集中起來,從而達(dá)到解決問題的目的.
(1)如圖1,等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,連接AP,BP,CP,∠APB=135°,為探究AP,BP,CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系,我們可以將△ABP,繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP',連接PP',則PP'= AP,△CPP'是 三角形,AP,BP,CP三條線段的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)如圖2,等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,連接AP、BP、CP,∠APB=150°,請借助第一問的方法探究AP、BP、CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系.
(3)如圖3,在四邊形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)P在四邊形的內(nèi)部,且PD=PC,∠CPD=90°,∠APB=135°,AD=4,BC=5,請直接寫出AB的長.
7.(2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測)(問題提出)如圖1,在等邊內(nèi)部有一點(diǎn)P,,,,求的度數(shù).
(數(shù)學(xué)思考)當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時,通過旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中起來解決問題.
【嘗試解決】將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn),得到,連接,則為等邊三角形.,又,,,為 三角形,的度數(shù)為 .
【類比探究】如圖2,在中,,,其內(nèi)部有一點(diǎn)P,若,,,求的度數(shù).
【聯(lián)想拓展】如圖3,在中,,,其內(nèi)部有一點(diǎn)P,若,,,求的度數(shù).
8.(23-24九年級上·云南曲靖·階段練習(xí))如圖,在等邊內(nèi)有一點(diǎn),且,,,若把繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,.
(1)求的度數(shù);(2)求的長.(3)求點(diǎn)劃過的路徑長;
(4)當(dāng)時,如果是由旋轉(zhuǎn)所得,求掃過的區(qū)域的面積.
9.(23-24九年級上·湖北武漢·期中)如圖,在等腰中,,點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),連接,且,設(shè).
(1)如圖1,若,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至,連結(jié),易證為等邊三角形,則 , ;(2)如圖2,若,則 , ;
(3)如圖3,試猜想和之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
10.(23-24九年級上·廣東深圳·期中)【問題背景】:如圖1,在等邊中,點(diǎn)D是等邊內(nèi)一點(diǎn),連結(jié),,將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連結(jié),觀察發(fā)現(xiàn):與的數(shù)量關(guān)系為 , 度;
【嘗試應(yīng)用】:如圖2,在等腰中,,,點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn),連結(jié),,, ,,,求面積.
【拓展創(chuàng)新】:如圖3,在等腰中,,,點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn),且,,則的值為 .
11.(23-24九年級·遼寧鞍山·期中)問題情境,利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)探索:每位同學(xué)在紙上畫好,,,要求同學(xué)們利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)某一條線段,探究圖形中的結(jié)論.
問題發(fā)現(xiàn),某小組將線段繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,旋轉(zhuǎn)角設(shè)為,連接、,如圖1所示.如圖2,小李同學(xué)發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)落在邊上時,;
如圖3,小王同學(xué)發(fā)現(xiàn),當(dāng)每改變一個度數(shù)時,的長也隨之改變.……
問題提出與解決,該小組根據(jù)小李同學(xué)和小王同學(xué)的發(fā)現(xiàn),討論后提出問題1,請你解答.
如圖1,在中,,,將線段繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,設(shè)轉(zhuǎn)角設(shè)為,連接、.(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)落在邊上時,求證:;(2)如圖3,當(dāng)時,若,求的長.(3)拓展延伸,小張同學(xué)受到探究過程的啟發(fā),將等腰三角形的頂角改為,嘗試畫圖,并提出問題請你解答.如圖4,中,,,將線段繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,旋轉(zhuǎn)角,連接、,求的度數(shù).
12.(2024·吉林長春·一模)旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一,利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對集中,以達(dá)到解決問題的目的.
(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①,在等邊三角形內(nèi)部有一點(diǎn)P,,,,求的度數(shù).愛動腦筋的小明發(fā)現(xiàn):將線段繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接、,則,然后利用和形狀的特殊性求出的度數(shù),就可以解決這道問題.
下面是小明的部分解答過程:
解:將線段繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段.,連接、,
∵,,∴是等邊三角形,∴,.
∵是等邊三角形,∴,,
∴,即.
請你補(bǔ)全余下的解答過程.(2)【類比遷移】如圖②,在正方形內(nèi)有一點(diǎn)P,且,,,則______度.(3)【拓展延伸】如圖③,在正方形中,對角線、交于點(diǎn)O,在直線上方有一點(diǎn)P,,,連接,則線段的最大值為______.
13.(23-24九年級上·吉林長春·階段練習(xí))【幾何感知】如圖(1),在中,點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn),連接AD,點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn),連接PB、PC得到有公共邊的兩個和,求證:.
【類比遷移】如圖(2),在中,點(diǎn)D、E、F分別為線段BC、AC、AB上的點(diǎn),線段AD、BE、CF交于點(diǎn)P,若,,則 .
【拓展遷移】如圖(3),在中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,點(diǎn)P為內(nèi)部一點(diǎn),且,則線段AP= .
14.(23-24九年級上·山東德州·期中)【閱讀材料】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動中,小明同學(xué)遇到了如下問題:如圖1,在等邊△ABC中,點(diǎn)P在內(nèi)部,且PA=3,PC=4,∠APC=150°,求PB的長.經(jīng)過同學(xué)們的觀察、分析、思考、交流,對上述問題形成了如下想法:將△APC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△ABD,連接PD,尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系.即能求PB= 請參考他們的想法,完成下面問題:
【學(xué)以致用】如圖2,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),PA=5,PC=2,∠BPC=135°,求PB的長;
【能力拓展】如圖3,等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,D、E是底邊AB上的兩點(diǎn)且∠DCE=60°,若AD=2,BE=3,求DE的長.
15.(2024·陜西西安·模擬預(yù)測)問題探究:(1)如圖①,已知在△ABC中,BC=4,∠BAC=45°,則AB的最大值是 .(2)如圖②,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,D為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且AD=2,BD=2.,CD=6,請求出∠ADB的度數(shù).
問題解決:(3)如圖③,某戶外拓展基地計(jì)劃在一處空地上修建一個新的拓展游戲區(qū)△ABC,且AB=AC.∠BAC=120°,點(diǎn)A、B、C分別是三個任務(wù)點(diǎn),點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一個打卡點(diǎn).按照設(shè)計(jì)要求,CP=30米,打卡點(diǎn)P對任務(wù)點(diǎn)A、B的張角為120°,即∠APB=120°.為保證游戲效果,需要A、P的距離與B、P的距離和盡可能大,試求出AP+BP的最大值.
16.(2024山東??级#静僮靼l(fā)現(xiàn)】如圖①,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.(1)請按要求畫圖:將△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′,連接BB′(2)在(1)所畫圖形中,∠AB′B= .
【問題解決】如圖②,在等邊三角形ABC中,AC=,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面積.小明同學(xué)通過觀察、分析、思考,對上述問題形成了如下想法:
想法一:將△APC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′B,連接PP′,尋找線段PA、PC之間數(shù)量關(guān)系;
想法二:將△APB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′C′,連接PP′,尋找線段PA、PC之間的數(shù)量關(guān)系;
請參考小明同學(xué)的想法,完成該問題的解答過程.(求解一種方法即可)
【靈活運(yùn)用】如圖③,在四邊形ABCD中,AE⊥BC,垂足為E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB(k為常數(shù)),直接寫出BD的長(用含k的式子表示).
17.(23-24遼寧九年級上期中)【問題初探】(1)如圖1,為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),滿足,,,試求的大小.李明同學(xué)的思路是:將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形,再連接.將求分成求和的和即可.請你按照李明同學(xué)給出的旋轉(zhuǎn)的思路,求的大??;
【問題解決】(2)如圖2,在正方形中,,分別為,邊上的點(diǎn),滿足,若,,求的面積;
【問題拓展】(3)如圖3,在四邊形,,,,求的長.
18.(23-24九年級上·重慶江北·期末)【問題背景】如圖1,P是等邊三角形外一點(diǎn),,則.小明為了證明這個結(jié)論,將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn),請根據(jù)此思路完成其證明;
【遷移應(yīng)用】如圖2,在等腰直角三角形中,,,點(diǎn)P在外部,且,若的面積為5.5,求;
【拓展創(chuàng)新】如圖3,在四邊形中,,點(diǎn)E在四邊形內(nèi)部,且,,,,,直接寫出的長.
專題17 全等三角形模型之奔馳模型
對于奔馳模型我們主要是可以通過一些幾何變化,把其中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移,以達(dá)到聚合條件,推出我們想要的結(jié)論的目的。對于幾何變化,目前學(xué)過的主要有:軸對稱,平移,旋轉(zhuǎn),位似等。對于“奔馳模型”我們主要采用旋轉(zhuǎn)的方法進(jìn)行變換。對于旋轉(zhuǎn)處理,我們主要分為:旋轉(zhuǎn)全等,旋轉(zhuǎn)相似。 今天的這主要講“奔馳模型”之旋轉(zhuǎn)全等類型。
大家在掌握幾何模型時,多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論,而忽視幾何模型的證明思路及方法,導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的,學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背,要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶,這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用,并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展,所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是:①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型;②記住結(jié)論,但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法;③ 明白模型中常見的易錯點(diǎn),因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯點(diǎn)。當(dāng)然,以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求,因?yàn)轭}目的多變性,若想在幾何學(xué)習(xí)中突出,還需做到的是,在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練,深刻認(rèn)識幾何模型,認(rèn)真理解每一個題型,做到活學(xué)活用!
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc6685" PAGEREF _Tc6685 \h 2
\l "_Tc5121" 模型1.奔馳模型1(點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)) PAGEREF _Tc5121 \h 2
\l "_Tc10399" 模型2.奔馳模型2(點(diǎn)在等腰直角三角形內(nèi)) PAGEREF _Tc10399 \h 7
\l "_Tc7061" 模型3.奔馳模型3(點(diǎn)在三角形外-雞爪模型) PAGEREF _Tc7061 \h 13
\l "_Tc18736" PAGEREF _Tc18736 \h 18
模型1.奔馳模型1(點(diǎn)在等邊三角形內(nèi))
此模型通常會和旋轉(zhuǎn)一起來考查,還會綜合勾股定理的知識來解題。為什么和旋轉(zhuǎn)-起考查,因?yàn)樾D(zhuǎn)的特征是:共頂點(diǎn)等線段。等邊三角形,三邊相等,每一個頂點(diǎn)出發(fā)都有兩個相等線段,都符合共頂點(diǎn)等線段。等邊三角形三個頂點(diǎn)都可以作為旋轉(zhuǎn)中心(如上圖的旋轉(zhuǎn))。
條件:如圖,已知正三角形內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足(??紨?shù)據(jù):BP=3,AP=4,CP=5),
結(jié)論:∠APB=150°。(注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明)
常用結(jié)論 等邊三角形的面積公式:(選填題非常適用)
證明:以AP為邊向左側(cè)作等邊三角形APP’,連接P’C。
∵三角形ABC和三角形APP’都為等邊三角形;∴AB=AC,AP=AP’=PP’,∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°;
∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC,∴∠BAP=∠P’AC,∴(SAS),∴BP=CP’,∠APB=∠AP’C;
∵,∴,∴∠PP’C=90°,
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°;∴∠APB=150°。
注意:多線段共端點(diǎn)??夹D(zhuǎn)。
例1.(23-24八年級下·廣東深圳·期中)如圖,點(diǎn)P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn),且,,,則的度數(shù)為 .
【答案】150
【分析】將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的.首先證明,推出,,所以為等邊三角形,得,可得,,,,即可得到為直角三角形,則,所以;由此即可解決問題.
【詳解】解:如圖,將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的.
∴,∴,,
∴為等邊三角形,∴,,
∵,,∴,∴為直角三角形,
∴,∴;故答案為:150.
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識,解題的關(guān)鍵是勾股定理逆定理的應(yīng)用,屬于中考??碱}型.
例2.(2022·湖南·中考真題)如圖,點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),,,,則與的面積之和為( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得,連接,得到是等邊三角形,再利用勾股定理的逆定理可得,從而求解.
【詳解】解:將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得,連接,
,,,是等邊三角形, ,
∵,,,,
與的面積之和為.故選:C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識,利用旋轉(zhuǎn)將與的面積之和轉(zhuǎn)化為,是解題的關(guān)鍵.
例3.(2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測)如圖,,都是等邊三角形,將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)A,D,E在同一直線上,連接.若,,則的長是 .
【答案】
【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意證明,即可求解.
【詳解】解:,都是等邊三角形,,,
,,,
在和中,,,,
,,,,.故答案為:.
例4.(2024·安徽·一模)如圖,P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn),且,,,以為邊在外作,連接,則以下結(jié)論中不正確的是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形,得出∠ABC=60°,根據(jù)△BQC≌△BPA,得出∠CBQ=∠ABP,PB=QB=4,PA=QC=3,∠BPA=∠BQC,求出∠PBQ=60°,即可判斷A;根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷B;根據(jù)△BPQ是等邊三角形,△PCQ是直角三角形即可判斷D;求出∠APC=150°-∠QPC,和PC≠2QC,可得∠QPC≠30°,即可判斷C.
【詳解】解:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=60°,
∵△BQC≌△BPA,∴∠CBQ=∠ABP,PB=QB=4,PA=QC=3,∠BPA=∠BQC,
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,所以A正確,不符合題意;
PQ=PB=4,PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,∴PQ2+QC2=PC2,
∴∠PQC=90°,所以B正確,不符合題意;
∵PB=QB=4,∠PBQ=60°,∴△BPQ是等邊三角形,∴∠BPQ=60°,
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°,所以D正確,不符合題意;
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC,∵PC=5,QC=PA=3,∴PC≠2QC,
∵∠PQC=90°,∴∠QPC≠30°,∴∠APC≠120°.所以C不正確,符合題意.故選:C.
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題,考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理,解決本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上知識.
例5.(24-25九年級上·廣東廣州·開學(xué)考試)如圖,是正內(nèi)一點(diǎn),,,,將線段BO以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,下列結(jié)論,①可以由繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到;②點(diǎn)與的距離為5;③;④四邊形面積;⑤,其中正確的結(jié)論是( )
A.①④⑤B.①③④C.①③④⑤D.①③⑤
【答案】C
【分析】根據(jù)正三角形性質(zhì),得,;根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得,,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),可判斷②,通過證明,即可判斷①;根據(jù)勾股定理逆定理,得,結(jié)合等邊三角形 ,可判斷③;根據(jù)等腰三角形三線合一和勾股定理的性質(zhì),可計(jì)算得,從而判斷④;繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,根據(jù)等腰三角形、勾股定理及其逆定理的性質(zhì)計(jì)算,可判斷⑤,即可得到答案.
【詳解】解:連接,如下圖:∵正 ∴,
∵線段以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,
∴, ∴為等邊三角形∴,即②錯誤;
∵, ∴
和中 ∴
∴,可以由繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到,即①正確;
∵,∴ ∴
∵為等邊三角形∴ ∴,即③正確;
∵∴ 過點(diǎn)B做,交于點(diǎn)N
∵為等邊三角形∴ ∴ ∴
∴ ∴四邊形面積,即④正確;
∵正 ∴繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,如下圖:
∵,,, ∴為等邊三角形∴
過點(diǎn)A做,交于點(diǎn)G,如下圖:∵為等邊三角形∴ ∴
∴ ∴
∵,,∴ ∴
∴ ∴
∴,即⑤正確;故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、旋轉(zhuǎn)、全等三角形、勾股定理逆定理的知識;解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)、等邊三角形、等腰三角形三線合一、勾股定理及其逆定理的性質(zhì),從而完成求解.
模型2.奔馳模型2(點(diǎn)在等腰直角三角形內(nèi))
條件:如圖,已知等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足,
結(jié)論:∠CPB=135°。(注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明)
證明:以AP為邊向左側(cè)作等腰直角三角形APP’,連接P’C。
∵三角形ABC和三角形APP’都為等腰直角三角形;
∴AB=AC,AP=AP’,∠BAC=∠PAP’=90°,,∠AP’P=45°;
∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC,∴∠PAB=∠P’AC,∴(SAS),∴BP=CP’,∠APB=∠AP’C;
∵,∴,∴∠PP’C=90°,
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°;∴∠APB=135°。
例1.(23-24九年級上·湖北孝感·階段練習(xí))如圖,等腰直角,點(diǎn)P在內(nèi),,,則PB的長為( )
A.B.C.5D.5
【答案】A
【分析】先利用等腰直角,得到,再證明,接著把繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到,則可判斷為等腰直角三角形,從而,然后計(jì)算,從而利用勾股定理計(jì)算出AE即可.
【詳解】解∶∵等腰直角,∴,
∵,∴,
如下圖,把繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,
∴,∴為等腰直角三角形,
∴,∴,
∴,故選∶A.
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
例2.(2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測)如圖,在正方形外取一點(diǎn)E,連接,,,過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)P,若,則下列結(jié)論:①;②;③點(diǎn)C到直線的距離為;④其中結(jié)論正確的個數(shù)有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
【答案】C
【分析】利用正方形性質(zhì)即可證明①,利用全等三角形性質(zhì)即可推出②,過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn),利用勾股定理求出,,再利用解直角三角形即可判斷③,利用勾股定理得到,進(jìn)而得到正方形面積,即可判斷④.
【詳解】解:四邊形為正方形,,,
,,,
,,故①正確;
,,,
,
,,故②正確;
過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn),如圖所示,
,,,
,,,
,,
,,,故③錯誤;
,,,,
,故④正確;綜上所述,正確的有個,故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定,正方形性質(zhì),勾股定理,解直角三角形,垂直的判定,正方形面積,解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用.
例3.(2023年湖北省武漢市中考一模)如圖,中,,,.點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn),且滿足.當(dāng)?shù)拈L度最小時,則的面積是 .
【答案】
【分析】取中點(diǎn)O,連接,,由即可得到,再由,可得當(dāng)點(diǎn)P在線段上時,有最小值,然后利用直角三角形的性質(zhì)可得,即可推出,則是等邊三角形,求得的面積,根據(jù)可得.
【詳解】解:如圖,取的中點(diǎn)O,連接,,
∵,∴,∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上運(yùn)動,
在中,,∴當(dāng)點(diǎn)P在線段上時,有最小值,
∵點(diǎn)O是的中點(diǎn),,∴,
∴,∴,∴是等邊三角形,
∴,∵,∴,故答案為:.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切的定義與特殊角的三角函數(shù)值,勾股定理的逆定理,三角形的三邊關(guān)系,直角三角形斜邊上的中線,等邊三角形的性質(zhì)與判定,解題的關(guān)鍵在于能夠綜合應(yīng)用各種性質(zhì)解題.
例4.(2024·河北·校考一模)如圖1,在正方形內(nèi)有一點(diǎn)P,,,,求的度數(shù).
【分析問題】根據(jù)已知條件比較分散的特點(diǎn),我們可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起,于是將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn),得到了(如圖2),然后連結(jié)PP'.
【解決問題】請你通過計(jì)算求出圖2中的度數(shù);
【比類問題】如圖3,若在正六邊形內(nèi)有一點(diǎn)P,且,,.
(1)的度數(shù)為 ;(2)直接寫出正六邊形的邊長為 .
【答案】(1);(2);.
【分析】解決問題:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,,,,然后證明得到,則;
(1)仿照【分析】中的思路,將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn),得到了,連接PP'.如圖所示,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:,從而得出為等腰三角形,,,由,得到,可以求得,由勾股定理的逆定理就可以求出,從而得出結(jié)論;
(2)延長,作于點(diǎn)G,在中,,就可以得出,,,則,在中,根據(jù)勾股定理得.
【詳解】解決問題:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,,,,
∴,,∵,,,
∴,∴,∴;
(1)仿照【分析】中的思路,將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn),得到了,連接PP'.如圖5,
∴,∴,∴為等腰三角形,
∵,∴,作于G,∴.
∵,∴,∴∴,
在中,∵,,,∴,,,
∴ ∴是直角三角形,∴.
∴.故答案為:
(2)延長,作于點(diǎn)G,如圖6,
在中,,∴,
∴,,∴,
在中,根據(jù)勾股定理得.故答案為:
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì),多邊形內(nèi)角和,等腰三角形的性質(zhì)與判定,含30度角的直角三角形的性質(zhì),勾股定理及其逆定理,解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
模型3.奔馳模型3(點(diǎn)在三角形外-雞爪模型)
模型1)條件:如圖1,點(diǎn)P在等邊三角形ABC外,若,結(jié)論:∠CPA=30°。
模型2)條件:如圖2,點(diǎn)P在等腰直角三角形ABC外,若 ,結(jié)論:∠APC=45°。
(注意:上述兩個模型結(jié)論和條件互換也成立)
圖1 圖2
雞爪就是模型本質(zhì)就是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”,構(gòu)造出全等三角形,實(shí)現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化,結(jié)合勾股定理,非常有意思。連完輔助線往往會產(chǎn)生新的直角三角形、等邊三角形等。
模型1)證明:以AP為邊向右側(cè)作等邊三角形ADP,連接DC。
∵三角形ABC和三角形ADP都為等邊三角形;∴AB=AC,AP=AD=DP,∠BAC=∠PAD=∠APD=60°;
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC,∴∠BAP=∠CAD,∴(SAS),∴BP=CD;
∵,∴,∴∠DPC=90°,∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。
模型2)證明:以AP為邊向上方作等腰直角三角形APP’,且∠PAD=90°,連接P’C。
∵三角形ABC和三角形APD都為等腰直角三角形;
∴AB=AC,AP=AD,∠BAC=∠PAD=90°,,∠APD=45°;
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC,∴∠PAB=∠DAC,∴(SAS),∴BP=CD;
∵,∴,∴∠DPC=90°,∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。
例1.(2024九年級上·重慶·專題練習(xí))如圖,是等邊三角形外一點(diǎn),,,,求的度數(shù).
【答案】
【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可知,,;將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得,連,首先證明為等邊三角形,可確定,由勾股定理的逆定理可證明為直角三角形,且,然后計(jì)算的度數(shù)即可.
【詳解】解:∵為等邊三角形,∴,,
可將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得,連,如下圖,
∴,,,,∴為等邊三角形,∴,
在中,,,,∴,∴為直角三角形,且,
∴,
∴.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、四邊形內(nèi)角和等知識,正確作出輔助線,構(gòu)建直角三角形和等邊三角形是解題關(guān)鍵.
例2.(2023·廣西賀州·二模)如圖,點(diǎn)P為等邊三角形外一點(diǎn),連接,,若,,,則的長是 .
【答案】
【分析】把繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn),連接,,可證是等邊三角形,利用證明,得出,在中,利用勾股定理求出,即可求解.
【詳解】解:把繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn),連接,,如圖所示:
則,,∴是等邊三角形,∴,,
∵是等邊三角形,∴,,∴,
∴,∴,∵,∴,
又,,∴.故答案為:.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì),直角三角形,勾股定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合,三角形全等的判定和性質(zhì),掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理是解題的關(guān)鍵.
例3.(23-24八年級上·江蘇無錫·期中)如圖,在四邊形ABCD中,AD=5,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,則BD的長為( )
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】作AD′⊥AD,AD′=AD,連接CD′,DD′,如圖:
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD,即∠BAD=∠CAD′,
在△BAD與△CAD′中, ,∴△BAD≌△CAD′(SAS),
∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=,∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=,故選D.
例4.(23-24九年級上·湖北武漢·階段練習(xí))【問題情境】在數(shù)學(xué)課上,老師出了這樣一個問題:“如圖1,在四邊形中,,,,,,求CD的長.”經(jīng)過小組合作交流,找到了解決方法:構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等.將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到,連接DE.則是等邊三角形,所以,導(dǎo)角可得,所以.
(1)請補(bǔ)全圖形;
【探究應(yīng)用】(2)如圖2,在中,,.D為外一點(diǎn),且,,求的度數(shù);
【拓展延伸】(3)如圖3,在中,,,于D,M為AD上一點(diǎn),連接BM,N為BM上一點(diǎn),若,,,連接,請直接寫出線段的長______.
【答案】(1)見解析;(2);(3)3
【分析】本題主要考查了三角形的綜合,靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造相似三角形,利用相似三角形的判定和性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.(1)題意補(bǔ)全圖形即可;(2)將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,作于F,根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求得,推出,據(jù)此求解即可;
(3)延長構(gòu)造等邊三角形,然后利用兩組三角形相似求出,最后利用勾股定理求解.
【詳解】解:(1)補(bǔ)全圖形,如圖,
;
(2)將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,作于F,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知,,,,
∵,,∴,
∴,∴,,
由勾股定理得,,,∴,
∵,∴,∴,∴;
(3)延長交于,延長到,使,連接,如圖,
,,,
,是等邊三角形,,
,,
,,,,
,,,
過作于,過作于,,
,,,
∵,∴,,,,
,,∴.故答案為:3.
1.(2024九年級·重慶·期中)如圖,在等邊內(nèi)有一點(diǎn),使得,那么以,,的長度為邊長的三角形的三個內(nèi)角的大小之比為 .
【答案】5:3:4
【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn),等邊三角形的判定與性質(zhì),利用圖形的旋轉(zhuǎn)添加輔助線是解答本題的關(guān)鍵.將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得到,連結(jié),可證得是等邊三角形,從而得到,,所以就是以,,的長度為邊長的三角形,進(jìn)一步求出的內(nèi)角度數(shù),即得答案.
【詳解】將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得到,連結(jié),
則,,,是等邊三角形,
,,就是以,,的長度為邊長的三角形,
,,
,,
,,
,
以,,的長度為邊長的三角形的三個內(nèi)角的大小之比為.故答案為:.
2.(23-24九年級下·吉林·階段練習(xí))旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一,利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對集中,以達(dá)到解決問題的目的.
【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①,在等邊三角形內(nèi)部有一點(diǎn),,,,求的度數(shù).
解:如圖①,將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接,.
,,是等邊三角形,,,
是等邊三角形,,,
,即.請你補(bǔ)充完整解答過程.
【應(yīng)用問題】如圖②,在正方形內(nèi)有一點(diǎn),若,,,則 .
【拓展問題】如圖③,在正方形中,對角線,相交于點(diǎn),在直線上方(包括直線)有一點(diǎn),,,連接,則線段的最大值為 .
【答案】發(fā)現(xiàn)問題:,應(yīng)用問題:,拓展問題:
【分析】發(fā)現(xiàn)問題∶由可判定,由全等三角形的性質(zhì)得,,由勾股定理的逆定理得是直角三角形,即可求解;
應(yīng)用問題:將逆時針旋轉(zhuǎn),連接、,由勾股定理得,同理可證是直角三角形,即可求解;拓展問題:將順時針旋轉(zhuǎn)得,連接、,同理可證,由全等三角形的性質(zhì)得,即可求解.
【詳解】發(fā)現(xiàn)問題∶證明:補(bǔ)充如下:如圖,
在和中,(),,,
,,是直角三角形,,
,;
應(yīng)用問題:解:如圖,將逆時針旋轉(zhuǎn),連接、,
,,,,
四邊形是正方形,,,,,
在和中,(),,,
,,是直角三角形,
,,;故答案:;
拓展問題:解:如圖,將順時針旋轉(zhuǎn)得,連接、,
,,,
四邊形是正方形,,,,,
在和中,(),,
,,,的最大值為,故答案:.
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定及性質(zhì),勾股定理及其逆定理,等邊三角形的判定及性質(zhì),正方形的性質(zhì)等,能利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵.
3.(23-24九年級上·山西呂梁·期末)閱讀下面材料:張明同學(xué)遇到這樣一個問題:如圖1,在正三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且,,,求的度數(shù).
張明同學(xué)是這樣思考的:如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造,連接,得到兩個特殊的三角形,從而將問題解決.
(1)請你計(jì)算圖1中的度數(shù);(2)參考張明同學(xué)思考問題的方法,解決下列問題:如圖3,在正方形內(nèi)有一點(diǎn),且,,,求的度數(shù).
【答案】(1)(2)
【分析】(1)將△APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABP≌△ACP′,求證△APP′為等邊三角形,再根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠PP′C=90°,即可求出∠AP′C=∠APB=150°;
(2)將△APB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知是等腰直角三角形,求證∠APP′=45°,用勾股定理逆定理求出∠P′PB=90°,最后求出∠APB=∠P'PB+∠APP'=135°即可.
【詳解】(1)(1)如圖2,把繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),,,,,
∴是等邊三角形,∴,,
∵,,∴,∴,
∴;∴;
(2)如圖3,把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),,,,
∴是等腰直角三角形,∴,,
∵,,∴,∴,
∴,∴.
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì),勾股定理及其逆定理的運(yùn)用,全等三角形的判定與性質(zhì),做輔助線構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵.
4.(23-24九年級上·重慶沙坪壩·期末)(1)已知如圖1,在中,,,點(diǎn)在內(nèi)部,點(diǎn)在外部,滿足,且.求證:.
(2)已知如圖2,在等邊內(nèi)有一點(diǎn),滿足,,,求的度數(shù).
【答案】(1)詳見解析;(2)150°
【分析】(1)先證∠ABD =∠CBE,根據(jù)SAS可證△ABD≌△CBE;
(2)把線段PC以點(diǎn)C為中心順時針旋轉(zhuǎn)60°到線段CQ處,連結(jié)AQ.根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得△PCQ是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)證△BCP≌△ACQ(SAS),得BP=AQ=4,∠BPC=∠AQC,根據(jù)勾股定理逆定理可得∠AQP=90°,進(jìn)一步推出∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°.
【詳解】(1)證明:∵∠ABC=90°,BD⊥BE
∴∠ABC=∠DBE=90°即∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE∴∠ABD =∠CBE.
又∵AB=CB,BD=BE∴△ABD≌△CBE(SAS).
(2)如圖,把線段PC以點(diǎn)C為中心順時針旋轉(zhuǎn)60°到線段CQ處,連結(jié)AQ.
由旋轉(zhuǎn)知識可得:∠PCQ =60°,CP=CQ=3,∴△PCQ是等邊三角形,∴CP=CQ=PQ=3.
又∵△ABC是等邊三角形, ∴∠ACB=60°=∠PCQ,BC=AC,
∴∠BCP+∠PCA=∠PCA+∠ACQ,即∠BCP=∠ACQ.
在△BCP與△ACQ中 ∴△BCP≌△ACQ (SAS)∴BP=AQ=4,∠BPC=∠AQC.
又∵PA=5,∴.∴∠AQP=90°
又∵△PCQ是等邊三角形,∴∠PQC=60°∴∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°=150°∴∠BPC=150°.
【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn):等邊三角形,全等三角形,旋轉(zhuǎn),勾股定理.根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和全等三角形判定和性質(zhì)求出邊和角的關(guān)系是關(guān)鍵.
5.(2023·四川綿陽·一模)如圖,四邊形是正方形,點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn),
(1)若點(diǎn)在正方形內(nèi),如圖1,,求的度數(shù);
(2)若點(diǎn)在正方形外,如果,如圖2,且,求的長.(用表示)
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理,解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).(1) 把繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn) 90°得到, 連接與重合,旋轉(zhuǎn)到的位置,證為等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性質(zhì),結(jié)合勾股定理逆定理求出證出,即可得出結(jié)果.(2) 把繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到,連接,與重合,旋轉(zhuǎn)到的位置,證為等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性質(zhì),結(jié)合勾股定理求出,即可得出結(jié)果.
【詳解】(1)解:把繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn) 90°得到, 連接與重合,旋轉(zhuǎn)到的位置,如圖1,
∴,∴為等腰直角三角形,∴,,
∵,∴,∴;
(2)解:把繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn) 90°得到,連接,與重合,旋轉(zhuǎn)到的位置,如圖2, ∴,∴為等腰直角三角形,
∴,∴,
在中,,∴∴.
6.(23-24九年級上·浙江紹興·階段練習(xí))閱讀材料題:浙教版九上作業(yè)本①第18頁有這樣一個題目:已知,如圖一,P是正方形ABDC內(nèi)一點(diǎn),連接PA、PB、PC,若PC=2,PA=4,∠APC=135°,求PB的長.
小明看到題目后,思考了許久,仍沒有思路,就去問數(shù)學(xué)老師,老師給出的提示是:將△PAC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB,再利用勾股定理即可求解本題. 請根據(jù)數(shù)學(xué)老師的提示幫小明求出圖一中線段PB的長為 .
【方法遷移】:已知:如圖二,△ABC為正三角形,P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn),若PC=1,PA=2,PB=,求∠APB的大小.
【能力拓展】:已知:如圖三,等腰三角形ABC中∠ACB=120°,D、E是底邊AB上兩點(diǎn)且∠DCE=60°,若AD=2,BE=3,求DE的長.
【答案】(1)6;(2)90°;(3)
【分析】如圖一,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△PAP'是等腰直角三角形,求出PP',然后求出∠PP'B=90°,利用勾股定理求出PB即可;[方法遷移]:將△PAC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△P'AB,連接PP',根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△PAP'是等邊三角形,利用勾股定理逆定理可證∠PBP'=90°,且∠BPP'=30°,問題得解;
[能力拓展]:將△CAD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△CBD',連接ED',易證△CDE≌△CD'E,可得DE=D'E,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠EBD'=60°,AD=BD'=2,過點(diǎn)D'作D'F⊥AB于F,根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求出BF和D'F,然后利用勾股定理可求D'E,問題得解.
【詳解】解:如圖一,將△PAC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB,連接PP',
∴PA= P'A=4,PC= P'B=2,∠PAP'=90°,∠AP'B= ∠APC =135°,∴∠PP'A=45°,
∴PP',∠PP'B=135°-45°=90°,∴;
[方法遷移]:如圖二,將△PAC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△P'AB,連接PP',
∴PA= P'A=2,PC= P'B=1,∠PAP'=60°,∴△PAP'是等邊三角形,∴PP'= PA= 2,
∵,即,∴∠PBP'=90°,∠BPP'=30°,∴∠APB=60°+30°=90°;
[能力拓展]:如圖三,將△CAD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△CBD',連接ED',
∴CD=CD',AD=BD'=2,∠DCD'=120°,∵∠DCE=60°,∴∠DCE=∠ECD'=60°,
又∵CE=CE,∴△CDE≌△CD'E(SAS),∴DE=D'E,
又∵∠A=∠ABC=,∴∠A=∠CBD'=30°,∴∠EBD'=60°,
過點(diǎn)D'作D'F⊥AB于F,∴BF=,D'F=,∴EF=2,
∴,∴.
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理及其逆定理等,解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用材料中的方法,通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形,運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解.
7.(2024·河南·??家荒#?)閱讀理解:利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法.如圖,點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),,求的度數(shù).為利用已知條件,不妨把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°得,連接,則的長為_______;在中,易證,且的度數(shù)為_____,綜上可得的度數(shù)為__ ;(2)類比遷移:如圖,點(diǎn)是等腰內(nèi)的一點(diǎn),.求的度數(shù);(3)拓展應(yīng)用:如圖,在四邊形中,,請直接寫出BD的長.
【答案】(1)2, 30°, 90° ;(2)90°;(3)2.
【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定可知△CP′P是等邊三角形,由等邊三角形的性質(zhì)知∠CP′P=60°,根據(jù)勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形,繼而可得答案.
(2)如圖2,把△BPC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AP'C,連接PP′,同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是直角三角形,所以∠APC=90°;(3)如圖3,將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG,連接DG.則BD=CG,根據(jù)勾股定理求CG的長,就可以得BD的長.
【詳解】解:(1)把△BPC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AP'C,連接PP′(如圖1).
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP′P是等邊三角形;∴P′A=PB=3、∠CP′P=60°、P′P=PC=2,
在△AP′P中,∵AP2+P′A2=12+(3)2=4=PP′2;
∴△AP′P是直角三角形;∴∠P′AP=90°.∵PA=PC,∴∠AP′P=30°;
∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°.故答案為2;30°;90°;
(2)如圖2,把△BPC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AP'C,連接PP′.
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP′P是等腰直角三角形;∴P′C=PC=1,∠CPP′=45°、P′P=2,PB=AP'=2,
在△AP′P中,∵AP'2+P′P2=(2)2+(2)2=2=AP2;
∴△AP′P是直角三角形;∴∠AP′P=90°.∴∠APP'=45°∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°
(3)如圖3,∵AB=AC,將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG,連接DG.則BD=CG,
∵∠BAD=∠CAG, ∴∠BAC=∠DAG,∵AB=AC,AD=AG,∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD,∴△ABC∽△ADG,
∵AD=2AB,∴DG=2BC=10,過A作AE⊥BC于E,
∵∠BAE+∠ABC=90°,∠BAE=∠ADC,∴∠ADG+∠ADC=90°,∴∠GDC=90°,
∴CG===2,∴BD=CG=2.
【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題,考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線,構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題,屬于中考壓軸題.
6.(23-24九年級上·山東德州·期中)當(dāng)圖形具有鄰邊相等的特征時,我們可以把圖形的一部分繞著公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn),這樣將分散的條件集中起來,從而達(dá)到解決問題的目的.
(1)如圖1,等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,連接AP,BP,CP,∠APB=135°,為探究AP,BP,CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系,我們可以將△ABP,繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP',連接PP',則PP'= AP,△CPP'是 三角形,AP,BP,CP三條線段的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)如圖2,等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,連接AP、BP、CP,∠APB=150°,請借助第一問的方法探究AP、BP、CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系.
(3)如圖3,在四邊形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)P在四邊形的內(nèi)部,且PD=PC,∠CPD=90°,∠APB=135°,AD=4,BC=5,請直接寫出AB的長.
【答案】(1),直角,;(2);(3).
【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得: ,,,,即可利用勾股定理得到,然后證明,利用勾股定理得到即可得到;(2)將△ABP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到,連接,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:,,,,,則是等邊三角形,可得,,然后證明,可得,
則;(3)將△APD繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90度得到,連接,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:,,,,證明,利用勾股定理求出,然后證明,即可得到.
【詳解】解:(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得: ,,,,
∴,,,
∴,∴,是直角三角形,
∴,故答案為:,直角;
(2)如圖所示,將△ABP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到,連接,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:,,,,,
∴是等邊三角形,∴,,
∴,∴,∴;
(3)如圖所示,將△APD繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90度得到,連接,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:,,,,
∵PD=PC,∠CPD=90°,∴∠PDC=∠PCD=45°,∵,∴,
∴,∴,∴,∴,
∵,,∴,∴,
在和中,∴,∴.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)與判定,勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì)與判定,平行線的性質(zhì)等等,解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解.
7.(2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測)(問題提出)如圖1,在等邊內(nèi)部有一點(diǎn)P,,,,求的度數(shù).
(數(shù)學(xué)思考)當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時,通過旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中起來解決問題.
【嘗試解決】將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn),得到,連接,則為等邊三角形.,又,,,為 三角形,的度數(shù)為 .
【類比探究】如圖2,在中,,,其內(nèi)部有一點(diǎn)P,若,,,求的度數(shù).
【聯(lián)想拓展】如圖3,在中,,,其內(nèi)部有一點(diǎn)P,若,,,求的度數(shù).
【答案】【嘗試解決】直角,;【類比探究】;【聯(lián)想拓展】
【分析】嘗試解決:將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn),得到,連接,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得到,為等邊三角形,進(jìn)而得到,,再利用勾股定理的逆定理,證明為直角三角形,得到,即可求出的度數(shù);
類比探究:將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn),得到,連接,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得到,為等腰直角三角形,進(jìn)而得到,,再利用勾股定理的逆定理,證明為直角三角形,得到,即可求出的度數(shù);
聯(lián)想拓展:如圖,以為直角邊構(gòu)造直角三角形,使得,,先證明,得出,進(jìn)而證明,得到,然后利用特殊角的三角函數(shù)值,分別求出,,再利用勾股定理的逆定理,證明是直角三角形,得到,即可求出的度數(shù).
【詳解】嘗試解決:解:將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn),得到,連接,
,,,為等邊三角形,,,
,,,
,為直角三角形,,
,的度數(shù)為,故答案為:直角,;
類比探究:解:如圖,將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn),得到,連接,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,,,,
是等腰直角三角形,,,
,,,
,為直角三角形,
,;
聯(lián)想拓展:解:如圖,以為直角邊構(gòu)造直角三角形,使得,,
,,,,,
,,,,
,,,
,,,,
,,,
在中,,,,,,
,是直角三角形,,.
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),勾股定理逆定理,等腰直角三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值等知識,靈活運(yùn)用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵.
8.(23-24九年級上·云南曲靖·階段練習(xí))如圖,在等邊內(nèi)有一點(diǎn),且,,,若把繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,.
(1)求的度數(shù);(2)求的長.(3)求點(diǎn)劃過的路徑長;
(4)當(dāng)時,如果是由旋轉(zhuǎn)所得,求掃過的區(qū)域的面積.
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),結(jié)合等邊三角形的判定即可得到是等邊三角形,再由是等邊三角形,利用等邊三角形性質(zhì),結(jié)合三角形全等的判定得到,進(jìn)而有,,再利用勾股定理的逆定理得到為直角三角形,且,即可得到答案;
(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),結(jié)合等邊三角形的判定即可得到是等邊三角形,從而確定;
(3)根據(jù)題意,把繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到,點(diǎn)劃過的路徑是,利用弧長公式代值求解即可得到答案;(4)由(1)的證明過程,結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到掃過的區(qū)域的面積,根據(jù)扇形面積公式代值求解即可得到答案.
【詳解】(1)解:把繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到,則是等邊三角形,
,是等邊三角形,,
,,
在和中,,,,
在中,,,,則,由勾股定理的逆定理可知為直角三角形,且,
;
(2)解:把繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到,則是等邊三角形,;
(3)解:如圖所示:把繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到,點(diǎn)劃過的路徑是,
則長度為;
(4)解:由(1)的證明過程可知,,點(diǎn)劃過的路徑是,點(diǎn)劃過的路徑是,如圖所示:由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,
掃過的區(qū)域的面積.
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)綜合,涉及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、弧長公式、扇形面積公式等知識,理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),靈活運(yùn)用相關(guān)幾何判定與性質(zhì),數(shù)形結(jié)合求解是解決問題的關(guān)鍵.
9.(23-24九年級上·湖北武漢·期中)如圖,在等腰中,,點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),連接,且,設(shè).
(1)如圖1,若,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至,連結(jié),易證為等邊三角形,則 , ;(2)如圖2,若,則 , ;
(3)如圖3,試猜想和之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
【答案】(1),(2),(3)
【分析】(1)將△PBC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC,連結(jié)DP,只要證明△DAP為等邊三角形,即可解決問題;(2)將△PBC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC,連結(jié)DP,只要證明△DAP為等腰直角三角形,即可解決問題;(3)將△PBC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC,連結(jié)DP,只要證明△BPA≌△BPD(SSS),即可解決問題;
【詳解】解:(1)如圖1中,
由旋轉(zhuǎn)不變性可知: ,,,
∵在等腰中,,,
∴,CP為三線合一的線
∴ ,∴
在中,,, ∴為等腰直角三角形
∴,∴,
∴△APD是等邊三角形,∴∠ADP=∠APD=60°,
∵∠CDP=∠CPD=45°,∴∠ADC=∠APC=∠CPB=105°,
∴∠APB=360°-105°-105°=150°,∴α=150°,β=105°,故答案為150°,105°.
(2)將△PBC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC,連結(jié)DP.
由旋轉(zhuǎn)不變性可知:BP=AD,CD=CP,∠DCP=90°,∴為等腰直角三角形∴,
∵, ,∴,,
∴△ADP是等腰直角三角形,∴∠APD=90°,∠ADP=45°,
∴∠APC=135°,∠BPC=∠ADC=90°,∴∠APB=360°-135°-90°=135°,
∴α=135°,β=90°,故答案為135°,90°.
(3)將△PBC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC,連結(jié)DP,延長PB交AD與S,
由旋轉(zhuǎn)不變性可知:BP=AD,CD=CP,∠DCP=90°,
∴為等腰直角三角形∴,∵,∴PA=PD,
∵∠BPC+∠CPS=180°,∠BPC=∠ADC,∴∠ADC+∠CPS=180°,
∴∠PSD+∠PCD=180°,∴∠PSD=90°,∴PS⊥AD,
∵PA=PD,∴△ADP是等腰直角三角形,∴SA=SD,
∴△ABP是等腰直角三角形,∴BA=BD,
∵BP=BP,PA=PD,BA=BD,∴△BPA≌△BPD(SSS),∴∠APB=∠BPD,
∴ ∠BPD-∠BPC=∠CPD=45°,即: .
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題,考查了等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理以及逆定理,全等三角形的判定和性質(zhì),特殊三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線,屬于中考壓軸題.
10.(23-24九年級上·廣東深圳·期中)【問題背景】:如圖1,在等邊中,點(diǎn)D是等邊內(nèi)一點(diǎn),連結(jié),,將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連結(jié),觀察發(fā)現(xiàn):與的數(shù)量關(guān)系為 , 度;
【嘗試應(yīng)用】:如圖2,在等腰中,,,點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn),連結(jié),,, ,,,求面積.
【拓展創(chuàng)新】:如圖3,在等腰中,,,點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn),且,,則的值為 .
【答案】【問題背景】:,60;【嘗試應(yīng)用】:;【拓展創(chuàng)新】:或;
【分析】問題背景:是等邊三角形,根據(jù)有一個角是的等腰三角形是等邊三角形判斷再用等邊三角形的性質(zhì)即可得出;
嘗試應(yīng)用:如圖,將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,證明,推出,再證明C,D,T共線,可得結(jié)論;
拓展創(chuàng)新:分兩種情形:當(dāng)點(diǎn)D在的上方時,將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,設(shè),則.再求出,,可得結(jié)論;
當(dāng)點(diǎn)D在的下方時,將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,設(shè),則,過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)H.再求出,,可得結(jié)論.
【詳解】問題背景:由題意可知,
是等邊三角形,,;故答案為:,;
嘗試應(yīng)用:如圖,將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到,連接.
,
,共線,
.
拓展創(chuàng)新:①當(dāng)點(diǎn)D在的上方時,將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,,,設(shè),則.
,,,,
過點(diǎn)B作于點(diǎn)H ,則,
,,
,
,.
②當(dāng)點(diǎn)D在的下方時,將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,設(shè)則過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)H.
同法可證,,,
綜上所述,的值為或故答案為:或
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題,考查了旋轉(zhuǎn)變換,全等三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題,學(xué)會利用參數(shù)解決問題,屬于中考壓軸題.
11.(23-24九年級·遼寧鞍山·期中)問題情境,利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)探索:每位同學(xué)在紙上畫好,,,要求同學(xué)們利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)某一條線段,探究圖形中的結(jié)論.
問題發(fā)現(xiàn),某小組將線段繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,旋轉(zhuǎn)角設(shè)為,連接、,如圖1所示.如圖2,小李同學(xué)發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)落在邊上時,;
如圖3,小王同學(xué)發(fā)現(xiàn),當(dāng)每改變一個度數(shù)時,的長也隨之改變.……
問題提出與解決,該小組根據(jù)小李同學(xué)和小王同學(xué)的發(fā)現(xiàn),討論后提出問題1,請你解答.
如圖1,在中,,,將線段繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,設(shè)轉(zhuǎn)角設(shè)為,連接、.(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)落在邊上時,求證:;(2)如圖3,當(dāng)時,若,求的長.(3)拓展延伸,小張同學(xué)受到探究過程的啟發(fā),將等腰三角形的頂角改為,嘗試畫圖,并提出問題請你解答.如圖4,中,,,將線段繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,旋轉(zhuǎn)角,連接、,求的度數(shù).
【答案】(1)見解析;(2)2;(3)
【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,,根據(jù)等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)可得,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易知,結(jié)合,即可證明結(jié)論;(2)以為邊向右作等邊,連接并延長交于點(diǎn),由等邊三角形的性質(zhì)可得,,利用“”證明,由全等三角形的性質(zhì)可得,,再利用“”證明,易得,進(jìn)而可得,,同理,平分;設(shè),則,,在中,利用勾股定理得,即可獲得答案;
(3)以為邊向下作等邊,連接,,由旋轉(zhuǎn)得,,利用“”證明,易得,再證明,可得,,進(jìn)而證明是等邊三角形,即可獲得答案.
【詳解】(1)證明:∵將線段繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,
∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,,∴,
∴,∴,
∵,∴,即;
(2)解:下圖,以為邊向右作等邊,連接并延長交于點(diǎn),
∴,,由旋轉(zhuǎn)可得,,,
又∵,∴,∴,,
∵,∴,
∵,∴,
∵,∴,
∵,∴,∴,
又∵,,∴,∴,∵,∴,
∵,∴,,
∴,,同理,平分,
設(shè),則,,在中,由勾股定理得,
,∴,∴;
問題2:解:如下圖,以為邊向下作等邊,連接,,
則,,由旋轉(zhuǎn)得,,
∵,,∴,∵,∴,
∵,∴;
∵,∴,∵,∴,
又∵,∴,∴,
∵,∴,又∵,∴,
∵,∴,∵,∴,
∵,,∴,又∵,∴,
∴,,∴,∴是等邊三角形,
∴,∴.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識,綜合性強(qiáng),難度較大,正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.
12.(2024·吉林長春·一模)旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一,利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對集中,以達(dá)到解決問題的目的.
(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①,在等邊三角形內(nèi)部有一點(diǎn)P,,,,求的度數(shù).愛動腦筋的小明發(fā)現(xiàn):將線段繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接、,則,然后利用和形狀的特殊性求出的度數(shù),就可以解決這道問題.
下面是小明的部分解答過程:
解:將線段繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段.,連接、,
∵,,∴是等邊三角形,∴,.
∵是等邊三角形,∴,,
∴,即.
請你補(bǔ)全余下的解答過程.(2)【類比遷移】如圖②,在正方形內(nèi)有一點(diǎn)P,且,,,則______度.(3)【拓展延伸】如圖③,在正方形中,對角線、交于點(diǎn)O,在直線上方有一點(diǎn)P,,,連接,則線段的最大值為______.
【答案】(1)見解析;(2);(3)
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)變換把將分散的條件相對集中到一個三角形中解決問題.
(1)將線段繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,證明,再證明是直角三角形;
(2)將線段繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,證明,再證明是直角三角形;
(3)將線段繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到線段,證明,在由三角形三邊關(guān)系求出的最大值,從而求得的最大值.
【詳解】(1)解:將線段繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接、,
∵,,∴是等邊三角形,∴,.
∵是等邊三角形,∴,,∴,
即.
在中,
.
(2)解:將線段繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接、,
∵,,∵四邊形是矩形,∴,,
∴,即.
在中,
.故答案為:.
(3)解:將線段繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接、.
∵,,∴是等腰直角三角形,∴,.
∵四邊形是正方形,∴,,
∴,即.
在中,
當(dāng)點(diǎn)在時, ∴的最大值為
在中,∴
.的最大值為.
13.(23-24九年級上·吉林長春·階段練習(xí))【幾何感知】如圖(1),在中,點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn),連接AD,點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn),連接PB、PC得到有公共邊的兩個和,求證:.
【類比遷移】如圖(2),在中,點(diǎn)D、E、F分別為線段BC、AC、AB上的點(diǎn),線段AD、BE、CF交于點(diǎn)P,若,,則 .
【拓展遷移】如圖(3),在中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,點(diǎn)P為內(nèi)部一點(diǎn),且,則線段AP= .
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【分析】(1)過點(diǎn)作于,過點(diǎn)作于,易證得,,從而結(jié)論得證;(2)過點(diǎn)作與交于,連接,通過易得平行四邊形,通過對邊平行,可得,,所以可得,通過進(jìn)而求得結(jié)論;(3)過點(diǎn)作于,于,于,通過勾股定理求得,已知,利用此條件可以設(shè)參數(shù),表示面積,進(jìn)而表示各線段的值,在與中通過勾股定理建立方程,求得參數(shù)的值,最后代回可求得的值.
【詳解】證明:(1)過點(diǎn)作于,過點(diǎn)作于,∴,
又∵,∴,∴,
由已知得:,,
∴,∴,即.
解:(2)過點(diǎn)作與交于,連接,
∴,∴,∴,
∴四邊形為平行四邊形,∴,,,
∴,∴,∵,∴,
∴,∴,∴,∵,∴,
∴,∴,即,故答案為:.
(3)過點(diǎn)作于,于,于,
,,,
∵,∴設(shè),,,
在中,,∵,,∴,
∴,,,∴,,,∴,
又∵,∴,∴,∴四邊形為矩形,
∴,,∴,,
∴,∴,
在與中,,
∴,解得:,∴,,
∴,即.故答案為:.
【點(diǎn)睛】本題是與三角形有關(guān)的綜合問題,通過面積法求得線段的比,利用相似三角形轉(zhuǎn)化線段比例關(guān)系,利用勾股定理建立方程求得參數(shù),是解題的關(guān)鍵.
14.(23-24九年級上·山東德州·期中)【閱讀材料】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動中,小明同學(xué)遇到了如下問題:如圖1,在等邊△ABC中,點(diǎn)P在內(nèi)部,且PA=3,PC=4,∠APC=150°,求PB的長.經(jīng)過同學(xué)們的觀察、分析、思考、交流,對上述問題形成了如下想法:將△APC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△ABD,連接PD,尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系.即能求PB= 請參考他們的想法,完成下面問題:
【學(xué)以致用】如圖2,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),PA=5,PC=2,∠BPC=135°,求PB的長;
【能力拓展】如圖3,等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,D、E是底邊AB上的兩點(diǎn)且∠DCE=60°,若AD=2,BE=3,求DE的長.
【答案】閱讀材料:5;學(xué)以致用:3;能力拓展:
【分析】閱讀材料:由∠ABC=60°,將△APC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△ABD,連接PD,則△APD是等邊三角形,∠APC=∠ADB=150°,PC=DB=4,得出∠ADP=60°,DP=AP=3,∠PDB=90°,由勾股定理即可得出結(jié)果;
學(xué)以致用:將△BCP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP',連接PP',由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠PCP'=90°,CP′=CP=2,AP'=BP,∠AP'C=∠BPC=135°,得出△CPP'是等腰直角三角形,由勾股定理可求出答案;
能力拓展:將△ACD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△CBD′,連接ED′,作D′H⊥BE于H.證明△ECD≌△ECD′(SAS),推出DE=ED′,求出EH,D′H即可解決問題.
【詳解】解:閱讀材料:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=60°,
將△APC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△ABD,連接PD,如圖1所示:
則△APD是等邊三角形,∠APC=∠ADB=150°,PC=DB=4,∴∠ADP=60°,DP=AP=3,∴∠PDB=90°,
∴,故答案為:5;
學(xué)以致用:∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,AC=BC,
將△BCP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP',連接PP',
則∠PCP'=90°,CP′=CP=2,AP'=BP,∠AP'C=∠BPC=135°,
∴∠CPP'=∠CP'P=45°,∴△CPP'是等腰直角三角形,∴,
∴∠AP'P=∠AP'C-∠CP'P=135°-45°=90°,∴.
能力拓展:將△ACD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△CBD′,連接ED′,作D′H⊥BE于H.
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:AD=BD′=2,CD=CD′,∠ACD=∠BCD′,∠A=∠CBD′,
∵∠ACB=120°,∠DCE=60°,∴∠ECD′=∠BCD′+∠ECB=∠ACD+∠BCE=60°,∴∠ECD=∠ECD′,
∵EC=EC,∴△ECD≌△ECD′(SAS),∴DE=ED′,
∵CA=CB,∠ACB=120°,∴∠A=∠CBA=30°,∴∠EBD′=∠ABC+∠CBD′=30°+30=60°,
在Rt△BHD′中,∵BD′=2,∠BHD′=90°,∠BD′H=30°,
∴BH=BD′=1,D′H=,EH=3-1=2,∴ED′= ,∴DE=.
【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題.
15.(2024·陜西西安·模擬預(yù)測)問題探究:(1)如圖①,已知在△ABC中,BC=4,∠BAC=45°,則AB的最大值是 .(2)如圖②,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,D為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且AD=2,BD=2.,CD=6,請求出∠ADB的度數(shù).
問題解決:(3)如圖③,某戶外拓展基地計(jì)劃在一處空地上修建一個新的拓展游戲區(qū)△ABC,且AB=AC.∠BAC=120°,點(diǎn)A、B、C分別是三個任務(wù)點(diǎn),點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一個打卡點(diǎn).按照設(shè)計(jì)要求,CP=30米,打卡點(diǎn)P對任務(wù)點(diǎn)A、B的張角為120°,即∠APB=120°.為保證游戲效果,需要A、P的距離與B、P的距離和盡可能大,試求出AP+BP的最大值.
【答案】(1)4(2)135°(3)PA+PB的最大值為米
【分析】(1)作△ABC的外接圓,連接OA,OB,OC,求出OA=OB=OC=2,可得結(jié)論;
(2)將△ABD繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT,連接DT,利用勾股定理的逆定理證明∠CTD=90°,可得結(jié)論;(3)將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACK,延長CK交PA延長線于J,作△PJC的外接圓,連接OP,OC,OJ,證明PA+PB =JC,再求出JC的最大值即可求解.
【詳解】(1)如圖①,作△ABC的外接圓,連接OA,OB,OC,
∵∠BOC=2∠BAC=90°,OB=OC∴△OBC是等腰直角三角形
∵BC=4∴OB=OC=2=OA ∵AB≤OA+OB∴AB≤4∴AB的最大值為4故答案為:4;
(2)如圖②,將△ABD繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT,連接DT
由題意可得DT=BD=2,CT=AD=2∵CD=6∴∴∠CTD=90°,
∵△BDT是等腰直角三角形∴∠DTB=45°∴∠CTB=45°+90°=135°∴∠ADB=∠CTB=135°
(3)如圖③,將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACK,延長CK交PA延長線于J,作△PJC的外接圓,連接OP,OC,OJ ∵∠PAK=120°,∠AKC=∠APB=120°
∴∠JAK=∠JKA=60°∴∠AJK=60°∴△JAK是等邊三角形∴AK=KJ∴∠COP=2∠AJK=120°
∵PC=30∴OP=OC=OJ=∵CJ≤OJ+OC∴CJ≤
∵PA+PB=AK+CK+KJ+KC=JC∴PA+PB的最大值為米.
【點(diǎn)睛】此題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是熟知三角形外接圓的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用及三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用.
16.(2024山東??级#静僮靼l(fā)現(xiàn)】
如圖①,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
(1)請按要求畫圖:將△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′,連接BB′(2)在(1)所畫圖形中,∠AB′B= .
【問題解決】如圖②,在等邊三角形ABC中,AC=,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面積.
小明同學(xué)通過觀察、分析、思考,對上述問題形成了如下想法:
想法一:將△APC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′B,連接PP′,尋找線段PA、PC之間數(shù)量關(guān)系;
想法二:將△APB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′C′,連接PP′,尋找線段PA、PC之間的數(shù)量關(guān)系;
請參考小明同學(xué)的想法,完成該問題的解答過程.(求解一種方法即可)
【靈活運(yùn)用】如圖③,在四邊形ABCD中,AE⊥BC,垂足為E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB(k為常數(shù)),直接寫出BD的長(用含k的式子表示).
【答案】【操作發(fā)現(xiàn)】(1)作圖見解析;(2)45°;【問題解決】S△APC=;【靈活運(yùn)用】BD=.
【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)角,旋轉(zhuǎn)方向畫出圖形即可;(2)只要證明△ABB′是等腰直角三角形即可;【問題解決】如圖②,將△APB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′C′,證明∠PP′C=90°,利用勾股定理即可得出答案. 【靈活運(yùn)用】如圖③中,由AE⊥BC,BE=EC,推出AB=AC,將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG,連接DG.則BD=CG,只要證明∠GDC=90°,可得CG= ,由此即可解決問題;
【詳解】(1)如圖所示,△AB′C′即為所求;
(2)連接BB′,將△ABC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,
∴AB=AB′,∠B′AB=90°,∴∠AB′B=45°,故答案為45°;
【問題解決】如圖②,
∵將△APB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′C′,
∴△APP′是等邊三角形,∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°,
∴PP′=AP,∠AP′P=∠APP′=60°,∴∠PP′C=90°,∠P′PC=30°,
∴PP′=PC,即AP=PC,∵∠APC=90°,∴AP2+PC2=AC2,即(PC)2+PC2=
∴PC=2,∴AP= , ∴S△APC=AP?PC=××2=,
【靈活運(yùn)用】如圖③中,∵AE⊥BC,BE=EC,
∴AB=AC,將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG,連接DG.則BD=CG,
∵∠BAD=∠CAG,∴∠BAC=∠DAG,
∵AB=AC,AD=AG,∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD,∴△ABC∽△ADG,
∵AD=kAB,∴DG=kBC=4k,
∵∠BAE+∠ABC=90°,∠BAE=∠ADC,∴∠ADG+∠ADC=90°,∴∠GDC=90°,
∴CG== .∴BD=CG=.
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,學(xué)會用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線,構(gòu)造全等三角形或相似三角形是解題關(guān)鍵.
17.(23-24遼寧九年級上期中)【問題初探】(1)如圖1,為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),滿足,,,試求的大小.李明同學(xué)的思路是:將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形,再連接.將求分成求和的和即可.請你按照李明同學(xué)給出的旋轉(zhuǎn)的思路,求的大小;
【問題解決】(2)如圖2,在正方形中,,分別為,邊上的點(diǎn),滿足,若,,求的面積;
【問題拓展】(3)如圖3,在四邊形,,,,求的長.
【答案】(1);(2);(3)
【分析】(1)將繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,則為等邊三角形,.再由 得到,用勾股定理逆定理得到是直角三角形,,從而得到;
(2)將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到,得到,證明得到;
(3)證明是等腰直角三角形,,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,則為等腰直角三角形,,再計(jì)算得,用勾股定理得到,從而利用全等三角形的性質(zhì)得到.
【詳解】解:(1)如圖,將繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,則
,,∴為等邊三角形.
∴,又∵
∴∴ 是直角三角形,,
(2)由正方形的性質(zhì)得:,,
如圖,將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到,
,,
∴,
,∵,,,
(3)∵,,∴是等腰直角三角形,,
如圖,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到,連接.
則,,,為等腰直角三角形.,
又
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形
18.(23-24九年級上·重慶江北·期末)【問題背景】如圖1,P是等邊三角形外一點(diǎn),,則.小明為了證明這個結(jié)論,將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn),請根據(jù)此思路完成其證明;
【遷移應(yīng)用】如圖2,在等腰直角三角形中,,,點(diǎn)P在外部,且,若的面積為5.5,求;
【拓展創(chuàng)新】如圖3,在四邊形中,,點(diǎn)E在四邊形內(nèi)部,且,,,,,直接寫出的長.
【答案】[問題背景]見解析;[遷移應(yīng)用];[拓展創(chuàng)新]
【分析】[問題背景]按題意畫出圖形,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AP=AP′,PB=P′C,證明△APP′為等邊三角形,從而推出∠PP′C=90°,在△PP′C中,利用勾股定理得到,再利用等量代換可得結(jié)果;
[遷移應(yīng)用]作線段BM垂直于BP交PC的延長線于點(diǎn)M,連接AM,證得∠PBC=∠ABM,證明△PBC≌△MBA(SAS),得出∠AMP=90°,由三角形的面積可求出答案;
[拓展創(chuàng)新]將△AED繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°至△FEC,連接BF,證得∠FCE=90°,由勾股定理求出FB=,證明△ABE≌△FBE(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出AB=FB.
【詳解】解:[問題背景]如圖1,連接PP′,由旋轉(zhuǎn)可得:
AP=AP′,PB=P′C,∠PAP′=∠BAC=60°,∴△APP′為等邊三角形,∴∠APP′=60°,PP′=AP′=PA,
∵∠APB=30°,∴∠AP′C=30°∴∠PP′C=90°,
在△PP′C中,,∴;
[遷移應(yīng)用]如圖2,作線段BM垂直于BP交PC的延長線于點(diǎn)M,連接AM,
∵∠BPM=45°,∠PBM=90°,∴△BPD為等腰直角三角形,∴BP=BM,
∵∠ABM+∠MBC=∠ABC=90°,∠PBM=∠PBC+∠MBC=90°,∴∠PBC=∠ABM,
在△PBC和△MBA中,,∴△PBC≌△MBA(SAS),
∴∠AMP=90°,∴S△PAC=PC?AD=PC2=5.5,∴PC=(負(fù)值舍去).
[拓展創(chuàng)新]如圖3,將△AED繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°至△FEC,連接BF,
則AD=CF=,AE=EF,∠ADE=∠FCE,∴∠EDC=∠ECD=45°,
∵AD∥BC,∴∠ADE+∠EDC+∠ECD+∠ECB=180°,
∵ED=EC,∠CED=90°,∴∠EDC=∠ECD=45°,∴∠ADE+∠ECB=90°,
∴∠FCE+∠ECB=90°,即∠FCB=90°,∴FB==,
∵∠AEB=135°,∠AEF=90°,∴∠FEB=360°-135°-90°=135°,∴∠AEB=∠FEB,
在△ABE和△FBE中,,∴△ABE≌△FBE(SAS),∴AB=FB=.
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目,考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識;熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.
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