TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc3378" PAGEREF _Tc3378 \h 2
\l "_Tc17000" 模型1.手拉手模型（全等模型） PAGEREF _Tc17000 \h 2
\l "_Tc427" 模型2.手拉手模型（相似模型） PAGEREF _Tc427 \h 12
\l "_Tc12831" PAGEREF _Tc12831 \h 26
大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③ 明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！
模型1.手拉手模型（全等模型）
將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。
等線段，共頂點，旋轉(zhuǎn)前后的圖形大小，形狀不發(fā)生變化，只是位置不同而已。解題是通過三角形全等進行解決。SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。
1）雙等邊三角形型

條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點F。
結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
證明： ∵△ABC和△DCE均為等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。
2）雙等腰直角三角形型

條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點N。
結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
證明： ∵△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分∠BND。
3）雙等腰三角形型
條件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C為公共點；連接BE，AD交于點F。
結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
證明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。
4）雙正方形形型
條件：四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點；連接BG，ED交于點N。
結(jié)論：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
證明： ∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，
過點C作CP⊥DE,CQ⊥BG,則∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS）
∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分∠BND。
例1．（23-24八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，點A，B，C在同一條直線上，，均為等邊三角形，連接和，分別交、于點M，P，交于點Q，連接，，下面結(jié)論：①；②；③為等邊三角形；④平分；⑤．其中結(jié)論正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
例2．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰中，，，點，分別在，上，，連接，，取中點，連接．
(1)求證：，；(2)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．
①請直接寫出與的位置關(guān)系：___________________；②求證：．
例3．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）已知，為等邊三角形，點在邊上．
【基本圖形】如圖1，以為一邊作等邊三角形，連結(jié)．可得（不需證明）．
【遷移運用】如圖2，點是邊上一點，以為一邊作等邊三角．求證：．
【類比探究】如圖3，點是邊的延長線上一點，以為一邊作等邊三角．試探究線段，，三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的結(jié)論并說明理由．
例4．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，并使C點的對應(yīng)點D點落在直線上．(1)如圖1，證明：平分；(2)如圖2，與交于點F，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，連接，若，則的長為 ．
例5．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對邊，．記△ABC的面積為S．
(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為，正方形BGFC的面積為．①若，，求S的值；②延長EA交GB的延長線于點N，連結(jié)FN，交BC于點M，交AB于點H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：．
(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為，等邊三角形CBE的面積為．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索與S之間的等量關(guān)系，并說明理由．
例6．（2024·黑龍江·九年級期中）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個動點．如圖1，當D與C重合時，易證：CD2＋DB2＝2DF2；
（1）當D不與C、B重合時，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．
（2）當D在BC的延長線上時，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并加以證明．
模型2.手拉手模型（相似模型）
“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。
手拉手模型有以下特點：1）兩個三角形相似；2）這兩個三角形有公共頂點，且繞頂點旋轉(zhuǎn)并縮放后2個三角形可以重合；3）圖形是任意三角形（只要這兩個三角形是相似的）。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；
結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC.
證明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC，
∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=，
2）手拉手相似模型（直角三角形）

條件:如圖，，；
結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.
證明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，
∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD，
∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴.
3）手拉手相似模型（特殊的等邊三角形與等腰直角三角形）

條件:M為等邊三角形ABC和DEF的邊AC和DF的中點； 結(jié)論：△BME∽△CMF；.
證明：∵M為等邊三角形ABC和DEF的邊AC和DF的中點，∴，∠BMC=∠EMF=90°，
∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴，
條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 結(jié)論：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；.
證明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE=∠ABD=90°
例1．（2023·江西·一模）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小麗和小亮對等腰只角形的旋轉(zhuǎn)變換進行研究．
(1)[觀察猜想]如圖1，△ABC是以AB、AC為腰的等腰三角形，點D、點E分別在AB、AC上．且DE∥BC，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a（0°≤a≤360°）．請直接寫出旋轉(zhuǎn)后BD與CE的數(shù)量關(guān)系 ；
(2)[探究證明]如圖2，△ACB是以∠C為直角頂點的等腰直角三角形，DE∥BC分別交AC與AB兩邊于點E、點D．將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖中所示的位置時，（1）中結(jié)論是否仍然成立．若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
(3)[拓展延伸]如圖3，BD是等邊△ABC底邊AC的中線，AE⊥BE，AE∥BC．將△ABE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)到△FBE，點A落在點F的位置，若等邊三角形的邊長為4，當AB⊥BE時，求出DF2的值．

例2．（2024·山東棗莊·二模）綜合實踐
問題背景：借助三角形的中位線可構(gòu)造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)頂點連線的長度存在特殊的數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)小組對此進行了研究，如圖1，在中，，，分別取，的中點D，E，作．如圖2所示，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，．
(1)探究發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)過程中，線段和的長度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明．
(2)性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，當所在直線首次經(jīng)過點B時，求的長．
例3．（2024·四川成都·中考真題）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片和中，，，．
【初步感知】（1）如圖1，連接，，在紙片繞點旋轉(zhuǎn)過程中，試探究的值．
【深入探究】（2）如圖2，在紙片繞點旋轉(zhuǎn)過程中，當點恰好落在的中線的延長線上時，延長交于點，求的長．
【拓展延伸】（3）在紙片繞點旋轉(zhuǎn)過程中，試探究，，三點能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形的面積；若不能，請說明理由．
例4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐
數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；
(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點．請猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；
(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點，，在一條直線上，過點作，垂足為點．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；
(4)實踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點滿足，，則______．
例5．（2024·山西·模擬預(yù)測）綜合與實踐
問題背景：在數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們進行三角形旋轉(zhuǎn)的探究，已知和均為等邊三角形，O是和的中點，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．
猜想證明：(1)如圖①，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當點E恰好在的延長線上時，交于點H，試判斷的形狀，并說明理由；(2)如圖②，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當點E恰好落在邊上時，連接，試猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖③，若，連接，設(shè)所在直線與所在直線交于點M，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當點B，F(xiàn)，E在同一直線上時，在M，O兩點中的其中一點恰好是另一點與點C構(gòu)成的線段的中點，請直接寫出此時的長．
例6．（2024·山東濟南·模擬預(yù)測）
(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，矩形與矩形相似，且矩形的兩邊分別在矩形的邊和上，，連接．線段F與的數(shù)量關(guān)系為 ；
(2)拓展探究：如圖2，將矩形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變．在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖2進行說理．
(3)解決問題：當矩形的邊時，點E為直線上異于D，C的一點，以為邊作正方形，點H為正方形的中心，連接，若，，直接寫出的長．
例7．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在等腰直角中，，D為上一點，E為延長線上一點，且，，則 ．
1．（23-24九年級·遼寧盤錦·開學(xué)考試）如圖，在中，，過點C作于點D，過點B作于點M，連接，過點D作，交于點N．與相交于點E，若點E是的中點，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（ ）個．

A．4B．3C．2D．1
2．（2022·湖南·中考真題）如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，，，則與的面積之和為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24九年級上·遼寧大連·期中）如圖，在中，，點D是邊上的一個動點，連接，過點C作，使，連接，點F是的中點，連接并延長，交邊所在直線于點G，若，則的長為 ．
4.（23-24九年級上·廣東深圳·期中）如圖，等腰直角中，，，過點作，，連接，過點作，垂足為，連接，則長為 ．
5．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，是等邊三角形，，點E是的平分線上的一動點，連接，將點E繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到點F，連接，．若是直角三角形，則線段的長為

6．（2024·山東泰安·三模）將矩形ABCD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點A、C、D的對應(yīng)點分別為、、．如圖，當過點C時，若，，則的長為 ．
7．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點落在上，與交于點E若，則 （從“”中選擇一個符合要求的填空）； ．

8．（2024·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，點D為斜邊BC上一點，且BD=3CD，將△ABD沿直線AD翻折，點B的對應(yīng)點為B′，則sin∠CB′D= ．
9．（23-24九年級上·遼寧大連·期末）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，王老師給出下面問題：如圖1，和是等邊三角形，點B、C、E不在同一條直線上，請找出圖中的全等三角形并直接寫出結(jié)論________________；（寫出一對即可）
上面幾何模型被稱為“手拉手”模型，面對題目時我們也會“尋模而入，破模而出”．

【類比分析】（2）如下圖，已知四邊形中，，，是的平分線，且．將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．當時，連接，試判斷線段和線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；①小明同學(xué)從結(jié)論出發(fā)給出如下解題思路：可以先猜測線段和線段的數(shù)量關(guān)系，然后通過逆用“手拉手”模型，合理添加輔助線，借助“全等”來解決問題；②小玲同學(xué)從條件入手給出另一種解題思路：可以根據(jù)條件，則，再通過“手拉手”模型，合理添加輔助線，構(gòu)造與全等的三角形來解決問題．
請你選擇一名同學(xué)的解題思路（也可另辟蹊徑）來解決問題，并說明理由．
【拓展延伸】（3）如下圖，中，當時，點D、E為、上的點，，，若，，求線段的長．
10．（23-24九年級下·四川達州·開學(xué)考試）已知，與都是等腰直角三角形，，，連接，．
(1)如圖，求證；(2)如圖，點在內(nèi)，，，三點在同一直線上，過點作的高，證明：；(3)如圖，點在內(nèi)，平分，的延長線與交于點，點恰好為中點，若，求線段的長．
11．（2023·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，AB＝AC， ，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，則：
(1)①∠ACE的度數(shù)是 ；②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
拓展探究：(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，請寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間得數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
解決問題：(3)如圖3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若點A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，請直接寫出線段AD的長度．
12．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，AB＝AC， ，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，則：
(1)①∠ACE的度數(shù)是 ；②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
拓展探究：(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，請寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間得數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
解決問題：(3)如圖3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若點A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，請直接寫出線段AD的長度．
13．（2024·浙江紹興·?？家荒＃締栴}探究】（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，不需要證明．
【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同學(xué)受到第一問的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個和△ABD全等的三角形，將BD進行轉(zhuǎn)化再計算，請你準確的敘述輔助線的作法，再計算；
【變式思考】（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，則CD＝ ．
14．（2024·江西·中考真題）綜合與實踐：如圖，在中，點D是斜邊上的動點（點D與點A不重合），連接，以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造，，連接，．
特例感知（1）如圖1，當時，與之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；
類比遷移（2）如圖2，當時，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．
拓展應(yīng)用（3）在（1）的條件下，點F與點C關(guān)于對稱，連接，，，如圖3．已知，設(shè)，四邊形的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達式，并求出y的最小值；②當時，請直接寫出的長度．
15．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）在平面內(nèi)，將一個多邊形先繞自身的頂點A旋轉(zhuǎn)一個角度，再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時針旋轉(zhuǎn)，記作順；若逆時針旋轉(zhuǎn)，記作逆．
例如：如圖①，先將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點B為位似中心縮小到原來的，得到，這個變換記作逆．

(1)如圖②，經(jīng)過順得到，用尺規(guī)作出．（保留作圖痕跡）
(2)如圖③，經(jīng)過逆得到，經(jīng)過順得到，連接．求證：四邊形AFDE是平行四邊形．(3)如圖④，在中，，，．若經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形是正方形，請直接寫出的長．
16．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）天府新區(qū)某校數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究：
(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1， 在等邊中， 點P是邊上任意一點， 連接， 以為邊作等邊， 連接． 易證： (2)變式探究：如圖2，在等腰中，，點P是邊上任意一點， 以為腰作等腰， 使，連接．判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)解決問題：如圖3，在正方形中，點P是邊上一點，以邊作正方形，Q是正方形 的中心， 連接．若正方形的邊長為6，則正方形的邊長為
17．（2024·湖北黃石·三模）（1）如圖①，和為等腰直角三角形，，求證：．（2）如圖②，，，試探究線段與線段的關(guān)系，并加以證明．（3）如圖③，，，求的最大值．

18．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）在中，，，且．
(1)如圖1，若F、G分別是、的中點，求證：．
(2)如圖2，若，，連接，求的值．(3)如圖3，若，，F(xiàn)、G分別是和上的動點，且始終滿足，將繞A點順時針旋轉(zhuǎn)一周，則的最小值為______．
19．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在菱形中，，點是對角線上一動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求的度數(shù)．
（2）問題探究：如圖2，在正方形中，，點是對角線上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當時，求的長度；
（3）問題解決：某科技公司現(xiàn)有一塊形如矩形的研發(fā)基地，如圖3，已知米，米，為了響應(yīng)國家“科教興國”戰(zhàn)略，現(xiàn)需要擴大基地面積．擴建方案如下：點是對角線上一動點，以為邊在右側(cè)作直角三角形，滿足，，其中將修建成新能源研發(fā)區(qū)，為試驗區(qū)，為保證研發(fā)效果，要使研發(fā)區(qū)（即的面積最大，求此時試驗區(qū)（即的面積．

專題20 全等與相似模型之手拉手模型
全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就手拉手模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc14085" PAGEREF _Tc14085 \h 2
\l "_Tc6369" 模型1.手拉手模型（全等模型） PAGEREF _Tc6369 \h 2
\l "_Tc13034" 模型2.手拉手模型（相似模型） PAGEREF _Tc13034 \h 12
\l "_Tc28389" PAGEREF _Tc28389 \h 26
大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③ 明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！
模型1.手拉手模型（全等模型）
將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。
等線段，共頂點，旋轉(zhuǎn)前后的圖形大小，形狀不發(fā)生變化，只是位置不同而已。解題是通過三角形全等進行解決。SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。
1）雙等邊三角形型

條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點F。
結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
證明： ∵△ABC和△DCE均為等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。
2）雙等腰直角三角形型

條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點N。
結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
證明： ∵△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分∠BND。
3）雙等腰三角形型
條件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C為公共點；連接BE，AD交于點F。
結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
證明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。
4）雙正方形形型
條件：四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點；連接BG，ED交于點N。
結(jié)論：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
證明： ∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，
過點C作CP⊥DE,CQ⊥BG,則∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS）
∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分∠BND。
例1．（23-24八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，點A，B，C在同一條直線上，，均為等邊三角形，連接和，分別交、于點M，P，交于點Q，連接，，下面結(jié)論：①；②；③為等邊三角形；④平分；⑤．其中結(jié)論正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可證得故①正確；根據(jù)結(jié)合三角形外角性質(zhì)即可得出，故②正確；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易證，得到結(jié)合即可得到為等邊三角形，故③正確；根據(jù)全等三角形性質(zhì)，得到點到，的距離相等，，從而可得點在的角平分線上，故④正確；已有的條件無法求的度數(shù)，故⑤錯誤；從而解題．
【詳解】解：、為等邊三角形，
，，，，，
在和中，，，故①正確；
，，，
，故②正確；
在和中，，，，
為等邊三角形，故③正確；，，
點到，的距離相等，即邊上的高相等，
點在的角平分線上，即平分；故④正確；
已有的條件無法求的度數(shù)，故⑤錯誤；綜上所述：正確的結(jié)論有4個；故選：D．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，四點共圓的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，角度的運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運用相關(guān)知識．
例2．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰中，，，點，分別在，上，，連接，，取中點，連接．
(1)求證：，；(2)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．
①請直接寫出與的位置關(guān)系：___________________；②求證：．
【答案】(1)見解析(2)①；②見解析
【分析】（1）先證明得到，，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到，根據(jù)等邊對等角證明，進而可證明；
（2）①延長到點，使，連結(jié)，延長到，使，連接并延長交于點．同（1）證明得到，然后利用三角形的中位線性質(zhì)得到，則，進而證明即可得到結(jié)論；
②延長到點，使，連接．先證明，得到，，進而，．證明得到即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：在和中，，，，
，，．
是斜邊的中點，，，
，．，
，．；
（2）解：①；理由如下：延長到點，使，連結(jié)，延長到，使，連接并延長交于點．證明（具體證法過程跟②一樣）．，
是中點，是中點，是中位線，，
，，，
，．故答案為：；

②證明：延長到點，使，連接．
，，，，
，，，，
，，．
，．在和中，
，，，，，，．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，靈活添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．
例3．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）已知，為等邊三角形，點在邊上．
【基本圖形】如圖1，以為一邊作等邊三角形，連結(jié)．可得（不需證明）．
【遷移運用】如圖2，點是邊上一點，以為一邊作等邊三角．求證：．
【類比探究】如圖3，點是邊的延長線上一點，以為一邊作等邊三角．試探究線段，，三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的結(jié)論并說明理由．
【答案】【基本圖形】見解析；【遷移運用】見解析；【類比探究】見解析．
【分析】基本圖形：只需要證明得到，即可證明；
遷移運用：過點作，交于點，然后證明得到，即可推出；類比探究：過點作，交于點，然后證明，得到，再由，即可得到．
【詳解】基本圖形：證明：∵與都是等邊三角形，
∴，，，，
∴，，∴，
在與中，，∴，
∴，∴，∵，∴；
遷移運用：證明：過點作，交于點，
∵是等邊三角形，∴，
∵，∴，，
又∵，∴為等邊三角形，∴，
∵為等邊三角形，∴，，
∵，，∴，
在與中，∴，∴，∴；
類比探究：解：，理由如下：過點作，交于點，
∵是等邊三角形，∴，
∵，∴，，
又∵，∴為等邊三角形，∴，
∵為等邊三角形，∴，，
∵，，∴，
在與中，∴，∴，
∵，∴．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
例4．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，并使C點的對應(yīng)點D點落在直線上．(1)如圖1，證明：平分；(2)如圖2，與交于點F，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，連接，若，則的長為 ．
【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．
【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及逆定理的應(yīng)用等知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（1）根據(jù)繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，即得，故，平分；（2）設(shè)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得，即可解得；（3）過A作于H，由已知可得，即可得，從而，可得，是等腰直角三角形，故．
【詳解】（1）證明：∵繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，∴，∴，∴平分；
（2）解：設(shè)，∵∴，
∵，∴，
∵，∴，解得，∴；
（3）解：過A作于H，如圖：
∵繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，
∵，∴，∵，
∴，∴，∵，∴，，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，故答案為：．
例5．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對邊，．記△ABC的面積為S．
(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為，正方形BGFC的面積為．①若，，求S的值；②延長EA交GB的延長線于點N，連結(jié)FN，交BC于點M，交AB于點H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：．
(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為，等邊三角形CBE的面積為．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索與S之間的等量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)①6；②見解析(2)，理由見解析
【分析】（1）①將面積用a，b的代數(shù)式表示出來，計算，即可 ②利用AN公共邊，發(fā)現(xiàn)△FAN∽△ANB，利用，得到a，b的關(guān)系式，化簡，變形，即可得結(jié)論 （2）等邊與等邊共頂點B，形成手拉手模型，△ABC≌△FBE，利用全等的對應(yīng)邊，對應(yīng)角，得到：AC＝FE＝b，∠FEB＝∠ACB＝90°，從而得到∠FEC＝30°，再利用，，得到a與b的關(guān)系，從而得到結(jié)論
【詳解】（1）∵，∴b＝3，a＝4 ∵∠ACB＝90°∴
②由題意得：∠FAN＝∠ANB＝90°，∵FH⊥AB∴∠AFN＝90°－∠FAH＝∠NAB∴△FAN∽△ANB
∴∴，得：∴．即
（2），理由如下：∵△ABF和△BEC都是等邊三角形
∴AB＝FB，∠ABC＝60°－∠FBC＝∠FBE，CB＝EB
∴△ABC≌△FBE（SAS）∴AC＝FE＝b ∠FEB＝∠ACB＝90° ∴∠FEC＝30°
∵EF⊥CF，CE＝BC＝a∴∴∴
由題意得：，∴∴
【點睛】本題考查勾股定理，相似，手拉手模型，代數(shù)運算，本題難點是圖二中的相似和圖三中的手拉手全等。
例6．（2024·黑龍江·九年級期中）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個動點．如圖1，當D與C重合時，易證：CD2＋DB2＝2DF2；
（1）當D不與C、B重合時，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．
（2）當D在BC的延長線上時，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并加以證明．
【答案】（1）CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2，證明見解析
【分析】（1）由已知得，連接CF，BE，證明得CD=BE，再證明為直角三角形，由勾股定理可得結(jié)論；
（2）連接CF，BE，證明得CD=BE，再證明為直角三角形，由勾股定理可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）CD2+DB2=2DF2
證明：∵DF=EF，∠DFE＝90°，∴ ∴ 連接CF，BE，如圖

∵△ABC是等腰直角三角形，F(xiàn)為斜邊AB的中點
∴ ，即 ∴，
又 ∴ 在和中 ∴
∴， ∴ ∴
∵，∴CD2+DB2=2DF2 ；
（2）CD2+DB2=2DF2 證明：連接CF、BE ∵CF=BF，DF=EF又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°
∴∠DFC=∠EFB∴△DFC≌△EFB ∴CD=BE，∠DCF=∠EBF=135°
∵∠EBD=∠EBF－∠FBD=135°－45°=90° 在Rt△DBE中，BE2+DB2=DE2 ∵ DE2=2DF2 ∴ CD2+DB2=2DF2
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
模型2.手拉手模型（相似模型）
“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。
手拉手模型有以下特點：1）兩個三角形相似；2）這兩個三角形有公共頂點，且繞頂點旋轉(zhuǎn)并縮放后2個三角形可以重合；3）圖形是任意三角形（只要這兩個三角形是相似的）。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；
結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC.
證明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC，
∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=，
2）手拉手相似模型（直角三角形）

條件:如圖，，；
結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.
證明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，
∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD，
∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴.
3）手拉手相似模型（特殊的等邊三角形與等腰直角三角形）

條件:M為等邊三角形ABC和DEF的邊AC和DF的中點； 結(jié)論：△BME∽△CMF；.
證明：∵M為等邊三角形ABC和DEF的邊AC和DF的中點，∴，∠BMC=∠EMF=90°，
∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴，
條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 結(jié)論：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；.
證明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE=∠ABD=90°
例1．（2023·江西·一模）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小麗和小亮對等腰只角形的旋轉(zhuǎn)變換進行研究．
(1)[觀察猜想]如圖1，△ABC是以AB、AC為腰的等腰三角形，點D、點E分別在AB、AC上．且DE∥BC，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a（0°≤a≤360°）．請直接寫出旋轉(zhuǎn)后BD與CE的數(shù)量關(guān)系 ；

(2)[探究證明]如圖2，△ACB是以∠C為直角頂點的等腰直角三角形，DE∥BC分別交AC與AB兩邊于點E、點D．將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖中所示的位置時，（1）中結(jié)論是否仍然成立．若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
(3)[拓展延伸]如圖3，BD是等邊△ABC底邊AC的中線，AE⊥BE，AE∥BC．將△ABE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)到△FBE，點A落在點F的位置，若等邊三角形的邊長為4，當AB⊥BE時，求出DF2的值．
【答案】(1)結(jié)論BD=CE．證明見解析；
(2)結(jié)論不成立．BD與CE的數(shù)量關(guān)系：BD=CE．證明見解析；(3)28
【分析】（1）結(jié)論BD=CE．證明△ABD≌△ACE（）；（2）結(jié)論不成立．BD與CE的數(shù)量關(guān)系：BD=CE．證明△DAB∽△EAC，可得結(jié)論；（3）根據(jù)條件可得當AB⊥BE時，，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，可得，勾股定理即可求得．
【詳解】（1）結(jié)論BD=CE．理由：如圖1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（），∴BD=EC．故答案為：BD=CE．
（2）結(jié)論不成立．BD與CE的數(shù)量關(guān)系：BD=CE．
理由：∵△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠EAD=45°，，
∵∠DAB=∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴，∴BD=CE
（3）如圖3，BD是等邊△ABC底邊AC的中線，AE⊥BE，AE∥BC．
，
將△ABE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)到△FBE，點A落在點F的位置，
當AB⊥BE時，
ABC是等邊△，等邊三角形的邊長為4，，
【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．
例2．（2024·山東棗莊·二模）綜合實踐
問題背景：借助三角形的中位線可構(gòu)造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)頂點連線的長度存在特殊的數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)小組對此進行了研究，如圖1，在中，，，分別取，的中點D，E，作．如圖2所示，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，．
(1)探究發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)過程中，線段和的長度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明．
(2)性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，當所在直線首次經(jīng)過點B時，求的長．
【答案】(1)，證明見解析；(2)
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等；相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，以及解直角三角形的方法和步驟．
（1）根據(jù)中點的定義得出，進而得出，易得，通過證明，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意推出當所在直線經(jīng)過點B時，，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)（1）可得，即可求解；
【詳解】（1）解：猜想，證明如下：
在中，，，，的中點分別為D，E，
∴，，，則，
，，，，，
將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，
，，，；
（2）解：，分別取，的中點D，E，
，，，，
∴當所在直線經(jīng)過點B時，，，
在中，根據(jù)勾股定理可得：，由（1）可得：，
，解得：；
例3．（2024·四川成都·中考真題）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片和中，，，．
【初步感知】（1）如圖1，連接，，在紙片繞點旋轉(zhuǎn)過程中，試探究的值．
【深入探究】（2）如圖2，在紙片繞點旋轉(zhuǎn)過程中，當點恰好落在的中線的延長線上時，延長交于點，求的長．
【拓展延伸】（3）在紙片繞點旋轉(zhuǎn)過程中，試探究，，三點能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形的面積；若不能，請說明理由．
【答案】（1）的值為；（2）；（3）直角三角形的面積分別為4，16，12，
【分析】（1）根據(jù)，，．證明，，繼而得到，即，再證明，得到．
（2）連接，延長交于點Q，根據(jù)(1)得，得到，根據(jù)中線得到，繼而得到，結(jié)合，得到即，得到，再證明，得證矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)計算即可．（3）運用分類思想解答即可．
【詳解】（1）∵，，．∴，
∴，，
∴即，∵∴，∴．

（2）連接，延長交于點Q，根據(jù)(1)得，∴，
∵是中線∴，∴，
∵，∴即，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，
∵∴四邊形矩形，∴，
∴，∴，∴，
設(shè)，則，∵，∴，∴，
∵，∴，解得；∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，解得．
（3）如圖，當與重合時，此時，此時是直角三角形，
故；
如圖，當在的延長線上時，此時，此時是直角三角形，
故；
如圖，當時，此時是直角三角形，過點A作于點Q，
∵，∴，∵，，，
∴四邊形是矩形，∴，∴，故；

如圖，當時，此時是直角三角形，過點A作于點Q，交于點N，
∴，，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，解得；
故．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理的判定和應(yīng)用，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，中位線定理是解題的關(guān)鍵．
例4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐
數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；
(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點．請猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；
(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點，，在一條直線上，過點作，垂足為點．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；
(4)實踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點滿足，，則______．
【答案】(1)，(2)，，證明見解析(3)(4)或
【分析】（1）根據(jù)已知得出，即可證明，得出，，進而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；（2）同（1）的方法即可得證；（3）同（1）的方法證明，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)題意畫出圖形，連接，以為直徑,的中點為圓心作圓，以點為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點，延長至，使得，證明，得出，勾股定理求得，進而求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出，勾股定理求得，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：∵，∴，
又∵，，∴，∴， 設(shè)交于點，
∵∴，故答案為：，．

（2）結(jié)論：，；
證明：∵，∴，即，
又∵，，∴∴，
∵，，∴，∴，
（3），
理由如下，∵，∴，即，
又∵和均為等腰直角三角形∴，∴，∴，
在中，，∴，∴；
（4）解：如圖所示，連接，以為直徑,的中點為圓心作圓，以點為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點，延長至，使得，則是等腰直角三角形，
∵,∴，
∵，∴∴，∴，
∵，在中，，
∴∴
過點作于點，設(shè)，則，
在中，，在中，
∴∴解得：，則，
設(shè)交于點，則是等腰直角三角形，∴
在中，∴∴
又，∴∴
∴，∴∴，
在中，
∴，
綜上所述，或故答案為：或．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角，熟練運用已知模型是解題的關(guān)鍵．
例5．（2024·山西·模擬預(yù)測）綜合與實踐
問題背景：在數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們進行三角形旋轉(zhuǎn)的探究，已知和均為等邊三角形，O是和的中點，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．
猜想證明：(1)如圖①，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當點E恰好在的延長線上時，交于點H，試判斷的形狀，并說明理由；(2)如圖②，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當點E恰好落在邊上時，連接，試猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖③，若，連接，設(shè)所在直線與所在直線交于點M，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當點B，F(xiàn)，E在同一直線上時，在M，O兩點中的其中一點恰好是另一點與點C構(gòu)成的線段的中點，請直接寫出此時的長．
【答案】(1)為等腰三角形，理由見詳解(2)，證明見詳解(3)1或2
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及外角定理得到，則，即可求證；
（2）連接，證明，則，即；（3）如圖①，當點在同一直線上，連接，先證明 ，繼而得到，則，則，可得，故，即可求解；如圖②，當點O為中點時，，在中，由勾股定理得，則，而此時三點共線，故點B和點E重合，由點M是直線與直線的交點，得到三點重合，故此時的長為的長．
【詳解】（1）解：為等腰三角形，理由：∵為等邊三角形，∴，，
∵O是的中點∴，∵是等邊三角形，∴，
∵，∴，∴，∴為等腰三角形；
（2）解：，

證明如下：連接，∵均是等邊三角形，∴，
∵點O為的中點，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴；
（3）解：情況一，如圖①，當點在同一直線上，連接，
∵點O為中點，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，∴，
∵點M為的中點，點O為中點，∴，∴，即，解得：；
情況二：∵為等邊三角形，∴，∵點O為中點，，∴，，
如圖②，當點O為中點時，，
∵等邊邊長為2，∴在中，，∴，
∵此時三點共線，∴點B和點E重合，又∵點M是直線與直線的交點，∴三點重合，
∴此時的長為的長，即，綜上所述，此時的長為1或2．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，正確添加輔助線，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
例6．（2024·山東濟南·模擬預(yù)測）
(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，矩形與矩形相似，且矩形的兩邊分別在矩形的邊和上，，連接．線段F與的數(shù)量關(guān)系為 ；
(2)拓展探究：如圖2，將矩形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變．在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖2進行說理．
(3)解決問題：當矩形的邊時，點E為直線上異于D，C的一點，以為邊作正方形，點H為正方形的中心，連接，若，，直接寫出的長．
【答案】(1)(2)（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析．(3)的長為或
【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：
（1）延長，交于H，連接，利用矩形的性質(zhì)與判定可證明四邊形是矩形，得出，，利用相似多邊形的性質(zhì)得出，進而得出，在中，由勾股定理得：，即可求解；（2）如圖2，連接、，利用相似多邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明，得出，利用矩形的性質(zhì)，勾股定理可求出，即可得出結(jié)論；
（3）分點E在線段上，點E在線段延長線上，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：如圖1，延長，交于H，連接，
∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，
∴，∴四邊形是矩形，∴，，
∵矩形與矩形相似，，∴，
∴，即，
在中，由勾股定理得：，
∴，故答案為：．

（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立 理由如下：如圖2，連接、，
∵矩形與矩形相似，∴，由旋轉(zhuǎn)可得：，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴；
（3）解：①如圖3，當點E在線段上時，連接、，
∵四邊形，四邊形為正方形，∴，，
∴，∴，∴，
∵，，∴，∴；
②如圖4，當點E在線段延長線上時，連接、，
∵四邊形，四邊形為正方形，∴，，
∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，綜上所述，的長為或．
例7．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在等腰直角中，，D為上一點，E為延長線上一點，且，，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，添加輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．過點E作，交的延長線于點H，先證明，得到，，同時計算，因此得到，再證明，即可得到答案．
【詳解】過點E作，交的延長線于點H，
，，，，
，，，，，
，，，，
，，，
．故答案為：．
1．（23-24九年級下·遼寧盤錦·開學(xué)考試）如圖，在中，，過點C作于點D，過點B作于點M，連接，過點D作，交于點N．與相交于點E，若點E是的中點，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（ ）個．

A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)；證明是等腰直角三角形，從而證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論，證明是等腰直角三角形，可得 ，，可得，即可證明結(jié)論．
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴，
∵，，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故①②③正確，
過點作于點，則，
∵，，∴，∵點E是的中點，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，故④正確，故選：A．
2．（2022·湖南·中考真題）如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，，，則與的面積之和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得，連接，得到是等邊三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，從而求解．
【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，連接，
，，，是等邊三角形， ，
∵，，，，
與的面積之和為．故選：C．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用旋轉(zhuǎn)將與的面積之和轉(zhuǎn)化為，是解題的關(guān)鍵．
3．（23-24九年級上·遼寧大連·期中）如圖，在中，，點D是邊上的一個動點，連接，過點C作，使，連接，點F是的中點，連接并延長，交邊所在直線于點G，若，則的長為 ．
【答案】或
【分析】分點G在上，和在延長線上，兩種情況討論，當點G在上，連接，證明，可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，由勾股定理可得，即可求解；當點G在延長線上，連接，同理可證，得，，由是等腰直角三角形，點是的中點，得到是的垂直平分線，推出，設(shè)，則，，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖，當點G在上，連接，

∵，∴，∴，
∵，，∴，，
∴，∴，
∵點F是的中點，∴，即，
是等腰直角三角形，點是的中點，是的垂直平分線，
，設(shè)，∵，，∴，
∵，∴，解得：，即；
如圖，當點G在延長線上，連接，同理可得：，，
∴，∴，
是等腰直角三角形，點是的中點，是的垂直平分線，，
設(shè)，則，，，，
，，即，解得：，，
綜上，的長為或故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，證明，是解題的關(guān)鍵．
4.（23-24九年級上·廣東深圳·期中）如圖，等腰直角中，，，過點作，，連接，過點作，垂足為，連接，則長為 ．
【答案】/
【分析】利用勾股定理及等面積法求得，，，過點作交于，由等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可證得，，，易知，可得，，則，進而由等腰三角形的性質(zhì)可得．
【詳解】解：∵，，，∴，
∵，則，∴，
則，過點作交于，則，
∵是等腰直角三角形，∴，
∵，，則，∴，
又∵，則，則由三角形內(nèi)角和可知：，
∴，∴，∴，，則，
∵，則，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，是等邊三角形，，點E是的平分線上的一動點，連接，將點E繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到點F，連接，．若是直角三角形，則線段的長為

【答案】或
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的定義可得，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，利用等量代換可得，證得，可得，，，由是直角三角形，分類討論：或進行求解即可．
【詳解】解：∵是等邊三角形，平分，∴，，
∵將點E繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到點F，∴，，
∴，，∴，
∴，∴，，，
∵是直角三角形，當，在中，，∴，

當時，在中，，即，∴，
故答案為：或．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理證得，進行分類討論是解題的關(guān)鍵。
6．（2024·山東泰安·三模）將矩形ABCD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點A、C、D的對應(yīng)點分別為、、．如圖，當過點C時，若，，則的長為 ．
【答案】/
【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．連接，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．
【詳解】解：如圖，連接，
由題意得，，，由勾股定理得，，，
由勾股定理得，，，，，
，，即，解得，．故答案為：．
7．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點落在上，與交于點E若，則 （從“”中選擇一個符合要求的填空）； ．

【答案】 （答案不唯一）
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，即可推出；通過證明，得出，求出，設(shè)，，則，，證明，得出，則，即可求解．
【詳解】解：∵將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，
∴，即，
∵將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，
∴，∴，∴，即，解得：，
∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，
設(shè)，，則，，
∵，∴，∴，∴，
整理得：，把代入解得：故答案為：，．
【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)定理，掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例．
8．（2024·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，點D為斜邊BC上一點，且BD=3CD，將△ABD沿直線AD翻折，點B的對應(yīng)點為B′，則sin∠CB′D= ．
【答案】/
【分析】先證明A、B′、C、D四點共圓，推出∠CB′D=∠CAD，過點D作DE⊥AC于點E，利用平行線分線段成比例定理得到AE=3CE，由勾股定理得到AD=，再由正弦函數(shù)即可求解．
【詳解】解：∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，
由折疊的性質(zhì)得∠AB′D=∠B=45°，∴∠AB′D=∠ACD=45°，∴A、B′、C、D四點共圓，∴∠CB′D=∠CAD，
過點D作DE⊥AC于點E，∵∠CAB=90°，∴DE∥AB，∵BD=3CD，∴AE=3CE，
∵∠ACB=45°，∴△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CE，設(shè)DE=CE=a，則AE=3CE=3a，
在Rt△ADE中，AD=，
∴sin∠CB′D= sin∠CAD=． 故答案為：．
【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的知識，正弦函數(shù)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
9．（23-24九年級上·遼寧大連·期末）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，王老師給出下面問題：如圖1，和是等邊三角形，點B、C、E不在同一條直線上，請找出圖中的全等三角形并直接寫出結(jié)論________________；（寫出一對即可）
上面幾何模型被稱為“手拉手”模型，面對題目時我們也會“尋模而入，破模而出”．

【類比分析】（2）如下圖，已知四邊形中，，，是的平分線，且．將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．當時，連接，試判斷線段和線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；①小明同學(xué)從結(jié)論出發(fā)給出如下解題思路：可以先猜測線段和線段的數(shù)量關(guān)系，然后通過逆用“手拉手”模型，合理添加輔助線，借助“全等”來解決問題；②小玲同學(xué)從條件入手給出另一種解題思路：可以根據(jù)條件，則，再通過“手拉手”模型，合理添加輔助線，構(gòu)造與全等的三角形來解決問題．
請你選擇一名同學(xué)的解題思路（也可另辟蹊徑）來解決問題，并說明理由．
【拓展延伸】（3）如下圖，中，當時，點D、E為、上的點，，，若，，求線段的長．
【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）
【分析】（1）利用證明即可；（2）過點作平分交于，先證明四邊形是平行四邊形，可得，再證明是等邊三角形，推出，再證得即可；（3）設(shè)，以、為邊作，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，可得是等邊三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【詳解】解：（1）．理由如下：如圖1，

和是等邊三角形，，，，
，即，
在和中，，；
（2）如圖2，過點作平分交于，
四邊形中，，，，，，
平分，，，，，
四邊形是平行四邊形，，平分，，
，是等邊三角形，，，
，，即，由旋轉(zhuǎn)得：，，
，，；
（3）如圖3，以、為邊作平行四邊形，連接，
則，，，，
設(shè)，則，，，
又，是等邊三角形，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，
是等邊三角形，，，，
，，即，，即的長為．
【點睛】本題是幾何綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵．
10．（23-24九年級下·四川達州·開學(xué)考試）已知，與都是等腰直角三角形，，，連接，．
(1)如圖，求證；(2)如圖，點在內(nèi)，，，三點在同一直線上，過點作的高，證明：；(3)如圖，點在內(nèi)，平分，的延長線與交于點，點恰好為中點，若，求線段的長．
【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)
【分析】本題是三角形的綜合問題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識點，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
（1）由“”可證，可得；（2）同理知：，先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得，再由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得，最后由線段的和可得結(jié)論；（3）連接，設(shè)，則，，，由（1）知，得，證明，得，計算，列方程即可解答．
【詳解】（1）證明：與都是等腰直角三角形，，
，，
，，，；
（2）證明：，，，，
，，由（1）可知：，
點在內(nèi)，，，三點在同一直線上，
（3）解：如圖，連接，
平分，，，，，，
設(shè)，則，，，由（1）知，，
，，，，
是的中點，，，，，
，，，，
，，，，
，；
11．（2023·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，AB＝AC， ，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，則：
(1)①∠ACE的度數(shù)是 ；②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
拓展探究：(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，請寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間得數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
解決問題：(3)如圖3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若點A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，請直接寫出線段AD的長度．
【答案】(1)60°，AC＝DC+EC(2)∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，見解析(3)AD＝或AD＝4
【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根據(jù)勾股定理計算即可；（3）如圖3，作AE⊥CD于E，連接AD，根據(jù)勾股定理得到BC==，推出點B，C，A，D四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠ADE=45°，求得△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=60°，
∴AC=AB=BC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：∠B=∠BAC＝∠DAE＝60°，AD=AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴AC＝BC＝EC+CD；
故答案為：60°，AC＝DC+EC；
（2）解：BD2+CD2＝2AD2，理由如下：由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；
（3）解：作AE⊥CD于E，連接AD，∵在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，∴BC＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴點B，C，A，D四點共圓，∴∠ADE＝∠ABC=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴CE＝5﹣DE，
∵AE2+CE2＝AC2，∴AE2+（5﹣AE）2＝17，∴AE＝1，或AE＝4，∴AD＝或AD＝4．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
12．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，AB＝AC， ，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，則：
(1)①∠ACE的度數(shù)是 ；②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
拓展探究：(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，請寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間得數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
解決問題：(3)如圖3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若點A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，請直接寫出線段AD的長度．
【答案】(1)60°，AC＝DC+EC(2)∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，見解析(3)AD＝或AD＝4
【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根據(jù)勾股定理計算即可；（3）如圖3，作AE⊥CD于E，連接AD，根據(jù)勾股定理得到BC==，推出點B，C，A，D四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠ADE=45°，求得△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=60°，
∴AC=AB=BC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：∠B=∠BAC＝∠DAE＝60°，AD=AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
∴AC＝BC＝EC+CD；故答案為：60°，AC＝DC+EC；
（2）解：BD2+CD2＝2AD2，理由如下：由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；
（3）解：作AE⊥CD于E，連接AD，
∵在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，∴BC＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC ∴AB＝AC＝，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴點B，C，A，D四點共圓，
∴∠ADE＝∠ABC=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴CE＝5﹣DE，
∵AE2+CE2＝AC2，∴AE2+（5﹣AE）2＝17，∴AE＝1，或AE＝4，∴AD＝或AD＝4．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
13．（2024·浙江紹興·?？家荒＃締栴}探究】（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，不需要證明．
【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同學(xué)受到第一問的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個和△ABD全等的三角形，將BD進行轉(zhuǎn)化再計算，請你準確的敘述輔助線的作法，再計算；
【變式思考】（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，則CD＝ ．
【答案】（1）BD＝CE；（2）BD2＝54；（3）8
【分析】（1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明∠EAC=∠BAD，則根據(jù)SAS即可證明△EAC≌△BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；
（3）先證明△ABC是等邊三角形，再把△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE，則可得△CDE是等邊三角形，再證△BDE是直角三角形，運用勾股定理求出DE的長，從而可得CD的長．
【詳解】解：（1）BD＝CE．理由是：
∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD＝CE；
（2）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，連接EA、EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝5， ∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°， ∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，
∴，∴ ．
（3）如圖，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，
把△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE，則BE＝AD，△CDE是等邊三角形，
∴DE＝CD，∠CED＝60°，∵∠ADC＝30°， ∴∠BED＝30°+60°＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝＝＝8， ∴CD＝DE＝8．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題目之間的聯(lián)系，構(gòu)造全等三角形是解決本題關(guān)鍵．
14．（2024·江西·中考真題）綜合與實踐：如圖，在中，點D是斜邊上的動點（點D與點A不重合），連接，以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造，，連接，．
特例感知（1）如圖1，當時，與之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；
類比遷移（2）如圖2，當時，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．
拓展應(yīng)用（3）在（1）的條件下，點F與點C關(guān)于對稱，連接，，，如圖3．已知，設(shè)，四邊形的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達式，并求出y的最小值；②當時，請直接寫出的長度．
【答案】（1），（2）與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（3）①y與x的函數(shù)表達式，當時，的最小值為；②當時，為或.
【分析】（1）先證明，，，可得；再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）先證明，，結(jié)合，可得；再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）①先證明四邊形為正方形，如圖，過作于，可得，，再分情況結(jié)合勾股定理可得函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得最小值；②如圖，連接，，，證明，可得在上，且為直徑，則，過作于，過作于，求解正方形面積為,結(jié)合，再解方程可得答案.
【詳解】解：（1）∵，∴，，
∵，∴，，∴；
∴，，∴，
∴，∴與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；
（2）與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；理由如下：
∵，∴，，
∵，∴；∴，，
∴，∴，
∴與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；
（3）由（1）得：，，，∴，都為等腰直角三角形；
∵點F與點C關(guān)于對稱，∴為等腰直角三角形；，
∴四邊形為正方形，如圖，過作于，

∵，，∴，，
當時，∴，∴，
如圖，當時，此時，同理可得：，
∴y與x的函數(shù)表達式為，當時，的最小值為；
②如圖，∵，正方形，記正方形的中心為，∴，
連接，，，∴，∴在上，且為直徑，∴，
過作于，過作于，∴，，
∴，∴，∴正方形面積為,
∴，解得：，，經(jīng)檢驗都符合題意，如圖，
綜上：當時，為或.
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，圓的確定及圓周角定理的應(yīng)用，本題難度大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.
15．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）在平面內(nèi)，將一個多邊形先繞自身的頂點A旋轉(zhuǎn)一個角度，再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時針旋轉(zhuǎn)，記作順；若逆時針旋轉(zhuǎn)，記作逆．
例如：如圖①，先將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點B為位似中心縮小到原來的，得到，這個變換記作逆．

(1)如圖②，經(jīng)過順得到，用尺規(guī)作出．（保留作圖痕跡）
(2)如圖③，經(jīng)過逆得到，經(jīng)過順得到，連接．求證：四邊形AFDE是平行四邊形．(3)如圖④，在中，，，．若經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形是正方形，請直接寫出的長．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)
【分析】（1）旋轉(zhuǎn)，可作等邊三角形，，從而得出點和點對應(yīng)點，進而作出圖形；
（2）根據(jù)和位似，與位似得出，，，進而推出，從而，進而得出，同理可得：，從而推出四邊形是平行四邊形；（3）要使是正方形，應(yīng)使，，從而得出，從而得出，從而，于是作等邊，保證，作直徑，保證，這樣得出作法．并求出的長．
【詳解】（1）解：如圖1，1．以B為圓心，為半徑畫弧，以C為圓心，為半徑畫弧，兩弧在的上方交于點D，分別以A，C為圓心，以為半徑畫弧，兩弧交于點E，
2．延長至，使，延長至，使，連接，則就是求作的三角形；

（2）證明：∵和位似，與位似，∴，，，
∴，∴，∴，∴，∴，
同理可得：，∴四邊形是平行四邊形；
（3）解：如圖2，證明：由上知：，，
∴，，，，
∴，要使是正方形，應(yīng)使，，
∴，，∴，
∴，∴，
∴作等邊，保證，作直徑，保證，這樣得出作法；
∵，，，∴．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圖形的位似，圓周角定理，確定圓的條件，尺規(guī)作圖，平行四邊形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，熟練掌握以上知識點是解決問題的關(guān)鍵，需要較強的分析能力．
16．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）天府新區(qū)某校數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究：
(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1， 在等邊中， 點P是邊上任意一點， 連接， 以為邊作等邊， 連接． 易證： (2)變式探究：如圖2，在等腰中，，點P是邊上任意一點， 以為腰作等腰， 使，連接．判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)解決問題：如圖3，在正方形中，點P是邊上一點，以邊作正方形，Q是正方形 的中心， 連接．若正方形的邊長為6，則正方形的邊長為
【答案】(1)(2)，理由見解析(3)
【分析】（1）利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）先證明，得到，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）連接、，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，可求出，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【詳解】（1）解：與都是等邊三角形，，，，
，，
在和中，，，；故答案為：；
（2）解：和的數(shù)量關(guān)系為：；理由如下：
在等腰中，，，
在等腰中，，，
，，，∴，，
，，，；
（3）解：連接、，如圖3所示：四邊形是正方形，，，
是正方形的中心，，，
，，
，，，
，，設(shè)，則，
在中，，即，解得：（舍去），
正方形的邊長，故答案為：．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
17．（2024·湖北黃石·三模）（1）如圖①，和為等腰直角三角形，，求證：．（2）如圖②，，，試探究線段與線段的關(guān)系，并加以證明．（3）如圖③，，，求的最大值．

【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）
【分析】（1）證明，則；
（2）證明，則，，證明，則，， 由，可得，即；
（3）如圖,過點C作，在上取點E使，連接．由（2）知：，則，，由勾股定理得，，則，即最大值為，進而可求的最大值．
【詳解】（1）證明：∵，∴，即，
又∵，∴，∴；
（2）解：，證明如下：
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，即，
又∵，∴，∴，，∴ ，
∴，∴，即；
（3）解：如圖,過點C作，在上取點E使，連接．

由（2）知：，∴，∴，
∵，∴，∴由勾股定理得，，
∵，∴，∴最大值為，∴的最大值為．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系等知識．熟練掌握了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
18．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）在中，，，且．
(1)如圖1，若F、G分別是、的中點，求證：．
(2)如圖2，若，，連接，求的值．(3)如圖3，若，，F(xiàn)、G分別是和上的動點，且始終滿足，將繞A點順時針旋轉(zhuǎn)一周，則的最小值為______．
【答案】(1)見解析；(2)；(3)．
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及判定，即可證明結(jié)論；（2）連接，，同（1）可得，繼而證明，可得，設(shè)，計算得，即可證明，所以，求得，即可求得答案；（3）連接，，同（2）可得：，所以，當時，求得的最小值，當D點在上時，求得的最小值，即得答案．
【詳解】（1），，，
又， ，， ；
（2）連接，，同（1）可得，， ，，，
，，設(shè)，則，，
，， ，
，，，，；
（3）連接，，同（2）可得：，，
，，，，，，
當時，最小，最小值為，當D點在上時，最小為，
．故答案為：．
【點睛】本題考查了線段的最值問題，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
19．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在菱形中，，點是對角線上一動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求的度數(shù)．
（2）問題探究：如圖2，在正方形中，，點是對角線上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當時，求的長度；
（3）問題解決：某科技公司現(xiàn)有一塊形如矩形的研發(fā)基地，如圖3，已知米，米，為了響應(yīng)國家“科教興國”戰(zhàn)略，現(xiàn)需要擴大基地面積．擴建方案如下：點是對角線上一動點，以為邊在右側(cè)作直角三角形，滿足，，其中將修建成新能源研發(fā)區(qū)，為試驗區(qū)，為保證研發(fā)效果，要使研發(fā)區(qū)（即的面積最大，求此時試驗區(qū)（即的面積．

【答案】（1）；（2）；（3）平方米
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)推出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，從而推出，即可判定，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；
（2）過點作于，根據(jù)正方形的性質(zhì)推出是等腰直角三角形，根據(jù)與之間的數(shù)量關(guān)系求出的長后求出和的長，然后根據(jù)勾股定理求出的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知是等腰直角三角形，求出的長后在中根據(jù)勾股定理即可求出結(jié)果；
（3）過作于，過點作，交延長線于，先判定，求出的長后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及與的關(guān)系求出的長，設(shè)為，用含的代數(shù)式表示出和的長，用三角形面積公式列出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求出面積最大時的的值，再求出此時試驗區(qū)（即的面積．
【詳解】解：（1）四邊形是菱形，，，，
由旋轉(zhuǎn)可知：，，，，；
（2）如圖2，過點作于，

四邊形是正方形，，是對角線，，，，
又，是等腰直角三角形，
，，，，，
在中，，
繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，是等腰直角三角形，，
在中，，，；
（3）如圖3，過作于，過點作，交延長線于，，
四邊形是矩形，米，米，，（米，
（米，米，（米，
中，，，，，
又，，又，，
，設(shè)米，則米，
米，米，米，
，
當時，面積最大，此時米，米，
（米，（米，
（平方米），
即研發(fā)區(qū)的面積最大時試驗區(qū)的面積為平方米．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點，深入理解題意是解決問題的關(guān)鍵．

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