題目要求的.
1. 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式即可求解.
詳解】
故選：
2. 設(shè)集合 ， ，滿(mǎn)足 ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】利用集合包含關(guān)系得不等關(guān)系，從而求解．
【解答】 ， ， ，
由題意如圖：
，解得 a
故選：C．
3. 已知函數(shù) ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 單調(diào)遞增且是偶函數(shù) B. 單調(diào)遞增且是奇函數(shù)
C. 單調(diào)遞減且是偶函數(shù) D. 單調(diào)遞減且是奇函數(shù)
【答案】B
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【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義結(jié)合指數(shù)運(yùn)算判斷奇偶性，應(yīng)用指數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷單調(diào)性即可判
斷.
【詳解】由 ，其定義域?yàn)?R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
，所以 是奇函數(shù).
又 ，
因?yàn)橹笖?shù)函數(shù) 在 R 上單調(diào)遞增，且 ，那么 在 R 上單調(diào)遞增，且 ，
所以 在 R 上單調(diào)遞減，則 在 R 上單調(diào)遞增，
那么 在 R 上單調(diào)遞增.
故 單調(diào)遞增且是奇函數(shù).
故選：
4. 設(shè) a， ，則“ ”是“ ”的（ ）
A. 既不充分也不必要條件 B. 充要條件
C. 必要不充分條件 D. 充分不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】求出 的等價(jià)條件為 ，再根據(jù)推出關(guān)系，結(jié)合充分條件與必要條件的定義判斷
即可.
【詳解】 ，
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是 的充分不必要條件，
故選：D.
5. 如圖，單位圓 O 內(nèi)接一個(gè)圓心角為 的扇形 ，則扇形 的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù) ，結(jié)合單位圓的半徑為 1，求得 ，由三角形 為等邊三
角形可得扇形的半徑，利用扇形的面積公式可得答案.
【詳解】由單位圓 O 內(nèi)接一個(gè)圓心角為 的扇形 ，
則 ，故 ，
又 ，所以三角形 為等邊三角形，
故
由扇形的面積公式可得：
故選：A.
【點(diǎn)睛】
6. 已知函數(shù) ，若方程 有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則 k的取值范圍為（
）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系 ,把方程看作兩個(gè)函數(shù)： 和 ，在同一個(gè)坐標(biāo)系
中畫(huà)出圖象分析即可．
【詳解】根據(jù)題意，畫(huà)出函數(shù) 和 的圖象如下圖：
當(dāng) 時(shí)， ， ， ，
由圖象可知當(dāng) 時(shí)，方程有三個(gè)解．
故選：C
7. 為了得到函數(shù) 的圖象，只需要把函數(shù) 上所有的點(diǎn)（ ）
A. 向右平移 個(gè)單位，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍
B. 向左平移 個(gè)單位，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍
C. 橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍，向左平移 個(gè)單位
D. 橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍，向左平移 個(gè)單位
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，依據(jù)函數(shù) 的圖象平移伸縮變換的規(guī)則逐一判定即
可.
【詳解】 ，向右平移 個(gè)單位， ，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍，
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可得
故選：A
8. 設(shè)函數(shù) 在 上的零點(diǎn)為 ， ， ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，令 ，可得 或 分別求出方
程在 上的解即可得答案.
【詳解】由 ，
令 ，即 ，
則 或
當(dāng) 時(shí)， ，
對(duì)于 ， ， 在 上，
時(shí)， 時(shí)，
時(shí)， 時(shí)，
時(shí)， 時(shí)，
時(shí)，
對(duì)于 ， ， 在 上，
時(shí)， ， 舍去
時(shí)， ， 時(shí)， ，
時(shí)， ， 舍去
所以這些零點(diǎn)之和為：
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故選：
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選
對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得 2 分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 已知 ， ，則下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】對(duì) A，根據(jù) 判斷；對(duì) B，根據(jù) 判斷；對(duì) C，根據(jù) ，
，結(jié)合換底公式判斷即可；對(duì) D，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算判斷即可.
【詳解】對(duì)于 A，由 ，故 A 正確；
對(duì)于 B， ，故 B 正確；
對(duì)于 C，由指對(duì)互換可知，因?yàn)?， ，那么 ， ，
由換底公式可得： ，故 C 正確；
對(duì)于 D，因?yàn)?， ，所以 ，故 D 錯(cuò)誤.
故選：ABC
10. 若 a， ，且 ，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 的最大值為 6 B. 的最小值為 6
C. ab 的最大值為 9 D. ab 的最小值為 9
【答案】BD
【解析】
【分析】正數(shù) a，b 滿(mǎn)足 ，可得 ，解出即可得出 ab 的最小值，正
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數(shù) a，b 滿(mǎn)足 ，可得 ，解出即可得出 的最小值.
【詳解】 正數(shù) a，b 滿(mǎn)足 ，
，即 ，
解得 ，即 ab ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
，即 ab 的最小值為 9，
正數(shù) a，b 滿(mǎn)足 ，
，即 ，
解得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
，即 的最小值為
故選：BD.
11. 我們知道：函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是 為奇函
數(shù)，類(lèi)比以上結(jié)論也可得到函數(shù) 的圖象關(guān)于直線(xiàn) 成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件.已知函數(shù) 的
定義域?yàn)?R，其圖象關(guān)于直線(xiàn) 成軸對(duì)稱(chēng)圖形，且 為奇函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，
，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 的圖象關(guān)于點(diǎn) 成中心對(duì)稱(chēng)圖形
B. 為偶函數(shù)
C. 的最小正周期為 12
D. 當(dāng) 時(shí)，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性新定義得出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)軸及周期判斷 A，B，C，
再根據(jù)函數(shù)周期性得出函數(shù)解析式判斷 D.
【詳解】對(duì)于 A，由 為奇函數(shù)，所以 關(guān)于 中心對(duì)稱(chēng)，
又函數(shù) 關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，
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所以不能得到函數(shù) 關(guān)于 中心對(duì)稱(chēng)，故 A 錯(cuò)誤;
對(duì)于 B，類(lèi)比題目所給條件，函數(shù) 關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，
那么 關(guān)于 對(duì)稱(chēng)，
由偶函數(shù)的定義可知 為偶函數(shù)，故 B 正確;
對(duì)于 C，由 關(guān)于 中心對(duì)稱(chēng)，所以 ，即 ，
又函數(shù) 關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，則 ，即 ，
所以 ，故 ，
所以 ，
則 的最小正周期為 12，故 C 正確;
對(duì)于 D，當(dāng) 時(shí)， ，
所以 ，
由 C 選項(xiàng)所得結(jié)論： ，
所以 ，故 D 正確.
故選：
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 命題 ： ， 的否定是____________.
【答案】 ，
【解析】
【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題否定即可求解.
【詳解】由題意得命題 ： ， 的否定是： ， .
故答案為： ， .
13. 已知 ，則 __________.
【答案】 ##
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【解析】
【分析】根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)公式及同角基本關(guān)系式化簡(jiǎn)即可求解結(jié)論．
【詳解】
故答案 ：
14. 設(shè) ，用 表示不超過(guò) x 最大整數(shù)，稱(chēng) 為取整函數(shù).例如： ， ，
已知函數(shù) ，則 __________ 的值域?yàn)開(kāi)_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】將 代入函數(shù)解析式，利用取整函數(shù)的定義即可求解函數(shù)值；根據(jù)三角函數(shù)的有界性分類(lèi)討
論，利用取整函數(shù)的定義分別求出函數(shù)值即可求出函數(shù)的值域.
【詳解】因?yàn)?，
所以 ；
， 或 ， 時(shí)， ；
， 或 ， 時(shí)， ；
， 時(shí)，
， 或 ， 時(shí)， ，
， 時(shí)， ，
所以 的值域?yàn)?br>故答案為： ，
四、解答題：本題共 5 小題，共 60 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
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15. 已知集合 ，集合
（1）在下面的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù) 的圖象，求
（2）若全集 ， ，求集合
【答案】（1）答案見(jiàn)解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）描點(diǎn)可畫(huà)得 的圖象，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域與對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求解 即可；
（2）由（1）可得 ，再假設(shè) ，推出矛盾可得 ，進(jìn)而同理可得
【小問(wèn) 1 詳解】
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集合 ，
集合 或 .
所以 ，
所以 .
【小問(wèn) 2 詳解】
由（1）可得
因?yàn)?，所以 2，3，6， 且 2，3，6，
再由 ，
假設(shè) ，則由 可得 ，
故 ，顯然矛盾，所以
同理 ， ，
所以
16. 已知函數(shù) ，
（1）求 ，
（2）求 的值;
（3）已知實(shí)數(shù) a 滿(mǎn)足 ，求 的值.
【答案】（1） ，
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換計(jì)算求解即可；
（2）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則代入計(jì)算即可求解；
（3）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則代入計(jì)算即可求解.
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【小問(wèn) 1 詳解】
由題意得
由題意得
【小問(wèn) 2 詳解】
由題意得
小問(wèn) 3 詳解】
由題意得 ，
方法一 由 ，得 ，
所以
方法二 由 ，得 ，
因?yàn)?，
所以 ，
所以
方法三 由 ，得 ，
所以 ，
因?yàn)?，
所以
17. 用水清洗一件衣服上的污漬，對(duì)用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用 1 個(gè)單位量的水可洗掉衣
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服上污漬的 ，用水越多洗掉的污漬也越多，但總有污漬殘留在衣服上.設(shè)用 x 單位量的水清洗一次以后，
衣服上殘留的污漬與本次清洗前殘留的污漬之比為函數(shù)
（1）求 的解析式，寫(xiě)出 應(yīng)該滿(mǎn)足的條件或具有的性質(zhì) 至少寫(xiě) 2 條，不需要證明
（2）現(xiàn)有 單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 2 份后清洗兩次.哪種方案清洗后衣服
上殘留的污漬比較少?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1） ，答案見(jiàn)解析.
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn) 代入確定解析式，再得其性質(zhì)；
（2）利用作差法比較大小.
【小問(wèn) 1 詳解】
因?yàn)?br>所以 ，即
函數(shù) 的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減.
【小問(wèn) 2 詳解】
，
，
，
第 13頁(yè)/共 17頁(yè)
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①當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)清洗一次或兩次殘留 污漬一樣，
②當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)清洗一次殘留的污漬更少，
③當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)清洗兩次殘留的污清更少，
綜上， 時(shí)，清洗一次殘留的污漬更少;
時(shí)，清洗一次或兩次殘留的一樣;
時(shí)，清洗兩次殘留的污漬量更少.
18. 已知
（1）若 ， ，且 ，求
（2）若 在 上單調(diào)，且在 上恰有 3 個(gè)最值點(diǎn)，求 的取值范圍.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由 求出 ，再根據(jù)平方關(guān)系可求
的值；
（ 2） 根 據(jù) 在 上 單 調(diào) 求 得 ， 由 可 得 當(dāng) ，
，再利用 可求 的取值范圍
【小問(wèn) 1 詳解】
由題意可得：
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當(dāng) 時(shí)， ， ，
所以 ，
因?yàn)?，所以 ，
所以 ；
【小問(wèn) 2 詳解】
當(dāng) ， ，
因?yàn)?在 上單調(diào)，所以 ，所以 ，
當(dāng) ， ， 在 上恰有 3 個(gè)最值點(diǎn)，
即 在 恰有 3 個(gè)最值點(diǎn)，分別是 ， ， ，
所以 ，解得 ，因?yàn)?，所以
19. 對(duì)于任意兩正數(shù) u， ，記區(qū)間 上曲線(xiàn) 下的曲邊梯形 由直線(xiàn) ， ， 和
曲線(xiàn) 所圍成的封閉圖形 面積為 ，并約定 和 ，已知
（1）求 ， ，
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（2）對(duì)正數(shù) k 和任意兩個(gè)正數(shù) u，v，猜想 與 的大小關(guān)系，并證明;
（3）（i）試應(yīng)用曲邊梯形的面積說(shuō)明：對(duì)任意正數(shù) x，恒有
（ii）若 ，試說(shuō)明：當(dāng) 時(shí)， .
【答案】（1） ， ，
（2） ，證明見(jiàn)解析
（3）（i）答案見(jiàn)解析；（ii）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）（2）由新定義可直接計(jì)算判斷；
（3）（i）設(shè) ， 由 小于高為 底為 1 的長(zhǎng)方形面積、 大于高為 ，
底為 1 的長(zhǎng)方形面積，可得答案；（ii）利用（i）可得答案.
【小問(wèn) 1 詳解】
由題意得 ，
，
；
【小問(wèn) 2 詳解】
對(duì)正數(shù) k 和任意兩個(gè)正數(shù) u，v， ，
由題知 ，
，
故 ；
【小問(wèn) 3 詳解】
（i）設(shè) ，由題意得 ，
由 小于高為 ，底為 1 的長(zhǎng)方形面積，得 ，
由 大于高為 ，底為 1 的長(zhǎng)方形面積，得 ，
第 16頁(yè)/共 17頁(yè)
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所以對(duì)任意正數(shù) x，恒有
（ii）由（i）得
，
顯然，當(dāng) 時(shí)， ，所以 .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三額解題關(guān)鍵點(diǎn)是利用陰影部分的面積與相應(yīng)梯形矩形的面積大小，可推出不等
式.
第 17頁(yè)/共 17頁(yè)

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