要求的。
1．（5 分）若集合 A＝{x|y＝ln（x+1）}，B＝{x|x2+x≥0}，則 A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣∞，0] D．[0，+∞）
2．（5 分）已知冪函數(shù) f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，則函數(shù) f（x）的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
3．（5 分）已知α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（1，y），且 ，則 tanα＝（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
4．（5 分）已知扇形 OAB 的周長(zhǎng)為 8cm，圓心角∠AOB＝2rad，則該扇形中弦長(zhǎng) AB＝（ ）
A．2cm B．4cm C．2sin1cm D．4sin1cm
5．（5 分）已知 x，y∈R，則 xy＜0 是|x﹣y|＝|x|+|y|的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
6．（5 分）已知關(guān)于 x 的一元二次方程 的兩根為 sinα，csα，則 m 的值為（ ）
A． B． C． D．
7．（5 分）已知函數(shù) ，x∈（0，1）∪（1，+∞），若 ，則 a+b 的最小值為（ ）
A．9 B． C．3 D．
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8．（5 分）已知函數(shù) ，若關(guān)于 x 的方程 f（x）﹣f（2﹣a）＝0 至少有兩個(gè)不等
的實(shí)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全
部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分。
（多選）9．（6 分）下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．若 ac2＞bc2，則 a＞b
B．若 ，則
C．若 a＞b＞0，則
D．若 ，則 ab＜1
（多選）10．筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用（圖
1），明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖 2）．若一半徑為 2 米的筒
車水輪圓心 O 距離水面 1 米（圖 3），已知水輪按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng) 4 圈，當(dāng)水輪上點(diǎn) P 從水中
浮現(xiàn)時(shí)（圖 3 中點(diǎn) P0）開始計(jì)時(shí)，點(diǎn) P 距水面的高度可以用函數(shù) y＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，
|φ| ，B∈R）表示．下列結(jié)論正確的有（ ）
A．點(diǎn) P 所滿足的函數(shù)表達(dá)式為
B．點(diǎn) P 第一次到達(dá)最高點(diǎn)需用時(shí) 5 秒
C．P 再次接觸水面需用時(shí) 10 秒
D．當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng) 2.5 秒時(shí)，距水面的高度為 1.5 米
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（多選）11．（6 分）已知函數(shù) ，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．函數(shù) y＝f（x）為奇函數(shù)
B．函數(shù) y＝f（x）的周期為π
C．函數(shù) y＝f（x）在區(qū)間 上為增函數(shù)
D．當(dāng) x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù) y＝f（x）的圖象恒在直線 的下方
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12．（5 分） ．
13．（5 分）已知定義在 R 上的奇函數(shù) f（x）關(guān)于 x＝1 對(duì)稱，當(dāng) x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）＝ex﹣1，則 f（2025）
＝ ．
14．（5 分）已知函數(shù) f（x）＝﹣x+2，g（x）＝x2+2x﹣2a﹣a2．若對(duì)?x∈R，均有 f（x）＞0 或 g（x）＞0，
且?x∈（﹣∞，﹣3）使得 f（x）?g（x）＜0 成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 ．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（13 分）已知集合 A＝{x|lg（x﹣1）≤1}，B＝{x|0＜x+a＜2}．
（1）當(dāng) a＝﹣2 時(shí)，求 A∩B；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍．
16．（15 分）已知α為第三象限角，且 tanα＝2．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
17．（15 分）已知函數(shù) f（x）＝lga（a﹣2x+1）+bx（a＞0，a≠1，b∈R）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，﹣1），（1，lg2
）．
（1）求實(shí)數(shù) a，b 的值；
（2）證明：函數(shù) f（x）為偶函數(shù)；
（3）求關(guān)于 x 的不等式 2﹣f（x）+x＜2x+3 的解集．
18．（17 分）如圖，函數(shù) 的部分圖象與直線 y＝﹣1 交于 A，B 兩點(diǎn)，
點(diǎn) ， 在函數(shù) f（x）的圖象上，且△ABC 的面積為 ．
（1）求函數(shù) f（x）的解析式；
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（2）設(shè) 在 上的兩個(gè)零點(diǎn)為α，β，求 的值；
（3）將函數(shù) f（x）的圖象向右平移 個(gè)單位，再向上平移 1 個(gè)單位，得到函數(shù) y＝g（x）的圖象，若
y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少有 10 個(gè)零點(diǎn)，求最小正整數(shù) b．
19．（17 分）已知函數(shù) f（x）＝x2﹣2x+a，a∈R．
（1）若方程 f（f（x））＝0 有 4 解，求 a 的取值范圍；
（2）對(duì)?x∈[1，2]，（ax﹣1）f（x）≥0 恒成立，求 a 的取值范圍；
（3）對(duì)?x1，x2，x3∈[1，2]， 恒成立，求λ的取值
范圍．
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參考答案與試題解析
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A D A C B A
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目
要求的。
1．（5 分）若集合 A＝{x|y＝ln（x+1）}，B＝{x|x2+x≥0}，則 A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣∞，0] D．[0，+∞）
【分析】分別求解集合 A 和 B，再結(jié)合交集的定義求解即可．
【解答】解：因?yàn)?A＝{x|y＝ln（x+1）}＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x2+x≥0}＝{x|x≥0 或 x≤﹣1}，
所以 A∩B＝{x|x≥0}＝[0，+∞）．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的求解以及集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5 分）已知冪函數(shù) f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，則函數(shù) f（x）的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出冪函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的圖象特征，即可求解．
【解答】解：冪函數(shù) f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，
則 f（x） ，該函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，故 B 符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查冪函數(shù)解析式的求解，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5 分）已知α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（1，y），且 ，則 tanα＝（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
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【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解．
【解答】解：因?yàn)棣恋慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（1，y），且 0，
所以 y＜0，解得 y＝﹣2，
則 tanα 2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5 分）已知扇形 OAB 的周長(zhǎng)為 8cm，圓心角∠AOB＝2rad，則該扇形中弦長(zhǎng) AB＝（ ）
A．2cm B．4cm C．2sin1cm D．4sin1cm
【分析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為 l，半徑為 r，圓心角為α，然后根據(jù)已知建立方程組求出 r 的值，再利用正弦
函數(shù)化簡(jiǎn)即可求解．
【解答】解：設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為 l，半徑為 r，圓心角為α，
則由已知可得 ，解得 r＝2，
則弦長(zhǎng) AB＝2 4sin1cm．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5 分）已知 x，y∈R，則 xy＜0 是|x﹣y|＝|x|+|y|的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
【分析】由充分性和必要性的判斷方法判斷即可．
【解答】解：若 xy＜0，則 x，y 異號(hào)，當(dāng) x＞0，y＜0，|x﹣y|＝x﹣y＝x+（﹣y）＝|x|+|y|，
當(dāng) x＜0，y＞0，|x﹣y|＝y(tǒng)﹣x＝y(tǒng)+（﹣x）＝|x|+|y|，
所以 xy＜0 可以推出|x﹣y|＝|x|+|y|；
若|x﹣y|＝|x|+|y|，則當(dāng) x＝y(tǒng)＝0 時(shí)，等式成立，但此時(shí) xy＜0 不成立，
所以|x﹣y|＝|x|+|y|不能推出 xy＜0．
所以 xy＜0 是|x﹣y|＝|x|+|y|的充分不必要條件．
故選：A．
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【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分不必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5 分）已知關(guān)于 x 的一元二次方程 的兩根為 sinα，csα，則 m 的值為（ ）
A． B． C． D．
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得 sinα+csα ，sinαcsα＝m，由同角三角函數(shù)的性質(zhì)可得 m 的值．
【解答】解：關(guān)于 x 的一元二次方程 的兩根為 sinα，csα，
Δ＝（ ）2﹣4m＞0，可得 m ，
可得 sinα+csα ，sinαcsα＝m，
所以 sin2α+cs2α+2sinαcsα ，
解得 sinαcsα ，即 m ．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系及同角三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5 分）已知函數(shù) ，x∈（0，1）∪（1，+∞），若 ，則 a+b 的最小值為（ ）
A．9 B． C．3 D．
【分析】先對(duì)原函數(shù)分離常數(shù)得出 ，然后根據(jù)條件即可得出 ，然后根據(jù)基
本不等式和 1 的代換即可得解．
【解答】解： ，由 得： ，整理得：4a+b＝2ab，且
a＞0，b＞0，
∴ ，
∴ ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 b＝2a＝3 時(shí)取等號(hào)，
∴a+b 的最小值為 ．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分離常數(shù)法的運(yùn)用，基本不等式和 1 的代換，是中檔題．
8．（5 分）已知函數(shù) ，若關(guān)于 x 的方程 f（x）﹣f（2﹣a）＝0 至少有兩個(gè)不等
的實(shí)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（ ）
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A． B．
C． D．
【分析】將函數(shù)寫成分段函數(shù)，作出圖象，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的方程 f（x）＝f（2﹣a）至少有兩個(gè)
不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得 2﹣2 2﹣a≤10，求解即可．
【解答】解：因?yàn)?，
作出函數(shù)的圖象，如圖所示：
關(guān)于 x 的方程 f（x）﹣f（2﹣a）＝0 至少有兩個(gè)不等的實(shí)根，
即關(guān)于 x 的方程 f（x）＝f（2﹣a）至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以﹣4≤f（2﹣a）≤4，
當(dāng) x≤2 時(shí)，令 f（x）＝x2﹣4x＝4，解得 x＝2﹣2 ，
當(dāng) x＞6 時(shí)，令 f（x）＝16﹣2x＝﹣4，解得 x＝10，
所以 2﹣2 2﹣a≤10，
解得﹣8≤a≤2 ．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)與方程思想，考查了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全
部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分。
（多選）9．（6 分）下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．若 ac2＞bc2，則 a＞b
B．若 ，則
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C．若 a＞b＞0，則
D．若 ，則 ab＜1
【分析】由不等式的性質(zhì)逐一判斷所給命題的真假．
【解答】解：A 中，因?yàn)?ac2＞bc2，可得 c2＞0，所以 a＞b，所以 A 正確；
B 中，若 ，a＝1，b＝2 也可以，所以 不正確，所以 B 不正確；
C 中，a＞b＞0，a﹣b﹣（ ）＝（a﹣b） ，
因?yàn)?a﹣b＞0，ab＞0，而 1+ab＞0，所以 a﹣b﹣（ ）＞0，即 a﹣b ，所以 C 正確；
D 中，若 ，當(dāng) a＝b＝﹣2 時(shí)，則 ab＞1，則 ab＜1 不正確．
故選：AC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用（圖
1），明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖 2）．若一半徑為 2 米的筒
車水輪圓心 O 距離水面 1 米（圖 3），已知水輪按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng) 4 圈，當(dāng)水輪上點(diǎn) P 從水中
浮現(xiàn)時(shí)（圖 3 中點(diǎn) P0）開始計(jì)時(shí)，點(diǎn) P 距水面的高度可以用函數(shù) y＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，
|φ| ，B∈R）表示．下列結(jié)論正確的有（ ）
A．點(diǎn) P 所滿足的函數(shù)表達(dá)式為
B．點(diǎn) P 第一次到達(dá)最高點(diǎn)需用時(shí) 5 秒
C．P 再次接觸水面需用時(shí) 10 秒
D．當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng) 2.5 秒時(shí)，距水面的高度為 1.5 米
【分析】根據(jù)函數(shù)模型 y＝Asin（ωx+φ）+B 的定義與性質(zhì)，求出 A，B 和 T，ω，φ，寫出函數(shù)解析式，
再判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．
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【解答】解：函數(shù) y＝Asin（ωx+φ）+B 中，A＝2，B＝1，T 15，所以ω ，
x＝0 時(shí)，y＝2sinφ+1＝0，解得 sinφ ，因?yàn)閨φ| ，所以φ ，
所以 y＝2sin（ x ）+1，選項(xiàng) A 錯(cuò)誤；
令 y＝3，得 sin（ x ）＝1，則 x 2kπ，解得 x＝5+15k，k∈N，
所以 x 的最小值為 5，即點(diǎn) P 第一次到達(dá)最高點(diǎn)需用時(shí) 5 秒，選項(xiàng) B 正確；
由題意知，點(diǎn) P 再次接觸水面需用時(shí) T 15＝10（秒），選項(xiàng) C 正確；
當(dāng) x＝2.5 時(shí)，y＝2sin（ 2.5 ）+1＝2，點(diǎn) P 距水面的高度為 2 米，選項(xiàng) D 錯(cuò)誤．
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．
（多選）11．（6 分）已知函數(shù) ，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．函數(shù) y＝f（x）為奇函數(shù)
B．函數(shù) y＝f（x）的周期為π
C．函數(shù) y＝f（x）在區(qū)間 上為增函數(shù)
D．當(dāng) x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù) y＝f（x）的圖象恒在直線 的下方
【分析】根據(jù)題意，由奇函數(shù)的定義分析 A，由函數(shù)周期性的定義分析 B，由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)分析 C，
由不等式的性質(zhì)分析 D，綜合可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于 A，函數(shù) ，其定義域?yàn)?R，有 f（﹣x）＝﹣f（x），則 f（x）為奇函數(shù)，A
正確；
對(duì)于 B，f（x）＝sinx ，有 f（x+π）＝﹣sinx ，
則π不是函數(shù) f（x）的周期，B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，f（x）＝sinx sinx ，
在區(qū)間[0， ]上，y＝sinx 為增函數(shù)且 y＝sinx≥0，y 也是增函數(shù)，
則 f（x）＝sinx 在[0， ]上遞增，
又由 y＝f（x）為奇函數(shù)，則 f（x）在區(qū)間 上為增函數(shù)，C 正確；
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對(duì)于 D，f（x）＝sinx sinx ，
當(dāng) x∈（0，+∞）時(shí)，由于 sinx≤x， 恒成立，故 f（x） x，
則函數(shù) y＝f（x）的圖象恒在直線 的下方，D 正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)三角函數(shù)的奇偶性，涉及函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12．（5 分） ﹣1 ．
【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解．
【解答】解：
＝lg49 3
＝lg416﹣3
＝2﹣3
＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
13．（5 分）已知定義在 R 上的奇函數(shù) f（x）關(guān)于 x＝1 對(duì)稱，當(dāng) x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）＝ex﹣1，則 f（2025）
＝ ．
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性可得函數(shù)的周期性，結(jié)合函數(shù)的解析式計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù) f（x）為奇函數(shù)，f（﹣x）＝﹣f（x），
函數(shù) f（x）關(guān)于 x＝1 對(duì)稱，則有 f（x）＝﹣f（2﹣x），
則有 f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），變形可得 f（x+2）＝﹣f（x），
則有 f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即 f（x）是周期為 4 的周期函數(shù)，
則 f（2025）＝f（1+4×506）＝f（1）＝﹣f（﹣1），
又由當(dāng) x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）＝ex﹣1，則 f（﹣1）＝e﹣1﹣1 ，
則 f（2025）＝﹣f（﹣1） ．
故答案為： ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于中檔題．
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14．（5 分）已知函數(shù) f（x）＝﹣x+2，g（x）＝x2+2x﹣2a﹣a2．若對(duì)?x∈R，均有 f（x）＞0 或 g（x）＞0，
且?x∈（﹣∞，﹣3）使得 f（x）?g（x）＜0 成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 a∈（﹣4，﹣3）∪（1，2）
．
【分析】將問(wèn)題分為對(duì)?x∈R，均有 f（x）＞0 或 g（x）＞0 和存在當(dāng) x＜﹣3 時(shí)，f（x）g（x）＜0 兩部
分進(jìn)行求解．
【解答】解：首先分析對(duì)?x∈R，均有 f（x）＞0 或 g（x）＞0，令 f（x）＞0，解得 x＜2，
故當(dāng) x≥2 時(shí)需要 g（x）＞0，
易得二次函數(shù) g（x）的對(duì)稱軸為 x＝﹣1，
故需確保 g（2）＞0 且 g（x）右邊根 x2≤2，
g（2）＝8﹣2a﹣a2＞0 解得 a∈（﹣4，2），
x2＝﹣1 1+|a+1|≤2，解得 a∈[﹣4，2]，
綜上，a∈（﹣4，2）①；
再分析存在當(dāng) x＜﹣3 時(shí)，f（x）g（x）＜0，
f（x）＝﹣x+2＞0，
故存在 x＜﹣3，g（x）＜0，
故 g（x）左邊根 x1＝﹣1 1﹣|a+1|＜﹣3，解得 a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）②，
綜合①②，可得 a∈（﹣4，﹣3）∪（1，2），
故答案為：a∈（﹣4，﹣3）∪（1，2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)存在性和恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（13 分）已知集合 A＝{x|lg（x﹣1）≤1}，B＝{x|0＜x+a＜2}．
（1）當(dāng) a＝﹣2 時(shí)，求 A∩B；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍．
【分析】（1）化簡(jiǎn)集合 A 與 B，根據(jù)交集的定義求解即可；
（2）根據(jù)“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，得 B 是 A 的真子集，由此得出實(shí)數(shù) a 的取值范圍．
【解答】解：（1）集合 A＝{x|lg（x﹣1）≤1}＝{x|0＜x﹣1≤10}＝{x|1＜x≤11}，
a＝2 時(shí)，B＝{x|0＜x﹣2＜2}＝{x|2＜x＜4}，所以 A∩B＝{x|2＜x＜4}；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則 B 是 A 的真子集，
由 B＝{x|0＜x+a＜2}＝{x|﹣a＜x＜2﹣a}，
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得 或 ，解得﹣9≤a＜1 或﹣9＜a≤﹣1，
綜上，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是{a|﹣9≤a≤﹣1}．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的化簡(jiǎn)與運(yùn)算問(wèn)題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．
16．（15 分）已知α為第三象限角，且 tanα＝2．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式即可求解；
（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．
【解答】解：（1）因?yàn)棣翞榈谌笙藿?，?tanα 2，
所以 sin2α+cs2α＝4cs2α+cs2α＝1，解得 csα （正值舍去），
所以 csα ；
（2） ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
17．（15 分）已知函數(shù) f（x）＝lga（a﹣2x+1）+bx（a＞0，a≠1，b∈R）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，﹣1），（1，lg2
）．
（1）求實(shí)數(shù) a，b 的值；
（2）證明：函數(shù) f（x）為偶函數(shù)；
（3）求關(guān)于 x 的不等式 2﹣f（x）+x＜2x+3 的解集．
【分析】（1）由已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求解 a，b；
（2）結(jié)合偶函數(shù)的定義即可證明；
（3）結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解．
【解答】解：（1）函數(shù) f（x）＝lga（a﹣2x+1）+bx 的圖象過(guò)點(diǎn)（0，﹣1），（1，lg2 ），
所以 f（0）＝lga2＝﹣1，即 a ，f（x）＝lg （1+4x）+bx，
則 lg 5+b＝lg2 ，
所以 b＝1；
（2）證明：函數(shù) f（x）＝lg （1+4x）+x＝x﹣lg2（1+4x）＝lg2 lg2 ，x∈R，
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f（﹣x）＝lg2 f（x），
故 f（x）為偶函數(shù)；
（3）不等式 2﹣f（x）+x＜2x+3 可化為 1+4x＜2x+3，
即（2x）2﹣2x﹣2＜0，
解得﹣1＜2x＜2，
所以 x＜1，
故不等式的解集為{x|x＜1}．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
18．（17 分）如圖，函數(shù) 的部分圖象與直線 y＝﹣1 交于 A，B 兩點(diǎn)，
點(diǎn) ， 在函數(shù) f（x）的圖象上，且△ABC 的面積為 ．
（1）求函數(shù) f（x）的解析式；
（2）設(shè) 在 上的兩個(gè)零點(diǎn)為α，β，求 的值；
（3）將函數(shù) f（x）的圖象向右平移 個(gè)單位，再向上平移 1 個(gè)單位，得到函數(shù) y＝g（x）的圖象，若
y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少有 10 個(gè)零點(diǎn)，求最小正整數(shù) b．
【分析】（1）由題意可得 ，從而可得函數(shù)的一條對(duì)稱軸為 ，從而可得周期 T ，
根據(jù)周期公式可得ω的值，再代入 C 點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得函數(shù)的解析式；
（2）由題意可得 ，代入求解即可；
（3）由題意得 g（x）＝2cs3x+1，解出函數(shù)的零點(diǎn)，可得 b 的范圍，再根據(jù) b 為整數(shù)，即可得答案．
【解答】解：（1）因?yàn)?，
得到 ，
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所以 y＝f（x）的一條對(duì)稱軸為 ，
此時(shí) ，
則 ，從而解得ω＝3．
又 ，且 ，得 ．
從而 ；
（2）由題意得 ，
令 ，
得到 ，
因?yàn)?，3x ， ，
所以 2π，
解得 ，
從而 ；
（3）由題意得 g（x）＝2cs3x+1，
令 2cs3x+1＝0，
則 ，k∈Z 或 ，
當(dāng) k＝4，則 ，
所以 ），
又 b∈N*，
所以 bmin＝10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)和圖象及性質(zhì)，考查了整體思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
19．（17 分）已知函數(shù) f（x）＝x2﹣2x+a，a∈R．
（1）若方程 f（f（x））＝0 有 4 解，求 a 的取值范圍；
（2）對(duì)?x∈[1，2]，（ax﹣1）f（x）≥0 恒成立，求 a 的取值范圍；
（3）對(duì)?x1，x2，x3∈[1，2]， 恒成立，求λ的取值
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范圍．
【分析】（1）令 t＝f（x），f（1）＝a﹣1，由題意可得 f（t）＝0 存在兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，由此可求解 a
的取值范圍；
（2）根據(jù)已知不等式列不等式組，求解即可；
（3）求出 f（x）的值域?yàn)閇a﹣1，a]，設(shè) t＝f（x），則 ti＝f（xi），i＝1，2，3，不妨設(shè) a﹣1≤t1≤t2≤t3
≤a，由不等式的性質(zhì)可得 的范圍，從而可得λ的取值
范圍．
【解答】解：（1）令 t＝f（x），f（1）＝a﹣1，則 f（t）＝0 存在兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，
∴Δ＝4﹣4a＞0 且 f（a﹣1）＞0，解得 a＜1，
即 a 的取值范圍是（﹣∞，1）．
（2）因?yàn)?x∈[1，2]，（ax﹣1）f（x）≥0，設(shè) g（x）＝ax﹣1，且 f（x）在 x∈[1，2]是單調(diào)遞增的，
所以① ，即 解得 a≥1；
② ，即 ，解得 a≤0．
③ ，解得 ，
綜上所述，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ．
（3）因?yàn)?x∈[1，2]，f（x）在 x∈[1，2]是單調(diào)遞增的，所以 f（x）∈[a﹣1，a]，
設(shè) t＝f（x），則 ti＝f（xi），i＝1，2，3，不妨設(shè) a﹣1≤t1≤t2≤t3≤a，
因?yàn)?，
≤（t3﹣t1）+（t2﹣t1）+（t3﹣t2）＝2（t3﹣t1）≤2，
以上不等式取等號(hào)的條件為 t2﹣t1＝t3﹣t2，t3＝a，t_{1}＝a﹣1$，
即 t1＝a﹣1，$t_{2}＝\frac{2a﹣1}{2}$，t3＝a 時(shí)，取得等號(hào)，
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從而$\sqrt{|f（x_{1}）﹣f（x_{2}）|}+\sqrt{|f（x_{1}）﹣f（x_{3}）|}+\sqrt{|f（x_{2}）﹣f（x_{3}）|}
≤\sqrt{2}+1$，
所以$λ＞\sqrt{2}+1$，
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（$\sqrt{2}+1$，+∞）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的解法，不等式恒成立問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．

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