一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．若，則（ ）
A．B．
C．D．
3．已知為第二象限角，則（ ）
A．B．
C．D．
4．在中，D是邊BC上一點(diǎn)，且，E是AD的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．中，內(nèi)角、所對的邊分別為、，若，則角等于（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，，且，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函數(shù)的圖象是由（）的圖象向右平移個(gè)單位得到的，若在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）．
A．B．
C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知向量，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若與垂直，則為定值
B．若與互為相反向量，則m與n互為倒數(shù)
C．若與垂直，則為定值
D．若與互為相反向量，則m與n互為相反數(shù)
10．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．
C．D．
11．在中，角所對的邊分別為，已知，則下列判斷中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則該三角形有兩解
C．周長有最大值12D．面積有最小值
12．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（ ）
A．是奇函數(shù)
B．在上是減函數(shù)
C．的值域是
D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，則的最小值 ．
14．已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)公式為 ．
15．已知，且，若恒成立，則的取值范圍 ．
16．德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人，并且有意識地“以概念代替直覺”，他定義了一個(gè)函數(shù)有如下四個(gè)結(jié)論：
①；
②函數(shù)是偶函數(shù)；
③函數(shù)具有單調(diào)性；
④已知點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形.
其中所有正確結(jié)論的序號是 .
四、解答題：本題共6小題，共70分（17題10分，其余各題各12分）．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程戓演算步驟．
17．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)證明：是等腰三角形；
(2)若的面積為，且，求的周長．
18．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式
(2)求的前項(xiàng)和
19．已知．若的最小正周期為．
(1)求的表達(dá)式和的遞增區(qū)間；
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．
20．已知內(nèi)角所對的邊長分別為.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
21．已知
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證曲線在上不存在斜率為-2的切線．
22．已知函數(shù)．
(1)若，求的極小值．
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)當(dāng)時(shí)，證明：有且只有個(gè)零點(diǎn)．
1．C
【分析】根據(jù)題意，由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榛颍?
故選：C
2．D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則可求得，由共軛復(fù)數(shù)定義可得，作差即可求得結(jié)果.
【詳解】由得：，，
.
故選：D.
3．C
【分析】根據(jù)第二象限角的三角函數(shù)值的正負(fù)分別判斷各選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿牵?br>所以，，，
則，，，
而的取值不確定.
故選：C.
4．A
【分析】用基底表示，再結(jié)合的關(guān)系，即可求得和.
【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：
因?yàn)镈是邊BC上一點(diǎn)，且，所以；
又E是AD的中點(diǎn)，所以，則.
故選：A.
5．B
【分析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出在處的切線的斜率，代入，求出，利用點(diǎn)斜式方程求出切線方程.
【詳解】因?yàn)椋?，則，
所以的圖象在處的切線方程為，
即.
故選：B.
6．C
【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化思想求出的值，再結(jié)合的范圍可求出角的值.
【詳解】，由正弦定理得，
，，則，可得.
又，因此，.
故選：C.
本題考查利用正弦定理邊角互化思想求角，在計(jì)算時(shí)要結(jié)合角的取值范圍來得出角的值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
7．A
【分析】利用題設(shè)中的不等式中的信息構(gòu)造函數(shù)，再用函數(shù)單調(diào)性求解而得.
【詳解】依題意，令函數(shù)，則，且，
所以是上的增函數(shù)，，解得．
故選：A
由條件構(gòu)造函數(shù)的常用兩類問題：已知，可構(gòu)造函數(shù)；
已知，可構(gòu)造函數(shù).
8．C
【分析】將問題化為函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，求出零點(diǎn)，然后討論由第一個(gè)正零點(diǎn)在區(qū)間上，第二個(gè)正零點(diǎn)大于列不等式組求解可得.
【詳解】由題知，函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，
所以，所以，
令，得，即.
若第一個(gè)正零點(diǎn)，則（矛盾），
因?yàn)楹瘮?shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，
所以，解得.
故選：C.

9．AD
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系可判斷AC，利用相反向量的概念結(jié)合條件可判斷BD.
【詳解】若與垂直，則，則，A正確，C錯(cuò)誤；
若與互為相反向量，則，則，，B錯(cuò)誤，D正確．
故選：AD.
10．ABC
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)的性質(zhì)，推出，結(jié)合選項(xiàng)可得答案.
【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以.
根據(jù)題意，又，所以，
從而，，故選項(xiàng)A，B正確；
又，即，故選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D，，根據(jù)題意無法判斷是否為零，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：ABC
11．ABC
【分析】對于ABC，根據(jù)正、余弦定理結(jié)合基本不等式即可解決；對于D，由正弦定理得，根據(jù)三角恒等變換解決即可.
【詳解】對于A，，，由正弦定理得，
所以，故A正確；
對于B，由正弦定理得得，所以，
因?yàn)?，則有兩個(gè)解，所以該三角形有兩解，故B正確；
對于C，由，得
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)三角形為等邊三角形，周長最大，周長為12，故C正確；
對于D，由得,
故
由于，無最小值，
所以面積無最小值，有最大值為，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12．ACD
【分析】利用奇偶性的定義判斷A，利用函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論判斷B，由單調(diào)性求出的取值范圍，結(jié)合定義判斷C，利用對數(shù)函數(shù)的值域結(jié)合定義判斷D.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以是奇函數(shù)，選項(xiàng)A正確；
因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，所以的值域是，選項(xiàng)C正確；
令，，
由高斯函數(shù)定義可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以
，選項(xiàng)D正確；
故選：ACD
13．
【分析】求出等差數(shù)列的和與通項(xiàng)公式，然后化簡表達(dá)式，利用基本不等式求解即可．
【詳解】解：等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，
，，
．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．
故答案為．
本題考查數(shù)列與不等式的應(yīng)用，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和是的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．
14．
【分析】利用累加法計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
即，，，，，
所以，
即，則，
當(dāng)時(shí)也成立，所以，
故．
15．
【分析】依題意可得恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到在上恒成立，參變分離可得，則，利用導(dǎo)數(shù)求出，的最大值即可.
【詳解】因?yàn)?，且時(shí)恒成立，則恒成立，
當(dāng)時(shí)，，顯然恒成立，
則當(dāng)時(shí)，恒成立，
則當(dāng)時(shí)，恒成立，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，
則由，即，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以.
故
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題根據(jù)是將不等式同構(gòu)成，結(jié)合的單調(diào)性得到，再參變分離.
16．②④
【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求，，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義判斷①，②，③，再結(jié)合點(diǎn)的位置判斷④.
【詳解】當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，為有理數(shù)，，，，
當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，為無理數(shù)，，，，
所以①錯(cuò)誤；
因?yàn)閷θ我獾?，，所以函?shù)是偶函數(shù)；②正確，
因?yàn)?，所以函?shù)具有單調(diào)性；③錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，即點(diǎn)，，，的坐標(biāo)分別為，，，，所以，，結(jié)合圖象可得，，所以四邊形為平行四邊形，④正確，
故②④.
17．(1)證明見解析；
(2).
【分析】(1)根據(jù)給定條件利用三角形射影定理化簡即可得解.
(2)根據(jù)給定條件求出，再利用三角形面積定理及(1)的結(jié)論求出a，b，然后借助余弦定理求出c即可計(jì)算作答.
【詳解】（1）在中，，
由射影定理得，，
所以是等腰三角形．
（2）在中，因且，則，
又，即，由(1)知，則有，
在中，由余弦定理得：，解得，
又，則a，b，c能構(gòu)成三角形，符合題意，，
所以的周長為.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)、通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）設(shè)的公差是，則，∵，，
∴， ，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）可得，
∴，
∵，
所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差是，
所以.
19．(1)；的單調(diào)遞增區(qū)間為．
(2)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為1和．
【分析】（1）化簡函數(shù)解析式，利用周期公式求，可得其函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的遞增區(qū)間；
（2）利用不等式性質(zhì)及正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，?br>所以，所以，
所以，
令，，可得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以，即，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，最大值為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求角的大小；
（2）法一：由已知可得，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及三角形面積公式可得即可得范圍；法二：根據(jù)三角形為銳角三角形，應(yīng)用幾何法找到邊界情況求面積的范圍.
【詳解】（1）由余弦定理得，即，
所以，又，則.
（2）法一：為銳角三角形，，則，
所以，可得，
又，則，故
由，即而，
所以，故面積的取值范圍為.
法二：由，畫出如圖所示三角形，
為銳角三角形，
點(diǎn)落在線段（端點(diǎn)除外）上，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
.
21．（1）單調(diào)遞增區(qū)間是：；單調(diào)遞減區(qū)間是：；（2）證明見解析．
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）原命題等價(jià)于在上無解，令，利用導(dǎo)數(shù)可求其在上的最大值，從而可證明前者無解.
【詳解】解：（1），
令，則，得，
令，則，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是：；
單調(diào)遞減區(qū)間是：．
（2）原命題等價(jià)于：在區(qū)間上方程即無解，
令，則；
當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減.
因?yàn)榈淖畲笾凳?，所以不存在斜率?2的切線.
方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下方程的解存在性問題，可構(gòu)建新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的值域（或最值等），從而可判斷原方程的解的情況.
22．(1)
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）先求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，找到極小值點(diǎn)，求出極小值.
（2）求出，再求導(dǎo)，根據(jù)分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性.
（3）由導(dǎo)數(shù)為零，可找出極值點(diǎn)及單調(diào)區(qū)間，取并判斷符號，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?br>，
在區(qū)間遞減；
在區(qū)間遞增．
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值．
（2）的定義域?yàn)椋?br>．
令，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以即在上遞增．
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間即遞減；
在區(qū)間即遞增．
（3）當(dāng)時(shí)，，
由（2）知，在上遞增，，
所以存在使得，即．
在區(qū)間，遞減；在區(qū)間遞增．
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值也即最小值為，
由于，所以．
，
，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知在區(qū)間和，各有個(gè)零點(diǎn)，
所以有個(gè)零點(diǎn)．

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