1.平移前后的圖形的形狀和大小完全相同;
2.對(duì)應(yīng)線段平行且相等.
問(wèn)題1 同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有哪幾種？
問(wèn)題2 直線平行的定義是什么？
問(wèn)題3 你學(xué)了平行線的哪些內(nèi)容？
相交（包括垂直）、重合和平行.
在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線平行.
平行于同一條直線的兩條直線平行.
過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.
如圖，已知AB∥CD.（1）圖中有幾對(duì)同位角？（2）比較其中一對(duì)同位角的大小，由此你能猜想出什么結(jié)論？
由圖可知，圖中有4對(duì)同位角.經(jīng)比較，可以發(fā)現(xiàn)每對(duì)同位角都相等，并由此猜想：如果兩條平行直線被第三條直線所截，那么同位角相等.
下面來(lái)說(shuō)明這個(gè)猜想是真的.如圖，直線AB與直線CD平行，它們被直線EF所截，交點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，則∠EMB和∠END是一對(duì)同位角，分別記作∠α和∠β.
將直線AB平移，移動(dòng)方向?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)N的方向，移動(dòng)距離等于線段MN的長(zhǎng)度，則點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)N，射線ME的像是射線NE，直線AB的像是與它平行且經(jīng)過(guò)點(diǎn)N的直線.
又已知CD∥AB且CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，根據(jù)平行線的基本事實(shí)得，直線AB的像是直線CD，從而射線MB的像是射線ND，于是∠α的像是∠β.根據(jù)平移的知識(shí)得，∠α=∠β.
若AB與CD不平行，則∠α與∠β還會(huì)相等嗎？
由此可得平行線的性質(zhì)1：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.通常簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等.
∴∠1=∠2 （兩直線平行，同位角相等）
小明在紙上畫(huà)了一個(gè)角∠A，準(zhǔn)備用量角器測(cè)量它的度數(shù)時(shí)，因不小心將紙片撕破，只剩下如圖的一部分，如果不能延長(zhǎng)DC、FE的話，你能幫他測(cè)出∠A的度數(shù)嗎？
兩條平行直線被第三條直線所截，一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角的大小有什么關(guān)系？
之前的學(xué)習(xí)中，我們利用“同位角相等，兩直線平行”推出了“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”.類似的，已知兩直線平行，同位角相等， 那么能否推出內(nèi)錯(cuò)角之間的數(shù)量關(guān)系？
如圖，兩條平行直線AB，CD被直線EF所截， ∠ 1與∠ 2是內(nèi)錯(cuò)角.因?yàn)锳B∥CD，所以∠ 1= ∠ 4（兩直線平行，同位角相等）.又因?yàn)椤?2= ∠ 4（對(duì)頂角相等），所以∠ 1= ∠ 2（等量代換）.
由此可得平行線的性質(zhì)2：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.通常簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.
∴∠2=∠3 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
如圖，AB//CD，你能確定∠B、∠D與∠BED 的大小關(guān)系嗎？
解：過(guò)點(diǎn)E 作EF//AB． ∴∠B=∠BEF． ∵AB//CD． ∴EF//CD．
∴∠D =∠DEF． ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF ＝∠DEB． 即∠B＋∠D＝∠DEB．
變式：如圖，AB∥CD， 則：
如圖，AB∥CD， 則：
如圖，AB∥CD，若左邊有n個(gè)角，右邊有m個(gè)角；你能找到規(guī)律嗎？
兩條平行直線被第三條直線所截，一對(duì)同旁內(nèi)角有什么關(guān)系？為什么？
如圖， ∠ 1與∠ 3是同旁內(nèi)角.因?yàn)锳B//CD，所以∠ 1= ∠ 4（兩直線平行，同位角相等）.又因?yàn)椤?3+ ∠ 4=180°，所以∠ 1+ ∠ 3=180°（等量代換）.
由此可得平行線的性質(zhì)3：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).通常簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).
∴∠2+∠4=180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
1.如圖，是一塊梯形鐵片的殘余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外兩個(gè)角分別是多少度？
解：因?yàn)樘菪紊?、下底互相平行，所? ∠A與∠D互補(bǔ)， ∠B與∠C互補(bǔ).
于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°.∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°.
解：過(guò)點(diǎn)E 作EF//AB． ∴∠B+∠BEF＝180°． ∵AB//CD． ∴EF//CD．
2.如圖，AB//CD，探索∠B、∠D與∠DEB的大小關(guān)系 .
∴∠D +∠DEF＝180°．∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF ＝360°． 即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．
變式：如圖所示，AB∥CD，則 :
如圖所示，AB∥CD，則 :
如圖所示，AB∥CD，若有n個(gè)拐點(diǎn)，你能找到規(guī)律嗎？
例1 如圖，直線AB，CD被直線EF所截，AB//CD， ∠ 1=100°，試求∠ 3的度數(shù).解 因?yàn)锳B//CD，所以∠ 1= ∠ 2=100°（兩直線平行，同位角相等）.又因?yàn)椤?2+ ∠ 3=180°，所以∠ 3=180°- ∠ 2=180°-100°=80°.
在例1中，分別利用平行線的性質(zhì)2和性質(zhì)3求出∠ 3的度數(shù).
①如圖所示，因?yàn)锳B∥CD，所以∠ 5= ∠ 1=100°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.因?yàn)椤?5+ ∠ 3=180°，所以∠ 3=180°- ∠ 5=180°-100°=80°.
②如圖所示，因?yàn)锳B//CD，所以∠ 1+∠ 4=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.因?yàn)椤?1=100°，所以∠ 4=180°-100°=80°.因?yàn)椤?3= ∠ 4（對(duì)頂角相等），所以∠ 3=80°.
例2 如圖，AD//BC， ∠ B= ∠ D，試問(wèn)∠ A與∠ C相等嗎？為什么？解 因?yàn)锳D//BC，所以根據(jù)平行線的性質(zhì)3可得：∠ A+ ∠ B=180°， ∠ D+ ∠ C=180°.又因?yàn)椤?B= ∠ D（已知），所以∠ A= ∠ C.
1 填空：（1）如圖，因?yàn)锳B//CD，所以∠1= ，理由是 ；（2）如圖，因?yàn)锳B//CD，所以∠D= ，理由是 .
兩直線平行，同位角相等
兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
2 如圖，AB//CD//EF，BC//ED， ∠ B=70°，求∠ C， ∠ D和∠ E的度數(shù).∠ C=70°， ∠ D=110°，∠ E=110°.
3 如圖，直線AB，CD被直線EF所截，AB//CD， ∠ 1=105°，求∠ 2， ∠ 3， ∠ 4的度數(shù).∠ 2 =105°，∠ 3=75°，∠ 4=105°.
4 如圖，已知AB//CD，AP平分∠ BAC，CP平分∠ ACD， ∠ 1+ ∠ 2=90°嗎？∠ 1+ ∠ 2=90°.
1.如圖，已知平行線AB、CD被直線AE所截.(1)從 ∠1=110可以知道∠2 是多少度,為什么？(2)從∠1=110可以知道 ∠3是多少度,為什么？(3)從 ∠1=110可以知道∠4 是多少度,為什么？
解：( 1 ) ∠2=110 ∵兩直線行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
（2）∠3=110 ∵兩直線平行， 同位角相等；
（3） ∠4=70 ∵兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).
解：∠C=142 ∵兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.
2.如圖，一條公路兩次拐彎前后兩條路互相平行.第一次拐的∠B是142，第二次拐的∠C是多少度？為什么？
3.如圖直線 a ∥ b,直線 b 垂直于直線 c ，則直線 a 垂直于直線c 嗎?
解： a ⊥ c . ∵兩直線平行, 同位角相等.
4.如果有兩條直線被第三條直線所截，那么必定有（ ） A.內(nèi)錯(cuò)角相等. B.同位角相等.C.同旁內(nèi)角互補(bǔ). D.以上都不對(duì).
5.如圖1，若AB∥DE ，AC∥DF，請(qǐng)說(shuō)出∠A和∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.
解: ∠A =∠D.理由：∵ AB∥DE( 　)∴∠A=_______ ( )
∵AC∥DF( ) ∴∠D=______ ( )∴∠A=∠D ( )
如圖2，若AB∥DE ，AC∥DF，請(qǐng)說(shuō)出∠A和∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.
解: ∠A+∠D=180. 理由：∵ AB∥DE( 　)∴∠A= ______ ( )
∵AC∥DF( ) ∴∠D+ _______=180( )∴∠A+∠D=180（ ）
兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

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4.3 平行線的性質(zhì)

版本： 湘教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)（2024）

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