1.2.2 完全平方公式
第1課時(shí) 完全平方公式
兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差
1.符號(hào)表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.緊緊抓住 “一同一反”這一特征，在應(yīng)用時(shí)，只有兩個(gè)二項(xiàng)式的積才有可能應(yīng)用平方差公式；不能直接應(yīng)用公式的，要經(jīng)過(guò)變形才可以應(yīng)用
2.公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的乘積，即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積；右邊是兩數(shù)的平方差.
1. 由下面的兩個(gè)圖形你能得到哪個(gè)公式？
平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形實(shí)驗(yàn)田，因需要將其邊長(zhǎng)增加b米.形成四塊實(shí)驗(yàn)田，以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實(shí)驗(yàn)田的總面積, 并進(jìn)行比較.你發(fā)現(xiàn)了什么？
直接求：總面積=(a+b)(a+b)
間接求：總面積=a2+ab+ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .
（3） （p－1)2=(p－1)(p－1)= .
（4） （m－2)2=(m－2)(m－2)= .
計(jì)算：（x+y)2 .由多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則可得 （x+y）2 =（x+y）（x+y） = x2 + xy + yx + y2 = x2 + 2xy + y2 .
于是得到了完全平方公式 1：（x+y）2 = x2 + 2xy + y2 .即多項(xiàng)式 x + y 的平方等于 x 與 y 的平方和加上 x 與 y 的積的 2 倍.
若將完全平方公式 1 中的 y 用 –y 代替，則可得 （x-y）2 = x2 + 2x·（-y）+（-y）2 = x2 - 2xy + y2 .于是得到了完全平方公式 2： （x-y）2 = x2 - 2xy + y2 .即多項(xiàng)式 x-y 的平方等于 x 與 y 的平方和減去 x 與 y 的積的 2 倍.
設(shè) a，b 都是正數(shù)，將完全平方公式 1 中的 x 用 a 代入，y 用 b 代入，可得（a+b）2 = a2 + 2ab + b2 .如圖，把一個(gè)邊長(zhǎng)為 a+b 的正方形分割成四部分，這四部分的面積分別為 ab，b2，a2，ba，于是（a+b）2 = ab + b2 + a2 + ba = a2 + 2ab + b2 .實(shí)質(zhì)上，這就是完全平方公式 1 的幾何背景.
=a2?2ab+b2 .
兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的 2 倍.這兩個(gè)公式叫作完全平方公式.
簡(jiǎn)記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中間”
2.積中的兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方；
3.另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與乘式中間的符號(hào)相同.
4.公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.
（2）將完全平方公式 1 中的 x 用 3m 代入，y 用 n 代入，可得（3m+n）2 =（3m）2 + 2·3m·n + n2 = 9m2 + 6mn + n2.（3）將完全平方公式 2 中的 x 用 2x 代替，y 用 3y 代替，可得（2x-3y）2 =（2x）2 - 2·2x·3y +（3y）2 = 4x2 - 12xy + 9y2.
填表：有了完全平方公式，x，y分別用任何數(shù)代入，或者用任意多項(xiàng)式代入，從完全平方公式可以得到許多有關(guān)數(shù)或多項(xiàng)式的等式.
25a2+16b2-40ab
運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：
解: (2x－3)2=
(1)(2x－3)2；
( a－ b )2 = a2 － 2ab + b2
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
解：( y+ )2 =
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， ∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y， ∴m＋1＝±60， ∴m＝59或－61.
如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個(gè)完全平方式，求m的值．
1．在等號(hào)右邊的括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)： （1）a+b－c=a+（ ） （2）a－b+c=a－（ ） （3）a－b－c=a－（ ） （4）a+b+c=a－（ ）
2.下面各式的計(jì)算是否正確？如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x －y)2 =x2 －y2
(3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
x2 －2xy +y2
4x2+4xy +y2
(1) (6a+5b)2； =36a2+60ab+25b2；
(2) (4x－3y)2 ； =16x2－24xy+9y2；
(3) (2m－1)2 ； =4m2－4m+1；
(4)(－2m－1)2 . =4m2+4m+1.
3.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.項(xiàng)數(shù)、符號(hào)、字母及其指數(shù)
2.不能直接應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算的式子，需要先添括號(hào)變形
3.弄清完全平方公式和平方差公式的不同點(diǎn)（從公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及結(jié)果兩方面）

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1.2 乘法公式

版本： 湘教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)（2024）

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