一、單選題
1．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）為落實立德樹人的根本任務，踐行五育并舉，某學校開設A，B，C三門德育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，則不同的報名方法有（ ）
A．54種B．240種C．150種D．60種
【答案】C
【分析】根據(jù)已知對五位同學分3組，有兩種情況，然后分類討論各自情況種數(shù)，采用加法原理即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學選A，B，C三門德育校本課程，
每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，需要分三組，有兩類情況，
①三組人數(shù)為1、1、3，此時有種；
②三組人數(shù)為2、2、1，此時有種.
所以共有60+90=150種.
故選：C
2．（2022·江蘇·模擬預測）八音是中國古代對樂器的總稱，指金?石?土?革?絲?木?匏?竹八類，每類又包括若干種樂器.現(xiàn)有土?絲?竹三類樂器，其中土有缶?塤2種樂器；絲有琴?瑟?筑?琵琶4種樂器；竹有簫?笛?籠3種樂器.現(xiàn)從這三類樂器中各選1種樂器分配給甲?乙?丙三位同學演奏，則不同的分配方案有（ ）
A．24種B．72種C．144種D．288種
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①由分步計數(shù)原理計算從這三類樂器中各選1種樂器的選法數(shù)目，②將選出的3種樂器安排給甲乙丙三人，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【詳解】解：從這三類樂器中各選1種樂器的選法有（種），將3種樂器分配給甲?乙?丙三位同學演奏的方法有（種），因此不同的分配方案共有（種）.
故選：C.
3．（2022·江蘇連云港·江蘇省贛榆高級中學?？寄M預測）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】結合的展開式通項，分別令和即可求得所求系數(shù).
【詳解】展開式通項為：；
令，即，則；令，即，則；
的系數(shù)為.
故選：A.
4．（2022·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預測）校運會期間，要安排名志愿者參加跳高、跳遠、接力賽三個項目的保障工作，要求每個項目至少安排名志愿者，每位志愿者只參加一個項目，則所有不同的安排方案有（ ）
A．種B．種C．種D．種
【答案】C
【分析】先將將名志愿者分為組，每組人數(shù)分別為、、，然后將這組志愿者分配給三個項目，利用分步乘法計數(shù)原理可得所有不同的安排方案的種數(shù).
【詳解】將名志愿者分為組，每組人數(shù)分別為、、，則分組方法種數(shù)為，
再將這組志愿者分配給三個項目，共有個結果，
由分步乘法計數(shù)原理可知，共有種不同的分配方案.
故選：C.
5．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預測）的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A．400B．480C．720D．800
【答案】D
【分析】由已知可得出，寫出展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.
【詳解】，
的展開式通項為，的展開式通項為，
所以的展開式通項為，
其中，，且、，
令，可得或或，
因此的展開式中的系數(shù)為.
故選：D.
6．（2022·江蘇蘇州·校聯(lián)考模擬預測）舉世矚目的第24屆冬奧會于2022年2月4日至2月20日在北京舉辦，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大學生志愿者前往A、B、C、D四個場館服務，每一位志愿者只去一個場館，每個場館至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同學和乙同學不能去同一場館，則所有不同的安排方法種數(shù)為（ ）
A．216B．180C．108D．72
【答案】A
【分析】利用間接法即得.
【詳解】由題可得甲、乙、丙、丁、戊5位大學生志愿者前往A、B、C、D四個場館服務，每一位志愿者只去一個場館，每個場館至少分配一位志愿者，共有不同的安排方法種，
其中甲同學和乙同學去同一場館的安排方法種數(shù)為，
故甲同學和乙同學不去同一場館，所有不同的安排方法種數(shù)為.
故選：A.
7．（2022·江蘇常州·常州高級中學校考模擬預測）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．25C．D．5
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，借助二項展開式通項得的展開式為，分析求解．
【詳解】∵
的展開式為，
令，得，則，
令，得，則，
令，得，
∴的展開式中的系數(shù)為.
故選：A．
8．（2023·江蘇南京·南京市第一中學?？寄M預測）的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．40B．60C．80D．120
【答案】A
【分析】先確定的展開式的通項公式，再由求解.
【詳解】解：的展開式的通項公式為，
而，
令，得，令，得，
所以的展開式中的常數(shù)項為．
故選：A．
9．（2022·江蘇蘇州·?？寄M預測）某小區(qū)共有3個核酸檢測點同時進行檢測，有6名志愿者被分配到這3個檢測點參加服務，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”進行檢測工作的傳授，每個檢測點至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一個檢測點，則不同的分配方案種數(shù)是（ ）
A．72B．108C．216D．432
【答案】C
【分析】先把4名“熟手”分為人數(shù)為的三組，再分到三個檢測點，然后把2名“生手”分配到3個檢測點中的2個，由乘法原理計算可得．
【詳解】根據(jù)題意，可先把4名“熟手”分為人數(shù)為的三組，再分配到3個檢測點，共有種分法，然后把2名“生手”分配到3個檢測點中的2個，有種分法，所以共有種不同的分配方案.
故選：C.
10．（2022·江蘇鹽城·鹽城中學?？寄M預測）的展開式中，一次項的系數(shù)與常數(shù)項之和為（ ）
A．33B．34C．35D．36
【答案】D
【分析】先求出一次項的系數(shù)與常數(shù)項，再求和即可
【詳解】因為的通項公式為，
所以的展開式中，一次項的系數(shù)為，
常數(shù)項為，
所以一次項的系數(shù)與常數(shù)項之和為，
故選：D
11．（2022·江蘇蘇州·蘇州中學?？寄M預測）的展開式中的系數(shù)是（ ）
A．84B．120C．122D．210
【答案】D
【分析】由二項展開式的通項即可求出每一個的系數(shù)，求和得出答案，或者根據(jù)，快速計算結果.
【詳解】∵的通項為，
∴的通項為，
∴的展開式中的系數(shù)為，
同理得展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，
故展開式中的系數(shù)為：
（也可以根據(jù)性質(zhì)：，因為，故）
故選：D.
12．（2022·江蘇南京·南京市寧海中學?？级＃┑?4屆冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市舉行．現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首鋼滑雪大跳臺三個場館參加活動，要求每個場館都有人去，且這四人都在這三個場館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件利用分類加法計數(shù)原理結合排列、組合知識計算作答.
【詳解】因甲和乙都沒去首鋼滑雪大跳臺，計算安排種數(shù)有兩類辦法：
若有兩個人去首鋼滑雪大跳臺，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國家高山滑雪館與國家速滑館，有種；
若有一個人去首鋼滑雪大跳臺，從丙、丁中選，有種，然后剩下的一個人和甲、乙
被安排去國家高山滑雪館與國家速滑館，有種，則共有種，
綜上可得，甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為.
故選：B
13．（2022·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預測）當前，新冠肺炎疫情進入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸入的任務依然繁重，疫情防控工作形勢依然嚴峻、復雜．某地區(qū)安排、、、四名同志到三個地區(qū)開展防疫宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，且、兩人不安排在同一個地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（ ）
A．種B．種C．種D．種
【答案】B
【分析】求出將四人分配到三個地區(qū)的分配方法種數(shù)，再求出、兩人安排在同一地區(qū)的分配方法種數(shù)，利用間接法可求得結果.
【詳解】先考慮將四人分配到三個地區(qū)，分組方法種數(shù)為，
所以，將、、、四名同志安排到三個地區(qū)，共有種分配方法，
接下來考慮、兩人安排在同一地區(qū)，則共有種分配方法，
由間接法可知，、兩人不安排在同一個地區(qū)且每個地區(qū)至少安排一人的分配方法種數(shù)為種.
故選：B.
14．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預測）現(xiàn)要從A，B，C，D，E這5人中選出4人，安排在甲、乙、丙、丁4個崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，則安排的方法有（ ）
A．56種B．64種C．72種D．96種
【答案】D
【分析】根據(jù)是否入選進行分類討論即可求解.
【詳解】由題意可知：根據(jù)是否入選進行分類：
若入選：則先給從乙、丙、丁3個崗位上安排一個崗位有種，再給剩下三個崗位安排人有種，共有種方法；
若不入選：則4個人4個崗位全排有種方法，
所以共有種不同的安排方法，
故選：.
二、多選題
15．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）已知，則下列說法中正確的有（ ）
A．的展開式中的常數(shù)項為84
B．的展開式中不含的項
C．的展開式中的各項系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和相等
D．的展開式中的二項式系數(shù)最大的項是第四項和第五項
【答案】AC
【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式以及二項式系數(shù)的性質(zhì)即可解出．
【詳解】因為展開式的通項公式，所以
當，A正確；
當時，，B錯誤；
的展開式中各項系數(shù)和為，二項式系數(shù)之和為，C正確；
根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，最大，所以，的展開式中二項式系數(shù)最大的項是第五項和第六項，D錯誤.
故選：AC.
16．（2023·江蘇泰州·泰州中學校考一模）已知的展開式中共有7項，則（ ）
A．所有項的二項式系數(shù)和為64
B．所有項的系數(shù)和為1
C．二項式系數(shù)最大的項為第4項
D．有理項共4項
【答案】ACD
【分析】由題意可得，對于A，所有項的二項式系數(shù)和為，對于B，令可求出所有項的系數(shù)和，對于C，由二項式展開式的系數(shù)特征求解即可，對于D，求出二項式展開式的通項公式，可求出所有的有理項
【詳解】因為的展開式中共有7項，
所以，
對于A，所有項的二項式系數(shù)和為，所以A正確，
對于B，令，則所有項的系數(shù)和為，所以B錯誤，
對于C，由于二項式的展開項共有7項，所以二項式系數(shù)最大的項為第4項，所以C正確，
對于D，的展開式的通項公式為，當時，展開式的項為有理項，所以有理項有4項，所以D正確，
故選：ACD
17．（2022·江蘇·江蘇省木瀆高級中學校聯(lián)考模擬預測）已知則下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)給定等式，利用賦值法計算判斷A，B，C，求出最高次項的系數(shù)判斷D作答.
【詳解】令，則，B正確；
，，
則有，，A正確，C錯誤；
展開式的最高次項的系數(shù)為，則，D正確.
故選：ABD
18．（2022·江蘇南京·?？寄M預測）的展開式中，下列結論正確的是（ ）
A．展開式共6項
B．常數(shù)項為160
C．所有項的系數(shù)之和為729
D．所有項的二項式系數(shù)之和為64
【答案】BCD
【分析】利用二項展開式的特點判斷A；求出指定項判斷B；利用賦值法求出展開式系數(shù)和判斷C；利用二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷D作答.
【詳解】展開式的總項數(shù)是7，A不正確；
展開式的通項公式為，
令得，常數(shù)項為，B正確；
取得展開式的所有項的系數(shù)之和為，C正確；
由二項式系數(shù)的性質(zhì)得展開式的所有項的二項式系數(shù)之和為，D正確.
故選：BCD.
19．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）設，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．展開式中二項式系數(shù)最大的項是第5項
D．
【答案】ABD
【分析】利用賦值法判斷A、B，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷C，寫出展開式的通項，即可求出、，從而判斷D；
【詳解】解：因為，令得，故A正確；
令得，所以，故B正確；
因為二項式展開式共項，則展開式中二項式系數(shù)最大的項是第6項，為，故C錯誤；
二項式展開式的通項為，所以，，所以，故D正確；
故選：ABD
20．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·揚中市第二高級中學?？寄M預測）若，則下列結果正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)二項式展開式和系數(shù)的性質(zhì)，逐項分析即可得出答案.
【詳解】令可得，①，故A正確；
令可得：，②
①②可得：，故，故B正確；
令可得：，③
令可得：，④
把③代入④即可得出：，故C錯誤；
兩邊對求導得．
令可得，故D正確.
故選：ABD
21．（2022·江蘇·模擬預測）若二項式展開式中所有項的系數(shù)之和為，所有項的系數(shù)絕對值之和為，二項式系數(shù)之和為，則（ ）
A．B．
C．對任意均有D．存在使得
【答案】ABC
【分析】根據(jù)所給二項式，賦值，分別求得、、，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，逐一分析各個選項，即可得答案.
【詳解】由題意得：令，可得，
求所有項的系數(shù)絕對值之和，等價于求的所有項系數(shù)和，
令，可得，
二項式系數(shù)之和為，
對于A：因為，所以，故A正確；
對于B：，
因為，且在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，所以，，故B正確
對于C、D：在上為減函數(shù)，
所以，即，故C正確，D錯誤.
故選：ABC
22．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考模擬預測）已知二項式，則下列說法中正確的有（ ）
A．二項展開式中有常數(shù)項B．二項展開式的系數(shù)和為0
C．二項展開式的第2項系數(shù)為2022D．二項展開式的第1012項的系數(shù)最大
【答案】AB
【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式可判斷ACD，由賦值法可求出展開式的系數(shù)和判斷B .
【詳解】令，則，即二項展開式的系數(shù)和為0，故B正確；
由知，當時，即時，展開式為常數(shù)項，故A正確；
由通項展開式知，故C錯誤；
二項展開式的第1012項系數(shù)為，故D錯誤.
故選：AB
23．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預測）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】令，可求得，判斷A；寫出的求解式子，結合組合數(shù)的性質(zhì)化簡，即可判斷B；令，即可求得的值，判斷C;對兩邊求導數(shù)，令，即可求得，判斷D.
【詳解】當時，，故A對；
，B對；
令，則，
∴，故C錯；
對等式兩邊求導，
即
令，則，
∴，故D對，
故選：ABD．
24．（2022·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預測）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】A選項和B選項直接通過賦值法進行解決，C選項兩邊同時求導，再令即可解決，
D選項考慮到，比較兩邊的系數(shù)即可得出.
【詳解】A選項：時，，A對．
B選項：時，①
時，②
，B對．
C選項：，
求導得，
時，，
，C錯．
D選項：
比較兩邊的系數(shù)
，D正確．
故選：ABD.
【點睛】本題關鍵在于C選項和D選項的判斷，C選項需要兩邊先同時求導，再進行賦值，D選項需要先利用平方差公式進行變形，再考慮兩邊項的系數(shù)，即可解決.
三、填空題
25．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·揚中市第二高級中學?？寄M預測）在展開式中，第項二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列，且展開式中有常數(shù)項，則該常數(shù)項是第________項．
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的知識求得，結合二項式展開式的通項公式求得正確答案.
【詳解】由于第項二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列，
所以，.
展開式的通項公式為，
令，整理得，
由于，
所以，即常數(shù)項是第項.
故答案為：
26．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預測）的展開式的常數(shù)項是___________．
【答案】70
【分析】利用通項公式求解，常數(shù)項由三種情況合并而成，分別求解即可.
【詳解】的通項公式為；
當時，中的常數(shù)項為；
當時，中的常數(shù)項為；
當時，；
所以的展開式的常數(shù)項為；
故答案為：70.
27．（2022·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預測）若多項式，則___________.
【答案】
【分析】先由求出展開式中含有的項，即可求得的系數(shù)，即可求解.
【詳解】，為的系數(shù)，
含有的項為，故.
故答案為：.
28．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考模擬預測）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都沒有得到冠軍，并且乙不是第5名，則這5個人的名次排列情況共有________種．
【答案】54
【分析】根據(jù)甲和乙都沒有得到冠軍，并且乙不是第5名，分甲是第5名和甲不是第5名分類求解.
【詳解】解：因為甲和乙都沒有得到冠軍，并且乙不是第5名，
當甲是第5名時，則乙可以為第2，3，4名，有3種情況，
剩下的3人全排列有種，
此時，由分步計數(shù)原理得共有種情況；
當甲不是第5名時，則甲乙排在第2，3，4名，有種情況，
剩下的3人全排列有種，
此時，由分步計數(shù)原理得共有種情況；
綜上：甲和乙都沒有得到冠軍，并且乙不是第5名，則這5個人的名次排列情況共有18+36=54種情況，
故答案為：54
29．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學?？寄M預測）已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中有理項的個數(shù)為___________．
【答案】2
【分析】先算出，再寫出通項公式，確定的次數(shù)為整數(shù)即可
【詳解】的展開式有項,因為僅有第5項的二項式系數(shù)最大,所以
當時,,當時,,符合題意
所以展開式中有理項的個數(shù)為2
故答案為：2
30．（2023·江蘇南京·?？家荒＃┰诙検降恼归_式中，若所有項的系數(shù)之和等于64，那么在這個展開式中，項的系數(shù)是__________．（用數(shù)字作答）
【答案】135
【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法求出n值，再求出二項式展開式的通項即可求解作答.
【詳解】在中，令得所有項的系數(shù)之和為，依題意，，解得，
因此的展開式的通項為，
令得：，
所以項的系數(shù)是135.
故答案為：135

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