如圖,在△ABC中,∠C=90°.
(1)銳角 A 的對(duì)邊與斜邊的比叫作∠A的正弦,記為 sinA,即 sinA= .
(2)銳角 A 的鄰邊與斜邊的比叫作∠A的余弦,記為 csA,即 csA= .
(3)銳角 A 的對(duì)邊與鄰邊的比叫作∠A的正切,記為 tanA,即 tanA= .
2.一些特殊角的三角函數(shù)值
3.各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系
(1) 互 余 關(guān) 系: sinA = ,csA= .
(2)推導(dǎo)關(guān)系： sin2A+cs2A=tanA= .
4.解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三個(gè) 和兩個(gè) .由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有其他元素的過(guò)程叫作解直角三角形.解直角三角形的理論依據(jù):在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊分別為a,b,c.
(1)三邊之間的關(guān)系： .
(2)銳角之間的關(guān)系： .
(3)邊角之間的關(guān)系：
sinA = , csA = ,tanA= ;
sinB = , csB = ,tanB= .
5.了解測(cè)量等實(shí)際問(wèn)題中的概念
(1)方位角從某個(gè)參照點(diǎn)看物體，視線(xiàn)與正北(或正南)方向射線(xiàn)的夾角稱(chēng)為 .
(2)仰角與俯角
視線(xiàn)與水平線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在 的叫作仰角，在 的叫作俯角.如圖1，仰角是 ，俯角是 .
(3)坡度與坡角
坡面的垂直高度h和水平寬度 l的比叫作 或 ，一般用i表示；坡角α是坡面與水平線(xiàn)的夾角.如圖 2，AB 的坡度 iAB= ,∠α叫 ,tanα=i= .
實(shí)戰(zhàn)演練
1.tan45°的值等于 ( )
A.2 B.1
C.22 D.33
2.如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長(zhǎng)為12米，AB與AC的夾角為α，則高 BC是 ( )
A.12sinα米 B.12csα米
C.12sinα米 D.12csα米
3.如圖,AD 是△ABC 的高.若BD=2CD=6,tanC=2,則邊 AB的長(zhǎng)為( )
A.32 B.35
C.37 D.62
4.圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME)的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=α,則OC2 的值為 ( )
A.1sin2α+1 B.sin2α+1
C.1cs2α+1 D.cs2α+1
5.如圖，小明想要測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)上旗桿 AB的高度，他作了如下操作：(1)在點(diǎn)C處放置測(cè)角儀，測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋恰螦CE=α;(2)量得測(cè)角儀的高度CD=a；(3)量得測(cè)角儀到旗桿的水平距離DB=b.利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識(shí)，旗桿的高度可表示為 ( )
A. a+btanα
B. a+bsinα
C.a+btana
D.a+bsina
6.如圖,沿 AB 方向架橋修路,為加快施工進(jìn)度，在直線(xiàn) AB 上湖的另一邊的 D 處同時(shí)施工. 取∠ABC= 150°,BC=1 600m,∠BCD=105°,則C,D 兩點(diǎn)的距離是 m.
7.如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物 A 點(diǎn)處測(cè)得乙建筑物 D 點(diǎn)的俯角α為 45°,C點(diǎn)的俯角β為58°,BC為兩座建筑物的水平距離.已知乙建筑物的高度CD為6m ，則甲建筑物的高度 AB為 m. (sin58°≈0.85,cs58°≈0.53,tan58°≈1.60,結(jié)果保留整數(shù))
8.如圖，海中有一個(gè)小島 A.一艘輪船由西向東航行，在B 點(diǎn)測(cè)得小島 A 在北偏東 60°方向上;航行12n mile到達(dá) C 點(diǎn),這時(shí)測(cè)得小島 A 在北偏東30°方向上.小島A 到航線(xiàn) BC 的距離是 n mile (3≈1.73,，結(jié)果用四舍五入法精確到0.1).
9.一條上山直道的坡度為1：7，沿這條直道上山，每前進(jìn) 100 米所上升的高度為 米.
10.2022 年 6 月 6 日是第27 個(gè)全國(guó)“愛(ài)眼日”，某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動(dòng).
如圖,當(dāng)張角∠AOB=150°時(shí),頂部邊緣A 處離桌面的高度AC 的長(zhǎng)為 10 cm,此時(shí)用眼舒適度不太理想.小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后聯(lián)系黃金比知識(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角∠A'OB=108°時(shí)(點(diǎn) A′是A的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，用眼舒適度較為理想.求此時(shí)頂部邊緣 A'處離桌面的高度 A'D的長(zhǎng).(結(jié)果精確到 1 cm；參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95,cs72°≈0.31,tan72°≈3.08)
11.湖中小島上碼頭 C處一名游客突發(fā)疾病，需要救援.位于湖面 B 點(diǎn)處的快艇和湖岸A 處的救援船接到通知后立刻同時(shí)出發(fā)前往救援.計(jì)劃由快艇趕到碼頭 C 接該游客，再沿 CA 方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運(yùn)到救援船上.已知C在A(yíng) 的北偏東30°方向上，B在A(yíng) 的北偏東60°方向上，且在 C 的正南方向 900米處.
(1)求湖岸 A 與碼頭C 的距離(結(jié)果精確到 1 米，參考數(shù)據(jù)： 3≈1.732);
(2)救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400 米/分.在接到通知后，快艇能否在 5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船? 請(qǐng)說(shuō)明理由.(接送游客上下船的時(shí)間忽略不計(jì))
12.每年的11 月 9 日是我國(guó)的“全國(guó)消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識(shí)，某消防大隊(duì)進(jìn)行了消防演習(xí).如圖1，架在消防車(chē)上的云梯AB 可伸縮(最長(zhǎng)可伸至 20 m)，且可繞點(diǎn) B 轉(zhuǎn)動(dòng)，其底部 B 離地面的距離 BC為 2m，當(dāng)云梯頂端 A 在建筑物EF 所在直線(xiàn)上時(shí),底部 B 到 EF 的距離 BD為9 m.
(1) 若∠ABD= 53°,求此時(shí)云梯 AB的長(zhǎng)；
(2)如圖2，若在建筑物底部 E 的正上方19 m處突發(fā)險(xiǎn)情，請(qǐng)問(wèn)在該消防車(chē)不移動(dòng)位置的前提下，云梯能否伸到險(xiǎn)情處?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(參考數(shù)據(jù)： sin53°≈0.8,cs53°≈0.6, tan53°≈1.3)
13.知識(shí)小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角α一般要滿(mǎn)足 53°≤α≤72°.(參考 數(shù) 據(jù)：sin53°≈ 0. 80, cs53°≈0.60,tan53°≈1.33,sin72°≈ 0.95,cs72°≈0.31,tan72°≈3.08,sin66°≈;0.91,cs66°≈0.41,tan66°≈2.25)
如圖，現(xiàn)有一架長(zhǎng)4m 的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上.
(1)當(dāng)人安全使用這架梯子時(shí)，求梯子頂端A 與地面距離的最大值；
(2)當(dāng)梯子底端 B 距離墻面 1.64 m時(shí),計(jì)算∠ABO等于多少度? 并判斷此時(shí)人是否能安全使用這架梯子?
14.一座吊橋的鋼索立柱 AD 兩側(cè)各有若干條斜拉的鋼索，大致如圖所示.小明和小亮想用測(cè)量知識(shí)測(cè)較長(zhǎng)鋼索AB的長(zhǎng)度.他們測(cè)得∠ABD 為 30°,由于 B、D兩點(diǎn)間的距離不易測(cè)得，通過(guò)探究和測(cè)量,發(fā)現(xiàn)∠ACD 恰好為 45°,點(diǎn) B與點(diǎn)C 之間的距離約為 16 m.已知點(diǎn) B、C、D共線(xiàn),AD⊥BD.求鋼索 AB的長(zhǎng)度.(結(jié)果保留根號(hào))
15.拓展小組研制的智能操作機(jī)器人，如圖 1，水平操作臺(tái)為 l，底座AB 固定,高 AB 為 50cm,連桿 BC長(zhǎng)度為70 cm,手臂CD長(zhǎng)度為60 cm.點(diǎn) B,C是轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，且 AB，BC與CD 始終在同一平面內(nèi).
(1)轉(zhuǎn)動(dòng)連桿 BC,手臂 CD,使∠ABC=143°,CD∥l,如圖2,求手臂端點(diǎn) D 離操作臺(tái)l 的高度 DE 的長(zhǎng)(精確到 1 cm,參考數(shù)據(jù)： sin53°≈0.8,cs53°≈0.6);
(2)物品在操作臺(tái) l 上，距離底座 A 端110 cm 的點(diǎn) M 處,轉(zhuǎn)動(dòng)連桿 BC,手臂CD，手臂端點(diǎn) D 能否碰到點(diǎn) M? 請(qǐng)說(shuō)明理由.
壓軸預(yù)測(cè)
1.如圖,Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,若 AD: CD=4: 3,則 tanB的值為 ( )
A. 35 B. 45
C. 34 D. 43
2.某公園有一座古塔，古塔前有一個(gè)斜坡CD,坡角 ∠DCE = 42°, 斜坡高 DE =1.8米，DQ是平行于水平地面BC 的一個(gè)平臺(tái).小華想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量古塔的高度 AB，她在平臺(tái)的點(diǎn) G 處水平放置一平面鏡，她沿著GQ方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn) N時(shí)，剛好在鏡面中看到古塔頂端點(diǎn) A 的像，這時(shí)，測(cè)得小華眼睛與地面的距離MN= 1.5 米,GN=2 米,BC=16 米,DG=8米,已知 AB⊥BC,MN⊥DQ,根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，古塔的高度 AB 約為(參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0. 67, cs42°≈0.74,tan42°≈0.90) ( )
A.19.5米
B.19.7米
C.21.3米
D.22.1米
3.如圖,C 島在A(yíng) 島的北偏東45°方向,在 B島的北偏西25°方向.
(1)直接寫(xiě)出∠ACB的度數(shù)是 ;
(2)測(cè)量發(fā)現(xiàn)∠BAC=20°,A 島與C 島之間的距離AC=20海里,求 A 島與 B 島之間的距離.(結(jié)果精確到0.1海里)(參考數(shù)據(jù)： sin20°≈0.34,cs20°≈0.94,tan20°≈0.36)
4.某地為了讓山頂通電，需要從山腳點(diǎn) B 開(kāi)始接駁電線(xiàn)，經(jīng)過(guò)中轉(zhuǎn)站 D，再連通到山頂點(diǎn) A 處,測(cè)得山頂 A 的 高 度 AC 為300米，從山腳 B 到山頂 A 的水平距離BC 是500 米,斜面BD 的坡度i=1:2(指DF 與BF 的比),從點(diǎn) D 看向點(diǎn)A 的仰角為 45°.
(1)斜面 AD的坡度i= ;
(2)求電線(xiàn) AD+BD 的長(zhǎng)度(結(jié)果保留根號(hào)).
參考答案
1.1∠A的對(duì)邊斜邊=ac
2∠A的鄰邊斜邊=bc
2.
3.1cs90°?Asin90°?A
21sinAcsA
4.邊 角 1a2+b2=c2
(2)互余
(3)
5.(1)方位角
(2)水平線(xiàn)上方 水平線(xiàn)下方 ∠AOB∠AOC
(3)坡度 坡比 hl 坡角 hl
1. B 【解析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值.tan45°=1,故選 B.
2. A 【解析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,所以 sinα=BCAB=BC12,所以BC=12sinα米,故選 A.
3. D 【解析】本題考查解直角三角形.∵BD=2CD=6,
∴CD=3.∵tanC=2,AD 是△ABC 的高, ∴ADCD=2,∴AD=6.在 Rt△ABD中,. AB=BD2+AD2=62故選 D.
4. A 【解析】本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理.由題意得 sinα=ABOB=1OB,則 OB=1sinα.由勾股定理得( OC2= BC2+OB2=BC2+1sinα2=1+1sin2α,故選 A.
5. A 【解析】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn) F,由題意得CF=DB=b,∵tan∠ACF=AF,∴AF=tan∠ACF×CF= btana,∴AB=AF+FB=AF+CD=a+btanα,故選 A.
6.8002 【解析】本題考查解直角三角形.如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD 于點(diǎn) E.∵∠ABC=150°,∠BCD=105°, ∴∠DBC=30°,∠ADC=180°?30°?105°=45°.∵BC=1 6( 12BC=800m,∴EC=ECsin∠ADC= 80022=8002m.
7.16 【解析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用.如圖，過(guò)點(diǎn) D作 DH⊥AB 于點(diǎn) H ,易知四邊形 BCDH 為矩形,則DH=BC,BH=CD=6m .由平行線(xiàn)的性質(zhì)可知∠ADH=α=45°,∠ACB=β=58°.在 Rt△ADH 中,設(shè)AH= xm,則 DH= xm,所以 BC= xm,AB=AH+BH=(x+6)m.在 Rt△ABC 中,tan∠ACB= tan58°= ABBC=x+6x≈1.60,解得x≈10，則甲建筑物的高度 AB約為16 m.
8.10.4 【解析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用.作AD⊥BC于點(diǎn) D,則∠ABC=30°,∠ACD=60°,∠BAC=30°.設(shè)CD=a,在 Rt△ACD中,AD= 3a,AC=BC=2a=12, ∴a=6,AD=63≈10.38≈10.4.
9.102 【解析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用.設(shè)上升的高度為x米，∵上山直道的坡度為1：7，∴水平距離為7x米，由勾股定理得 x2+7x2=1002,解得 x?= 102,x2=?102(舍去)，∴每前進(jìn) 100 米所上升的高度為10 2米.
10.19 cm
先在 Rt△AOC中,求出 AO的長(zhǎng),再在 Rt△A'OD 中,利用銳角三角函數(shù)即可求出 A'D的長(zhǎng).
解：由題意可知，
在 Rt△AOC中, ∠AOC=180°?150°=30°,AC=10 cm,
∴AO=2AC=20cm.
在 Rt△A'OD 中, ∠A'OD=180°?108°=72°,A'O=AO=20cm,
∴A'D=A'O?sin72°≈20×0.95=19cm,即頂部邊緣 A'處離桌面的高度A'D 的長(zhǎng)約為 19 cm.
11.(1)1 559 米 (2)能,理由略
(1)過(guò)點(diǎn) A 作AD⊥CB,交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D,根據(jù)題意可得∠CAB，∠BAD的度數(shù)，再由平行線(xiàn)的性質(zhì)及等腰三角形的判定可得AB，BD的長(zhǎng)，進(jìn)而得 CD的長(zhǎng)，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案；(2)分別求出快艇和救援船5分鐘內(nèi)行駛的路程和以及實(shí)際行駛的路程和，進(jìn)行比較即可得解.
解:(1)如圖,過(guò)點(diǎn) A 作AD⊥CB,交 CB 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) D,則∠ADC=90°.
由題意得∠NAC=30°,∠NAB=60°.
∴∠CAB=30°,∠BAD=30°.
∵NA∥CB,
∴∠C=∠NAC=30°.
∴AB=BC=900.∴BD=450.
∴CD=900+450=1350.
∵在 Rt△ACD中. csC=CDAC,
∴AC=CDcsC=135032=9003≈1559.
答:湖岸 A 與碼頭C 的距離約為 1 559 米.
(2)在接到通知后，快艇能在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船.理由如下：
快艇和救援船5分鐘一共可行駛的路程為
5×150+5×400=2750,
快艇和救援船實(shí)際行駛的路程和為
1559+900=2459.
∵2750>2459,
∴在接到通知后，快艇能在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船.
12.(1)15 m (2)能,理由略
(1)在 Rt△ABD 中，利用銳角三角函數(shù)即可求解；
(2)結(jié)合已知條件先求出AD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出 AB的長(zhǎng)，比較大小即可作出判斷.
解:(1)在 Rt△ABD中,∠ABD=53°,BD=9,
∴AB=BDcs∠ABD=9cs53°≈90.6=15m.
答：此時(shí)云梯AB的長(zhǎng)為15 m.
(2)∵AE=19,BC=2,
∴AD=19-2=17.
在Rt△ABD中,BD=9,
∴AB=AD2+BD2=172+92=370m.
∵370110 cm.
∴手臂端點(diǎn) D能碰到點(diǎn) M.
壓軸預(yù)測(cè)
1. C 【解析】本題考查銳角三角函數(shù). ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC= 90°. 又∠BAC= 90°,∴∠B +∠BAD=∠BAD+∠CAD = 90°,∴∠B=∠CAD, ∴tanB=tan∠CAD=CDAD=34,故選C.
2. C 【解析】本題考查解直角三角形及相似三角形的應(yīng)用.在 Rt△CDE 中, tan∠DCE=DECE,∴0.9≈1.8CE,∴CE≈2(米).延長(zhǎng) GD 交 AB 于點(diǎn) H,則 BH=DE=1.8(米),DH=BE=BC+CE≈18(米),HG=DH+DG≈26(米).∵∠AHG=∠MNG= 90°,∠AGH=∠MGN,∴△AHG∽△MNG,∴AH:MN=HG:NG,即AH:1.5=26:2,∴AH=19.5(米),∴AB=AH+HB=21.3(米),故選 C.
α
三角函數(shù)
0°
30°
45°
60°
90°
sinα





csα





tanα





3.(1)70° (2)18.8海里
(1)根據(jù)已知方位角的度數(shù)即可求解；(2)根據(jù)∠BAC的度數(shù)求出∠CBA的度數(shù)，在直角三角形中利用銳角的三角函數(shù)即可求出AB的距離.
解:(1)70°.
(2)當(dāng)∠BAC=20°時(shí),∠CBA=90°,
∴AB=AC×cs∠BAC=AC×cs20°
≈20×0.94=18.8(海里).
4.(1)1:1( 22005+1002米
(1)根據(jù)斜面 AD 的坡度i=AE:DE 即可求解;(2)設(shè)AE=x,EC=y,利用斜面 BD的坡度表示出BF,在根據(jù)已知條件建立關(guān)于x和y的方程組，解方程組即可求出x和y的值，再根據(jù)勾股定理求出 BD，AD的長(zhǎng)，相加即可求解.
解:(1)1:1.
(2)設(shè)AE=x,EC=y,
∴FC=DE=AE=x,DF=EC=y.
∵斜面 BD的坡度i=DF:BF=1:2,∴BF=2y.
依題意得 x+y=300,x+2y=500,解得 x=100,y=200.
根據(jù)勾股定理得 BD=DF2+BF2=2005,
AD=AE2+DE2=1002,
∴BD+AD=2005+1002.
答：電線(xiàn)AD+BD的長(zhǎng)度為( 2005+1002米.

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