(1)三角形按角分為 三角形、 三角形、 三角形.
(2)三角形按邊分為 三角形、 三角形.
2.三角形的性質(zhì)
(1)三角形中任意兩邊之和 第三邊，任意兩邊之差 第三邊.
(2)三角形的內(nèi)角和為 ，外角與內(nèi)角的關(guān)系：三角形的外角等于
3.三角形中的主要線段
(1)連接三角形 中點的線段叫作三角形的中位線.
(2)中位線的性質(zhì)：三角形的中位線 于第三邊，并且 第三邊的 .
(3) 三角形的中線、高線、角平分線都是 .
4.等腰三角形的性質(zhì)與判定
(1)等腰三角形的兩底角 .
(2)等腰三角形底邊上的 、底邊上的 、頂角的 互相 ,簡稱“ ”.
(3)有兩個角相等的三角形是 .
5.等邊三角形的性質(zhì)與判定
(1)等邊三角形每個角都等于 ，同樣具有“ ”的性質(zhì).
(2)三個角相等的三角形是 ，三邊相等的三角形是 ，一個角等于 60°的 三角形是等邊三角形.
6.直角三角形的性質(zhì)與判定
(1)直角三角形兩銳角 .
(2)直角三角形中 30°所對的直角邊等于斜邊的 .
(3)直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的 .
(4)勾股定理:
(5)勾股定理的逆定理： ·
7.相似三角形的判定方法有：
(1) 于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
(2)兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形 ；
(3)兩邊對應(yīng)成 且 的兩個三角形相似；
(4)三邊 的兩個三角形相似.
8.相似三角形的性質(zhì)有：(1)相似三角形的對應(yīng)邊 ，對應(yīng)角 ；(2)相似三角形的對應(yīng)邊的 線、對應(yīng)邊上的 的比等于 比，周長之比也等于 比，面積比等于 .
9.全等三角形
(1)全等三角形: 、 的三角形叫作全等三角形.
(2) 三角 形 全 等 的 判 定 方 法 有: 、 、 、 、 .在證明兩個三角形全等時，選擇三角形全等的五種方法中，至少有一組 ，因此在應(yīng)用時要養(yǎng)成先找邊的習(xí)慣.如果選擇找到了一組對應(yīng)邊，再找第二組條件：若找到一組對應(yīng)邊則再找這兩邊的 用“SAS”或再找第三組 用“SSS”；若找到一組角則需找 (可能用“ASA”或“AAS”)或夾這個角的另一組 用“SAS”;若是判定兩個 全等則優(yōu)先考慮“HL”.
(3)全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的 、 ,全等三角形的面積 、周長 、對應(yīng)高、 、 相等.
10.分析、證明幾何題的常用方法
(1) ：從命題的題設(shè)出發(fā)，通過一系列的有關(guān)定義、公理、定理的運用，逐步向前推進，直到問題解決.(2) ：從命題的結(jié)論出發(fā)，不斷尋找使結(jié)論成立的條件，直到已知條件.(3) ：將分析法與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法宜于表達，因此在實際思考問題時，可合并使用靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論之間的距離，最后達到完全溝通.
實戰(zhàn)演練
1.如圖,CD⊥AB 于點 D,已知∠ABC是鈍角,則 ( )
A.線段CD是△ABC的AC 邊上的高線
B.線段 CD 是△ABC的AB 邊上的高線
C.線段 AD 是△ABC的BC 邊上的高線
D.線段 AD 是△ABC的AC 邊上的高線
2.如圖,在△ABC和△DEF中,點A,E,B,D在同一直線上，AC∥DF,AC=DF,只添加一個條件,能判定△ABC≌△DEF 的是 ( )
A. BC=DE B. AE=DB
C.∠A=∠DEF D.∠ABC=∠D
3.如圖,在△ABC中,D、E分別為線段 BC、BA 的中點,設(shè)△ABC 的面積為S?,△EBD的面積為S?,則 S2S1=
A. 12 B. 14 C. 34 D. 78
4.如圖, 在 △ABC 和△ADE 中,∠CAB=∠DAE= 36°,AB =AC,AD=AE.連接CD,連接 BE 并延長交AC,AD 于點 F,G.若 BE 恰好平分∠ABC，則下列結(jié)論錯誤的是 ( )
A.∠ADC=∠AEB B. CD∥AB
C. DE=GE D. BF2=CF·AC
5. 如圖,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,CD⊥AB于點D,E 是AB 的中點,則 DE的長為 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如圖,在△ABC 中,∠A=90°,D 是AB 的中點,過點 D 作 BC 的平行線交AC 于點 E,作 BC的垂線交 BC 于點 F,若AB=CE,且△DFE 的面積為1,則 BC的長為 ( )
A.2 5 B.5
C.45 D.10
7.如圖,在△ABC中,AD 平分∠BAC,DE⊥AB.若 AC=2,DE=1,則S△ACD= .
8. 如圖,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,ED是AC 的垂直平分線，交AC 于點D,交 BC 于點 E,∠BAE=10°,則∠C的度數(shù)是 .
9.如圖,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AF=EF.若∠CFE=72°,則∠B= °.
10如圖,AC 平 分 ∠DCB,CB=CD,DA 的延長線交BC 于點 E,若∠EAC = 49°, 則 ∠BAE 的 度 數(shù)為
11.如圖,點 B,F,C,E 在同一條 直 線 上, BF = EC, AB = DE,∠B=∠E.
求證:∠A=∠D.
12.如圖,在 Rt△ACB中,∠ACB=90°,點 M 為邊AB 的中點,點 E在線段 AM 上,EF⊥AC 于點 F,連接CM,CE.已知∠A=50°,∠ACE=30°.
求證:CE=CM;
13如圖,點 D 在AB 上,點 E在AC 上,AB=AC,∠B=∠C.求證:AD=AE.
14.如圖,在△ABC 和△A'B'C'中, D、D′分 別 是 AB、A′B′上 一點， ADAB=A'D'A'B'.
(1)當(dāng) CDC'D'=ACA'C'=ABA'B'時,求證△ABC∽△A'B'C'.
證明的途徑可以用下面的框圖表示，請?zhí)顚懫渲械目崭?
(2)當(dāng) CDC'D'=ACA'C'=BCB'C'時,判斷△ABC與△A'B'C'是否相似，并說明理由.
壓軸預(yù)測
1. 如圖,在△ABC 中,邊AC，BC的垂直平分線交于三角形外一點 P.若△ABP 為等邊三角形，則∠ACB 的度數(shù)為 .
2.如圖,在△ABC 與△DCB 中,AC 與 BD交于點E,且∠A=∠D,AE=DE.
(1)求證:△ABE≌△DCE;
(2)當(dāng)∠A=90°,AB=4,AE=3時,求 BC的值.
3.如圖,已知△ABC 中,AB=AC,點 D 是AC 上一點,BD=BC.
(1)求證:△ABC∽△BCD;
(2)若點 D 為 AC 中點,且 AC=4,求 BC的長.
4.已知:在△ABC 中,AB= AC,D 為 AC的中點,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分別為點 E,F,且DE=DF.求證:△ABC是等邊三角形.
參考答案
1.(1)銳角 直角 鈍角
(2)等腰 三邊都不相等的
2.(1)大于 小于
(2)180° 與它不相鄰的兩內(nèi)角的和
3.(1)兩邊
(2)平行 等于 一半
(3)線段
4.(1)相等
(2)高 中線 角平分線 重合 三線合一
(3)等腰三角形
5.(1)60°三線合一
(2)等邊三角形 等邊三角形等腰
6.(1)互余
(2)一半
(3)一半
(4)直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方
(5)若一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形
7.(1)平行
(2)相似
(3)比例 夾角相等
(4)對應(yīng)成比例
8.(1)成比例 相等
(2)中 高 相似 相似 相似比的平方
9.(1)對應(yīng)邊相等 對應(yīng)角相等
(2)SSS SAS ASA AAS HL相等的邊 夾角 對應(yīng)邊 另一組角 對應(yīng)邊 直角三角形
(3)對應(yīng)邊相等 對應(yīng)角相等 相等相等 對應(yīng)中線 對應(yīng)角平分線
10.(1)綜合法(由因?qū)Ч?
(2)分析法(執(zhí)果索因)
(3)兩頭湊法
1. B 【解析】本題考查三角形的高線.∵CD⊥AB,∴線段CD是△ABC的AB 邊上的高線,故選 B.
2. B 【解析】本題考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定.∵AC∥DF,∴∠A=∠D.又AC=DF,若添加 AE=BD,則AE+BE=BD+BE,即 AB=DE,利用“SAS”可判定△ABC≌△DEF,故選 B.
3. B 【解析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì).因為 D，E分別為線段 BC，BA 的中點，所以 DEAC=BEBA=BDBC= 12.所以△EBD∽△ABC,所以 S2S1=BDBC2=14,
故選 B.
4. C 【解析】本題考查角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì).∵∠DAE=∠CAB,∴∠DAC=∠EAB. 又AB=AC,AD = AE,∴△ADC≌△AEB,∴∠ADC=∠AEB,故選項 A 正確;∵∠CAB=36°,且 AB=AC,∴∠ABC=72°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABG=∠CBG=∠DCA=36°,∴∠DCA=∠CAB,∴CD∥AB,故選項 B正確；DE=GE 條件不足，不能判定，故選項 C 錯誤；∵∠CBF=∠CAB=36°,且∠BCF=∠ACB,∴△CBF∽△CAB,則BCAC=CEB,∴BC=CF·AC. ∵ AB = AC,∠CAB= 36°, ∴∠ACB= 72°, ∴∠CFB= 180° -∠ACB-∠CBG=72°=∠ACB,∴BC= BF,∴BF2=CF·AC,故選項 D正確,故選 C.
5. A 【解析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì).∵∠ACB=90°,∠A =30°,∴∠B=60°.∵E是AB 的中點, AB=4,∴CE=BE=12AB=12×4=2,∴△BCE 為等邊三角形.∵CD⊥AB,∴DE= BD=12BE=12×2=1,故選 A.
6. A 【解析】本題考查平行線分線段成比例、三角形的面積公式、勾股定理、平行線的判定和性質(zhì).如圖，過點 A作AH⊥BC于 H.∵點 D 是AB 的中點,∴AD=BD. ∵DEBC,∴AE=CE,DE=12BC.∵DF?BC;∴DF∥AH, DF⊥DE,∴BF= HF, DF = 12AH.∵△DFE 的面積為1,∴ 12DE·DF=1,∴DE·DF=2,∴BC·AH=2DE·2DF=4×2=8,∴AB·AC=8. ∴AB=CE,∴AB=AE=CE=12AC,∴AB?2AB=8解得AB=2(舍負(fù)),. ∴AC=4,∴BC=AB2+AC2=2 5,故選 A.
7.1 【解析】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式.如圖,過點 D 作 DF⊥AC 于點 F.因為 AD 平分∠BAC,DE⊥AB,所以DF=DE=1,所以 SACD=12× AC×DF=12×2×1=1.
8.40° 【解析】本題考查三角形內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì).在 Rt△ABE中，∠B=90°,∠BAE=10°,∴∠AEB=80°.∵DE 是線段AC 的垂直平分線,∴AE=CE,∴∠C=∠CAE,∴∠AEB=∠CAE+∠C=2∠C=80°,∴∠C=40°.
9.54 【解析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理. ∵ AF = EF,∴∠A=∠AEF.∵∠CFE=∠A+∠AEF,∴∠CFE=2∠A.又∵∠CFE=72°,∴∠A=36°,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠B=90°-∠A=54°.
10.82° 【解析】本題考查角平分線的定義、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理.∵AC平分∠DCB，∴∠BCA=∠DCA.又∵CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS),∴ ∠B = ∠D. ∵∠EAC= ∠D +∠DCA=49°,∴∠B+∠BCA=49°,∴∠BAE=180°- 49°?49°=82°,,即∠BAE的度數(shù)為82°.
11.略
證明:∵BF=EC,
∴BF+CF=EC+CF,即 BC=EF.
在△ABC 和△DEF中 AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠D.
12.略
根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)得∠CME=∠CEM，即可得證.
解:證明:因為∠ACB=90°,點 M 為AB 的中點.
所以MA=MC,
所以∠MCA=∠A=50°,
所以∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°,
因為 ∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°,
所以∠CME=∠CEM,所以CE=CM.
13.略
根據(jù)已知條件，結(jié)合公共角，利用“ASA”即可判定△ACD≌△ABE,得對應(yīng)邊相等,從而證明AD=AE.
證明:在△ACD和△ABE中 ∠A=∠A,AC=AB,∠C=∠B,
∴△ACD≌△ABE.
∴AD=AE.
14.1CDC'D'=ACA'C'=ADA'D';∠A=∠A'
(2)相似，理由略
(1)根據(jù)比例式進行代換，得三邊對應(yīng)成比例，得兩個三角形相似后，對應(yīng)角相等，將所得三邊比例式和對應(yīng)角相等填入方框內(nèi)；(2)分別在兩個三角形中作 BC 邊和B'C'邊的平行線，利用所得三角形相似得比例式，再結(jié)合比例式進行代換，得三邊對應(yīng)成比例，證明△DCE∽△D'C'E'，再利用平行線的性質(zhì)，結(jié)合等角的補角相等以及兩邊對應(yīng)成比例證明△ABC∽△A'B'C'.
解： 1CDC'D'=ACA'C'=ADA'D';∠A=∠A'.
(2)如圖,過點 D、D'分別作 DE∥BC、D'E'∥B'C',DE交AC 于點E,D'E'交A'C'于點 E'.
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.
∴ADAB=DEBC=AEAC.
同理 A'D'A'B'=D'E'B'C'=A'E'A'C'.
又
同理 AEAC=A'E'A'C'.
∴AC?AEAC=A'C'?A'E'A'C',即 ECAC=E'C'A'C'.
∴ECE'C'=ACA'C'.
CDC'D'=ACA'C'=BCB'C',又又
∴CDC'D'=DED'E'=ECE'C'.
∴△DCE∽△D'C'E'.
∴∠CED=∠C'E'D'.
∵DE∥BC,∴∠CED+∠ACB=180°.
同理 ∠C'E'D'+∠A'C'B'=180°.
∴∠ACB=∠A'C'B'.
又AC=BC,∴△ABC∽△A'B'C'.
壓軸預(yù)測
1.150° 【解析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理.如圖,連接 PC.設(shè)∠APC=x,∠BPC=y.∵△ABP是等邊三角形,∴x+y=60°.∵點 P 是AC,BC 的垂直平分線的交點,∴PA=PC=PB,∴∠PAC=∠PCA,∠PCB=∠PBC.在等腰△PAC 中, ∠PCA=180°?x2.在等腰△PBC中, ∠PCB=180°?y2,∴∠ACB=∠PCA+∠PCB= 180°?x2+180°?y2=360°?x+y2=180°?30°=150°,∴∠ACB的度數(shù)為150°.
2.(1)略 245
解:(1)證明:∵∠AEB與∠DEC是對頂角,
∴∠AEB=∠DEC.
又∵∠A=∠D,AE=DE,
∴△ABE≌△DCE(ASA).
(2)∵∠A=90°,∴在 Rt△ABE中,
BE=AB2+AE2=42+32=5.
∵△ABE≌△DCE,
∴CE=BE=5,
∴AC=AE+CE=3+5=8,
故在 Rt△ABC中,
BC=AB2+AC2=42+82=45.
3.(1)略 (2)2 2
(1)根據(jù)等邊對等角得兩組角相等，即可證明兩個三角形相似；(2)根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得比例式，將線段的長代入比例式，從而即可求出 BC的長.
解:(1)證明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
又BD=BC,
∴∠BDC=∠C,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∴∠BAC=∠CBD,
∴△ABC∽△BCD.
(2)由(1)△ABC∽△BCD得 ABBC=BCCD.
又AC=4,D為AC中點,
∴CD=2,
∴4BC=BC2.
又BC>0,
∴BC=22.
4.略
證明:∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠AED=∠CFD=90°.
∵點 D為AC 的中點,
∴AD=DC.
在 Rt△ADE 和 Rt△CDF中,
AD=CD,DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),
∴∠A=∠C,∴AB=BC.
∵AB=AC,∴AB=BC=AC,
∴△ABC是等邊三角形.

相關(guān)試卷

專題16 概率--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點梳理及專項練習(xí)（含解析）：

這是一份專題16 概率--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點梳理及專項練習(xí)（含解析），共11頁。試卷主要包含了概率的計算方法有，較復(fù)雜事件的概率估算等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題15 統(tǒng)計--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點梳理及專項練習(xí)（含解析）：

這是一份專題15 統(tǒng)計--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點梳理及專項練習(xí)（含解析），共12頁。試卷主要包含了數(shù)據(jù)的收集，統(tǒng)計圖，頻數(shù)與頻率，描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，描述數(shù)據(jù)的離散程度等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題14 解直角三角形--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點梳理及專項練習(xí)（含解析）：

這是一份專題14 解直角三角形--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點梳理及專項練習(xí)（含解析），共13頁。試卷主要包含了銳角三角函數(shù)的定義，一些特殊角的三角函數(shù)值，各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系，解直角三角形的概念，了解測量等實際問題中的概念，如圖，海中有一個小島 A，一條上山直道的坡度為1等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題13 圖形的變換--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點梳理及專項練習(xí)（含解析）

專題13 圖形的變換--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點梳理及專項練習(xí)（含解析）
專題12 圓--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點梳理及專項練習(xí)（含解析）

專題12 圓--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點梳理及專項練習(xí)（含解析）
專題9 幾何圖形--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點梳理及專項練習(xí)（含解析）

專題9 幾何圖形--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點梳理及專項練習(xí)（含解析）
專題2 整式與分式--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點梳理及專項練習(xí)（含解析）

專題2 整式與分式--2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點梳理及專項練習(xí)（含解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部