例．如圖，雙曲線的圖像經(jīng)過矩形的邊的中點，若且四邊形的面積為．

(1)求雙曲線的解析式；
(2)求點的坐標：
(3)若點為軸上一動點，使得為以為底邊的等腰三角形，請直接寫出點的坐標
【變式訓(xùn)練1】．如圖，正方形的頂點，點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)試說明反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點；
(2)如圖，正方形向下平移得到正方形，邊在軸上，反比例函數(shù)的圖象分別交正方形的邊、于點、．
①求的面積；
②在軸上是否存在一點，使得是等腰三角形，若存在，直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練2】．如圖，四邊形是面積為4的正方形，函數(shù)的圖象經(jīng)過點B．

(1)求k的值．
(2)將正方形分別沿直線翻折，得到正方形，正方形．設(shè)線段，分別與函數(shù)的圖象交于點E，F(xiàn)，求線段所在直線的解析式．
(3)在x軸上是否存在點P，使為等腰三角形，若存在，直按寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練3】．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，與軸交于點，與軸交于點，已知點坐標為，點的坐標為
(1)求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式；
(2)連接、，求的面積；
(3)觀察圖象直接寫出時x的取值范圍是 ；
(4)直接寫出：P為x軸上一動點，當三角形為等腰三角形時點P的坐標 ．
類型二、直角三角形存在性問題
例．如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直x軸于點C，連接BC，點．
(1)求m和k的值；
(2)x軸上是否存在一點D，使為直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形是矩形，且，，．反比例函數(shù)（）的圖象分別交、于點E、點F ．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)連接、、，求的面積；
(3)是否存在x軸上的一點P，使得是不以點P為直角頂點的直角三角形？若存在，請求出符合題意的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練2】．如圖，在平面直角坐標系中，B、C兩點在軸的正半軸上，以線段為邊向上作正方形，頂點A在正比例函數(shù)的圖像上，反比例函數(shù)，且，，的圖像經(jīng)過點A，且與邊相交于點E．

(1)若，求點的坐標；
(2)連接，．
①若的面積為24，求的值；
②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練3】．如圖，矩形的邊分別在軸、軸的正半軸上，．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點，交邊于點，連接．
(1)求的值與點的坐標；
(2)軸上是否存在一點，使為等腰三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)點是軸上的一點，以點為頂點的三角形是直角三角形，請求出點的坐標．
類型三、等腰直角三角形存在性問題
例．如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點和點，點，分別是軸和軸的正半軸上的動點，且滿足．

(1)求，的值及反比例函數(shù)的解析式；
(2)若，求點的坐標，判斷四邊形的形狀并說明理由；
(3)若點是反比例函數(shù)圖象上的一個動點，當是以為直角邊的等腰直角三角形時，求點的坐標．
【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標系中，點，分別在反比例函數(shù)和的圖象上，軸于點，軸于點，是線段的中點，，．
(1)求反比例函數(shù)的表達式；
(2)連接，，，求的面積；
(3)是線段上的一個動點，是線段上的一個動點，試探究是否存在點，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合條件點的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練2】．如圖1，在平面直角坐標系中，矩形的頂點C、A分別在x軸和y軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象與、分別交于點D、E，且頂點B的坐標為，．
(1)求反比例函數(shù)的表達式及E點坐標；
(2)如圖2，連接，，試判斷與的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；
(3)如圖3，連接，在反比例函數(shù)的圖象上是否存在點F，使得，若存在，請求出點F的坐標；若不存在，說明理由．
【變式訓(xùn)練3】．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點．將線段先向右平移個單位長度、再向上平移個單位長度，得到對應(yīng)線段，反比例函數(shù)的圖像恰好經(jīng)過，兩點，連接，．
(1) ， ；
(2)求反比例函數(shù)的表達式；
(3)點在軸正半軸上，點是反比例函數(shù)的圖像上的一個點，若是以為直角邊的等腰直角三角形時，點的坐標 ．
專題02 反比例函數(shù)與特殊三角形存在性問題
類型一、等腰三角形存在性問題
例．如圖，雙曲線的圖像經(jīng)過矩形的邊的中點，若且四邊形的面積為．

(1)求雙曲線的解析式；
(2)求點的坐標：
(3)若點為軸上一動點，使得為以為底邊的等腰三角形，請直接寫出點的坐標
【答案】(1)
(2)當時，；當時，
(3)點的坐標為或
【分析】（1）如圖所示，連接，設(shè)矩形的長，寬，可得的坐標，分別表示出的面積，根據(jù)，，可求出點橫坐標，縱坐標的關(guān)系，代入反比例函數(shù)解析式即可求解；
（2）設(shè)，可得，在中，根據(jù)勾股定理可的的關(guān)系，聯(lián)立方程即可求解；
（3）根據(jù)題意，分類討論，以為底，作的垂直平分線，運用相似三角形求出與軸的交點，由此即求出的直線解析式，再根據(jù)與軸的交點，圖形結(jié)合即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，連接，設(shè)矩形的長，寬，

∴，，，
∵分別是邊中點，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，即，則
∵點在反比例函數(shù)圖像上，且反比例函數(shù)圖像在第一象限，
∴，
∴，
∴，
∴雙曲線的解析式為．
（2）解：設(shè)，
∵，
∴
∴①，
在中，根據(jù)勾股定理得：，即②，
聯(lián)立①②解得：或，
當時，；
當時，．
（3）解：①當時，以為底邊的等腰三角形，
∴作的垂直平分線，交軸于點，交于點，交軸于點，如圖所示，

∵，，
∴點的橫坐標為，縱坐標為，即，且，
在中，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
設(shè)所在直線的解析式為，，，
∴，解得，，
∴直線的解析式是為，
∵直線與軸交于點，
∴令，得，
∴點的坐標為；
②當時，以為底邊的等腰三角形，
∴作的垂直平分線，交軸于點，交于點，交軸于點，如圖所示，

∴，，，，，∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
設(shè)所在直線的解析式為，，，
∴，解得，，
∴直線的解析式是為，
∵直線與軸交于點，
∴令，得，
∴點的坐標為；
綜上所述，點的坐標為或．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合，掌握坐標與圖形的性質(zhì)，反比例函數(shù)與幾何圖形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】．如圖，正方形的頂點，點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)試說明反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點；
(2)如圖，正方形向下平移得到正方形，邊在軸上，反比例函數(shù)的圖象分別交正方形的邊、于點、．
①求的面積；
②在軸上是否存在一點，使得是等腰三角形，若存在，直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)①；②存在，或
【分析】（1）將點的坐標代入反比例函數(shù)表達式求得值，再驗證點即可；
（2），即可求解；
分、、三種情況，分別求解即可．
【詳解】（1）解：（1）點，點，四邊形是正方形，
點，，
將點的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：，
反比例函數(shù)表達式為：，
當時，得，
反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點；
（2）解：平移后點、、、的坐標分別為：、，、，
則平移后點橫坐標為，則點，
同理點，
；

點、的坐標分別為：、，
設(shè)點，則，，，
當時，即，解得：或，
當時，點、、三點共線，故舍去，，
當時，同理可得：方程無實數(shù)根，舍去，
當時，同理可得：，
故點的坐標為：或，使得是等腰三角形．
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運用，涉及到勾股定理的運用、等腰三角形的性質(zhì)、面積的計算等，要注意分類求解，避免遺漏．
【變式訓(xùn)練2】．如圖，四邊形是面積為4的正方形，函數(shù)的圖象經(jīng)過點B．

(1)求k的值．
(2)將正方形分別沿直線翻折，得到正方形，正方形．設(shè)線段，分別與函數(shù)的圖象交于點E，F(xiàn)，求線段所在直線的解析式．
(3)在x軸上是否存在點P，使為等腰三角形，若存在，直按寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)4
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由正方形面積求得點B的坐標為，即可得解；
（2）由翻折可得點E的橫坐標為4，點F的縱坐標為4，由解析式得，設(shè)直線的解析式為，將兩點坐標代入求解；
（3）設(shè)點，由得，，，分情況討論：①若，②若，③若，分別列方程求解．
【詳解】（1）解：∵四邊形是面積為4的正方形，
∴.
∴點B的坐標為．
∴．
（2）解：∵正方形，正方形是由正方形翻折得到，
∴．
∴點E的橫坐標為4，點F的縱坐標為4 ．
∵點E，點F在函數(shù)的圖象上，
∴．
設(shè)直線的解析式為，將兩點坐標代入，得
解得
∴直線的解析式為．
（3）解：存在．
如圖，設(shè)點，由得
，，，
①若，則，解得或；
②若，，解得或；
③若，，解得；
∴點P的坐標為．

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形性質(zhì)，兩點距離求解；坐標系內(nèi)靈活運用軸對稱性質(zhì)求解點坐標是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3】．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，與軸交于點，與軸交于點，已知點坐標為，點的坐標為
(1)求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式；
(2)連接、，求的面積；
(3)觀察圖象直接寫出時x的取值范圍是 ；
(4)直接寫出：P為x軸上一動點，當三角形為等腰三角形時點P的坐標 ．
【答案】(1)，；
(2)
(3)或
(4)或，或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)兩三角形面積和可得結(jié)論；
（3）直接由圖象一次函數(shù)在反比例函數(shù)上邊時對應(yīng)的取值；
（4）存在三種情況：，，，根據(jù)點的坐標綜合圖形可得點的坐標．
【詳解】（1）解：點坐標為
把點的坐標代入中得：
反比例函數(shù)的解析式是：
把點的坐標為代入中，得：，
把、兩點的坐標代入中得：，解得：
一次函數(shù)的解析式為：；
（2）解：如圖1，當時，，，
，
；
（3）解：由圖象得：時的取值范圍是：或；
（4）解：當是等腰三角形時，存在以下三種情況：
①當時，如圖2，
，，，或，；
②當時，如圖3，
；
③當時，如圖4，過作軸于，
設(shè)，則，，，
，，，；
綜上，的坐標為或，或或．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定，三角形面積公式，本題難度適中，并運用了分類討論的思想解決問題．
類型二、直角三角形存在性問題
例．如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直x軸于點C，連接BC，點．
(1)求m和k的值；
(2)x軸上是否存在一點D，使為直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或或或
【分析】（1）先把點A坐標代入直線解析式中求出m的值即可求出點A的坐標，再把點A的坐標代入反比例函數(shù)解析式求出k的值即可；
（2）先由對稱性求出點B的坐標，設(shè)點D的坐標為，利用勾股定理求出，；再分當時，當時，當時，三種情況利用勾股定理建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：把將代入中得：，
∴，
將代入中得：，
∴，；
（2）解：∵直線和交于點A、B，
∴A和B關(guān)于原點成中心對稱，
∴，
設(shè)點D的坐標為，
∴，；
當時，則，
∴，
解得，
∴點D的坐標為；
當時，則，
∴，
∴，
解得，
∴點D的坐標為或，
當時，則，
∴，
解得，
∴點D的坐標為；
綜上所述，x軸上是否存在一點D或或或使得為直角三角形．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，反比例函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形是矩形，且，，．反比例函數(shù)（）的圖象分別交、于點E、點F ．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)連接、、，求的面積；
(3)是否存在x軸上的一點P，使得是不以點P為直角頂點的直角三角形？若存在，請求出符合題意的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)
(3)，
【分析】（1）根據(jù)題意得到點的坐標為，根據(jù)待定系數(shù)法可得的值，即可；
（2）求出點與點的坐標，然后根據(jù)三角形面積公式即可求出；
（3）設(shè)點坐標為，求出點與點的坐標，運用分類討論思想結(jié)合勾股定理解決問題．
【詳解】（1）解：四邊形是矩形，
，，
，
，，
所以點的坐標為，
點在反比例函數(shù)上，代入，得到，
故反比例函數(shù)解析式為；
（2）如圖，
，
，
時，，
，
即，，，
，
；
（3）如圖，
，
設(shè)所求點坐標為，
，，
，
，
，
當時，
，
即，，
解得，，
故；
當時，
，
即，，
解得，，
故，
綜上所述；存在點，坐標為，．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與矩形的綜合性問題，涉及到反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標表與圖形的關(guān)系、勾股定理等知識，分類討論思想的運用是解決最后一問的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2】．如圖，在平面直角坐標系中，B、C兩點在軸的正半軸上，以線段為邊向上作正方形，頂點A在正比例函數(shù)的圖像上，反比例函數(shù)，且，，的圖像經(jīng)過點A，且與邊相交于點E．

(1)若，求點的坐標；
(2)連接，．
①若的面積為24，求的值；
②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①18；②不存在，理由見解析
【分析】(1)根據(jù)，設(shè)，代入解析式確定A的坐標，確定反比例函數(shù)解析式，根據(jù)，代入反比例函數(shù)解析式計算即可；
(2)①設(shè)，則，，，根據(jù)題意，得，列出等式計算即可；②假設(shè)，證明，利用反比例函數(shù)解析式建立等式證明即可．
【詳解】（1）∵正方形，，，
∴，，
設(shè)，則，，
代入，得，
解得，
故，即，
∴，
∴；
（2）①∵點A在直線上，
∴設(shè)，
∵正方形，，
∴，，，
∴，，
根據(jù)題意，得，
∴，
解得，（舍去），故，
故；
②∵，
∴ ，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，∴，
∵點A在直線上，
∴設(shè)，此時：，則，，
∴，即：，
∴，∴，
∵B、C兩點在x軸的正半軸上，
∴，∴，
這是不可能的，故不存在某一位置使得．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積的分割法計算，熟練掌握正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式，三角形全等的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3】．如圖，矩形的邊分別在軸、軸的正半軸上，．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點，交邊于點，連接．
(1)求的值與點的坐標；
(2)軸上是否存在一點，使為等腰三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)點是軸上的一點，以點為頂點的三角形是直角三角形，請求出點的坐標．
【答案】(1)，
(2)存在，或
(3)或
【分析】（1）根據(jù)題意，求得點的坐標，進而求得的值，根據(jù)點在反比例函數(shù)圖象上，將的橫坐標代入解析式即可求解；
（2）設(shè)，根據(jù)勾股定理求得的長，根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論即可求解；
（3）根據(jù)是軸上的一點，設(shè)，則，，，根據(jù)勾股定理建立方程，分類列出方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵，四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵是的中點，
∴，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
∴，
∴反比例數(shù)解析式為，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，的橫坐標為，
∴，
∴；
（2）解：存在，設(shè)，
∵，，
∴，，，
設(shè)直線的解析式為，則，
，
解得，
∴，
①當時，，
解得：，
∴，
②當時，，
此方程無解，
③當時，，
解得或，
∵線的解析式為，當時，，
∴,在直線上，
綜上所述，或，
（3）是軸上的一點，設(shè)，則，，，
①當為直角頂點時，，
解得：，則，
②當為直角頂點時，，
解得：，則
③當為直角頂點時，，
此方程無解，
綜上所述，或．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，勾股定理求兩點距離，等腰三角形的定義，掌握以上知識，分類討論是解題的關(guān)鍵．
類型三、等腰直角三角形存在性問題
例．如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點和點，點，分別是軸和軸的正半軸上的動點，且滿足．

(1)求，的值及反比例函數(shù)的解析式；
(2)若，求點的坐標，判斷四邊形的形狀并說明理由；
(3)若點是反比例函數(shù)圖象上的一個動點，當是以為直角邊的等腰直角三角形時，求點的坐標．
【答案】(1)，
(2)矩形，理由見解析
(3)，，
【分析】（1）把和分別代入得：；進而把代入得，即可求解；
（2）根據(jù)，設(shè)的解析式為，依題意得出的坐標為，進而可得解析式為，進而得出，過點作軸于點，則，故和都等腰直角三角形，得出，即可得出結(jié)論；
（3）①當時，根據(jù)圖形可得，②當時，由圖得，代入反比例數(shù)解析式，解一元二次方程，即可求解．
【詳解】（1）解：把和分別代入得：；
把代入得，
所求反比例函數(shù)解析式為，
（2），
設(shè)的解析式為，
又，在軸的正半軸上，
的坐標為，
以點、、、構(gòu)成的四邊形是矩形，理由如下：
解析式為，
，
，，，
，
又
四邊形是平行四邊形
過點作軸于點，則，故和都等腰直角三角形，
，
，
是矩形

（3）①當時，由圖得：，
，則，
，

②當時，由圖得
，解得：舍去
，
綜上所述：的坐標為，，．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解一元二次方程，分類討論，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標系中，點，分別在反比例函數(shù)和的圖象上，軸于點，軸于點，是線段的中點，，．
(1)求反比例函數(shù)的表達式；
(2)連接，，，求的面積；
(3)是線段上的一個動點，是線段上的一個動點，試探究是否存在點，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合條件點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出點的坐標，利用待定系數(shù)法可求反比例函數(shù)的表達式；
（2）分別算出，，的面積，利用即可得到答案；
（3）分三種情況，當，時；當，時；當，時，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意可知，
∵點在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∵是線段的中點，∴，
∵，
∴點的坐標為，
∴，
∴反比例函數(shù)的表達式為；
（2）解：∵，
，
，
∴；
（3）解：存在
分三種情況，∵，
∴直線的表達式為．
①如圖1，當，時，
設(shè)點，則
∵
∴平分．
∴，解得
∴
∴；
②如圖2，當，時，設(shè)點．
∵平分，
∴，
∴
∴
∴
∴；
③如圖3，當，時，點與點重合，
∴，
∴，
∴，
綜上所述，存在點使得是等腰直角三角形，其坐標為或或．
【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分三種情況求出點的坐標．
【變式訓(xùn)練2】．如圖1，在平面直角坐標系中，矩形的頂點C、A分別在x軸和y軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象與、分別交于點D、E，且頂點B的坐標為，．
(1)求反比例函數(shù)的表達式及E點坐標；
(2)如圖2，連接，，試判斷與的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；
(3)如圖3，連接，在反比例函數(shù)的圖象上是否存在點F，使得，若存在，請求出點F的坐標；若不存在，說明理由．
【答案】(1)反比例函數(shù)的表達式為，點E坐標為
(2)與的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為，理由見詳解
(3)存在，點F的坐標為或
【分析】（1）由B點坐標和可求得D點橫坐標，再由軸可得D點縱坐標，由D點坐標可得反比例函數(shù)解析式，再把E點的橫坐標代入解析式求出E點縱坐標；
（2）根據(jù)已知的點的坐標求出，，，，再計算出對應(yīng)線段的比值證得，再利用相似三角形的性質(zhì)求得最終結(jié)論；
（3）分類討論F點在第一象限和第三象限的兩種情況，作等腰直角三角形構(gòu)造角，再利用三垂直模型得到全等的三角形，從而求得直線上的點的坐標，再利用待定系數(shù)法求出點F所在的一次函數(shù)的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)即可求得F點坐標．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，由點B的坐標為得，，
點D的坐標為，代入中得，得，
反比例函數(shù)的表達式為
由題意知，點E的橫坐標為6
代入中
得點E縱坐標為
點E坐標為
（2）解：DE與AC的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為，理由如下：
，，，，
，，，
，
，
（3）解：存在
①當點F在第一象限的反比例函數(shù)圖象上時，如圖4
作，且使，連接，則，過點G作軸于點M，過點E作軸于點N，易得（三垂直模型）
∴，
∴點G坐標為
將和代入直線的表達式中，得
解得
所以，直線的表達式為：
聯(lián)立反比例函數(shù)之和直線得
解得或
所以，點F的坐標為
②當點F在第三象限的反比例函數(shù)圖象上時
如圖5，作，且使，連接，則，過點S作軸于點T
∴易得，（三垂直模型）
∴，
∴點S坐標為
將和代入直線的表達式中，得
解得
所以，直線的表達式為：.
聯(lián)立反比例函數(shù)和直線得，
解得，或
所以，點F的坐標為
綜上所述，使得時，點F的坐標為或
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，不僅涉及到反比例函數(shù)相關(guān)知識和待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，還考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)與幾何的基礎(chǔ)知識并能靈活運用是解決本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3】．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點．將線段先向右平移個單位長度、再向上平移個單位長度，得到對應(yīng)線段，反比例函數(shù)的圖像恰好經(jīng)過，兩點，連接，．
(1) ， ；
(2)求反比例函數(shù)的表達式；
(3)點在軸正半軸上，點是反比例函數(shù)的圖像上的一個點，若是以為直角邊的等腰直角三角形時，點的坐標 ．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）利用坐標軸上的點的特點即可得出結(jié)論；
（2）先表示出點 ， 坐標，進而代入反比例函數(shù)解析式中求解得出 ，再判斷出 ，最后用對角線積的一半即可求出四邊形的面積；
（3）分兩種情況，構(gòu)造全等的直角三角形即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）將點 代入 ，得， ，
直線的解析式為 ，
將 代入，得 ，
（2）由（）知，，
，
由平移可得：設(shè)點，．
將點， 分別代入 ，得

反比例函數(shù)的解析式為
（3）①當 、 時，如圖2，過點 作直線 軸，交 軸于點 ．過點 作于點 ，交 軸于點 ．過點 作于點
設(shè)點 （其中 ），則 ， ．
，
．
于點E，
，
．
， ，
，
， ，
，
．
將 代入 ，得 ，
點 ；
②當 、 時，如圖3，過點 作直線 軸與點 ，則
．過點 作 軸于點 ， 交直線 與點E，則于點 ， ．
，
．
于點 ，
，
．
又 ， ， ， ， ．
設(shè) ，則 ， ， 點 ．
將點 代入 ，得 ．解得，，
，
點
綜合①②可知：點M的坐標為 或．
【點睛】本題是綜合考查反比例函數(shù)待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的面積的計算方法，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．

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