第Ⅰ卷
一、選擇題（本題共9道小題，每小題5分，共45分）
1. 已知全集，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】由補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解.
【詳解】解：，
，
故選：B．
2. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】D
【分析】分別化簡(jiǎn)和,再根據(jù)充分、必要條件判斷即可.
【詳解】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且,
所以，即
因?yàn)?，所?即,
所以存兩種情況：且，且，
因此推不出,
同樣推不出,
因此“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
3. 函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】利用函數(shù)的定義域排除A，結(jié)合時(shí)的函數(shù)值恒大于0排除CD，則可得答案.
【詳解】由得．排除A；
當(dāng)時(shí)，，所以．排除CD．
又，
當(dāng)時(shí)，，故，故B中圖象符合題意，
故選：B
4. 已知，則（ ）
A. 25B. 5C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．
【詳解】因?yàn)?，，即，所以?br>故選：C.
5. 若1為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，得出不等式，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，
令，可得或，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則滿足，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
6. 已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，．若，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】先判斷出函數(shù)單調(diào)性，再比較這3個(gè)數(shù)的大小，然后利用單調(diào)即可.
【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上是增函數(shù)，所以在時(shí)，，
從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，
，
，又，則，所以即，
， 所以.
故選：C．
7. 中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬、“馬主曰：“我馬食半牛，”今欲衰償之，問(wèn)各出幾何？此問(wèn)題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟、羊主人說(shuō)：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說(shuō)：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？該問(wèn)題中，1斗為10升，則馬主人應(yīng)償還（ ）升粟.
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列列式計(jì)算即得.
【詳解】依題意，羊、馬、牛主人應(yīng)償還量構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，
設(shè)馬主人應(yīng)償還升粟，則，解得，
所以馬主人應(yīng)償還升粟.
故選：C
8. 已知函數(shù)，若對(duì)任意，有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)fx單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)得出，最后應(yīng)用結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所?
令,
因?yàn)椋詥握{(diào)遞減，
單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以fx為偶函數(shù)，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，
單調(diào)遞增，
單調(diào)遞增，
所以.
故選：B.
9. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足．給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
①；
②若，則函數(shù)的最小正周期為；
③關(guān)于的方程在區(qū)間上最多有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；
④若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】C
【分析】①利用函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可得出答案.②利用函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，再結(jié)合①即可得出答案.③利用函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，即可求出周期的取值范圍，當(dāng)取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)解最多，求出其實(shí)數(shù)解即可判斷.④利用函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)結(jié)合①可得出，再結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)時(shí)，即可得出的取值范圍.
【詳解】①因?yàn)榍?，所?①正確.
②因?yàn)樗缘膶?duì)稱(chēng)軸為,
.②正確.
③在一個(gè)周期內(nèi)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)且，.
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上
實(shí)數(shù)解最多為共3個(gè).③正確.
④函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，，解得；
又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)且，，即，所以.④錯(cuò)誤
故選：C
第Ⅱ卷
二、填空題（本題共6道小題，每題5分，共30分）
10. 已知是復(fù)數(shù)，若，則______.
【正確答案】
【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算規(guī)則化簡(jiǎn)即可.
【詳解】，則.
故答案為.
11. 已知平面向量，若，則______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】，因?yàn)?，所以?br>即，解得.
故答案為.
12. 已知為銳角，且，則 ________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)和差角公式以及輔助角公式可得，即可利用二倍角余弦公式求解，進(jìn)而根據(jù)同角關(guān)系即可求解.
【詳解】由可得，
故，
由于為銳角，故，則，結(jié)合，故，
因此，
故答案為；
13. 已知且，則的最小值為_(kāi)__________.
【正確答案】
【分析】令，，將已知條件簡(jiǎn)化為；將用表示，分離常數(shù)，再使用“乘1法”轉(zhuǎn)化后利用基本不等式即可求得最小值．
【詳解】解：令，，因?yàn)?，所以?br>則，，所以,
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，，即時(shí)取“”，
所以的最小值為.
故答案為.
14. 在中，是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn).設(shè)，試用表示為_(kāi)__________；若的面積為，則當(dāng)___________時(shí)，取得最小值.
【正確答案】 ①. ②. 2
【分析】根據(jù)向量加減法的線性運(yùn)算即可求解，由的面積求得的值，利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算求出，利用基本不等式求出它取最小值時(shí)、的值，再利用余弦定理求出的值．
【詳解】是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則，
所以
如圖所示，中，，
所以的面積為，
所以；
所以
；
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為6；
所以此時(shí)，，，
所以，
所以．
故；2．

15. 設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．
【正確答案】或
【分析】對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，分別畫(huà)出不同取值情況的的函數(shù)圖象，函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，說(shuō)明的圖象與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)斜率的變化即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，
所以y=fx的圖象與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，如圖所示，
y=fx的圖象與的圖象僅有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符；
當(dāng)時(shí)，如圖所示，
在上，當(dāng)與相切時(shí)，
聯(lián)立，得，
則，得（舍去），
由圖可知，當(dāng)時(shí)，與y=fx在有一個(gè)交點(diǎn)，在0,+∞有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，
所以當(dāng)時(shí)，與y=fx在無(wú)交點(diǎn)，在0,+∞有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，
當(dāng)時(shí)，與y=fx在無(wú)交點(diǎn)，在0,+∞有三個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，
當(dāng)時(shí)，與y=fx在無(wú)交點(diǎn)，在0,+∞有四個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，如圖所示，

在上，當(dāng)與相切時(shí)，
聯(lián)立，得，
則，得（舍去），
由圖可知，當(dāng) 時(shí)，與y=fx在有兩個(gè)交點(diǎn)，在0,+∞有四個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，
當(dāng)時(shí)，與y=fx在有兩個(gè)交點(diǎn)，在0,+∞有三個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，
當(dāng)時(shí)，與y=fx在有兩個(gè)交點(diǎn)，在0,+∞有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意，
當(dāng)時(shí)，與y=fx在有一個(gè)交點(diǎn)，在0,+∞有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符.
綜上所述， 或.
故或.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論的思想，需要通過(guò)討論取值范圍的不同，結(jié)合范圍的限制，判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后推出的范圍即可.
三、解答題（本題共5道大題，共75分）
16. 已知數(shù)．
（1）求的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸方程；
（2）求在的最大值和最小值．
【正確答案】（1）最小正周期為，對(duì)稱(chēng)軸方程為，，
（2）的最小值，最大值.
【分析】（1）由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)，由周期公式即可求得最小正周期；利用整體法求得對(duì)稱(chēng)軸方程，
（2）先求出的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【小問(wèn)1詳解】
，
所以函數(shù)的最小正周期為．
令，，解得，，
所以函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為，，
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，則，進(jìn)而可得，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值，時(shí)，即時(shí)，取最大值.
17. 在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（1）求角B的大??；
（2）設(shè)，．
（?。┣骯的值；
（ⅱ）求的值．
【正確答案】（1）
（2）(i)；(ii)
【分析】（1） 由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理列出方程即可求解B；
（2） (i) 由余弦定理結(jié)合上問(wèn)求邊長(zhǎng)即可.
(ii) 利用余弦定理結(jié)合同角平方關(guān)系可求的正弦和余弦值，然后結(jié)合二倍角公式及兩角和的正弦公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由正弦定理，可化為
小問(wèn)2詳解】
（i）由余弦定理得，由
得解得
（ii）由余弦定理得，，
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)于任意的，有，求的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）當(dāng)時(shí)，在和上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在和上遞減，在上遞增.
（3）
【分析】（1）直接計(jì)算導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)的定義即可；
（2）對(duì)分情況判斷的正負(fù)，即可得到的單調(diào)區(qū)間；
（3）對(duì)和兩種情況分類(lèi)討論，即可得到的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由，知.
所以當(dāng)時(shí)，有，.
故曲線在處的切線經(jīng)過(guò)，且斜率為，所以其方程為，即.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，對(duì)有，對(duì)有，故在和上遞減，在上遞增；
當(dāng)時(shí)，對(duì)有，故在上遞增；
當(dāng)時(shí)，對(duì)有，對(duì)有，故在和上遞減，在上遞增.
綜上，當(dāng)時(shí)，在和上遞減，在上遞增；
當(dāng)時(shí)，在上遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上遞減，在上遞增.
【小問(wèn)3詳解】
我們有
當(dāng)時(shí)，由于，，故根據(jù)（2）的結(jié)果知在上遞增.
故對(duì)任意的，都有，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，由于，故.
所以原結(jié)論對(duì)不成立，不滿足條件.
綜上，的取值范圍是.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)討論，方可得到所求的結(jié)果.
19. 設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列．且．
（1）求，的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【正確答案】（1），，
（2）
【分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，再根據(jù)題干已知條件列出關(guān)于公差與公比的方程組，解出與的值，即可計(jì)算出等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)分奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別計(jì)算，奇數(shù)項(xiàng)求和運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和，偶數(shù)項(xiàng)求和時(shí)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和，最后綜合即可得到前項(xiàng)和的結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】
由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
則，化簡(jiǎn)，得，
整理，解得（舍去），或，
則，
，，．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可得，
，
，
令，
則，
，
兩式相減，可得
，
，
令，
則
，
．
20. 已知函數(shù)，．
（1）若，討論在上單調(diào)性．
（2）設(shè)為方程的實(shí)數(shù)根，其中，．
（?。┳C明：，有；
（ⅱ）若，，證明：．
【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先求出的導(dǎo)函數(shù)f'x，然后對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論確定在上的單調(diào)性即可.
（2）（ⅰ）利用不等式的性質(zhì)和構(gòu)造函數(shù)法證明不等式成立，再利用不等式放縮法和裂項(xiàng)相消法即可證明出結(jié)論；（ⅱ）先根據(jù)已知條件得到關(guān)于的等式，再利用換元法將所證不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，最后利用不等式放縮法即可證明結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所?br>．
因?yàn)?，所以，所以?br>①若，當(dāng)時(shí)，f'x>0，所以在上單調(diào)遞增；
②若，當(dāng)時(shí)，f'x

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