1.已知全集U={1,2,3,4,5}, 集合A={4,5},則A= ．
2．函數(shù)的定義域?yàn)? ．
3．橢圓的焦距為 ．
4. 已知負(fù)實(shí)數(shù)a、b滿足ab=2, 則a+b的最大值為 .
5．已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的側(cè)面積為 ．
6.二項(xiàng)式x2?2x6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 .
7．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝3：5：7，則此三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)等于 ．
8. 設(shè)向量a、b滿足a=1，2，b=3，4，則a在b方向上的投影向量是 .
9．若曲線y＝e﹣x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x+y+1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ．
10．設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝9x++7．若f（x）≥a+1
對(duì)一切x≥0成立，則a的取值范圍為 ．
11.設(shè)y=gx，x∈R是以1為周期的函數(shù)，fx=2x?gx，若函數(shù)y=fx，x∈2,3的值域?yàn)?,4，
則函數(shù)y=fx，x∈0,5的值域?yàn)? .
12．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n﹣1，記bm為{an}在區(qū)間[m，2m）（m∈N，m＞0）內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，
則使得不等式bm+1﹣bm＞2062成立的m的最小值為 ．
二.選擇題（本大題共4題，第13、14題各4分，第15、16題各5分，共18分）
13. “x>1”是1x2a>0則點(diǎn)P的軌跡與直線y=k（k為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)；下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．命題①成立，命題②不成立 B．命題①不成立，命題②成立 C．命題①②都成立 D．命題①②都不成立
三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）
17．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點(diǎn)，PD＝DC＝1，直線PB與平面ABCD所成的角為．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）求異面直線AM與PC所成的角的大小．
18.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)
已知函數(shù) fx=2csx?sinx+π3?3sin2x+sinx?csx.
求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；(2)若 x∈0，π2，求f(x)的值域.
19．為慶祝神舟十四號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，某學(xué)校開展了航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，共有100人參加了這次競(jìng)賽，
已知所有參賽學(xué)生的成績(jī)均位于區(qū)間[50，100]，將他們的成績(jī)分成五組，依次為[50，60）、[60，70）、
[70，80）、[80，90）、[90，100]，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
求出a的值，并用各區(qū)間的中間值估計(jì)這100人的競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)；（2）采用按比例分配的分層抽樣的方法，從競(jìng)賽成績(jī)?cè)赱80，100]（即第四、五組內(nèi)）的學(xué)生中抽取了12人作為航天知識(shí)宣講使者．現(xiàn)從這12名使者中隨機(jī)
抽取1人作為組長(zhǎng)，求這名組長(zhǎng)的競(jìng)賽成績(jī)?cè)赱90，100]內(nèi)的概率．
20．已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為13，其左右焦點(diǎn)為F1、F2，斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F2，
與橢圓Γ交于不同的兩點(diǎn)A、B，△AF1B的周長(zhǎng)為12.(1)求橢圓Γ的方程；(2)求△AF1B的面積；(3)過(guò)點(diǎn)F2任作
與坐標(biāo)軸都不垂直的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一定點(diǎn)P，使PF2恰為∠MPN的平分線？.
21．對(duì)于函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y'＝f'（x），若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0和t，使得f（x0+t）＝（t+1）?f'（x0）成立，
則稱y＝f（x）是“躍點(diǎn)”函數(shù)，并稱x0是函數(shù)y＝f（x）的“t躍點(diǎn)”．（1）若函數(shù)y＝sinx﹣m（x∈R）
是“躍點(diǎn)”函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若函數(shù)y＝x2﹣ax+1是定義在（﹣1，3）上的“1躍點(diǎn)”函數(shù)，
且在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的“1躍點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)y＝ex+bx（x∈R）是“1躍點(diǎn)”函數(shù)，
且在定義域內(nèi)恰存在一個(gè)“1躍點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
2024-2025學(xué)年上海市黃浦區(qū)高三上10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題
一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）
1.已知全集U={1,2,3,4,5}, 集合A={4,5},則A= 1，2，3 ．
2．函數(shù)的定義域?yàn)? （﹣3，2） ．
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義得到關(guān)于x的不等式，解不等式即可求出函數(shù)的定義域．
【詳解】由題意得：＞0，解得：﹣3＜x＜2，故函數(shù)的定義域是（﹣3，2），故（﹣3，2）．
【點(diǎn)晴】本題考查了求函數(shù)的定義域問(wèn)題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
3．橢圓的焦距為 ．
【分析】根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】因?yàn)闄E圓方程可化為，
所以a2＝11，b2＝3，則c2＝a2﹣b2＝8，所以，則焦距為．故．
【點(diǎn)晴】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
4. 已知負(fù)實(shí)數(shù)a、b滿足ab=2, 則a+b的最大值為 -22 .
5．已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的側(cè)面積為 2π ．
【分析】利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征和側(cè)面積公式直接求解．
【詳解】∵圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，∴該圓錐的側(cè)面積為S＝πrl＝π×1×2＝2π．故2π．
【點(diǎn)晴】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征和側(cè)面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
6.二項(xiàng)式x2?2x6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 .
【詳解】二項(xiàng)式x2?2x6的通項(xiàng)公式為 Tr+1=C6rx26?r?2xr=C6rx12?3r?2r，令 12?3r=0，解得 r=4，
則展開式中常數(shù)項(xiàng)為 C64?24=240，故答案為: 240.
7．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝3：5：7，則此三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)等于 ．
【分析】直接利用正弦定理，轉(zhuǎn)化角為邊的關(guān)系，利用大邊對(duì)大角，余弦定理可求csC的值，結(jié)合C的范圍
即可得解．【詳解】∵sinA：sinB：sinC＝3：5：7，∴由正弦定理可得：a：b：c＝3：5：7，
∴C為最大角，a＝，b＝，∴由余弦定理可得：csC＝＝＝﹣，
∵C∈（0，π），∴C＝．故．
【點(diǎn)晴】本題考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了三角形的解法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
8. 設(shè)向量a、b滿足a=1，2，b=3，4，則a在b方向上的投影向量是 1125b或3325，4425 .
9．若曲線y＝e﹣x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x+y+1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 （﹣ln2，2） ．
【分析】先設(shè)P（x，y），由求導(dǎo)公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由在點(diǎn)P處的切線與直線2x+y+1＝0平行，求出x并代入
解析式求出y．【詳解】設(shè)P（x，y），由題意得y＝e﹣x，∵y′＝﹣e﹣x在點(diǎn)P處的切線與直線2x+y+1＝0平行，
∴﹣e﹣x＝﹣2，解得x＝﹣ln2，∴y＝e﹣x＝2，故P（﹣ln2，2）．故（﹣ln2，2）．
【點(diǎn)晴】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即點(diǎn)P處的切線的斜率是該點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)值，以及切點(diǎn)在曲線上和切線上的應(yīng)用．
10．設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝9x++7．若f（x）≥a+1
對(duì)一切x≥0成立，則a的取值范圍為 ．【分析】先利用y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)求出
x≥0時(shí)函數(shù)的解析式，將f（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的
最小值，解不等式求出a的范圍．【詳解】因?yàn)閥＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）＝0；
當(dāng)x＞0時(shí)，則﹣x＜0，所以f（﹣x）＝﹣9x﹣+7，因?yàn)閥＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（x）＝9x+﹣7；因?yàn)閒（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立，所以當(dāng)x＝0時(shí)，0≥a+1成立，
所以a≤﹣1；當(dāng)x＞0時(shí)，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，
因?yàn)?x+﹣7≥2＝6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．
故．
【點(diǎn)晴】本題考查函數(shù)解析式的求法；考查解決不等式恒成立轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值；利用基本不等式求函數(shù)的最值．
11.設(shè)y=gx，x∈R是以1為周期的函數(shù)，fx=2x?gx，若函數(shù)y=fx，x∈2，3的值域?yàn)?，4，
則函數(shù)y=fx，x∈0，5的值域?yàn)? .
11．14,16.【分析】設(shè)x∈1,2，則x+1∈2,3，推導(dǎo)出fx+1=2fx，可求得函數(shù)fx在1,2上的值域，
同理可求得函數(shù)fx在0,1、3,4、4,5上的值域，綜合可得函數(shù)fx在0,5上的值域.
【詳解】設(shè)x∈1,2，則x+1∈2,3，fx+1=2x+1?gx+1=2x+1?gx=2?2xgx=2fx∈1,4，
所以，fx∈12,2，故函數(shù)fx在1,2上的值域?yàn)?2,2，同理，fx在0,1上的值域?yàn)?4,1，fx在3,4上的值域
為2,8，fx在4,5上的值域?yàn)?,16.因此，函數(shù)y=fx，x∈0,5的值域?yàn)?4,16.故14,16.
12．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n﹣1，記bm為{an}在區(qū)間[m，2m）（m∈N，m＞0）內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，
則使得不等式bm+1﹣bm＞2062成立的m的最小值為 13 ．
【分析】（1）根據(jù)m≤2n﹣1＜2m，得，代入即可得解；
（2）根據(jù)m≤2n﹣1＜2m，得，對(duì)m分奇偶討論即可得解．
【詳解】令m≤2n﹣1＜2m，得，當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，，
即2m﹣1＞2063，因?yàn)?11＜2063＜212，所以m﹣1≥12，即m≥13，因?yàn)閙為奇數(shù)，所以m的最小值為13；
當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，，
因?yàn)?11＜2062＜212，所以m﹣1≥12，即m≥13，因?yàn)閙為偶數(shù)，所以m的最小值為14．綜上所述，m的最小值
為13．故13．【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
二.選擇題（本大題共4題，第13、14題各4分，第15、16題各5分，共18分）
13. “x>1”是1x2a>0則點(diǎn)P的軌跡與直線y=k（k為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)；下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．命題①成立，命題②不成立 B．命題①不成立，命題②成立 C．命題①②都成立 D．命題①②都不成立
16．C【分析】對(duì)于①，設(shè)點(diǎn)Q是直線l:2x?y?1=0上一點(diǎn)，且Qx,2x?1，可得dP,Q=maxx?3，2x?2，
討論x?3與2x?2的大小，可得距離d，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；對(duì)于②，根據(jù)定義得
maxx+c,y?maxx?c,y=2a，再根據(jù)對(duì)稱性進(jìn)行討論，求得軌跡方程，即可判斷．
【詳解】對(duì)于①，設(shè)點(diǎn)Q是直線l:2x?y?1=0上一點(diǎn)，且Qx,2x?1，可得dP,Q=maxx?3，2x?2，
由x?3≥2x?2，解得?1≤x≤53，即有d(P,Q)=x?3，當(dāng)x=53時(shí)，取得最小值43；由x?353或x2a>0)，則：maxx+c,y?maxx?c,y=2a，顯然上述方程所表示的
曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不妨設(shè)x≥0，y≥0；當(dāng)x+c≥yx?c≥y時(shí)，有x+c?x?c=2a，得：x=a0≤y≤a?c；當(dāng)x+c≤yx?c≤y時(shí)，有0=2a，此時(shí)無(wú)解；當(dāng)x+c>yx?c0的離心率為13，其左右焦點(diǎn)為F1、F2，斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F2，
與橢圓Γ交于不同的兩點(diǎn)A、B，△AF1B的周長(zhǎng)為12.(1)求橢圓Γ的方程；(2)求△AF1B的面積；(3)過(guò)點(diǎn)F2任作
與坐標(biāo)軸都不垂直的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一定點(diǎn)P，使PF2恰為∠MPN的平分線？.
20．(1)x29+y28=1；(2)48217；(3)存在.【分析】（1）由題意可得4a=12，可得a=3，由離心率可求c=1，結(jié)合a2=b2+c2可求b2=8，從而可得橢圓Γ的方程；（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，且y1>0,y20,y20，則y1+y2=?1617,y1y2=?6417，
所以y1?y2=y1+y22?4y1y2=16172+4×6417=48217，
因?yàn)镾△ABF1=S△AF1F2+S△BF1F2，所以S△ABF1=12×F1F2×y1?y2=48217，即△AF1B的面積為48217.
（3）設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2，設(shè)l:y=kx?1k≠0，由x29+y28=1y=kx?1,得9k2+8x2?18k2x+9k2?72=0，
所以x1+x2=18k29k2+8,x1x2=9k2?729k2+8.若點(diǎn)P存在，設(shè)Pm,0，由題意得kPM+kPN=0，
所以y1x1?m+y2x2?m=kx1?1x1?m+kx2?1x2?m=0，所以x1?1x2?m+x2?1x1?m=0，
即2x1x2?1+mx1+x2+2m=29k2?729k2+8?1+m18k29k2+8+2m=0，所以16m?144=0，得m=9，
即在x軸上存在一定點(diǎn)P9,0，使PF2恰為∠MPN的角平分線.解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：
注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程
后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．
21．對(duì)于函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y'＝f'（x），若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0和t，使得f（x0+t）＝（t+1）?f'（x0）成立，
則稱y＝f（x）是“躍點(diǎn)”函數(shù)，并稱x0是函數(shù)y＝f（x）的“t躍點(diǎn)”．（1）若函數(shù)y＝sinx﹣m（x∈R）
是“躍點(diǎn)”函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若函數(shù)y＝x2﹣ax+1是定義在（﹣1，3）上的“1躍點(diǎn)”函數(shù)，
且在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的“1躍點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)y＝ex+bx（x∈R）是“1躍點(diǎn)”函數(shù)，
且在定義域內(nèi)恰存在一個(gè)“1躍點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【分析】（1）求出給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由“躍點(diǎn)”
函數(shù)的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得實(shí)數(shù)m的范圍即可；（2）根據(jù)“1躍點(diǎn)”函數(shù)的定義，列出方程，求出該方程
在（﹣1，3）上有兩個(gè)不同的解的實(shí)數(shù)a的范圍即可；（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程ex+1+b（x+1）＝2（ex+b），即﹣b＝
有一個(gè)實(shí)數(shù)解，再構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)求解作答．【詳解】（1）函數(shù)數(shù)y＝sinx﹣m的導(dǎo)函數(shù)為y′＝csx，
因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx﹣m（x∈R）是“躍點(diǎn)”函數(shù)，則方程sin（x0+）﹣m＝（+1）csx0有解，
即﹣m＝csx0有解，而csx0∈[﹣1，1]，因此﹣m∈[﹣，]，解得m∈[﹣，]，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[﹣，]；
（2）函數(shù)y＝x2﹣ax+1，x∈（﹣1，3）的導(dǎo)函數(shù)為y′＝2x﹣a，依題意，方程（x0+1）2﹣a（x0+1）+1＝2（2x0﹣a），
即﹣（a+2）x0+a+2＝0在（﹣1，3）上有兩個(gè)不等實(shí)根，令h（x）＝x2﹣（a+2）x+a+2，x∈（﹣1，3），
因此函數(shù)h（x）在（﹣1，3）上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則，解得﹣＜a＜﹣2或2＜a＜，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣，﹣2）∪（2，）；
（3）函數(shù)y＝ex+bx（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)為y′＝ex+b，因?yàn)楹瘮?shù)y＝ex+bx（x∈R）是“1躍點(diǎn)”函數(shù)，
且在定義域內(nèi)恰存在一個(gè)“1躍點(diǎn)”，則方程+b（x0+1）＝2（+b），顯然x0≠1，
所以﹣b＝在R上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令g（x）＝＝，
求導(dǎo)得g′（x）＝，由g′（x）＞0，得x＞2；
由g′（x）＜0，得x＜2且x≠1，g（2）＝e2（e﹣2），
所以函數(shù)y＝g（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，g（x）＜0恒成立，
函數(shù)y＝g（x）的取值集合是（﹣∞，0），在（1，2]上單調(diào)遞減，
函數(shù)y＝g（x）的取值集合是[e2（e﹣2），+∞），在[2，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)y＝g（x）的取值集合是[e2（e﹣2），+∞），
作出函數(shù)y＝g（x）的圖象，如圖所示：當(dāng)﹣b∈（﹣∞，0）∪{e2（e﹣2）}時(shí)，直線y＝﹣b與函數(shù)y＝g（x）的圖象有唯一公共點(diǎn)，即方程﹣b＝恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，從而b∈（0，+∞）∪{e2（2﹣e）}，所以b的取值范圍為（0，+∞）∪{e2（2﹣e）}．【點(diǎn)晴】本題屬于新概念題，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的
性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．

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上海市黃浦區(qū)2024-2025學(xué)年高一上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷：

這是一份上海市黃浦區(qū)2024-2025學(xué)年高一上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷，共3頁(yè)。試卷主要包含了填空題，選擇題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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