類型一 坡度坡角問(wèn)題
1．（2022?菏澤）菏澤某超市計(jì)劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來(lái)的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長(zhǎng)為8米，更換后的電梯坡面為AD，點(diǎn)B延伸至點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
思路引領(lǐng)：在△ABC中求出BC以及AC的長(zhǎng)度，再求出CD，最后BD＝CD﹣BC即可求解．
解：由題意得，在△ABC中，
∵∠ABC＝37°，AB＝8米，
∴AC＝AB?sin37°＝4.8（米），
BC＝AB?cs37°＝6.4（米），
在Rt△ACD中，CD8.304（米），
則BD＝CD﹣BC＝8.304﹣6.4≈1.9（米）．
答：改動(dòng)后電梯水平寬度增加部分BD的長(zhǎng)為1.9米．
總結(jié)提升：本題考查了坡度和坡角的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解．
2．（2022?郴州）如圖是某水庫(kù)大壩的橫截面，壩高CD＝20m，背水坡BC的坡度為i1＝1：1．為了對(duì)水庫(kù)大壩進(jìn)行升級(jí)加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為i2＝1：，求背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離．
（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73．結(jié)果精確到0.1m）
思路引領(lǐng)：在Rt△BCD中，根據(jù)BC的坡度為i1＝1：1，可求出BD的長(zhǎng)，再在Rt△ACD中，根據(jù)AC的坡度為i2＝1：，可求出AD的長(zhǎng)，然后利用AB＝AD﹣BD，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：在Rt△BCD中，
∵BC的坡度為i1＝1：1，
∴1，
∴CD＝BD＝20米，
在Rt△ACD中，
∵AC的坡度為i2＝1：，
∴，
∴ADCD＝20（米），
∴AB＝AD﹣BD＝2020≈14.6（米），
∴背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離約為14.6米．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握坡度是解題的關(guān)鍵．
3．（2022?長(zhǎng)沙）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于點(diǎn)D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°．
（1）求該斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線）
思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求解；
（2）在△ACD中，根據(jù)∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，從而得出AC的長(zhǎng)．
解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，
∴BDBA＝10（m），
答：該斜坡的高度BD為10m；
（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，
∴∠CBA＝15°，
∴AB＝AC＝20（m），
答：斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離為20m．
總結(jié)提升：本題主要考查坡度坡角的定義及解直角三角形，得到AB＝AC是解題的關(guān)鍵．
4．（2022?臺(tái)州）如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2．梯子與地面所成的角α為75°，梯子AB長(zhǎng)3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
思路引領(lǐng)：在Rt△ABC中，AB＝3m，sin∠BAC＝sin75°0.97，解方程即可．
解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，
sin∠BAC＝sin75°0.97，
解得BC≈2.9．
答：梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
5．（2022?株洲）如圖（Ⅰ）所示，某登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者由山坡①的山頂點(diǎn)A處沿線段AC至山谷點(diǎn)C處，再?gòu)狞c(diǎn)C處沿線段CB至山坡②的山頂點(diǎn)B處．如圖（Ⅱ）所示，將直線l視為水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM為0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN千米．
（1）求∠ACB的度數(shù)；
（2）求在此過(guò)程中該登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者走過(guò)的路程．
思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)坡度的概念求出∠BCN＝45°，根據(jù)平角的概念計(jì)算即可；
（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AC，根據(jù)余弦的定義求出BC，進(jìn)而得到答案．
解：（1）∵山坡②的坡度i＝1：1，
∴CN＝BN，
∴∠BCN＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°；
（2）在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，AM＝0.6千米，
∴AC＝2AM＝1.2千米，
在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，CN千米，
則BC2（千米），
∴該登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者走過(guò)的路程為：1.2+2＝3.2（千米），
答：該登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者走過(guò)的路程為3.2千米．
總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
類型二 仰角俯角問(wèn)題
6．（2022?涼山州）去年，我國(guó)南方某地一處山坡上一座輸電鐵塔因受雪災(zāi)影響，被冰雪從C處壓折，塔尖恰好落在坡面上的點(diǎn)B處，造成局部地區(qū)供電中斷，為盡快搶通供電線路，專業(yè)維修人員迅速奔赴現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行處理，在B處測(cè)得BC與水平線的夾角為45°，塔基A所在斜坡與水平線的夾角為30°，A、B兩點(diǎn)間的距離為16米，求壓折前該輸電鐵塔的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．
思路引領(lǐng)：根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理，可以分別求得AD、CD和BC長(zhǎng)，然后將它們相加，即可得到壓折前該輸電鐵塔的高度．
解：由已知可得，
BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，
∴∠E＝∠DBA＝30°，
∴AD＝8米，
∴BD8（米），
∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，
∴∠C＝∠CBD＝45°，
∴CD＝BD＝8米，
∴BC8（米），
∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+88）米，
答：壓折前該輸電鐵塔的高度是（8+88）米．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出AD、CD和BC長(zhǎng)．
7．（2022?陜西）端午假期，小明和小昊與家人到一山莊度假．閑暇時(shí)，他們想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量所住樓前小河的寬．如圖所示，他們先在六層房間窗臺(tái)點(diǎn)F處，測(cè)得河岸點(diǎn)A處的俯角∠1的度數(shù)，然后來(lái)到四層房間窗臺(tái)點(diǎn)E處，測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)B處的俯角∠2的度數(shù)（AB與河岸垂直），并且發(fā)現(xiàn)∠1與∠2正好互余．其中O，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上，O，A，B三點(diǎn)在同一直線上，OF⊥OA．已知OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，求河寬AB．
思路引領(lǐng)：根據(jù)∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，可得∠FAO+∠EBO＝90°，又OF⊥OA，即得∠EBO＝∠AFO，故△EBO∽△AFO，有，求出OB＝20.25，從而可得河寬AB為4.25米．
解：∵∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，
∴∠FAO+∠EBO＝90°，
∵OF⊥OA，
∴∠O＝90°，
∴∠FAO+∠AFO＝90°，
∴∠EBO＝∠AFO，
∵∠O＝∠O，
∴△EBO∽△AFO，
∴，
∵OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，
∴，
解得OB＝20.25，
∴AB＝OB﹣OA＝20.25﹣16＝4.25（米），
答：河寬AB為4.25米．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣俯角問(wèn)題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，證明△EBO∽△AFO．
8．（2022?鋼城區(qū)）如圖，某數(shù)學(xué)研究小組測(cè)量山體AC的高度，在點(diǎn)B處測(cè)得山體A的仰角為45°，沿BC方向前行20m至點(diǎn)D處，斜坡DE的坡度為1：2，在觀景臺(tái)E處測(cè)得山頂A的仰角為58°，且點(diǎn)E到水平地面BC的垂直距離EF為10m．點(diǎn)B，D，C在一條直線上，AB，AE，AC在同一豎直平面內(nèi)．
（1）求斜坡DE的水平寬度DF的長(zhǎng)；
（2）求山體AC的高度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，）
思路引領(lǐng)：（1）由斜坡DE的坡度，EF＝10即可得出答案；
（2）作EH⊥AC，知四邊形EFCH為矩形，設(shè)EH＝CF＝xm，在Rt△AEH中，AH＝EH?tan58°≈1.60x（m），繼而知AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，在Rt△ABC中，根據(jù)AC＝BC得1.60x+10＝40+x，解之求出x的值，進(jìn)一步求解可得答案．
解：（1）∵斜坡DE的坡度，EF＝10m，
∴，
∴DF＝20．即斜坡DE的水平寬度DF長(zhǎng)為20米．
（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，則四邊形EFCH為矩形，
∴HC＝EF＝10m，CF＝EH，
設(shè)EH＝CF＝xm，
在Rt△AEH中，AH＝EH?tan∠AEH＝EH?tan58°≈1.60x（m），
∴AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，
在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC，即1.60x+10＝40+x，
解得x＝50，
∴AH＝1.60x＝1.60×50＝80（m），
∴AC＝AH+HC＝80+10＝90（m）．即山體AC的高度為90米．
總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
9．（2022?內(nèi)蒙古）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量．如圖，在山坡坡腳C處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ，請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度AB．
（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：1.732）
思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，根據(jù)已知可設(shè)DE＝3x米，則CE＝4x米，然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可求出DE，CE的長(zhǎng)，再設(shè)BF＝y(tǒng)米，從而可得AB＝（12+y）米，最后在Rt△DBF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DF的長(zhǎng)，從而求出AC的長(zhǎng)，再在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于y的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，
則DE＝AF，DF＝AE，
在Rt△DEC中，tanθ，
設(shè)DE＝3x米，則CE＝4x米，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴（3x）2+（4x）2＝400，
∴x＝4或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，
設(shè)BF＝y(tǒng)米，
∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，
在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，
∴DFy（米），
∴AE＝DFy米，
∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan60°，
解得：y＝6+8，
經(jīng)檢驗(yàn)：y＝6+8是原方程的根，
∴AB＝BF+AF＝18+831.9（米），
∴建筑物的高度AB約為31.9米．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
10．（2022?營(yíng)口）在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組要測(cè)量一幢大樓MN的高度，如圖，在山坡的坡腳A處測(cè)得大樓頂部M的仰角是58°，沿著山坡向上走75米到達(dá)B處，在B處測(cè)得大樓頂部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求大樓MN的高度．（圖中的點(diǎn)A，B，M，N，C均在同一平面內(nèi)，N，A，C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6）
思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥MN，垂足為D，則BE＝DN，DB＝NE，根據(jù)已知可設(shè)BE＝3a米，則AE＝4a米，從而在Rt△ABE中，利用勾股定理可求出AE，BE的長(zhǎng)，然后設(shè)NA＝x米，在Rt△ANM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出MN的長(zhǎng)，從而求出MD，DB的長(zhǎng)，最后在Rt△MDB中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥MN，垂足為D，
則BE＝DN，DB＝NE，
∵斜坡AB的坡度i＝3：4，
∴，
∴設(shè)BE＝3a米，則AE＝4a米，
在Rt△ABE中，AB5a（米），
∵AB＝75米，
∴5a＝75，
∴a＝15，
∴DN＝BE＝45米，AE＝60米，
設(shè)NA＝x米，
∴BD＝NE＝AN+AE＝（x+60）米，
在Rt△ANM中，∠NAM＝58°，
∴MN＝AN?tan58°≈1.6x（米），
∴DM＝MN﹣DN＝（1.6x﹣45）米，
在Rt△MDB中，∠MBD＝22°，
∴tan22°0.4，
解得：x＝57.5，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝57.5是原方程的根，
∴MN＝1.6x＝92（米），
∴大樓MN的高度約為92米．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
11．（2022?阜新）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量居民樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)CD＝15m，斜坡的傾斜角為α，csα．小文在C點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為60°，在D點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為30°（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．
（1）求C，D兩點(diǎn)的高度差；
（2）求居民樓的高度AB．
（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：1.7）
思路引領(lǐng)：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在Rt△DCE中，可得（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，設(shè)AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°，解得DFx，在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（x﹣12）m，tan60°，求出x的值，即可得出答案．
解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵在Rt△DCE中，csα，CD＝15m，
∴（m）．
∴（m）．
答：C，D兩點(diǎn)的高度差為9m．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，
由題意可得BF＝DE，DF＝BE，
設(shè)AF＝xm，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°，
解得DFx，
在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，
tan60°，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意，
∴AB9≈24（m）．
答：居民樓的高度AB約為24m．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題、坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2022?襄陽(yáng)）位于峴山的革命烈士紀(jì)念塔是襄陽(yáng)市的標(biāo)志性建筑，是為紀(jì)念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國(guó)內(nèi)革命戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期為襄陽(yáng)的解放事業(yè)獻(xiàn)身的革命烈士而興建的，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量烈士塔的高度．無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A處測(cè)得烈士塔頂部點(diǎn)B的仰角為45°，烈士塔底部點(diǎn)C的俯角為61°，無(wú)人機(jī)與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cs61°≈0.48，tan61°≈1.80）
思路引領(lǐng)：在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，則BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC＝tan61°1.80，解得CD≈18，由BC＝BD+CD可得出答案．
解：由題意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°，
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，
∴BD＝AD＝10m，
在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，
tan61°1.80，
解得CD≈18，
∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．
∴烈士塔的高度約為28m．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
13．（2022?朝陽(yáng)）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測(cè)量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺(tái)階）．該小組在C處安置測(cè)角儀CD，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°，前進(jìn)8m到達(dá)E處，安置測(cè)角儀EF，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45°（點(diǎn)B，E，C在同一直線上），測(cè)角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：1.7）
思路引領(lǐng)：延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后設(shè)AG＝xm，在Rt△AFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FG的長(zhǎng)，從而求出DG的長(zhǎng)，再在Rt△ADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，
由題意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
設(shè)AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FGx（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30°，
∴x＝44，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝44是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度約為12m．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
14．（2022?鞍山）北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸．為弘揚(yáng)航天精神，某校在教學(xué)樓上懸掛了一幅長(zhǎng)為8m的勵(lì)志條幅（即GF＝8m）．小亮同學(xué)想知道條幅的底端F到地面的距離，他的測(cè)量過(guò)程如下：如圖，首先他站在樓前點(diǎn)B處，在點(diǎn)B正上方點(diǎn)A處測(cè)得條幅頂端G的仰角為37°，然后向教學(xué)樓條幅方向前行12m到達(dá)點(diǎn)D處（樓底部點(diǎn)E與點(diǎn)B，D在一條直線上），在點(diǎn)D正上方點(diǎn)C處測(cè)得條幅底端F的仰角為45°，若AB，CD均為1.65m（即四邊形ABDC為矩形），請(qǐng)你幫助小亮計(jì)算條幅底端F到地面的距離FE的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
思路引領(lǐng)：設(shè)AC與GE相交于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，然后設(shè)CH＝x米，則AH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH的長(zhǎng)，從而求出GH的長(zhǎng)，最后再在Rt△AHG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：設(shè)AC與GE相交于點(diǎn)H，
由題意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
設(shè)CH＝x米，
∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH?tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°0.75，
解得：x＝4，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），
∴條幅底端F到地面的距離FE的長(zhǎng)度約為5.7米．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
15．（2022?安順）隨著我國(guó)科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，5G移動(dòng)通信技術(shù)日趨完善，某市政府為了實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2021～2025年擬建設(shè)5G基站3000個(gè)，如圖，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡腳C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，然后他沿坡面CB行走了50米到達(dá)D處，D處離地平面的距離為30米且在D處測(cè)得塔頂A的仰角53°．（點(diǎn)A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)，CE為地平線）（參考數(shù)據(jù)：sin53°，cs53°，tan53°）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
思路引領(lǐng)：（1）過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CE，垂足為M．由勾股定理可求出答案；
（2）設(shè)DF＝4a米，則ME＝4a米，BF＝3a米，由于△ACN是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADF中由銳角三角函數(shù)可列方程求出DF，進(jìn)而求出AB．
解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CE，垂足為M．
由題意可知：CD＝50米，DM＝30米．
在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，
∴CM＝40米，
∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；
（2）設(shè)DF＝4a米，則MN＝4a米，BF＝3a米，
∵∠ACN＝45°，
∴∠CAN＝∠ACN＝45°，
∴AN＝CN＝（40+4a）米，
∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．
在Rt△ADF中，
∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF，
∴，
∴解得a，
∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），
∵BF＝3a米，
∴AB＝AF﹣BF＝40（米）．
答：基站塔AB的高為米．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形，通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系和坡度的意義進(jìn)行計(jì)算是常用的方法．
16．（2022?日照）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦激發(fā)了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．如圖是某滑雪場(chǎng)的橫截面示意圖，雪道分為AB，BC兩部分，小明同學(xué)在C點(diǎn)測(cè)得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB長(zhǎng)為270m，雪道BC長(zhǎng)為260m．
（1）求該滑雪場(chǎng)的高度h；
（2）據(jù)了解，該滑雪場(chǎng)要用兩種不同的造雪設(shè)備來(lái)滿足對(duì)于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設(shè)備每小時(shí)造雪量比乙設(shè)備少35m3，且甲設(shè)備造雪150m3所用的時(shí)間與乙設(shè)備造雪500m3所用的時(shí)間相等．求甲、乙兩種設(shè)備每小時(shí)的造雪量．
思路引領(lǐng)：（1）過(guò)B作BF∥AD，過(guò)A過(guò)AF⊥AD，兩直線交于F，過(guò)B作BE垂直地面交地面于E，根據(jù)題知∠ABF＝∠DAB＝30°，可得AFAB＝135（m），由BC的坡度i＝1：2.4，設(shè)BE＝tm，則CE＝2.4tm，可得t2+（2.4t）2＝2602，即可得h＝AF+BE＝235（m）；
（2）設(shè)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是xm3，可得：，即方程并檢驗(yàn)可得甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是15m3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是50m3．
解：（1）過(guò)B作BF∥AD，過(guò)A過(guò)AF⊥AD，兩直線交于F，過(guò)B作BE垂直地面交地面于E，如圖：
根據(jù)題知∠ABF＝∠DAB＝30°，
∴AFAB＝135（m），
∵BC的坡度i＝1：2.4，
∴BE：CE＝1：2.4，
設(shè)BE＝tm，則CE＝2.4tm，
∵BE2+CE2＝BC2，
∴t2+（2.4t）2＝2602，
解得t＝100（m），（負(fù)值已舍去），
∴h＝AF+BE＝235（m），
答：該滑雪場(chǎng)的高度h為235m；
（2）設(shè)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是xm3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是（x+35）m3，
根據(jù)題意得：，
解得x＝15，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原方程的解，也符合題意，
∴x+35＝50，
答：甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是15m3，乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是50m3．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形和分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和列出分式方程．
17．（2022?西藏）某班同學(xué)在一次綜合實(shí)踐課上，測(cè)量校園內(nèi)一棵樹(shù)的高度．如圖，測(cè)量?jī)x在A處測(cè)得樹(shù)頂D的仰角為45°，C處測(cè)得樹(shù)頂D的仰角為37°（點(diǎn)A，B，C在一條水平直線上），已知測(cè)量?jī)x高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹(shù)BD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
思路引領(lǐng)：連接EF，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，在兩個(gè)直角三角形中根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出DM即可．
解：連接EF，交BD于點(diǎn)M，則EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，
在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，
∴EM＝DM，
設(shè)DM＝x米，則EM＝AB＝x米，F(xiàn)M＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，
在Rt△DFM中，tan37°，
即0.75，
解得x＝12，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝12是原方程的根，
即DM＝12米，
∴DB＝12+1.6＝13.6（米），
答：樹(shù)BD的高度為13.6米．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問(wèn)題的前提，構(gòu)造直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
18．（2022?大連）如圖，蓮花山是大連著名的景點(diǎn)之一．游客可以從山底乘坐索道車到達(dá)山頂，索道車運(yùn)行的速度是1米/秒．小明要測(cè)量蓮花山山頂白塔的高度，他在索道A處測(cè)得白塔底部B的仰角約為30°，測(cè)得白塔頂部C的仰角約為37°，索道車從A處運(yùn)行到B處所用時(shí)間約為5分鐘．
（1）索道車從A處運(yùn)行到B處的距離約為 300 米；
（2）請(qǐng)你利用小明測(cè)量的數(shù)據(jù)，求白塔BC的高度．（結(jié)果取整數(shù)）
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD，BD的長(zhǎng)，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：（1）由題意得：
5分鐘＝300秒，
∴1×300＝300（米），
∴索道車從A處運(yùn)行到B處的距離約為300米，
故答案為：300；
（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BDAB＝150（米），
ADBD＝150（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD?tan37°≈1500.75≈194.6（米），
∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣150≈45（米），
∴白塔BC的高度約為45米．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
19．（2022?河池）如圖，小敏在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)知識(shí)對(duì)他所在小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測(cè)量，從小敏家陽(yáng)臺(tái)C測(cè)得點(diǎn)A的仰角為33°，測(cè)得點(diǎn)B的俯角為45°，已知觀測(cè)點(diǎn)到地面的高度CD＝36m，求居民樓AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.55，cs33°≈0.84，tan33°≈0.65）．
思路引領(lǐng)：通過(guò)作高，構(gòu)造直角三角形，在兩個(gè)直角三角形中用直角三角形的邊角關(guān)系可求出AE、BE即可．
解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，
由題意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，
∴BE＝CE＝CD＝36m，
在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，
∴AE＝CE?tan33°≈36×0.65≈23.4（m），
∴AB＝AE+BE＝36+23.4＝59.4≈59（m），
答：居民樓AB的高度約為59m．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
類型三 方向角問(wèn)題
20．（2022?重慶）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC＝200米．點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向．點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，BD＝100米．點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°．
（1）求步道DE的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；
（2）點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D．請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明他走哪一條路較近？
（參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）
思路引領(lǐng)：（1）過(guò)D作DF⊥AE于F，由已知可得四邊形ACDF是矩形，則DF＝AC＝200米，根據(jù)點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°，即得DEDF＝200283（米）；
（2）由△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，可得EF＝DF＝200米，而∠ABC＝30°，即得AB＝2AC＝400米，BC200米，又BD＝100米，即可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程為AB+BD＝500米，CD＝BC+BD＝（200100）米，從而可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程為AE+DE＝200100+200529米，即可得答案．
解：（1）過(guò)D作DF⊥AE于F，如圖：
由已知可得四邊形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝200米，
∵點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°，即∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DEDF＝200283（米）；
（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，
∴EF＝DF＝200米，
∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，即∠EAB＝30°，
∴∠ABC＝30°，
∵AC＝200米，
∴AB＝2AC＝400米，BC200米，
∵BD＝100米，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程為AB+BD＝400+100＝500米，
CD＝BC+BD＝（200100）米，
∴AF＝CD＝（200100）米，
∴AE＝AF﹣EF＝（200100）﹣200＝（200100）米，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程為AE+DE＝200100+200529米，
∵529＞500，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D較近．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形﹣方向角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握含30°、45°角的直角三角形三邊的關(guān)系．
21．（2022?資陽(yáng)）小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對(duì)一條東西走向的隧道AB進(jìn)行實(shí)地測(cè)量．如圖所示，他在地面上點(diǎn)C處測(cè)得隧道一端點(diǎn)A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進(jìn)100米后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A在他的東北方向上，端點(diǎn)B在他的北偏西60°方向上，（點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)）
（1）求點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離；
（2）求隧道AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）
思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)方位角圖，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．分別解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的長(zhǎng)．
解；（1）由題意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△ADC中，
∴（米），
答：點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離為300米．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵AB是東西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，
在Rt△ADE中，
∴（米），
在Rt△BDE中，
∴（米），
∴（米），
答：隧道AB的長(zhǎng)為米．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
22．（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
思路引領(lǐng)：過(guò)B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數(shù)求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．
解：過(guò)B作BD⊥AC于D，
由題意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，則∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
23．（2022?青島）如圖，AB為東西走向的濱海大道，小宇沿濱海大道參加“低碳生活?綠色出行”健步走公益活動(dòng)，小宇在點(diǎn)A處時(shí)，某艘海上觀光船位于小宇北偏東68°的點(diǎn)C處，觀光船到濱海大道的距離CB為200米．當(dāng)小宇沿濱海大道向東步行200米到達(dá)點(diǎn)E時(shí)，觀光船沿北偏西40°的方向航行至點(diǎn)D處，此時(shí)，觀光船恰好在小宇的正北方向，求觀光船從C處航行到D處的距離．
（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cs68°≈0.37，tan68°≈2.48）
思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于F，根據(jù)∠ACB的正切值可得AB＝496m，則可得BE的長(zhǎng)，再根據(jù)∠D的正弦可得答案．
解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于F，
由題意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，
在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，
∵tan∠ACB，
∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48＝496（m），
∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），
∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，
∴四邊形FEBC為矩形，
∴CF＝BE＝296m，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，
∵sin∠D，
∴CD462.5（m），
答：觀光船從C處航行到D處的距離約為462.5m．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，從復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中整理出直角三角形并求解是解決此類題目的關(guān)鍵．
24．（2022?遼寧）如圖，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距離A港口100海里處．一艘貨輪航行到C處，發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西25°方向，B港口在貨輪的北偏西70°方向．求此時(shí)貨輪與A港口的距離（結(jié)果取整數(shù)）．
（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192，1.414）
思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，根據(jù)題意得：∠BAC＝50°，∠BCA＝45°，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD，BD的長(zhǎng)，再在Rt△BDC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，
由題意得：
∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，
在Rt△ABD中，AB＝100海里，
∴AD＝AB?cs50°≈100×0.643＝64.3（海里），
BD＝AB?sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），
在Rt△BDC中，CD76.6（海里），
∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），
∴此時(shí)貨輪與A港口的距離約為141海里．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
25．（2022?恩施州）如圖，湖中一古亭，湖邊一古柳，一沉靜，一飄逸，碧波蕩漾，相映成趣．某活動(dòng)小組賞湖之余，為了測(cè)量古亭與古柳間的距離，在古柳A處測(cè)得古亭B位于北偏東60°，他們向南走50m到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)得古亭B位于北偏東45°．求古亭與古柳之間的距離AB的長(zhǎng)（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73，結(jié)果精確到1m）．
思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，設(shè)AC＝x米，則CD＝（x+50）米，在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng)，再在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得BC＝DC，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可求出AC的長(zhǎng)，最后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長(zhǎng)，即可解答．
解：過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，
設(shè)AC＝x米，
∵AD＝50米，
∴CD＝AC+AD＝（x+50）米，
在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，
∴BC＝AC?tan60°x（米），
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
∴tan45°1，
∴BC＝CD，
∴x＝x+50，
∴x＝2525，
∴AC＝（2525）米，
∴AB5050≈137（米），
∴古亭與古柳之間的距離AB的長(zhǎng)約為137米．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
26．（2022?邵陽(yáng)）如圖，一艘輪船從點(diǎn)A處以30km/h的速度向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1h到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔C在北偏東45°方向上，已知在燈塔C的四周40km內(nèi)有暗礁，問(wèn)這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？并說(shuō)明理由．（提示：1.414，1.732）
思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)C作CD垂直AB，利用特殊角的三角函數(shù)值求得CD的長(zhǎng)度，從而根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算作出判斷．
解：安全，理由如下：
過(guò)點(diǎn)C作CD垂直AB，
由題意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，
在Rt△CBD中，設(shè)CD＝BD＝xkm，則AD＝（x+30）km，
在Rt△ACD中，tan30°，
∴，
∴，
解得：x＝1515≈40.98＞40，
所以，這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，通過(guò)添加輔助線構(gòu)建直角三角形，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
27．（2022?懷化）某地修建了一座以“講好隆平故事，厚植種子情懷”為主題的半徑為800米的圓形紀(jì)念園．如圖，紀(jì)念園中心點(diǎn)A位于C村西南方向和B村南偏東60°方向上．C村在B村的正東方向且兩村相距2.4km．有關(guān)部門計(jì)劃在B、C兩村之間修一條筆直的公路來(lái)連接兩村．問(wèn)該公路是否穿過(guò)紀(jì)念園？試通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．（參考數(shù)據(jù)：1.73，1.41）
思路引領(lǐng)：過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC于D點(diǎn)，根據(jù)題意可得BDAD，CD＝AD，由BC＝2400m可得關(guān)于AD的方程，計(jì)算可求解AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解．
解：過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC于D點(diǎn)，
由題意知：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝45°，
∴BDAD，CD＝AD，
∵BC＝2.4km＝2400m，
∴AD+AD＝2400，
解得：AD＝1200（1）≈876＞800，
故該公路不能穿過(guò)紀(jì)念園．
總結(jié)提升：本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
類型四 解直角三角形的應(yīng)用
28．（2022?通遼）某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，1.7）．
思路引領(lǐng)：在Rt△BDE中求出ED，再在Rt△ACM中求出AM，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．
解：如圖，過(guò)點(diǎn)C、D分別作BE的平行線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N，
在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝BE＝14m，
在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，
∴AMCM＝14（m），
∴AB＝BM﹣AM
＝CE﹣AM
＝20+14﹣14
≈10.2（m），
答：AB的長(zhǎng)約為10.2m．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，構(gòu)造直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
29．（2022?淮安）如圖，湖邊A、B兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連．為了計(jì)算A、B兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測(cè)量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
思路引領(lǐng)：通過(guò)作高，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，列方程求解即可．
解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC＝37°，AC＝80米，
∴sin∠DAC，cs∠DAC，
∴CD＝AC?sin37°≈80×0.60＝48（米），
AD＝AC?cs37°≈80×0.80＝64（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝58°，CD＝48米，
∴tan∠CBD，
∴BD30（米），
∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．
答：A、B兩點(diǎn)之間的距離約為94米．
總結(jié)提升：本題考查直角三角形的邊角關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)，是正確解答的前提，通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形是常用的方法．
30．（2022?東營(yíng)）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已知主塔AB垂直于橋面BC于點(diǎn)B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點(diǎn)D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）
思路引領(lǐng)：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出AD的長(zhǎng)度，然后即可求出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．
解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB，
∴BD，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C，
∴BCAB，
∵BC﹣BD＝CD＝33m，
∴AB33，
∴AB78（m）．
答：主塔AB的高約為78m．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解銳角三角函數(shù)的定義．
31．（2022?濟(jì)寧）知識(shí)再現(xiàn)
如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．
∵sinA，sinB，
∴c，c．
∴．
拓展探究
如圖2，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．
請(qǐng)?zhí)骄?，，之間的關(guān)系，并寫出探究過(guò)程．
解決問(wèn)題
如圖3，為測(cè)量點(diǎn)A到河對(duì)岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測(cè)得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請(qǐng)用拓展探究中的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離．
思路引領(lǐng)：拓展研究：作CD⊥AB于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)正弦的定義得AE＝csinB，AE＝bsin∠BCA，CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，從而得出結(jié)論；
解決問(wèn)題：由拓展探究知，，代入計(jì)算即可．
解：拓展探究
如圖，作CD⊥AB于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E，
在Rt△ABE中，sinB，
同理：sinB，
sin，
sin，
∴AE＝csinB，AE＝bsin∠BCA，CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，
∴，，
∴；
解決問(wèn)題
在△ABC中，∠CBA＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵，
∴，
∴AB＝30，
∴點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為30m．
總結(jié)提升：本題主要考查了解直角三角形，對(duì)于銳角三角形，利用正弦的定義，得出是解題的關(guān)鍵．
32．（2022?鹽城）2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，OA是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，AB、BC為機(jī)械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD＝6m．
（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離；
（2）求OD長(zhǎng)．
（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，2.24）
思路引領(lǐng)：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CB，垂足為E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的長(zhǎng)．
解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CB，垂足為E，
在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE，cs∠ABE，
∴0.60，0.80，
∴AE＝3m，BE＝4m，
∴CE＝6m，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC36.7m．
（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F，
∴FD＝AO＝1m，
∴CF＝5m，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF2m．
∴OD＝24.5m．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理等知識(shí)；正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
模塊二 2023中考押題預(yù)測(cè)
33．（2022?新市區(qū)校級(jí)一模）如圖所示，我區(qū)某中學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)，利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)某段諾敏河的寬度．小宇同學(xué)在A處觀測(cè)對(duì)岸C點(diǎn)，測(cè)得∠CAD＝45°，小英同學(xué)在A處50米遠(yuǎn)的B處測(cè)得∠CBD＝30°，請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬．（結(jié)果保留根號(hào)）
思路引領(lǐng)：設(shè)河寬CE＝x米，那么可利用三角函數(shù)表示出AE、EB的長(zhǎng)，然后根據(jù)BE﹣AE＝50米就能求得河寬．
解：過(guò)C作CE⊥AB于E，設(shè)CE＝x米，
在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x，
在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BECEx，
∴x＝x+50，
解得，x＝（2525）（米）．
答：河寬為（2525）米．
總結(jié)提升：此題主要考查了三角函數(shù)的概念和應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，抽象到三角形中，利用三角函數(shù)進(jìn)行解答
34．（2023?泗洪縣一模）如圖，梯形ABCD是某水壩的橫截面示意圖，其中AB＝CD，壩頂BC＝2m，壩高CH＝5m，迎水坡AB的坡度i＝1：1．
（1）求壩底AD的長(zhǎng)；
（2）為了提高堤壩防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡加固該堤壩，要求壩頂加寬0.5m，背水坡坡角改為α＝30°，求加固總長(zhǎng)5千米的堤壩共需多少土方？（參考數(shù)據(jù)：π≈3.14，，；結(jié)果精確到0.1m3）
思路引領(lǐng)：（1）過(guò)B作BG⊥AD于G，由迎水坡AB的坡度i＝1：1，可得AG＝5m，證明Rt△ABG≌Rt△DCH（HL），有DH＝AG＝5m，故AD＝DH+HG+AG＝12m，即壩底AD的長(zhǎng)是12m；
（2）過(guò)F作FM⊥AD于M，根據(jù)∠FEM＝30°，得EMFM＝5m，即得DE＝EM+MH﹣DH＝（54.5）m，故S梯形DEFC（0.5+54.5）×5≈11.625（m2），從而可得加固總長(zhǎng)5千米的堤壩共需土方58125.0m3．
解：（1）過(guò)B作BG⊥AD于G，如圖：
∵BC∥AD，CH⊥AD，BG⊥AD，
∴四邊形CHGB是矩形，
∴BG＝CH＝5m，HG＝BC＝2m，
∵迎水坡AB的坡度i＝1：1，
∴1，
∴AG＝5m，
∵AB＝CD，BG＝CH，
∴Rt△ABG≌Rt△DCH（HL），
∴DH＝AG＝5m，
∴AD＝DH+HG+AG＝5+2+5＝12（m），
∴壩底AD的長(zhǎng)是12m；
（2）過(guò)F作FM⊥AD于M，如圖：
∵FM⊥AD，BC∥AD，CH⊥AD，
∴四邊形FMHC是矩形，
∴FC＝MH＝0.5m，F(xiàn)M＝CH＝5m，
∵∠FEM＝30°，
∴EMFM＝5m，
由（1）知DH＝5m，
∴DE＝EM+MH﹣DH＝50.5﹣5＝（54.5）m，
∴S梯形DEFC（0.5+54.5）×510≈11.625（m2），
∴加固總長(zhǎng)5千米的堤壩共需土方5000×11.625＝58125.0（m3）．
∴加固總長(zhǎng)5千米的堤壩共需土方58125.0m3．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形．
35．（2023?景縣校級(jí)模擬）如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯（即BC＝EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）若滑梯的長(zhǎng)度BC＝10米，DE＝8米，分別求出滑梯BC與EF的坡度；
（3）在（2）的條件下，由于EF太陡，在保持EF長(zhǎng)不變的情況下，現(xiàn)在將點(diǎn)E向下移動(dòng)，點(diǎn)F隨之向右移動(dòng)．
①若點(diǎn)E向下移動(dòng)的距離為1米，求滑梯EF底端F向右移動(dòng)的距離；
②在移動(dòng)的過(guò)程中，直接寫出△DEF面積的最大值．
思路引領(lǐng)：（1）在Rt△ABC與Rt△DEF中，由BC＝EF，AC＝DF，可證得Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）由題可得AB＝DE＝8米，DF＝AC＝6米，即可得滑梯BC的坡度為，滑梯EF的坡度為．
（3）①若點(diǎn)E向下移動(dòng)的距離為1米，則DE＝7米，米，進(jìn)而可得答案．
②設(shè)EF的中點(diǎn)為G，連接DG，易知當(dāng)DG⊥EF時(shí)，△DEF的面積最大，由此可得答案．
（1）證明：在Rt△ABC與Rt△DEF中，
∵BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
（2）解：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴AB＝DE＝8米，
由勾股定理得，米，
∴DF＝AC＝6米，
∴滑梯BC的坡度為，
滑梯EF的坡度為．
（3）解：①∵點(diǎn)E向下移動(dòng)的距離為1米，
∴DE＝7米，
由勾股定理得，米，
∴滑梯EF底端F向右移動(dòng)的距離為米．
②設(shè)EF的中點(diǎn)為G，連接DG，
∵△DEF為直角三角形，
∴DGEF＝5米，
∵△DEF在變化的過(guò)程中，EF始終為定值，若使△DEF的面積最大，則點(diǎn)D到EF的距離最大，
∴當(dāng)DG⊥EF時(shí)，點(diǎn)D到EF的距離最大，即△DEF的面積最大，
∴△DEF面積的最大值為25（平方米）．
總結(jié)提升：本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、坡度的定義、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
36．（2022?寧波模擬）21、由于發(fā)生山體滑坡災(zāi)害，武警救援隊(duì)火速趕往災(zāi)區(qū)救援，探測(cè)出某建筑物廢墟下方點(diǎn)c處有生命跡象．在廢墟一側(cè)地面上探測(cè)點(diǎn)A，B相距2m，探測(cè)線與該地面的夾角分別是30°和60°（如圖所示），試確定生命所在點(diǎn)C的深度．（參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732，結(jié)果精確到0.1米）
思路引領(lǐng)：根據(jù)銳角三角函數(shù)可以求得點(diǎn)C到地面的距離，從而可以解答本題．
解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，
由題意可知，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
設(shè)CD＝x米，
則BD，AD，
∵AB＝2米，AD＝AB+BD，
∴AD＝2+BD，
∴2，
解得x≈1.7，
即生命所在點(diǎn)C的深度是1.7米．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)解答．
37．（2023?鳳翔縣模擬）如圖，小剛同學(xué)從樓頂A處看樓下公園的湖邊D處的俯角為65°，看另一邊B處的俯角為25°，樓高AC為25米，求樓下公園的湖寬BD．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin65°≈0.91，tan65°≈2.14）
思路引領(lǐng)：根據(jù)題意得到∠ADC＝65°，∠ABC＝25°，解直角三角形即可得到結(jié)論．
解：在Rt△ADC中，AC＝25米，
∴，
∴CD11.68（米），
在Rt△ABC中，
tanB0.47，
∴BC≈53.19米，
∴BD＝BC﹣CD≈42（米）．
答：湖寬BD約為42米．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握仰角俯角的定義和銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．
38．（2023?長(zhǎng)沙一模）長(zhǎng)沙電視塔位于岳麓山峰頂（如圖），此峰頂距地面高度MN＝270m．電視塔集廣播電視信號(hào)發(fā)射和旅游觀光功能于一身．如右圖所示，小明同學(xué)在地面點(diǎn)A處測(cè)得峰頂N處的仰角為15°，由點(diǎn)A往前走640m至點(diǎn)B處，測(cè)得電視塔頂P處仰角為45°，請(qǐng)求出電視塔的高度NP．（假設(shè)圖中A、B、M三點(diǎn)在一條直線上，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27）
思路引領(lǐng)：在Rt△AMN中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AM＝1000m，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到PM＝BM＝360m，于是得到結(jié)論．
解：在Rt△AMN中，∵∠AMN＝90°，MN＝270m，∠MAN＝15°，
∴tanA＝tan15°0.27，
∴AM＝1000m，
∵AB＝640m，
∴BM＝1000﹣640＝360（m），
在Rt△BPM中，∵∠PBM＝45°，
∴PM＝BM＝360m，
∴PN＝PM﹣MN＝360m，
答：電視塔的高度NP為360m．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握仰角俯角的定義和銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．
39．（2022?市南區(qū)一模）如圖，斜坡AB的坡角為33°，BC⊥AC，現(xiàn)計(jì)劃在斜坡AB中點(diǎn)D處挖去部分坡體，用于修建一個(gè)平行于水平線CA且長(zhǎng)為12m的平臺(tái)DE和一條坡角為45°的新的陡坡BE．建筑物GH距離A處36米遠(yuǎn)（即AG為36米），小明在D處測(cè)得建筑物頂部H的仰角為36°．圖中各點(diǎn)均在同一個(gè)平面內(nèi)，且點(diǎn)C、A、G在同一條直線上，HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（結(jié)果精確到1m）
（參考數(shù)據(jù)：sin33°，cs33°，tan33°，sin36°，cs36°，tan36°）
思路引領(lǐng)：延長(zhǎng)DE交BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)ED交HG于點(diǎn)M，根據(jù)題意易得四邊形FCGM是矩形，從而可得FC＝MG，F(xiàn)M＝CG，F(xiàn)M∥CG，進(jìn)而可得∠BDF＝∠BAC＝33°，然后BF＝x米，先在Rt△BEF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EF，再在Rt△DBF中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可求出BF，EF的長(zhǎng)，從而利用三角形的中位線定理求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CG，DM的長(zhǎng)，最后在Rt△DMH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出HM，即可解答．
解：延長(zhǎng)DE交BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)ED交HG于點(diǎn)M，
則MF⊥BC，F(xiàn)M⊥HG，
∵HG⊥CG，
∴四邊形FCGM是矩形，
∴FC＝MG，F(xiàn)M＝CG，F(xiàn)M∥CG，
∴∠BDF＝∠BAC＝33°，
設(shè)BF＝x米，
在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，
∴EFx（米），
在Rt△DBF中，tan33°，
解得：x＝18，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝18是原方程的根，
∴BF＝EF＝18米，
∴DF＝DE+EF＝12+18＝30（米），
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DF∥AC，
∴點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴FC＝BF＝18米，
∴DF是△BCA的中位線，
∴AC＝2DF＝60（米），
∵AG＝36米，
∴FM＝CG＝AC+AG＝60+36＝96（米），
∴DM＝FM﹣DF＝96﹣30＝66（米），
在Rt△DMH中，∠HDM＝36°，
∴HM＝DM?tan36°≈6646.2（米），
∴HG＝HM+MG＝46.2+18≈64（米），
∴建筑物GH的高度約為64米．
總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
40．（2023?合肥一模）為鞏固農(nóng)村脫貧成果，利興村委會(huì)計(jì)劃利用一塊如圖所示的空地ABCD，培育綠植銷售，空地南北邊界AB∥CD，西邊界BC⊥AB，經(jīng)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)，點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東58°方向，在點(diǎn)D的北偏東48°方向，BC＝780米，求空地南北邊界AB和CD的長(zhǎng)（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：tan48°≈1.1，tan58°≈1.6）．
思路引領(lǐng)：由題意可知：∠BCA＝58°∠ADE＝48°，過(guò)D作于DE⊥AB于E，易得四邊形BCDE為矩形，從而可知DE＝BC，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義分別求出AB與AE的長(zhǎng)度即可求出答案．
解：由題意可知：∠BCA＝58°，∠ADE＝48°，
過(guò)D作于DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵AB∥CD，BC⊥AB，
∴四邊形BCDE為矩形，
∴DE＝BC＝780米，
在Rt△ABC中，，
∵BC＝780米，tan58°≈1.6，
∴AB≈780×1.6≈1248（米），
在Rt△ADE中，，
∵DE＝BC＝780米，tan48°≈1.1，
∴AE≈780×1.1≈858（米），
∴CD≈1248﹣858≈390（米），
答：AB的長(zhǎng)和CD的長(zhǎng)分別約為1248米和390米．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義求出AE與CD的長(zhǎng)度，本題屬于基礎(chǔ)題型．
41．（2023?瑤海區(qū)校級(jí)模擬）李俊、王可和張立三位同學(xué)在老師的帶領(lǐng)下到荒地開(kāi)展植樹(shù)活動(dòng)，如圖，點(diǎn)A，B，C分別是他們?nèi)怂诘闹矘?shù)位置，點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東45°方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏東82°方向上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A的正南方向，若點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為80米，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離．（參考數(shù)據(jù)：1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，可得AD＝CD，在Rt△BCD中，sin37°0.60，cs37°0.80，分別求出CD和BD，再根據(jù)AB＝AD+BD可得答案．
解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，
由題意得，∠A＝45°，∠ABC＝82°﹣45°＝37°，BC＝80米，
在Rt△BCD中，sin37°0.60，cs37°0.80，
解得CD≈48，BD≈64，
在Rt△ACD中，
∵∠A＝45°，
∴AD＝CD＝48米，
∴AB＝AD+BD＝112米．
∴點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離約為112米．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
42．（2022?銅仁市校級(jí)模擬）為了保證龍舟賽在我市錦江河順利舉辦，工作人員乘快艇到錦江水域考察水情，以每秒14米的速度沿平行于岸邊的賽道AB由西向東行駛．在A處測(cè)得岸邊一建筑物P在北偏東30°方向上，繼續(xù)行駛46秒到達(dá)B處時(shí)，測(cè)得建筑物P在北偏西60°方向上，如圖所示．求建筑物P到賽道AB的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）
思路引領(lǐng)：作PC⊥AB于C，構(gòu)造出Rt△PAC與Rt△PBC，求出AB的長(zhǎng)度，利用特殊角的三角函數(shù)值求解．
解：過(guò)P點(diǎn)作PC⊥AB于C，由題意可知：∠PAC＝60°，∠PBC＝30°，
在Rt△PAC中，，
∴ACPC，
在Rt△PBC中，，
∴BCPC，
∵AB＝AC+BCPCPC＝14×46＝644（米），
∴PC＝161（米），
答：建筑物P到賽道AB的距離為161米．
總結(jié)提升：此題考查的是直角三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造出兩個(gè)特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函數(shù)值解答．
43．（2023?全椒縣模擬）在湖面上修建一座觀景橋MN是鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略中一項(xiàng)重要工程．在觀測(cè)點(diǎn)A，B兩處測(cè)得∠BAM＝90°，∠ABN＝112°，∠BNM＝105°，AB＝1千米，BN＝0.5千米，求觀景橋MN的長(zhǎng)．參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.9，cs68°≈0.4，tan68°≈2.5，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75．
思路引領(lǐng)：作NC⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于C，ND⊥AM于D，由∠ABN＝112°，得∠NBC＝∠BND＝68°，在Rt△BNC中，BC＝BN×cs68°≈0.2（千米），可得DN＝AC＝AB+BC＝1.2（千米），在Rt△DNM中，MN1.5（千米）．
解：作NC⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于C，ND⊥AM于D，如圖，
∵∠ABN＝112°，
∴∠NBC＝68°，
∴∠BND＝68°，
在Rt△BNC中，
BC＝BN×cs68°≈0.5×0.4＝0.2（千米），
∴DN＝AC＝AB+BC＝1+0.2＝1.2（千米），
∵∠DNM＝∠BNM﹣∠BND＝105°﹣68°＝37°，
在Rt△DNM中，
MN1.5（千米），
∴觀景橋MN的長(zhǎng)約為1.5千米．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義．
44．（2023?鄞州區(qū)校級(jí)一模）某種落地?zé)羧鐖D1所示，AB為立桿，其高為70cm，BC為支桿，它可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，其中BC長(zhǎng)為50cm，DE為懸桿，支桿BC與懸桿DE之間的夾角∠BCD為60°．
（1）如圖2，當(dāng)支桿BC與地面垂直，且燈泡懸掛點(diǎn)D距離地面的高度為100cm，求CD的長(zhǎng)；
（2）在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°，如圖3，求此時(shí)燈泡懸掛點(diǎn)D到地面的距離．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
思路引領(lǐng)：（1）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AF于點(diǎn)F，從而可求出CG的長(zhǎng)度，然后利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AF于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AF于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CH于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CH于點(diǎn)N，從而可知四邊形MDFH和四邊形BNHA是矩形，利用銳角三角函數(shù)的定義可求出CN，CH，CM，MH的長(zhǎng)度即可求出答案．
解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AF于點(diǎn)F，
∴四邊形GDFA是矩形，
∴GA＝DF＝100（cm），
∵CA＝CB+BA，
∴CA＝50+70＝120（cm），
∴CG＝CA﹣DF＝120﹣100＝20（cm），
∵∠BCD＝60°，
∴∠CDG＝30°，
∴CD＝2CG＝40（cm），
答：CD的長(zhǎng)為40cm．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AF于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AF于點(diǎn)H，
過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CH于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CH于點(diǎn)N，
∴四邊形MDFH和四邊形BNHA是矩形，
由題意可知：∠BCN＝20°，∠BCD＝60°，
∴∠MCD＝60°﹣20°＝40°，
在Rt△BCN中，
cs∠BCN＝cs20°，
∴CN＝BCcs20°≈50×0.94≈47（cm），
∴CH＝CN+NH＝CN+AB＝47+70＝117（cm），
在Rt△CDM中，
∴cs∠MCD＝cs40°，
∴CM＝CDcs40°≈40×0.77≈31（cm），
∴MH＝CH﹣CM＝117﹣31＝86（cm），
答：此時(shí)燈泡懸掛點(diǎn)D到地面的距離為86cm．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型．
45．（2022?青島一模）2022年北京冬奧會(huì)的召開(kāi)驚艷世界，冬奧村的餐廳更是得到了各國(guó)運(yùn)動(dòng)員的好評(píng)．運(yùn)動(dòng)員主餐廳位于北京冬奧村居住區(qū)西南側(cè)，共設(shè)置了世界餐臺(tái)、亞洲餐臺(tái)、中餐餐臺(tái)、清真餐臺(tái)、鮮果臺(tái)、面包和甜品臺(tái)等12種餐臺(tái)．一送餐機(jī)器人從世界餐臺(tái)A處向正南方向走200米到達(dá)亞洲餐臺(tái)B處，再?gòu)腂處向正東方向走500米到達(dá)中餐餐臺(tái)C處，然后從C處向北偏西37°走到就餐區(qū)D處，最后從D回到A處，已知就餐區(qū)D在A的北偏東73°方向，求中餐臺(tái)C到就餐區(qū)D（即CD）的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）
（參考數(shù)值：sin73°，cs73°，tan73°，sin37°，cs37°，tan37°．）
思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F，根據(jù)題意可得∠AFE＝∠AFD＝∠DEC＝∠DEB＝∠B＝90°，∠CDE＝37°，∠ADF＝73°，從而可得四邊形ABEF是矩形，進(jìn)而可得AB＝EF＝200米，AF＝BE，然后設(shè)CD＝x米，在Rt△CDE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE，CE的長(zhǎng)，從而求出BE，AF，DF的長(zhǎng)，最后在Rt△ADF中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F，
則∠AFE＝∠AFD＝∠DEC＝∠DEB＝∠B＝90°，∠CDE＝37°，∠ADF＝73°，
∴四邊形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝200米，AF＝BE，
設(shè)CD＝x米，
在Rt△CDE中，DE＝CD?cs37°x（米），
CE＝CD?sin37°x（米），
∴DF＝DE﹣EF＝（x﹣200）米，
∵BC＝500米，
∴AF＝BE＝AB﹣CE＝（500x）米，
在Rt△ADF中，tan73°，
∴AFDF，
∴500x（x﹣200），
解得：x≈357，
∴中餐臺(tái)C到就餐區(qū)D（即CD）的距離為357米．
總結(jié)提升：本題考查了矩形的判定，解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
46．（2022?郯城縣一模）釣魚(yú)是修身養(yǎng)性的戶外休閑運(yùn)動(dòng)，閑暇之余，流連于江河湖泊之間，鳥(niǎo)語(yǔ)花香，玉樹(shù)蔥蔥，享受大自然，怡然自樂(lè)…，“勸君莫食三月鯽，萬(wàn)千魚(yú)仔魚(yú)腹中”，釣魚(yú)是一種心情，釣獲放流是一種境界！
如圖一靜待鯉魚(yú)上鉤：AB是魚(yú)竿，BC、CD是魚(yú)線，EH是水面，點(diǎn)B、點(diǎn)C分別在矩形EFDH的一組鄰邊上，AF⊥EH，AB＝8米，AF＝7米，CH＝0.5米，∠ABE＝30°，∠HBC＝4.4°．
如圖二揚(yáng)竿中魚(yú)：魚(yú)竿AB彎成圓弧，其圓心恰好是點(diǎn)O，魚(yú)線OB由于受到拉力作用，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的1.2倍，即：OB＝1.2（BC+CD）．
若∠AOB的度數(shù)超過(guò)45°，魚(yú)竿將有折斷的危險(xiǎn)，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：是否有斷竿跑魚(yú)的危險(xiǎn)？
（參考數(shù)據(jù)：π取3，sin4.4°，cs4.4°≈0.997，tan4.4°≈3.096）
思路引領(lǐng)：關(guān)鍵直角三角形的邊角關(guān)系求出圖一中的魚(yú)線BC、CD的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出圖二中弧AB的長(zhǎng)度以及半徑OB的長(zhǎng)，由弧長(zhǎng)公式即可求出∠AOB的大小，比較得出結(jié)論即可．
解：如圖一，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝8米，
∴AEAB＝4（米），
∴EF＝AF﹣AE＝7﹣4＝3（米）＝HD，
∴CD＝HD﹣HC＝3﹣0.5＝2.5（米），
在Rt△BCH中，
∵sin∠CBH，即sin4.4°，
∴BC6.5（米），
∴BC+CD＝6.5+2.5＝9（米），
∴OB＝1.2（BC+CD）＝10.8（米），
設(shè)∠AOB＝n°，由弧長(zhǎng)公式得，
8，
解得n≈42.5°＜45°，
∴沒(méi)有斷竿跑魚(yú)的危險(xiǎn)．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．
47．（2022?連山區(qū)三模）如圖①是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，托板長(zhǎng)AB＝115mm，支撐板長(zhǎng)CD＝70mm，且CB＝35mm，∠CDE＝60°，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)．
（1）求點(diǎn)C到直線DE的距離： 35mm ；（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）
（2）若∠DCB＝70°時(shí)，求點(diǎn)A到直線DE的距離（計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位）．
（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，cs50°≈0.6，tan50°≈1.2，）
思路引領(lǐng)：（1）作高CM，在直角三角形CDM中，由直角三角形的邊角關(guān)系可得答案；
（2）作出點(diǎn)A到直線DE的距離AN，再過(guò)點(diǎn)CP⊥AN，在直角三角形ACP中，由邊角關(guān)系求出AP即可．
解：（1）如圖②，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DE，垂足為M，
在Rt△CDM中，CD＝70mm，∠CDE＝60°，
∵sin∠CDM，
∴，
∴CM＝35，
即：點(diǎn)C到直線DE的距離為35mm；
故答案為：35mm；
（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥DE，垂足為N，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AN，垂足為P，則CM＝PN，
∴∠DCB＝70°，∠DCM＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BCM＝70°﹣30°＝40°，
又∵CM∥AN，
∴∠A＝∠BCM＝40°，
在Rt△ACP中，AC＝115﹣35＝80（mm），∠ACP＝90°﹣40°＝50°，
∵sin∠ACP，即sin50°0.8，
∴AP＝64，
∴AN＝AP+PN＝64+35124（mm），
答：點(diǎn)A到直線DE的距離約為124mm．
總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．

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