1．（3分）已知⊙O的半徑r＝3，PO＝，則點P與⊙O的位置關系是（ ）
A．點P在⊙O內B．點P在⊙O上C．點P在⊙O外D．不能確定
2．（3分）下列說法中正確的是（ ）
A．“任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖形”是必然事件
B．任意擲一枚質地均勻的硬幣20次，正面向上的一定是10次
C．“概率為0.00001的事件”是不可能事件
D．“任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形”是隨機事件
3．（3分）如圖是某一幾何體的俯視圖與左視圖，則這個幾何體可能為（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝﹣1B．（x﹣3）2＝1C．（x﹣3）2＝0D．（x﹣3）2＝3
5．（3分）如圖，已知點A，B在⊙O上，∠AOB＝68°，直線MN與⊙O相切，切點為C，且C為弧AB的中點，則∠ACM等于（ ）
A．8°B．36°C．17°D．34°
6．（3分）在反比例函數(shù)的圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），當x1＜0＜x2時，有y1＞y2，則k的取值范圍是（ ）
A．k＜0B．k＞0C．k＜5D．k＞5
7．（3分）如圖．在直角坐標系中，點P（2，2）是一個光源．木桿AB兩端的坐標分別為（0，1），（3，1）．則木桿AB在x軸上的投影長為（ ）
A．1.8B．6C．5D．4
8．（3分）經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉，這三種可能性大小相同．若兩輛汽車經過這個十字路口，則至少一輛車向直行的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，連接PO并延長與⊙O交于點C、D，若CD＝16，PA＝6，則sin∠ADB的值為（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）對拋物線y＝﹣x2+4x﹣3而言，下列結論正確的是（ ）
A．開口向上
B．與y軸的交點坐標是（0，3）
C．與兩坐標軸有兩個交點
D．當x＝2時，有最大值1
11．（3分）若關于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一個根是x＝0，則a的值為（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．
12．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣2，且拋物線與x軸交于A，B兩點，若OA＝5OB，則下列結論中：
①abc＞0；
②（a+c）2﹣b2＞0；
③5a+c＝0；
④a﹣b+c＞0；
⑤若m為任意實數(shù)，則am2+bm+2b≥a．
正確的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空題（本大題共4個小題，共12分.把答案寫在題中橫線上）
13．（3分）社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為60°，BC＝9m，則旗桿AC的高度為 m．
14．（3分）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，它的內切圓半徑為，則正六邊形ABCDEF的邊長為 ．
15．（3分）如圖，已知點C、D是以AB為直徑的半圓的三等分點，的長為，則圖中陰影部分的面積為 ．
16．（3分）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點E，CD＝12，BE＝2，則AC弦的長為 ．
三、解答題（本大題共8個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（7分）如圖，在平整的地面上，用10個棱長都為2cm的小正方體堆成一個幾何體．
（1）求這個幾何體的表面積；
（2）如果現(xiàn)在你還有一些棱長都為2cm的小正方體，要求保持俯視圖和左視圖都不變，最多可以再添加 個小正方體．
18．（8分）小明和小亮玩一個游戲：取三張大小、質地都相同的卡片，上面分別標有數(shù)字3、4、5（背面完全相同），現(xiàn)將標有數(shù)字的一面朝下．小明從中任意抽取一張，記下數(shù)字后放回洗勻，然后小亮從中任意抽取一張，計算小明和小亮抽得的兩個數(shù)字之和．
（1）請你用畫樹狀圖或列表的方法，求出這兩數(shù)和為8的概率．
（2）如果和為奇數(shù)，則小明勝；若和為偶數(shù)，則小亮勝．你認為這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎？做出判斷，并說明理由．
19．（8分）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點A（m，2）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）把直線向上平移3個單位長度與的圖象交于點B，連接AB，OB，求△AOB的面積．
20．（8分）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現(xiàn)碳達峰、2060年前實現(xiàn)碳中和．甘肅省風能資源豐富，風力發(fā)電發(fā)展迅速．某學習小組成員查閱資料得知，在風力發(fā)電機組中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設計參數(shù)．于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動．如圖．已知一風電塔筒AH垂直于地面，測角儀CD，EF在AH兩側．CD＝EF＝1.8m，點C與點E相距189m（點C，H，E在同一條直線上）．在D處測得塔尖頂點A的仰角為45°，在F處測得塔尖頂點A的仰角為53°．求風電塔筒AH的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，.）
21．（9分）學校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長42m，籬笆長80m，設垂直于墻的邊AB長為x米，平行于墻的邊BC為y米，圍成的矩形面積為S m2．
（1）求y與x，S與x的關系式．
（2）圍成的矩形花圃面積能否為600m2，若能，求出x的值．
（3）圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值．
22．（10分）在如圖所示的平面直角坐標系中，有一斜坡OA，從點O處拋出一個小球，落到點A（3，）處．小球在空中所經過的路線是拋物線y＝﹣x2+bx的一部分．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線最高點的坐標；
（3）斜坡上點B處有一棵樹，點B是OA的三等分點，小球恰好越過樹的頂端C，求這棵樹的高度．
23．（10分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在AC上，以OC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，且BD＝BC．
（1）求證：AB是⊙O的切線．
（2）連接OB交⊙O于點F，若AD＝2，AE＝2，求CF弧的長．
24．（12分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經過點A（2，5），對稱軸為直線．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）若點B（﹣1，7）向上平移2個單位長度，向右平移m（m＞0）個單位長度后，恰好落在y＝x2+bx+c的圖象上，求m的值；
（3）當n≤x≤2時，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．
2024-2025學年河北省衡水市九年級（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12個小題，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（3分）已知⊙O的半徑r＝3，PO＝，則點P與⊙O的位置關系是（ ）
A．點P在⊙O內B．點P在⊙O上C．點P在⊙O外D．不能確定
【分析】點在圓上，則d＝r；點在圓外，d＞r；點在圓內，d＜r（d即點到圓心的距離，r即圓的半徑）．
【解答】解：∵OP＝＞3，
∴點P與⊙O的位置關系是點在圓外．
故選：C．
【點評】本題考查了點與圓的位置關系，注意：點和圓的位置關系與數(shù)量之間的等價關系是解決問題的關鍵．
2．（3分）下列說法中正確的是（ ）
A．“任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖形”是必然事件
B．任意擲一枚質地均勻的硬幣20次，正面向上的一定是10次
C．“概率為0.00001的事件”是不可能事件
D．“任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形”是隨機事件
【分析】直接利用概率的意義分別分析得出答案．
【解答】解：A、“任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖形”是必然事件，正確；
B、任意擲一枚質地均勻的硬幣20次，正面向上的一定是10次，錯誤；
C、“概率為0.00001的事件”是不可能事件，錯誤；
D、“任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形”是必然事件，故此選項錯誤．
故選：A．
【點評】此題主要考查了概率的意義以及事件的確定方法，正確把握定義是解題關鍵．
3．（3分）如圖是某一幾何體的俯視圖與左視圖，則這個幾何體可能為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)俯視圖是一個矩形，矩形中間是一個圓，可排除選項A、D；根據(jù)左視圖是的上層是一個矩形，可排除選項B．
【解答】解：如圖是某一幾何體的俯視圖與左視圖，則這個幾何體可能為：
．
故選：C．
【點評】本題考查由三視圖確定幾何體的形狀，主要考查學生空間想象能力及對立體圖形的認識．
4．（3分）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝﹣1B．（x﹣3）2＝1C．（x﹣3）2＝0D．（x﹣3）2＝3
【分析】利用直接開方法解方程可得結論．
【解答】解：A、∵（x﹣3）2＝﹣1＜0，∴方程沒有實數(shù)根，本選項不符合題意；
B、（x﹣3）2＝1，解得x1＝4，x2＝2，有兩個不相等的實數(shù)根，本選項不符合題意；
C、（x﹣3）2＝0，交點x1＝x2＝3，有兩個相等的實數(shù)根，本選項符合題意；
D、（x﹣3）2＝3，x1＝3+，x2＝3﹣，有兩個不相等的實數(shù)根，本選項不符合題意．
故選：C．
【點評】本題考查解一元二次方程﹣直接開方法，解題的關鍵是掌握直接開方法解方程．
5．（3分）如圖，已知點A，B在⊙O上，∠AOB＝68°，直線MN與⊙O相切，切點為C，且C為弧AB的中點，則∠ACM等于（ ）
A．8°B．36°C．17°D．34°
【分析】由切線的性質得MN⊥OC，則∠OCM＝90°，由∠AOB＝68°，＝，求得∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝34°，而OA＝OC，則∠OCA＝∠OCA＝73°，所以∠ACM＝∠OCM﹣∠OCA＝17°，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵直線MN與⊙O相切于點C，
∴MN⊥OC，
∴∠OCM＝90°，
∵C為的中點，∠AOB＝68°，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝34°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OCA＝×（180°﹣34°）＝73°，
∴∠ACM＝∠OCM﹣∠OCA＝90°﹣73°＝17°，
故選：C．
【點評】此題重點考查切線的性質、同圓或等圓中相等的弧所對的圓心角相等、等腰三角形的性質等知識，正確地求出∠OCA的度數(shù)是解題的關鍵．
6．（3分）在反比例函數(shù)的圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），當x1＜0＜x2時，有y1＞y2，則k的取值范圍是（ ）
A．k＜0B．k＞0C．k＜5D．k＞5
【分析】首先根據(jù)當x1＜0＜x2時，有y1＞y2則判斷函數(shù)圖象所在象限，再根據(jù)所在象限判斷5﹣k的取值范圍．
【解答】解：∵x1＜0＜x2時，y1＞y2，
∴反比例函數(shù)圖象在第二，四象限，
∴5﹣k＜0，
解得：k＞5．
故選：D．
【點評】本題主要考查反比例函數(shù)的性質，根據(jù)所在象限判斷5﹣k的取值范圍是解題的關鍵．
7．（3分）如圖．在直角坐標系中，點P（2，2）是一個光源．木桿AB兩端的坐標分別為（0，1），（3，1）．則木桿AB在x軸上的投影長為（ ）
A．1.8B．6C．5D．4
【分析】延長PA，PB分別交x軸于點A′，B′．求出A′，B′的坐標可得結論．
【解答】解：延長PA，PB分別交x軸于點A′，B′．
設直線PA的解析式為y＝kx+b，
則有，解得，
∴直線PA的解析式為y＝x+1，
當y＝0時，x＝﹣2，
∴A′（﹣2，0），
同法可得B′（4，0），
∴OA′＝2，OB′＝4，
∴木桿AB在x軸上的投影長＝OA′+OB′＝2+4＝6．
故選：B．
【點評】本題考查平行投影，一次函數(shù)的應用，坐標確定位置，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
8．（3分）經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉，這三種可能性大小相同．若兩輛汽車經過這個十字路口，則至少一輛車向直行的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列表可得出所有等可能的結果數(shù)以及至少一輛車向直行的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有9種等可能的結果，其中至少一輛車向直行的結果有：（直行，直行），（直行，左轉），（直行，右轉），（左轉，直行），（右轉，直行），共5種，
∴至少一輛車向直行的概率為．
故選：C．
【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．
9．（3分）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，連接PO并延長與⊙O交于點C、D，若CD＝16，PA＝6，則sin∠ADB的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】連接OA、OB，根據(jù)切線的性質得到OA⊥PA，OB⊥PB，根據(jù)切線長定理得到∠APO＝∠BPO，證明∠ADB＝∠AOP，根據(jù)勾股定理求出OP，再根據(jù)正弦的定義計算即可．
【解答】解：如圖，連接OA、OB，
∵PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，∠APO＝∠BPO，
∴∠AOP＝∠BOP，
∴由圓周角定理得：∠ADC＝∠AOP，∠BDC＝∠BOP，
∴∠ADB＝∠AOP，
在Rt△AOP中，OA＝8，PA＝6，
∴OP＝＝＝10，
∴sin∠AOP＝＝＝，
∴sin∠ADB＝，
故選：B．
【點評】本題考查的是切線的性質、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．
10．（3分）對拋物線y＝﹣x2+4x﹣3而言，下列結論正確的是（ ）
A．開口向上
B．與y軸的交點坐標是（0，3）
C．與兩坐標軸有兩個交點
D．當x＝2時，有最大值1
【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點式求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝2，頂點坐標為（2，1），
∴拋物線與x軸有2個交點，當x＝2時，y＝1為函數(shù)最大值，
將x＝0代入y＝﹣x2+4x﹣3得y＝﹣3，
∴拋物線與y軸交點坐標為（0，﹣3）．
故選：D．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．
11．（3分）若關于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一個根是x＝0，則a的值為（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．
【分析】利用一元二次方程解的定義及一元二次方程的定義可得a2﹣4＝0且a+2≠0，解得a的值即可．
【解答】解：∵關于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一個根是x＝0，
∴a2﹣4＝0且a+2≠0，
解得：a＝2，
故選：A．
【點評】本題考查一元二次方程解的定義及一元二次方程的定義，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
12．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣2，且拋物線與x軸交于A，B兩點，若OA＝5OB，則下列結論中：
①abc＞0；
②（a+c）2﹣b2＞0；
③5a+c＝0；
④a﹣b+c＞0；
⑤若m為任意實數(shù)，則am2+bm+2b≥a．
正確的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點可得a，b，c的符號及a與b的關系，從而判斷①，由OA＝5OB及對稱軸可得點B坐標，從而判斷②③④，由x＝﹣2時y取最小值可判斷⑤．
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線對稱軸為直線，
∴b＝4a＞0，
∵拋物線與y軸交點在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，①錯誤．
設拋物線對稱軸與x軸交點為E（﹣2，0），則OE＝2，
∵OA＝5OB，
∴OE＝2OB，即點B坐標為（1，0），
∴x＝1時，y＝a+b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a﹣b+c）＝0，②錯誤．
∵a+b+c＝5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴5a+c＝0，③正確．
當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，④錯誤．
∵x＝﹣2時y取最小值，
∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即am2+bm+2b≥4a，
又∵a＞0，
∴4a≥a，
∴am2+bm+2b≥a，⑤正確．
故選：B．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)與方程及不等式的關系，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．
二、填空題（本大題共4個小題，共12分.把答案寫在題中橫線上）
13．（3分）社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為60°，BC＝9m，則旗桿AC的高度為 9 m．
【分析】依據(jù)題意，直接利用銳角三角函數(shù)關系即可計算得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝9m，tanB＝，
∴AC＝tan60°×9＝9（m），
答：旗桿AC的高度為9m．
故答案為：9．
【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．
14．（3分）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，它的內切圓半徑為，則正六邊形ABCDEF的邊長為 2 ．
【分析】連接OA，OB，過O作OH⊥AB于H，由正六邊形ABCDEF內接于⊙O，它的內切圓半徑為，得到∠AOB＝60°，OH＝，求得OA＝＝＝2根據(jù)等邊三角形的性質得到結論．
【解答】解：連接OA，OB，過O作OH⊥AB于H，
∵正六邊形ABCDEF內接于⊙O，它的內切圓半徑為，
∴∠AOB＝60°，OH＝，
∴OA＝＝＝2
∵OA＝OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB＝OA＝2，
答：正六邊形ABCDEF的邊長為2，
故答案為：2．
【點評】本題考查了正六邊形和圓，等邊三角形的判定與性質，三角函數(shù)，掌握正六邊形的性質是解題的關鍵．
15．（3分）如圖，已知點C、D是以AB為直徑的半圓的三等分點，的長為，則圖中陰影部分的面積為 ．
【分析】連接OC、OD，根據(jù)C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點，可得∠COD＝60°，△OCD是等邊三角形，將陰影部分的面積轉化為扇形OCD的面積，根據(jù)扇形面積公式求解即可．
【解答】解：連接CD、OC、OD．
∵C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，
又∵OA＝OC＝OD，
∴△OAC、△OCD是等邊三角形，
∴∠AOC＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∵的長為，
∴＝，
解得：r＝2，
∴S陰影＝S扇形OCD＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了扇形面積的計算，解答本題的關鍵是將陰影部分的面積轉化為扇形OCD的面積，難度一般．
16．（3分）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點E，CD＝12，BE＝2，則AC弦的長為 6 ．
【分析】設圓的半徑為r，則OA＝OD＝OB＝r，先根據(jù)垂徑定理得到CE＝DE＝6，在Rt△ODE中利用勾股定理得到（r﹣2）2+62＝r2，解方程得r＝10，則OE＝8，然后在Rt△ACE中利用勾股定理計算出AC．
【解答】解：設圓的半徑為r，則OA＝OD＝OB＝r，
∵直徑AB⊥CD于點E，
∴CE＝DE＝CD＝×12＝6，
在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣2，DE＝6，OD＝r，
∴（r﹣2）2+62＝r2，
解得r＝10，
∴OE＝8，
在Rt△ACE中，∵CE＝6，AE＝OA+OE＝10+8＝18，
∴AC＝＝6．
故答案為：6．
【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱舜箯蕉ɡ恚?br>三、解答題（本大題共8個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（7分）如圖，在平整的地面上，用10個棱長都為2cm的小正方體堆成一個幾何體．
（1）求這個幾何體的表面積；
（2）如果現(xiàn)在你還有一些棱長都為2cm的小正方體，要求保持俯視圖和左視圖都不變，最多可以再添加 5 個小正方體．
【分析】（1）先確定出表面正方形的個數(shù)，然后求出表面積即可；
（2）結合三視圖，在俯視圖上的相應位置添加相應數(shù)量的正方體，直至最多即可解答．
【解答】解：（1）主視圖的面積為2×2×7＝28（cm2），左視圖的面積為2×2×5＝20（cm2），俯視圖的面積為2×2×7＝28（cm2），
∴這個幾何體的表面積為（28+20+28）×2+2×2×4＝168（cm2），
（2）要求保持俯視圖和左視圖都不變，最多可以再添加2+1+2＝5（個）正方形．
故答案為：5．
【點評】本題考查簡單組合體的三視圖、幾何體的表面積等知識點，理解三視圖的定義是解題的關鍵．
18．（8分）小明和小亮玩一個游戲：取三張大小、質地都相同的卡片，上面分別標有數(shù)字3、4、5（背面完全相同），現(xiàn)將標有數(shù)字的一面朝下．小明從中任意抽取一張，記下數(shù)字后放回洗勻，然后小亮從中任意抽取一張，計算小明和小亮抽得的兩個數(shù)字之和．
（1）請你用畫樹狀圖或列表的方法，求出這兩數(shù)和為8的概率．
（2）如果和為奇數(shù)，則小明勝；若和為偶數(shù)，則小亮勝．你認為這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎？做出判斷，并說明理由．
【分析】（1）首先根據(jù)題意列表，然后根據(jù)表求得所有等可能的結果與兩數(shù)和為8的情況，再利用概率公式求解即可；
（2）分別求出和為奇數(shù)、和為偶數(shù)的概率，即可得出游戲的公平性．
【解答】解：（1）列表如下：
總共有9種結果，每種結果出現(xiàn)的可能性相同，而兩數(shù)和為8的結果有3種，
因此P（兩數(shù)和為8）＝；
（2）這個游戲規(guī)則對雙方不公平．
理由：因為P（和為奇數(shù)）＝，P（和為偶數(shù)）＝，
因為，
所以這個游戲規(guī)則對雙方是不公平的．
【點評】此題考查了列表法求概率．注意樹狀圖與列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情況．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
19．（8分）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點A（m，2）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）把直線向上平移3個單位長度與的圖象交于點B，連接AB，OB，求△AOB的面積．
【分析】（1）待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；
（2）先得到平移后直線解析式，聯(lián)立方程組求出點B坐標，根據(jù)平行線間的距離可得S△AOB＝S△ADO，代入數(shù)據(jù)計算即可．
【解答】解：（1）∵點A（m，2）在正比例函數(shù)圖象上，
∴﹣，解得m＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
∵A（﹣4，2）在反比例函數(shù)圖象上，
∴k＝﹣8，
∴反比例函數(shù)解析式為y2＝﹣，
（2）把直線向上平移3個單位得到解析式為y＝﹣，
令x＝0，則y＝3，
∴記直線與y軸交點坐標為D（0，3），連接AD，
聯(lián)立方程組，
解得（舍去），，
∴B（﹣2，4），
由題意得：BD∥AO，
∴△AOB，△AOD同底等高，
∴．
【點評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的平移等知識，熟練掌握函數(shù)的平移法則是關鍵．
20．（8分）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現(xiàn)碳達峰、2060年前實現(xiàn)碳中和．甘肅省風能資源豐富，風力發(fā)電發(fā)展迅速．某學習小組成員查閱資料得知，在風力發(fā)電機組中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設計參數(shù)．于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動．如圖．已知一風電塔筒AH垂直于地面，測角儀CD，EF在AH兩側．CD＝EF＝1.8m，點C與點E相距189m（點C，H，E在同一條直線上）．在D處測得塔尖頂點A的仰角為45°，在F處測得塔尖頂點A的仰角為53°．求風電塔筒AH的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，.）
【分析】連接DF交AH于點G，根據(jù)題意可得：CD＝EF＝GH＝1.8m，DF＝CE＝189m，DF⊥AH，然后設DG＝x m，則FG＝（189﹣x）m，分別在Rt△ADG和Rt△AFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG的長，從而列出關于x的方程，進行計算即可解答．
【解答】解：連接DF交AH于點G，
由題意得：CD＝EF＝GH＝1.8m，DF＝CE＝189m，DF⊥AH，
設DG＝x m，
∴FG＝DF﹣DG＝（189﹣x）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，
∴AG＝DG?tan45°＝x（m），
在Rt△AFG中，∠AFG＝53°，
∴AG＝FG?tan53°≈（189﹣x）m，
∴x＝（189﹣x），
解得：x＝108，
∴AG＝108m，
∴AH＝AG+GH＝108+1.8＝109.8（m），
∴風電塔筒AH的高度約為109.8m．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
21．（9分）學校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長42m，籬笆長80m，設垂直于墻的邊AB長為x米，平行于墻的邊BC為y米，圍成的矩形面積為S m2．
（1）求y與x，S與x的關系式．
（2）圍成的矩形花圃面積能否為600m2，若能，求出x的值．
（3）圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值．
【分析】（1）根據(jù)AB+BC+CD＝80可求出y與x的關系式；再根據(jù)矩形的面積得出S與x的關系式；
（2）根據(jù)矩形花圃面積為600m2得一元二次方程，判斷此方程有解，再解方程即可；
（3）求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質確定函數(shù)的最大值即可．
【解答】解：（1）由題意得，y＝80﹣2x；
S＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x；
∴y與x的關系式為y＝80﹣2x；S與x的關系式為s＝﹣2x2+80x；
（2）圍成的矩形花圃面積能為600m2，
令S＝600，則﹣2x2+80x＝600，
整理得：x2﹣40x+30＝0，
解得x1＝10，x2＝30，
∵墻長42m，
∴0＜80﹣2x≤42，
解得19≤x＜40，
∴x＝30，
∴圍成的矩形花圃面積能為600m2，此時x＝30；
（3）S＝（80﹣2x）x＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，
∵﹣2＜0，
∴s有最大值，
又19≤x＜40，
∴當x＝20時，S取得最大值，此時s＝800，
∴圍成的矩形花圃面積存在最大值，最大值為800m2，此時x的值為20．
【點評】本題主要考查一元二次方程的應用和二次函數(shù)的實際應用，找出數(shù)量關系列出方程和函數(shù)解析式是解題的關鍵．
22．（10分）在如圖所示的平面直角坐標系中，有一斜坡OA，從點O處拋出一個小球，落到點A（3，）處．小球在空中所經過的路線是拋物線y＝﹣x2+bx的一部分．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線最高點的坐標；
（3）斜坡上點B處有一棵樹，點B是OA的三等分點，小球恰好越過樹的頂端C，求這棵樹的高度．
【分析】（1）依據(jù)題意，由點 是拋物線 y＝﹣x2+bx 上的一點，從而可得，求出b后即可得解；（2）依據(jù)題意，由拋物線為，進而可以得解；
（3）依據(jù)題意，過點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別是點E、D，又∠BOD＝∠AOE，∠BDO＝∠AEO，進而△OBD∽△OAE，故，又點B是OA的三等分點，從而分兩種情形進行判斷，求出C的縱坐標后，進而可以判斷得解．
【解答】解：（1）由題意，∵點 是拋物線 y＝﹣x2+bx 上的一點，
∴．
∴．
∴．
∴拋物線的解析式為．
（2）由題意，∵拋物線為，
∴拋物線最高點的坐標為．
（3）由題意，過點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別是點E、D，
又∠BOD＝∠AOE，∠BDO＝∠AEO，
∴△OBD∽△OAE．
∴．
由點B是OA的三等分點，
①當B在靠近O時，．
∵，
∴，OE＝3．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴＝1．
∴點C的橫坐標為1．
將x＝1代入 ，
∴．
∴點C的坐標為 ．
∴．
∴．
②當B在靠近A時，＝．
∵，
∴，OE＝3．
∴＝＝．
∴BD＝AE＝1．
又∵＝＝，
∴OD＝OE＝2．
∴點C的橫坐標為2．
將x＝2代入 ，
∴y＝3．
∴點C的坐標為（2，3）．
∴CD＝3．
∴CB＝CD﹣BD＝3﹣1＝2．
答：這棵樹的高度是2．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，解題時要熟練掌握并靈活運用二次函數(shù)的性質是關鍵．
23．（10分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在AC上，以OC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，且BD＝BC．
（1）求證：AB是⊙O的切線．
（2）連接OB交⊙O于點F，若AD＝2，AE＝2，求CF弧的長．
【分析】（1）連接OD，利用全等三角形的性質得出∠ODB＝90°即可解決問題．
（2）利用勾股定理求出⊙O的半徑，再求出∠COF的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式即可解決問題．
【解答】（1）證明：連接OD，
在△BOD和△BOC中，
，
∴△BOD≌△BOC（SSS），
∴∠BDO＝∠BCO，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BDO＝90°，
即OD⊥AB，
又∵點D在⊙O上，
∴AB是⊙O的切線；
（2）解：令⊙O的半徑為r，
在Rt△AOD中，AD2+OD2＝OA2，
∴（2）2+r2＝（r+2）2，
解得r＝2，
∴AO＝4，
∴sinA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠DOC＝120°．
又∵△BOD≌△BOC，
∴∠DOB＝∠COB＝60°，
∴弧CF的長為：＝．
【點評】本題主要考查了切線的判定與性質、勾股定理及弧長的計算，熟知切線的判定與性質、勾股定理及弧長的計算公式是解題的關鍵．
24．（12分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經過點A（2，5），對稱軸為直線．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）若點B（﹣1，7）向上平移2個單位長度，向右平移m（m＞0）個單位長度后，恰好落在y＝x2+bx+c的圖象上，求m的值；
（3）當n≤x≤2時，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．
【分析】（1）把點A坐標代入二次函數(shù)解析式求得2b+c＝1，再根據(jù)二次函數(shù)對稱軸為x＝﹣＝求出b值，進而求出c值．
（2）通過點B平移求出其變換后的坐標，再代入二次函數(shù)解析式即可求出m的值．
（3）根據(jù)n≤x≤2和二次函數(shù)對稱軸的位置關系進行分類討論，求出二次函數(shù)相應的最大值和最小值，再由兩者之差來判斷n的取值范圍是否符合題意．
【解答】解：（1）把點A坐標代入二次函數(shù)解析式得：5＝22+2b+c，整理得2b+c＝1．
根據(jù)二次函數(shù)圖象對稱軸為：x＝﹣＝，則b＝﹣1．
∴2×（﹣1）+c＝1，
∴c＝3．
故二次函數(shù)表達式為y＝x2﹣x+3．
（2）根據(jù)題意點B向上平移2個單位長度，向右平移m（m＞0）個單位長度后，其橫坐標為（﹣1+m），縱坐標為7+2＝9．
再代入y＝x2﹣x+3得：9＝（m﹣1）2﹣（m﹣1）+3．
整理得：m2﹣3m﹣4＝0．
解得，m＝4或﹣1．
∵m＞0，
∴m＝4．
（3）對于二次函數(shù)y＝x2﹣x+3，其圖象拋物線對稱軸為，開口向上．點（2，0）關于直線的對稱點為（﹣1，0）．
①當n＞時：
由于n≤x≤2．
故x＝n時二次函數(shù)值最小，ymin＝n2﹣n+3；
x＝2時二次函數(shù)值最大，ymax＝22﹣2+3＝5，
∴5﹣（n2﹣n+3）＝，解得n＝．
故n＞時不符合題意．
②當﹣1≤n≤時：
x＝時二次函數(shù)值最小，ymin＝（）2﹣+3＝；
x＝2時二次函數(shù)值最大，ymax＝22﹣2+3＝5，
∵ymax﹣ymin＝5﹣＝，
∴﹣1≤n≤時符合題意．
③當n＜﹣1時：
x＝時二次函數(shù)值最小，ymin＝（）2﹣+3＝；
故x＝n時二次函數(shù)值最大，ymax＝n2﹣n+3．
∵ymax﹣ymin＝n2﹣n+3﹣＝，n＝2或﹣1，不符合題意．
綜上可得n的取值范圍為：﹣1≤n≤．題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
C
C
C
D
B
C
B
D
A
題號
12
答案
B
直行
左轉
右轉
直行
（直行，直行）
（直行，左轉）
（直行，右轉）
左轉
（左轉，直行）
（左轉，左轉）
（左轉，右轉）
右轉
（右轉，直行）
（右轉，左轉）
（右轉，右轉）
小亮和小明
3
4
5
3
3+3＝6
4+3＝7
5+3＝8
4
3+4＝7
4+4＝8
5+4＝9
5
3+5＝8
4+5＝9
5+5＝10

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