一、單選題（每小題5分，共40分）
1. 空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.
【詳解】點(diǎn)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得中得為：，即.
故選A.
2. 某班會(huì)課上，班主任擬從甲、乙，丙、丁、戊五名同學(xué)選3人以新冠疫情為主題分享體會(huì)，則甲沒被選中的概率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】計(jì)算出選擇的所有可能結(jié)果，然后計(jì)算沒有甲的可能結(jié)果，最后根據(jù)古典概型計(jì)算即可.
【詳解】從5人中選3人出來總共有10種不同的選法，每種選法的可能性相同，
其中甲不被選中的可能結(jié)果有：乙丙丁、乙丙戊、乙丁戊、丙丁戊，
所以概率為．
故選：B
3. 平行六面體中，若，則（ ）
A. B. 1C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算，表示出，和已知比較可求得的值，進(jìn)而求得答案.
【詳解】在平行六面體中，
有，故由題意可知：，
即，所以，
故選：D.
4. 某小組有2名男生和3名女生，從中任選2名學(xué)生去參加唱歌比賽，在下列各組事件中，是互斥事件的是（ ）
A. 恰有1名女生和恰有2名女生B. 至少有1名男生和至少有1名女生
C. 至少有1名女生和全是女生D. 至少有1名女生和至多有1名男生
【正確答案】A
【分析】根據(jù)互斥事件的定義判斷即可.
【詳解】依題意可能出現(xiàn)名男生、名男生名女生、名女生；
對于A：恰有1名女生即選出的兩名學(xué)生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他們不可能同時(shí)發(fā)生，故是互斥事件，故A正確；
對于B：當(dāng)選出的兩名學(xué)生中有一名男生一名女生，則至少有1名男生和至少有1名女生都發(fā)生了，故不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；
對于C：至少有1名女生包含有一名男生一名女生與全是女生，
所以當(dāng)全是女生時(shí)，至少有1名女生和全是女生都發(fā)生了，故不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；
對于D：至少有1名女生包含有一名男生一名女生與全是女生，
至多有1名男生包含有一名男生一名女生與全是女生，
故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D錯(cuò)誤.
故選：A
5. 據(jù)某地區(qū)氣象局發(fā)布的氣象數(shù)據(jù)，未來某十天內(nèi)該地區(qū)每天最高溫度（單位：℃）分別為：31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為（ ）
A. 27B. 26.5C. 25.5D. 25
【正確答案】C
【分析】先將所給數(shù)據(jù)按 小到大排序，再根據(jù)百分位數(shù)的定義求第40百分位數(shù).
【詳解】先將這些數(shù)據(jù)按照從小到大進(jìn)行排序，分別為23，24，24，25，26，26，26，27，29，31，
又，所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為排序后的數(shù)列的第4個(gè)數(shù)和第5個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，
故選：C．
6. 在棱長為的正方體中，求棱的中點(diǎn)到平面的距離（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法進(jìn)行求解即可.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
即，令，解得，故，
所以棱的中點(diǎn)到平面的距離，
故選：B.
7. 據(jù)統(tǒng)計(jì)，我國牛、羊肉集貿(mào)市場價(jià)格在2019年波動(dòng)幅度較大，2020年開始逐漸趨于穩(wěn)定.如下圖分別為2019年1月至2020年3月，我國牛肉、羊肉集貿(mào)市場月平均價(jià)格大致走勢圖，下列說法不正確的是（ ）
A. 2019年1月至2020年3月，牛肉與羊肉月平均價(jià)格漲跌情況基本一致
B. 2019年3月開始至當(dāng)年末，牛肉與羊肉的月平均價(jià)格都一直持續(xù)上漲
C. 2019年7月至10月牛肉月平均價(jià)格的平均增量高于2020年1至2月的增量
D. 同期相比，羊肉的月平均價(jià)格一定高于牛肉的月平均價(jià)格
【正確答案】D
【分析】根據(jù)圖像數(shù)據(jù)分析即可求解.
【詳解】根據(jù)圖像的大致走勢即可判斷牛肉與羊肉月平均價(jià)格的漲跌情況基本一致，故選項(xiàng)A正確；
根據(jù)圖像中的數(shù)據(jù)比較可知2019年3月開始至當(dāng)年末，牛肉與羊肉的月平均價(jià)格，數(shù)據(jù)越來越大，都一直持續(xù)上漲，故選項(xiàng)B正確；
2019年7月至10月牛肉月平均價(jià)格的平均增量為，2020年1至2月牛肉增量為，故選項(xiàng)C正確；
2019年8月牛肉月平均價(jià)格為，2019年8月羊肉月平均價(jià)格為，所以同期相比，羊肉的月平均價(jià)格也可能會(huì)低于牛肉的月平均價(jià)格，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：D.
8. 在兩條異面直線，上分別取點(diǎn)，和點(diǎn)，，使，且.已知，，，，則兩條異面直線，所成的角為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】設(shè)兩條異面直線，所成的角為，將等式兩邊同時(shí)平方計(jì)算可得答案．
【詳解】如圖，設(shè)兩條異面直線，所成的角為，
，，，，，，
，
則
，
得或（舍去）
故選：B
二、多選題（每小題6分，共18分，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子所得的樣本空間為，令事件，，，則下列說法中錯(cuò)誤的有（ ）
A. A與B獨(dú)立B. A與C獨(dú)立C. B與C獨(dú)立D.
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)事件相互獨(dú)立的定義和事件之間的關(guān)系的定義判斷即可.
【詳解】由題意得，則，，，，．故只有A與C獨(dú)立．B正確.
事件，，滿足，D正確.
故選：AC
10. 為了解學(xué)生名著的年閱讀量（單位：本），某班調(diào)查了12名男生，其年閱讀量的平均數(shù)為4，方差為9；調(diào)查了8名女生，其年閱讀量的平均數(shù)為7，方差為15，若將這20名學(xué)生合在一起組成一個(gè)容量為20的樣本，則該樣本數(shù)據(jù)的（ ）
A. 平均數(shù)為5.5B. 平均數(shù)為5.2
C. 方差為13.56D. 方差為14.56
【正確答案】BC
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和方差公式即可求解．
【詳解】由題意該樣本的平均數(shù)，故A錯(cuò)誤，B正確；
方差，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 在棱長為的正方體中中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題正確的是（ ）

A. 異面直線和所成的角為定值
B. 直線和平面平行
C. 三棱錐的體積為定值
D. 直線和平面所成的角為定值
【正確答案】ABC
【分析】由線面垂直的判定可證得平面，由線面垂直性質(zhì)可知A正確；根據(jù)，結(jié)合線面平行的判定可得B正確；結(jié)合平行關(guān)系，可由體積橋得到，由此可得C正確；根據(jù)線面角的定義可確定所求角，根據(jù)正切值不為定值可知D錯(cuò)誤.
【詳解】對于A，四邊形為正方形，；
平面，平面，，
又平面，，平面，
平面，，異面直線和所成角為定值，A正確；
對于B，，平面，平面，
平面，又平面，平面即為平面，
平面，B正確；
對于C，由B知：平面，，
平面平面，平面，平面，
，，
即三棱錐的體積為定值，C正確；
對于D，設(shè)，

由A知：平面，即為直線和平面所成的角，
，
不是定值，不是定值，即直線和平面所成的角不是定值，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
三、填空題（每小題5分，共15分）
12. 已知一組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)為3，方差為2，由生成一組新的樣本數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為______；樣本方差為______.
【正確答案】 ① 7； ②. 8.
【分析】由期望、方差性質(zhì)直接計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)樣本平均數(shù)為3，方差為2，
所以數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)為，方差為.
故7；8
13. 已知空間向量、滿足，，，則向量、的夾角為______.
【正確答案】
【分析】利用空間向量的垂直關(guān)系求出的值，再利用空間向量數(shù)量積求出，結(jié)合向量夾角的取值范圍可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榭臻g向量、滿足，，，
則，可得，
所以，，
因?yàn)?，故?br>所以，向量、的夾角為.
故答案為.
14. 甲?乙?丙三名運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率分別為和，現(xiàn)甲?乙?丙三名運(yùn)動(dòng)員各投籃一次，則至少有兩人命中的概率為___________.
【正確答案】##
【分析】根據(jù)題意分為恰好兩人命中和三人都命中，由相互獨(dú)立事件的概率公式分別求出其概率，即可得到答案.
【詳解】記“至少有兩人命中”為事件，
則
故
四、解答題
15. 如圖，在直三棱柱中，，，，，是中點(diǎn).

（1）試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；
（2）求的長
（3）求證.
【正確答案】（1）坐標(biāo)系見解析，，
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，即可得到所求點(diǎn)的坐標(biāo).
（2）根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可..
（3）根據(jù)，即可證明結(jié)論.
【小問1詳解】
以坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.

所以，
【小問2詳解】
，，，
.
【小問3詳解】
，.
，，，所以.
16. 有五張卡片,其中紅色卡片三張,標(biāo)號(hào)分別為1,2,3;藍(lán)色卡片兩張,標(biāo)號(hào)分別為1,2.
（1）將紅色卡片和藍(lán)色卡片分別放在兩個(gè)袋中，然后從兩個(gè)袋中各取一張卡片，求兩張卡片數(shù)字之積為偶數(shù)的概率
（2）將五張卡片放在一個(gè)袋子中，從中任取兩張，求兩張卡片顏色不同的概率
【正確答案】（1） （2）
【分析】
古典概型的概率等于滿足事件A的基本事件的個(gè)數(shù)與基本事件總數(shù)之比，解決此類題目，一般用列舉法.
【詳解】（1）將紅色卡片和藍(lán)色卡片分別放在兩個(gè)袋中，然后從兩個(gè)袋中各取一張卡片的所有可能情況有如下6種：紅1藍(lán)1，紅1藍(lán)2，紅2藍(lán)1，紅2藍(lán)2，紅3藍(lán)1，紅3藍(lán)2.
其中兩張卡片數(shù)字之積為偶數(shù)有4種：紅1藍(lán)2，紅2藍(lán)1，紅2藍(lán)2，紅3藍(lán)2.
故所求的概率為.
（2）將五張卡片放在一個(gè)袋子中，從中任取兩張的所有情況有如下10種：紅1紅2，紅1紅3，紅1藍(lán)1，紅1藍(lán)2，紅2紅3，紅2藍(lán)1，紅2藍(lán)2，紅3藍(lán)1，紅3藍(lán)2，藍(lán)1藍(lán)2.
其中兩張卡片顏色不同的情況有6種：紅1藍(lán)1，紅1藍(lán)2，紅2藍(lán)1，紅2藍(lán)2，紅3藍(lán)1，紅3藍(lán)2.故所求的概率為.
本題主要考查古典概型的問題，屬于基礎(chǔ)題.
17. 2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州成功舉辦，中國跳水運(yùn)動(dòng)小將全紅嬋備受大家關(guān)注.某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解杭州市民對亞運(yùn)會(huì)跳水項(xiàng)目的認(rèn)知程度，舉辦了一次“亞運(yùn)會(huì)跳水項(xiàng)目”知識(shí)競賽，隨機(jī)抽取了1000名參賽者，發(fā)現(xiàn)他們的成績都在40～100分之間，將他們的成績分成40,50，50,60，60,70，，80,90，90,100六組，并制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求a的值以及這1000人競賽成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；
（2）用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從80,90，90,100中抽取6人，并從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行采訪，求接受采訪的2人中有人成績在90,100的概率.
【正確答案】（1），平均數(shù)為分
（2）
【分析】（1）根據(jù)頻率之和為求得，根據(jù)平均數(shù)的求法求得平均數(shù).
（2）根據(jù)分層抽樣、古典概型等知識(shí)求得正確答案.
【小問1詳解】
依題意，，解得，
平均數(shù)為.
【小問2詳解】
的頻率為，的頻率為，
所以從中抽取人，記為，
在中抽取人，記為，
從中任選人，基本事件有：，
，共種，
其中接受采訪的2人中有人成績在的有，
共種，所以接受采訪的2人中有人成績在的概率為.
18. 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，，，頂點(diǎn)P在底面ABCD的正投影為AD的中點(diǎn)O.
（1）求證：平面PAC⊥平面POB
（2）若平面PAB與平面PCD的交線為l，，求l與平面PAC所成角的大小.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）證明，再由線面垂直的性質(zhì)定理得，從而得線面垂直，然后可得面面垂直；
（2）由線面平行的判定定理與性質(zhì)定理證明，因此求得直線與平面所成角即可，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角．
【小問1詳解】
證明：在Rt△ABC中，，在Rt△AOB中，，
則，于是，
所以
因?yàn)镻O⊥平面ABCD，平面，則；
又，平面，所以AC⊥平面POB，
而AC平面PAC，所以PAC⊥平面POB
【小問2詳解】
因?yàn)椋珹B平面PCD，CD平面PCD，
所以AB//平面PCD，.
又平面PAB平面，AB平面PCD，所以.
則l與平面PAC所成角的正弦值等于AB與平面PAC所成角的正弦值..
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），P（0，，），B（2，0，0），C（2，2，0），
所以，，.
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，即，即，
令，得.
設(shè)l與平面PAC所成角為，則，.
又因?yàn)?，所以l與平面PAC所成角為.
19. 如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【正確答案】（1）證明見詳解；
（2）
【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；
（2）作交于，連接，易證三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫?br>平面，所以平面；
【小問2詳解】
如圖所示，作交于，連接，
因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以?br>結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，
所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，為中點(diǎn)，所以，
四邊形為平行四邊形，，
所以為等腰三角形，與底邊上中點(diǎn)重合，，，
因?yàn)?，所以，所以互相垂直?br>以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，
，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，
平面的法向量為n=x2,y2,z2，
則，即，令，得，即m=3,3,1，
則，即，令，得，
即，，則，
故二面角的正弦值為.

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