1. 已知是關(guān)于x的方程的一個根，，則（ ）
A. 0B. 2C. 1D. 4
2. 已知直線和直線，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 設是虛數(shù)單位，是復數(shù)的共軛復數(shù)，若，則=
A. B. C. D.
4. 已知點， 若直線與線段AB 相交，則a的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若點在直線上，則點到點的距離之和的最小值為（ ）
A. B. C. D.
6. 如圖，在直三棱柱中，，點為側(cè)棱上的動點．當最小時，三棱錐的體積為（ ）
A. 1B. C. D.
7. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對角線與的交點，若，則三棱錐的外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖，若P是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當P在平面內(nèi)運動時，四棱錐的體積變化
B. 當P在線段上運動時，與所成角的取值范圍是
C. 使直線與平面所成的角為45°的點P的軌跡長度為
D. 若F是棱的中點，當P在底面內(nèi)運動，且滿足平面時，長度的最小值是
二．多選題（6分×3=18分）
9. 下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 直線恒過定點
B. 直線的傾斜角的取值范圍是
C. 經(jīng)過點，的直線方程均可用表示
D. 直線和都經(jīng)過點，則過兩點，的直線方程為
10. 下面四個結(jié)論正確是（ ）
A. 已知向量，，若，則為鈍角
B. 已知，，則向量在向量上的投影向量是
C. 若直線經(jīng)過第三象限，則，
D. 已知，，三點不共線，對于空間任意一點，若，則，，，四點共面
11. 在正三棱柱中，，點滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. 當時，點在棱上
B. 當時，點到平面的距離為定值
C. 當時，點在以中點為端點的線段上
D. 當時，平面
三．填空題（5分×3=15分）
12. 已知直線經(jīng)過點，且在軸上的截距是在軸上截距的兩倍，則直線的方程為________．
13. 過定點且傾斜角是直線傾斜角的兩倍的直線方程為________.
14. 已知矩形，，，沿對角線將折起，使得，則二面角的余弦值是__________________
四．解答題（13分+15分+15分+17分+17分=77分）
15. （1）經(jīng)過點，且與直線垂直的直線一般式方程.
（2）求過點，且與直線平行的直線的一般式方程；
（3）求過點，且在軸上的截距與在軸上的截距之和為2的直線斜率.
16. 已知一條動直線，
（1）求直線恒過定點的坐標；
（2）若直線不經(jīng)過第二象限，求m的取值范圍；
（3）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，的面積為6，求直線的方程.
17. 如圖，在三棱柱中，平面，為線段上的一點．
（1）求證:平面；
（2）求直線與直線所成角的余弦值；
（3）若直線與平面所成角為，求點到平面距離．
18. 如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成角為，四邊形是梯形，．

（1）證明：平面平面；
（2）若點T是的中點，點M是的中點，求點P到平面的距離．
（3）點是線段CD上的動點，上是否存在一點M，使平面，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由．
19. 如圖1，是邊長為3的等邊三角形，點、分別在線段、上，，，沿將折起到的位置，使得，如圖2．

（1）求證：平面平面；
（2）若點在線段上，且，，求直線與平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的條件下，判斷線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
2024-2025學年江西省宜春市高二上學期11月月考數(shù)學檢測試卷
一．單選題（5分×8=40分）
1. 已知是關(guān)于x的方程的一個根，，則（ ）
A. 0B. 2C. 1D. 4
【正確答案】D
【分析】根據(jù)實系數(shù)一元二次方程根的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可.
【詳解】因為是關(guān)于x的方程的一個根，，
所以是關(guān)于x的方程的一個根，
于是有，
故選：D
2. 已知直線和直線，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)的充要條件求得或，再由充分條件、必要條件的概念得解.
【詳解】若，則，解得或．
若，則直線，直線，可知；
若，則直線，直線，可知，
綜上所述：或．
所以“”是“”的充分不必要條件．
故選：A
3. 設是虛數(shù)單位，是復數(shù)的共軛復數(shù)，若，則=
A. B. C. D.
【正確答案】A
【詳解】令，
由即
所以
故選擇A
【考點定位】考查復數(shù)的運算，共軛復數(shù)的概念，以及復數(shù)相等問題.
4. 已知點， 若直線與線段AB 相交，則a的取值范圍是（ ）
A. B.
C D.
【正確答案】D
【分析】由已知可得直線過定點，求得，，數(shù)形結(jié)合可求的取值范圍.
【詳解】由直線方程，可知直線過定點，
，，
作出示意圖如圖所示：直線與線段相交，

則可得或，解得或，
所以的取值范圍是.
故選：D.
5. 若點在直線上，則點到點的距離之和的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】求出點關(guān)于直線對稱的點為，則，由兩點間距離公式計算，可得答案.
【詳解】由已知，設關(guān)于直線的對稱點為，
則解得，即，
所以．
故選：B.
6. 如圖，在直三棱柱中，，點為側(cè)棱上的動點．當最小時，三棱錐的體積為（ ）
A. 1B. C. D.
【正確答案】C
【分析】如圖，將直三棱柱展開成矩形，連結(jié)交于，此時最小，則，利用等體積法和棱錐的體積公式計算即可求解.
【詳解】將直三棱柱展開成矩形，
如下圖，連接，交于，此時最小，
∵，則，而，
由且都在面，則面，
又，則面，即面，
點為側(cè)棱上的動點，當最小時，即，得，
又為直角三角形，此時三棱錐的體積為：
.
故選：C
7. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對角線與的交點，若，則三棱錐的外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】利用空間幾何體及球的特征確定球心，結(jié)合球體體積公式計算即可.
【詳解】
因為底面，底面，即，
根據(jù)題意可知為等邊三角形，為直角三角形，
而，
則，
取的中點，連接，所以，
易知，則，
所以三棱錐的外接球的球心為F，
，
∴該外接球的體積為.
故選：B
8. 如圖，若P是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當P在平面內(nèi)運動時，四棱錐的體積變化
B. 當P在線段上運動時，與所成角的取值范圍是
C. 使直線與平面所成的角為45°的點P的軌跡長度為
D. 若F是棱的中點，當P在底面內(nèi)運動，且滿足平面時，長度的最小值是
【正確答案】D
【分析】對A，點P在平面內(nèi)運動時，四棱錐的底面積和高均不變，所以體積不變；對B，D，建系利用向量法求解；對C，根據(jù)線面角的定義，討論點在各個表面的情況求解得答案.
【詳解】對于A，因為底面正方形的面積不變，點P到平面的距離為正方體棱長，
所以四棱錐的體積不變，故A錯誤；
對于B，如圖①，以D為坐標原點，，，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
可得，，.設，，
則，.
設直線與所成角為θ，則，
因為，當時，可得，所以；
當時，，所以，
所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以B錯誤；
對于C，已知直線與平面所成的角為45°，若點P在平面和平面內(nèi)，
因為，最大，點P僅在點；若點P在平面內(nèi)，
則點P的軌跡長度是；若點P在平面內(nèi)，則點P的軌跡長度是；
若點P在平面內(nèi)，作平面，如圖②所示，
因為，所以.
因為，所以，所以，
所以點P的軌跡是以點A1為圓心，以2為半徑的四分之一圓，
所以點P的軌跡長度為.
綜上，點P的軌跡總長度為，故C錯誤；
對于D，如圖③，由前面建系得，，，，
設，，，
則，，.
設平面的法向量為，
則，令，則，所以.
因為平面，所以，可得，
所以，
當時，等號成立，故D正確．
故選：D.
二．多選題（6分×3=18分）
9. 下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 直線恒過定點
B. 直線的傾斜角的取值范圍是
C. 經(jīng)過點，的直線方程均可用表示
D. 直線和都經(jīng)過點，則過兩點，直線方程為
【正確答案】ACD
【分析】對于A：將直線方程化為點斜式方程即可判斷；對于B：首先求出斜率范圍，進而得到傾斜角范圍；對于C：利用兩點式即可判斷；對于D：將點代入兩個方程分析兩個方程的即可判斷.
【詳解】對于A，直線，即，直線恒過定點，故A正確；
對于B，直線的斜率，設直線的傾斜角為，則,所以，故B錯誤；
對于C，經(jīng)過點，的直線方程均可用表示，故C正確；
對于D，直線和都經(jīng)過點，則
所以點，的直線方程為上，故D正確.
故選：ACD.
10. 下面四個結(jié)論正確的是（ ）
A. 已知向量，，若，則為鈍角
B. 已知，，則向量在向量上投影向量是
C. 若直線經(jīng)過第三象限，則，
D. 已知，，三點不共線，對于空間任意一點，若，則，，，四點共面
【正確答案】BD
【分析】取可得，進而得到A錯誤；由投影向量的計算可得B正確；令可得C錯誤；由空間向量共面定理可得D正確；
【詳解】對于A，當時，，，，
此時為，故A錯誤；
對于B，向量在向量上的投影向量為，故B正確；
對于C，令，則直線為，且經(jīng)過第三象限，
但此時，故C錯誤；
對于D，因為，，
所以由向量共面定理的推論可得，，，四點共面，故D正確；
故選：BD.
11. 在正三棱柱中，，點滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. 當時，點在棱上
B. 當時，點到平面的距離為定值
C. 當時，點在以的中點為端點的線段上
D. 當時，平面
【正確答案】BCD
【分析】對于A，由即可判斷；對于B，由和平面即可判斷；對于C，分別取和的中點和，由即即可判斷；對于D，先求證平面，接著即可求證平面，進而即可求證平面.
【詳解】對于A，當時，，
又，所以即，又，
所以三點共線，故點在上，故A錯誤；
對于B，當時，，
又，所以即，又，
所以三點共線，故點在棱上，
由三棱柱性質(zhì)可得平面，所以點到平面的距離為定值，故B正確；
對于C，當時，取的中點的中點，
所以且，，即，
所以即，又，
所以三點共線，故在線段上，故C正確；
對于D，當時，點為的中點，連接，
由題為正三角形，所以，又由正三棱柱性質(zhì)可知，
因為，平面，所以平面，
又平面，所以，
因為，所以，又，
所以，所以，
所以，
設與相交于點O，則，即，
又，平面，
所以平面，因為平面，
所以，由正方形性質(zhì)可知，
又，平面，
所以平面，故D正確.
故選：BCD.
思路點睛：對于求證平面，可先由和得平面，從而得，接著求證得平面，進而，再結(jié)合即可得證平面.
三．填空題（5分×3=15分）
12. 已知直線經(jīng)過點，且在軸上的截距是在軸上截距的兩倍，則直線的方程為________．
【正確答案】或
【分析】分截距為和截距不為兩種情況討論，再分別利用直線的點斜式和截距式，即可求解.
【詳解】因為直線經(jīng)過點，且在軸上的截距是在軸上截距的兩倍，
當截距時，斜率為，此時直線方程為，即，
當截距不為時，由題可設直線方程為，又直線過點，
所以，得到，故直線方程為，即，
故或.
13. 過定點且傾斜角是直線傾斜角的兩倍的直線方程為________.
【正確答案】
【分析】由已知直線的斜率，利用正弦的二倍角公式得到所求直線的斜率，點斜式求出直線方程.
【詳解】直線的斜率為，
設直線的傾斜角為，可得，
即可得，所以所求直線的斜率為，
所求直線方程為，即，
故答案為.
14. 已知矩形，，，沿對角線將折起，使得，則二面角的余弦值是__________________
【正確答案】##-0.5
【分析】過和分別作，，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，利用向量數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化求解即可．
【詳解】過和分別作，，
，，
，
，
，
則，即，
，
，
，
，
二面角的余弦值為，
故答案為.
四．解答題（13分+15分+15分+17分+17分=77分）
15. （1）經(jīng)過點，且與直線垂直的直線一般式方程.
（2）求過點，且與直線平行的直線的一般式方程；
（3）求過點，且在軸上的截距與在軸上的截距之和為2的直線斜率.
【正確答案】（1）；（2）；（3）或.
【分析】（1）（2）根據(jù)給定條件，設出直線方程，再利用待定系數(shù)法求出直線方程.
（3）根據(jù)給定條件，利用直線方程的截距式，再利用待定系數(shù)法求出直線的橫縱截距，進而求出直線的斜率.
【詳解】（1）設與直線垂直的直線方程為，又該直線過點，
則，解得，
所以所求直線方程為.
（2）設與直線平行的直線方程為，
又該直線過點，則，解得，
所以所求直線方程為.
（3）顯然直線不過原點，設其方程為，則，
整理得，即，因此，解得，
而直線，即，其斜率，
所以所求直線的斜率為或.
16. 已知一條動直線，
（1）求直線恒過的定點的坐標；
（2）若直線不經(jīng)過第二象限，求m的取值范圍；
（3）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，的面積為6，求直線的方程.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）將直線整理成直線系方程，求出定點坐標即可；
（2）由直線不經(jīng)過第二象限，分類整合求出m的取值范圍即可.
（3）由題意設出直線的截距式方程，代入定點，解出方程再化成一般式即可.
【小問1詳解】
由題意，
整理得，所以不管取何值時，
直線恒過定點的坐標滿足方程組，解得，
即
【小問2詳解】
由上問可知直線恒過定點，當，直線斜率不存在時，
此時直線是，顯然滿足題意；
當時，由直線不經(jīng)過第二象限，直線與軸有交點時，
則縱截距小于或等于零即可，令，則，
即 ，解得；
綜上所述：
【小問3詳解】
設直線方程為，則，
由直線恒過定點，得，
由整理得：，
解得或，
所以直線方程為：或，
即或，
又直線的斜率，
所以不合題意，
則直線方程為.
17. 如圖，在三棱柱中，平面，為線段上的一點．
（1）求證:平面；
（2）求直線與直線所成角的余弦值；
（3）若直線與平面所成角為，求點到平面的距離．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【分析】（1）借助線面平行的性質(zhì)定理推導即可得；
（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算公式可得，即可得其所成角的余弦值；
（3）利用空間向量夾角公式可確定點位置，再結(jié)合空間點到面距離公式進行求解即可.
【小問1詳解】
連接，由三棱柱性質(zhì)可得平面平面，
又平面，故平面；
【小問2詳解】
因為平面，平面，
所以，而，
故兩兩垂直，
故可建立如圖所示的空間直角坐標系：

則，
連接，則，
由，故，
故直線與直線所成角的余弦值為；
【小問3詳解】
設，，則，
設平面的法向量為，
有，令，則，，
即，
因為直線與平面所成角為，
所以，
解得，即，因為，
所以點到平面的距離為.
18. 如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成角為，四邊形是梯形，．

（1）證明：平面平面；
（2）若點T是的中點，點M是的中點，求點P到平面的距離．
（3）點是線段CD上的動點，上是否存在一點M，使平面，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由．
【正確答案】（1）證明過程見解析
（2）
（3）
【分析】（1）先證明，繼而證明，即可證明平面，從而根據(jù)面面垂直的判定定理證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標系，求得相關(guān)點坐標，求出平面的法向量，根據(jù)空間距離的向量求法，即可求得答案.
（3）設，，進而表示出，，由題意列出關(guān)于的方程組求解即可.
【小問1詳解】
由平面，平面，平面，
得，， 與底面所成角為 ．
所以三角形 為等腰直角三角形， ．
又由四邊形是直角梯形，，可知，
所以為等腰直角三角形，而，故．
在直角梯形中，過C作，垂足為E，則四邊形為正方形，
可知 ．
所以 ，在等腰直角三角形 中，．
則有，所以．
又因為，，平面 ，平面．
所以平面．因為平面 ，所以平面平面．
【小問2詳解】
以A為坐標原點，分別以所在的直線為 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，，C1,1,0．
因為T是 的中點，點M是 的中點，所以，．
設平面 的法向量為，，，
則 ，得 ，
取 ，則 ，得平面的一個法向量為，
而,所以點P到平面的距離為．
【小問3詳解】
設，注意到A0,0,0，
所以，
所以，
設，注意到P0,0,1，
所以，
因為A0,0,0，B1,0,0，所以，
若平面，
則當且僅當，即當且僅當，
此時，
綜上所述，當且僅當重合，此時存在，使平面.
關(guān)鍵點點睛：第三問的關(guān)鍵在于知道若平面，則當且僅當，從而只需引入兩個參數(shù)，分別表示出，由此即可順利得解.
19. 如圖1，是邊長為3的等邊三角形，點、分別在線段、上，，，沿將折起到的位置，使得，如圖2．

（1）求證：平面平面；
（2）若點在線段上，且，，求直線與平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的條件下，判斷線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存在，．
【分析】（1）由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得，，得到線面垂直，證明出面面垂直；
（2）由余弦定理得到，由等體積法求出點到平面的距離，求出直線與平面所成角的正弦值；
（3），得到，線面平行，得到平面平面，又平面，故得到線面平行，故線段上存在點，使得平面且．
【小問1詳解】
證明：在中，，，，
由余弦定理得，
∴，
∴．
在中，，，，
∴，
∴．
∵，、平面，
∴平面．
又平面，
∴平面平面．
【小問2詳解】
設點到平面的距離為，
由題意得，，，，
∴，
∴，，
由可得，
，解得，
設直線與平面所成角為，又因為，
所以，
故直線與平面所成角的正弦值為．
【小問3詳解】
在線段上存在點，使得平面且,
證明如下：是邊長為3的等邊三角形，且，
故，為等邊三角形，
在平面內(nèi)，，
∴，

又平面，平面，
∴平面；
在平面內(nèi)，，，
∴．
又平面，平面，
∴平面，
又，
∴平面平面，又平面，
∴平面．
∴在線段上存在點，使得平面且．

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