一、單選題：（共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.）
1. 已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的虛軸上，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. 6D.
2. “”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（ ）
A. 48B. 81C. 93D. 243
4. 已知拋物線焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且傾斜角為的直線交拋物線于點(diǎn)M（M在第一象限），，垂足為N，直線NF交x軸于點(diǎn)D，則（ ）
A. 2B. C. 4D.
5. 過直線上一點(diǎn)P作⊙M：兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若使得的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
6. 在形狀、大小完全相同4個(gè)小球上分別寫上4位學(xué)生的名字，放入袋子中，現(xiàn)在4位學(xué)生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機(jī)取出一個(gè)，則恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球的概率為（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖，在直三棱柱中，分別為線段的中點(diǎn)，，平面平面，則四面體的外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
二、多選題：（共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.）
9. 函數(shù)的大致圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函數(shù)，則下列四個(gè)命題正確的是（ ）
A. 函數(shù)在上是增函數(shù)
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱
C. 不存在斜率小于且與數(shù)的圖象相切的直線
D. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值
11. 著名的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在19世紀(jì)提出了這樣一個(gè)“奇怪的”函數(shù)：定義在上的函數(shù).后來數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可導(dǎo)．根據(jù)該函數(shù)，以下是真命題的有（ ）
A.
B. 的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
C. 的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
D. 存在一個(gè)正三角形，其頂點(diǎn)均在的圖象上
三、填空題：（共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.）
12. 等差數(shù)列中是函數(shù)的極值點(diǎn)，則______.
13. 若，是雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，設(shè)四邊形的面積為，四邊形的外接圓的面積為，則______．
14. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足（n為正整數(shù)），則_________；記，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．
四、解答題：（5題，共計(jì)77分．）
15. 公差不為0的等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和記為Sn．若a1＝1，且S1，2S2，4S4成等比數(shù)列，
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)n項(xiàng)和Tn．
16. 如圖，在三棱柱中，，，D，E分別是CB，CA的中點(diǎn)，.
（1）若平面平面，求點(diǎn)到平面ABC的距離；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
17. 如圖所示，一只螞蟻從正方體的頂點(diǎn)出發(fā)沿棱爬行，記螞蟻從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)為一次爬行，每次爬行的方向是隨機(jī)的，螞蟻沿正方體上、下底面上的棱爬行的概率為，沿正方體的側(cè)棱爬行的概率為．
（1）若螞蟻爬行次，求螞蟻在下底面頂點(diǎn)的概率；
（2）若螞蟻爬行5次，記它在頂點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
18. 如圖，一張圓形紙片的圓心為點(diǎn)E，F(xiàn)是圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，P是圓E上任意一點(diǎn)，把紙片折疊使得點(diǎn)F與P重合，折痕與直線PE相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，得到點(diǎn)Q的軌跡，記為曲線C．建立適當(dāng)坐標(biāo)系，點(diǎn)，紙片圓方程為，點(diǎn)在C上．
（1）求C的方程；
（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，過F且不與x軸重合直線交C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線，與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，記直線的傾斜角分別為，，當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
19. 已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求證：；
（3）求證：．
江西省宜春市豐城市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)
檢測(cè)試題
一、單選題：（共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.）
1. 已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的虛軸上，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. 6D.
【正確答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理一般式，可得答案.
【詳解】由，
結(jié)合題意，則，解得
故選：D.
2. “”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】首先求方程表示橢圓的的取值范圍，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).
詳解】若方程表示橢圓，則
，解得：，且，
所以“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.
故選：B
3. 記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（ ）
A. 48B. 81C. 93D. 243
【正確答案】C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和先確定公比，再計(jì)算得，從而計(jì)算得的值，即可得的值.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，?br>若，則，得，則，故，
則，所以，
所以，所以.
故選：C.
4. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且傾斜角為的直線交拋物線于點(diǎn)M（M在第一象限），，垂足為N，直線NF交x軸于點(diǎn)D，則（ ）
A. 2B. C. 4D.
【正確答案】A
【分析】由已知條件證得是等邊三角形，在中，利用三角函數(shù)求．
【詳解】由已知可得，，．
如圖所示，過點(diǎn)F作，垂足為A．
由題得，所以．
根據(jù)拋物線的定義可知，
所以是等邊三角形．
因?yàn)?，所以?br>在中，．
故選：A．
5. 過直線上一點(diǎn)P作⊙M：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若使得的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【正確答案】B
【分析】易得，根據(jù)題意可得圓心到直線的距離，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】⊙M：的圓心，半徑，
由，得，
由題意可得圓心到直線的距離，
即，解得.
故選：B.
6. 在形狀、大小完全相同的4個(gè)小球上分別寫上4位學(xué)生的名字，放入袋子中，現(xiàn)在4位學(xué)生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機(jī)取出一個(gè)，則恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球的概率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】利用計(jì)數(shù)方法結(jié)合古典概型求解.
【詳解】4位學(xué)生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機(jī)取出一個(gè)的方法總數(shù)為種，
恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球，可以先從4人中選出1人摸到寫有自己名字的小球，另外三人摸到的都不是寫有自己名字的小球共種，
所以恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球的概率為.
故選：B
7. 已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】首先對(duì)進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)，，推得其對(duì)稱中心為，且上在單調(diào)遞增，再結(jié)合對(duì)稱性和單調(diào)性將轉(zhuǎn)化為,再利用基本不等式求解的最大值.
【詳解】由，
記，，
則，，
且單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，
則與都關(guān)于中心對(duì)稱且為上的增函數(shù),
所以，
故關(guān)于中心對(duì)稱且為上增函數(shù)，
則由，得，可得，
記，
則，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，
故的最大值為.
故選：C．
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是求得的對(duì)稱中心，從而得到，的關(guān)系，進(jìn)而利用基本不等式求解最值.
8. 如圖，在直三棱柱中，分別為線段的中點(diǎn)，，平面平面，則四面體的外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】取的中點(diǎn)，連接，由等腰三角形的性質(zhì)與面面垂直的性質(zhì)定理證平面，由線面垂直的性質(zhì)及判定定理證平面，進(jìn)而推出，利用勾股定理及勾股定理的逆定理等證，從而確定四面體的外接球的球心與半徑，利用球的體積公式求解即可．
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，所以?br>又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以．
依題意平面平面，
所以，又平面，
所以平面．
又平面，
所以，所以，
所以．
連接，則，
所以．
又，
所以，
所以．
因?yàn)榕c共斜邊，
所以四面體的外接球的球心為的中點(diǎn)，
且外接球半徑，
所以該球的體積．
故選：A
確定簡(jiǎn)單幾何體外接球的球心有如下結(jié)論：（1）正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)；（2）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn)；（3）直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)；（4）正棱錐的外接球的球心在其高線上；（5）若三棱錐的其中兩個(gè)面是共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是外接球的球心．
二、多選題：（共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.）
9. 函數(shù)的大致圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BCD
【分析】對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析即可判斷函數(shù)的大致圖象.
【詳解】當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，此時(shí)對(duì)應(yīng)圖象可能是C；
當(dāng)時(shí)，，令得，為非奇非偶函數(shù)，且，
令其對(duì)應(yīng)方程的，設(shè)其對(duì)應(yīng)方程的兩根分別為，，，
所以，，，，，，
即函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由單調(diào)性判斷此時(shí)對(duì)應(yīng)圖象可能是B；
當(dāng)時(shí)，為非奇非偶函數(shù)，在處無定義，
取時(shí)且單增，
時(shí)且單增，時(shí)單增，
此時(shí)對(duì)應(yīng)圖象可能是D；
對(duì)于A，由于圖象無間斷點(diǎn)，故，但此時(shí)在上不可能恒正，
故選：BCD.
10. 已知函數(shù)，則下列四個(gè)命題正確的是（ ）
A. 函數(shù)在上是增函數(shù)
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱
C. 不存在斜率小于且與數(shù)的圖象相切的直線
D. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值
【正確答案】ABC
【分析】先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，有導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷A的真假；判斷是否成立，從而判斷B的真假；對(duì)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分析，求導(dǎo)函數(shù)的值域，可判斷CD的真假.
【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)的定義域?yàn)?
因?yàn)椋?，，所以時(shí)，恒成立，所以在為增函數(shù)，故A正確；
因?yàn)椋海?，故，即得圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；
因?yàn)椋?，?br>當(dāng)時(shí)，為的最小值，
所以的切線的斜率一定大于或等于，不存在斜率小于的切線，故C正確；
有最小值，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC
關(guān)鍵點(diǎn)睛：
（1）證明函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，需要證明或恒成立即可；
（2）證明函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，需要證明或恒成立即可.
11. 著名的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在19世紀(jì)提出了這樣一個(gè)“奇怪的”函數(shù)：定義在上的函數(shù).后來數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可導(dǎo)．根據(jù)該函數(shù)，以下是真命題的有（ ）
A.
B. 的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
C. 的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
D. 存在一個(gè)正三角形，其頂點(diǎn)均在的圖象上
【正確答案】BCD
【分析】特殊值代入驗(yàn)證A，D；利用偶函數(shù)定義判斷B，C.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，，，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
若是無理數(shù)，則是無理數(shù)，所以，；
若是有理數(shù)，則是有理數(shù)，所以，；
所以，
故是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，B正確；
對(duì)于C，由B可知，，所以，
故偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，C正確；
對(duì)于D，設(shè)， ，，
則，所以是等邊三角形，
又因?yàn)?，，，所以的頂點(diǎn)均在的圖象上，D正確.
故選：BCD
三、填空題：（共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.）
12. 等差數(shù)列中的是函數(shù)的極值點(diǎn)，則______.
【正確答案】##
【分析】先由題意求出，再利用等差中項(xiàng)求出，最后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以是方程的兩根，
所以，
因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，
所以，
所以.
故答案為.
13. 若，是雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，設(shè)四邊形的面積為，四邊形的外接圓的面積為，則______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)給定條件，探求四邊形的形狀，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理求出，再求出作答.
【詳解】依題意，點(diǎn)與，與都關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，且，因此四邊形是矩形，如圖，
由雙曲線：得：，，
于是，
顯然四邊形的外接圓半徑為，因此，
所以.
故
14. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足（n為正整數(shù)），則_________；記，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．
【正確答案】 ①. ②.
【分析】因式分解即可求出，再利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由裂項(xiàng)相消求和法計(jì)算可得.設(shè)函數(shù)，將函數(shù)寫出分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)镽和極限的思想可得當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)，解不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以，即，
當(dāng)?shù)茫?dāng)?shù)茫?br>經(jīng)檢驗(yàn)符合上式，所以.
所以.
設(shè)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
；
同理可得，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
即，其中，
由函數(shù)的值域?yàn)镽知，當(dāng)時(shí)，，
所以，即，解得；
當(dāng)時(shí)，，
所以，即，解得，
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.
故；.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，利用函數(shù)的值域確定關(guān)于k的不等式即可求解，其中涉及到極限思想以及數(shù)列的求通項(xiàng)公式和求和知識(shí)點(diǎn)，平時(shí)練習(xí)都要熟練應(yīng)用.
四、解答題：（5題，共計(jì)77分．）
15. 公差不為0的等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和記為Sn．若a1＝1，且S1，2S2，4S4成等比數(shù)列，
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)n項(xiàng)和Tn．
【正確答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由條件可知，代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，整理為關(guān)于的方程求解通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，利用裂項(xiàng)相消法求和.
【詳解】解：（1）由已知可得：，
即：，
解得（舍）或
所以，
（2）由（1）可得，
所以；
所以
.
本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的點(diǎn)到綜合，以及裂項(xiàng)相消法求和，屬于基礎(chǔ)題型，本題的難點(diǎn)是第二問，注意能使用裂項(xiàng)相消法的類型.
16. 如圖，在三棱柱中，，，D，E分別是CB，CA的中點(diǎn)，.
（1）若平面平面，求點(diǎn)到平面ABC的距離；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
【正確答案】（1）
（2）.
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)點(diǎn)距離公式可得點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)面面垂直得法向量垂直，即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，根據(jù)線面垂直即可求解距離，
（2）根據(jù)法向量的夾角即可求解.
【小問1詳解】
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，則，，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即
令，則，，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即令，則，，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br>所以，即，所以，
所以，所以點(diǎn)在z軸上，即平面ABC，
因?yàn)槠矫鍭BC，所以，
又，，所以，
故到平面ABC的距離為.
【小問2詳解】
由（1）知，由，則，
因?yàn)?，所以?br>所以，，所以.
由（1）知平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
即平面與平面的夾角的余弦值為.
17. 如圖所示，一只螞蟻從正方體的頂點(diǎn)出發(fā)沿棱爬行，記螞蟻從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)為一次爬行，每次爬行的方向是隨機(jī)的，螞蟻沿正方體上、下底面上的棱爬行的概率為，沿正方體的側(cè)棱爬行的概率為．
（1）若螞蟻爬行次，求螞蟻在下底面頂點(diǎn)的概率；
（2）若螞蟻爬行5次，記它在頂點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【正確答案】（1）
（2）分布列見解析，
【分析】（1）記螞蟻爬行次在底面的概率為，則它前一步只有兩種情況：在下底面或在上底面，找到關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列可得答案.
（2）結(jié)合題意易知，求出對(duì)應(yīng)得概率,列出分布列，計(jì)算期望即可.
【小問1詳解】
記螞蟻爬行次在底面的概率為，則它前一步只有兩種情況：在下底面或在上底面，
結(jié)合題意易得，，
是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，
【小問2詳解】
結(jié)合題意易得：，
當(dāng)時(shí)，螞蟻第3次、第5次都在處，
當(dāng)時(shí)，螞蟻第3次在處或第5次在處，
設(shè)螞蟻第3次在處概率為，
設(shè)螞蟻第5次在處的概率為，
設(shè)螞蟻不過點(diǎn)且第3次在的概率為，設(shè)螞蟻不過點(diǎn)且第3次在的概率為，
設(shè)螞蟻不過點(diǎn)且第3次在的概率為，由對(duì)稱性知，，
，又，
得，
，
，
的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望.
18. 如圖，一張圓形紙片的圓心為點(diǎn)E，F(xiàn)是圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，P是圓E上任意一點(diǎn)，把紙片折疊使得點(diǎn)F與P重合，折痕與直線PE相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，得到點(diǎn)Q的軌跡，記為曲線C．建立適當(dāng)坐標(biāo)系，點(diǎn)，紙片圓方程為，點(diǎn)在C上．
（1）求C的方程；
（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，過F且不與x軸重合的直線交C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線，與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，記直線的傾斜角分別為，，當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義可判斷軌跡形狀，繼而確定的值，即得答案；
（2）討論是否為直角，不為直角時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式，求出坐標(biāo)的表達(dá)式，從而化簡(jiǎn)得到的關(guān)系，利用兩角差的正切公式，求出的表達(dá)式，分類討論，結(jié)合基本不等式，求出符合題意的k的值，即可求得答案.
【小問1詳解】
由題意知，以中點(diǎn)為原點(diǎn)O，以所在直線為x軸，以的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
F是圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，故圓的半徑，
則,
故點(diǎn)Q的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為，
則其焦距為，
又點(diǎn)在C上，則，
故C的方程為；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，由橢圓對(duì)稱性得；
當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，
設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，
聯(lián)立，則，
由于直線過橢圓焦點(diǎn)，則必有，故
，
則，
同理當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則,
則，
故
，
當(dāng)時(shí)，，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)，
則，
，滿足，
同理當(dāng)時(shí)，也滿足，
故,
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
且，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)取得最大值，
綜上取得最大值時(shí)，，直線的方程為.
難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的最值問題，綜合性強(qiáng)，難度大，解答時(shí)要設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩角差的正切公式化簡(jiǎn)求解，解答的難點(diǎn)在于計(jì)算過程比較復(fù)雜，計(jì)算量大，并且都是關(guān)于字母參數(shù)的運(yùn)算，因此需要十分細(xì)心.
19. 已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求證：；
（3）求證：．
【正確答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，求實(shí)數(shù)的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理，說明零點(diǎn)的情況；
（2）構(gòu)造新函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合，即可證明；
（3）設(shè)，并求導(dǎo)，可證明，即可證明，設(shè)
，設(shè)，并求導(dǎo)，證明.
【小問1詳解】
，
又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且，
所以，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時(shí)，
，
，
所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，且，
所以在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
【小問2詳解】
設(shè)，，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
由（1）知，，，
所以，
【小問3詳解】
設(shè)，
，
，當(dāng)時(shí)，
因?yàn)椋?br>令，，
設(shè)，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以,
所以恒成立，顯然，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
即，
設(shè)的零點(diǎn)為，，
易知，
所以，
設(shè)，
設(shè)，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以恒成立，即，
設(shè)的零點(diǎn)為，，
易知，，
所以，
所以，
所以
方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式有如下方法，
方法一，等價(jià)轉(zhuǎn)化是證明不等式的常見方法，其中利用函數(shù)的對(duì)稱性，構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移問題的基本處理策略；
方法二，比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明的不等式即可，
方法三，利用不等式 的性質(zhì)對(duì)原不等式作等價(jià)轉(zhuǎn)換后，利用導(dǎo)數(shù)證明相關(guān)的式子成立.
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